Ре­ше­ние 1. Вме­сто сум­мар­но­го про­цен­та будем счи­тать сум­мар­ную долю де­во­чек  ― оче­вид­но, эти числа от­ли­ча­ют­ся в 100 раз и до­сти­га­ют сво­е­го мак­си­му­ма од­но­вре­мен­но. Каж­дая де­воч­ка в клас­се из 22 че­ло­век со­став­ля­ет от об­ще­го числа уча­щих­ся в этом клас­се, а в клас­се из 23 че­ло­век  ― от об­ще­го числа уча­щих­ся. Зна­чит, если по­ме­нять ме­ста­ми де­воч­ку из боль­ше­го клас­са и маль­чи­ка из мень­ше­го, сум­мар­ный про­цент де­во­чек вы­рас­тет. Таким об­ра­зом, мак­си­мум до­сти­га­ет­ся, когда все по­доб­ные пе­ре­ста­нов­ки сде­ла­ны, то есть, когда мень­ший класс пол­но­стью со­сто­ит из де­во­чек, а в боль­шем клас­се  ― 3 де­воч­ки и 20 маль­чи­ков.

Ре­ше­ние 2. Пусть в мень­ший класс рас­пре­де­ле­но х де­во­чек (где ), тогда в боль­ший класс по­па­ло де­во­чек. Зна­чит, сум­мар­ная доля де­во­чек в двух клас­сах равна и пред­став­ля­ет собой ли­ней­ную функ­цию с по­ло­жи­тель­ным уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том. Зна­чит, эта функ­ция до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния на пра­вом конце про­ме­жут­ка [2; 22], то есть при Таким об­ра­зом, мень­ший класс пол­но­стью дол­жен со­сто­ять из де­во­чек, а в боль­шем клас­се долж­но быть 3 де­воч­ки и 20 маль­чи­ков.

Ответ: в одном клас­се  ― 22 де­воч­ки, в дру­гом  ― 3 де­воч­ки и 20 маль­чи­ков.

Пусть на пер­вый объ­ект будет на­прав­ле­но х ра­бо­чих, су­точ­ная зар­пла­та ко­то­рых со­ста­вит Тогда на вто­рой объ­ект будет на­прав­ле­но ра­бо­чих  — су­точ­ная за­ра­бот­ная плата со­ста­вит В день на­чаль­ник будет дол­жен пла­тить ра­бо­чим у. е.

Рас­смот­рим функ­цию при Это квад­ра­тич­ная функ­ция, стар­ший ко­эф­фи­ци­ент по­ло­жи­те­лен, сле­до­ва­тель­но, она имеет наи­мень­шее зна­че­ние при x₀  =  4,8. За­ме­тим, что точка ми­ни­му­ма не яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным чис­лом, по­это­му ис­сле­ду­е­мая функ­ция до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния в точке 4 или в точке 5. Най­дем и срав­ним эти зна­че­ния:

Таким об­ра­зом, на мно­же­стве на­ту­раль­ных зна­че­ний ар­гу­мен­та наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке 5. По­это­му не­об­хо­ди­мо на­пра­вить 5 ра­бо­чих на пер­вый объ­ект, 19 ра­бо­чих  — на вто­рой объ­ект. Зар­пла­та ра­бо­чих со­ста­вит 461 у. е.

Ответ: 5 ра­бо­чих на 1-⁠й объ­ект, 19 ра­бо­чих на 2-⁠й объ­ект; 461 у. е.

Обо­зна­чим бук­вой t время, про­шед­шее с на­чаль­но­го мо­мен­та вре­ме­ни. По­сколь­ку каж­дый ве­ло­си­пе­дист дви­жет­ся по вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ным до­ро­гам, то рас­сто­я­ние между ними может быть вы­чис­ле­но по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра. Рас­смот­рим f (t)  — квад­рат длины в каж­дый мо­мент вре­ме­ни, тогда

Итак, У дан­ной квад­ра­тич­ной функ­ции есть наи­мень­шее зна­че­ние, ко­то­рое до­сти­га­ет­ся при мин. Най­дем его:

Таким об­ра­зом, ми­ни­маль­ное рас­сто­я­ние между ве­ло­си­пе­ди­ста­ми равно км и будет до­стиг­ну­то через мин.

