Хорда AB делит окруж­ность на две части, гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых от­но­сят­ся как 5 : 7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, при­над­ле­жа­щей мень­шей дуге окруж­но­сти? Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти изоб­ра­же­ны век­то­ры и Най­ди­те ко­си­нус угла между ними.

Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы равна 8. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ис­ход­ной приз­мы.

В чем­пи­о­на­те по гим­на­сти­ке участ­ву­ют 20 спортс­ме­нок: 8 из Рос­сии, 7 из США, осталь­ные из Китая. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют гим­наст­ки, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен­ка, вы­сту­па­ю­щая пер­вой, ока­жет­ся из Китая.

Стре­лок стре­ля­ет по 4 оди­на­ко­вым ми­ше­ням по од­но­му разу, ве­ро­ят­ность про­ма­ха 0,2, най­ди­те ве­ро­ят­ность что он попадёт в первую ми­шень, а в 3 остав­ши­е­ся про­мах­нет­ся.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−11; 11). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−10; 10].

Го­ноч­ный ав­то­мо­биль раз­го­ня­ет­ся на пря­мо­ли­ней­ном участ­ке шоссе с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем a км/⁠ч². Ско­рость в конце пути вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где l  — прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем путь в км. Опре­де­ли­те уско­ре­ние, с ко­то­рым дол­жен дви­гать­ся ав­то­мо­биль, чтобы, про­ехав 250 мет­ров, при­об­ре­сти ско­рость 60 км/⁠ч. Ответ вы­ра­зи­те в км/⁠ч².

При двух од­но­вре­мен­но ра­бо­та­ю­щих прин­те­рах рас­ход бу­ма­ги со­став­ля­ет 1 пачку за 12 минут. Опре­де­ли­те, за сколь­ко минут из­рас­хо­ду­ет пачку бу­ма­ги пер­вый прин­тер, если из­вест­но, что он сде­ла­ет это на 10 минут быст­рее, чем вто­рой.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке A. Най­ди­те абс­цис­су точки A.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна бо­ко­во­му ребру SA. Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка  SBC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Точка N  — се­ре­ди­на AM. Най­ди­те SN, если

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Транcна­ци­о­наль­ная ком­па­ния Amako Inc. ре­ши­ла про­ве­сти не­дру­же­ствен­ное по­гло­ще­ние ком­па­нии First Aluminum Company (FAC) путем скуп­ки акций ми­но­ри­тар­ных ак­ци­о­не­ров. Из­вест­но, что Amako было сде­ла­но три пред­ло­же­ния вла­дель­цам акций FAC, при этом цена по­куп­ки одной акции каж­дый раз по­вы­ша­лась на 1/⁠3. В ре­зуль­та­те вто­ро­го пред­ло­же­ния Amako су­ме­ла уве­ли­чить число вы­куп­лен­ных акций на 20% (после вто­рой скуп­ки общее число вы­куп­лен­ных акций уве­ли­чи­лось на 20%), а в ре­зуль­та­те скуп­ки по тре­тьей цене  — еще на 20%. Най­ди­те цену за одну акцию при тре­тьем пред­ло­же­нии и общее ко­ли­че­ство скуп­лен­ных акций, если на­чаль­ное пред­ло­же­ние со­став­ля­ло $27 за одну акцию, а по вто­рой цене Amako ску­пи­ла 15 тысяч акций.

Точка M лежит на сто­ро­не BC вы­пук­ло­го четырёхуголь­ни­ка ABCD, причём B и C  — вер­ши­ны рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков с ос­но­ва­ни­я­ми AM и DM со­от­вет­ствен­но, а пря­мые AM и MD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­жи­те, что бис­сек­три­сы углов при вер­ши­нах B и C четырёхуголь­ни­ка ABCD, пе­ре­се­ка­ют­ся на сто­ро­не AD.

б)  Пусть N  — точка пе­ре­се­че­ния этих бис­сек­трис. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABCD, если из­вест­но, что BM : MC  =  3 : 4, а пло­щадь четырёхуголь­ни­ка, сто­ро­ны ко­то­ро­го лежат на пря­мых AM, DM, BN и CN, равна 24.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма не­ра­венств

имеет хотя бы одно ре­ше­ние на от­рез­ке [3; 4].

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, про­из­ве­де­ние любых двух из ко­то­рых боль­ше 40 и мень­ше 100.

а)  Может ли на доске быть 5 чисел?

б)  Может ли на доске быть 6 чисел?

в)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма чисел на доске, если их че­ты­ре?