Ответ: мин, км.

При­ме­ча­ние.

Усло­вие уточ­не­но ре­дак­ци­ей Решу ЕГЭ.

Ско­рость сбли­же­ния Алек­сея и Жучки (раз­ность ско­ро­стей) Δυ = 9 км/ч. Пер­во­на­чаль­ная раз­ность рас­сто­я­ний между хо­зя­и­ном и со­ба­кой со­став­ля­ет ΔS  =  6 км. Най­дем раз­ност­ное от­но­ше­ние часа. Это и есть время, ко­то­рое по­тре­бо­ва­лось Жучке, чтобы до­гнать Алек­сея.

С того вре­ме­ни, как Жучка бе­жа­ла за хо­зя­и­ном, Алек­сей про­шел рас­сто­я­ние, рав­ное км. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи Алек­сей про­шел еще 6 км пока Жучка была дома. Зна­чит, в на­прав­ле­нии от дома Алек­сей, бу­дучи на про­гул­ке, про­шел км. Такой же путь Алек­сей про­шел после того, как Жучка до­гна­ла его, но в об­рат­ном на­прав­ле­нии. На пре­одо­ле­ние этого пути (со ско­ро­стью 4 км/⁠ч) по­тре­бо­ва­лось часа. Итак, вся про­гул­ка Алек­сея про­дли­лась

Эта сумма будет наи­мень­шей, когда сумма двух вза­им­но об­рат­ных по­ло­жи­тель­ных вы­ра­же­ний и при­мет наи­мень­шее зна­че­ние. И эта наи­мень­шая сумма за­ве­до­мо из­вест­на, она равна 2 (клас­си­че­ское не­ра­вен­ство   — наи­мень­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при a  =  1). Сле­до­ва­тель­но, в нашем слу­чае долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство то есть = 6 км/ч. Время всей про­гул­ки Алек­сея со­став­ля­ет часа.

Ответ: 6 км/⁠ч, часа.

При­ве­дем ре­ше­ние Ан­дрея Ана­то­лье­ви­ча.

Пусть v  — ско­рость Алек­сея, и S  — рас­сто­я­ние, на ко­то­ром он на­хо­дил­ся в тот мо­мент, когда его до­гна­ла Жучка. Время дви­же­ния Алек­сея до того мо­мен­та, когда из дому вы­бе­жа­ла Жучка, равно время дви­же­ния от этого мо­мен­та до встре­чи с Жуч­кой равно время дви­же­ния до воз­вра­ще­ния домой тогда общее время со­ста­вит

С дру­гой сто­ро­ны, время дви­же­ния Жучки до встре­чи с Алек­се­ем со­ста­вит Тогда

Под­ста­вив дан­ное вы­ра­же­ние для S в пер­вое урав­не­ние, по­лу­чим

Для на­хож­де­ния ми­ни­маль­но­го вре­ме­ни ис­сле­ду­ем функ­цию f(v) на мак­си­мум и ми­ни­мум с по­мо­щью про­из­вод­ной:

Учи­ты­вая, что v > 0, най­дем, что про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в 0 при v  =  6.

При v  =  6 км/⁠ч функ­ция f(v) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние, рав­ное часа, или 4 часа 10 минут.

При­мем объем бас­сей­на за 1. Пусть вна­ча­ле пер­вая и вто­рая трубы, ра­бо­тая вме­сте t₁ ч, на­ли­ли бас­сей­на, далее все три трубы, ра­бо­тая вме­сте t₂ ч, на­ли­ли бас­сей­на. Тогда время на­пол­не­ния бас­сей­на

Най­дем, при каком V по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние наи­мень­ше­го зна­че­ния. Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, пе­ре­се­ка­ю­щая ось абс­цисс в точ­ках 20 и ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вниз. Абс­цис­са вер­ши­ны этой па­ра­бо­лы равна Эта ве­ли­чи­на лежит в ин­тер­ва­ле (0; 10), а зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние квад­рат­но­го трех­чле­на на дан­ном ин­тер­ва­ле и до­сти­га­ет­ся при Оста­лось за­ме­тить, что наи­боль­шее зна­че­ние зна­ме­на­те­ля по­ло­жи­тель­но, по­это­му оно со­от­вет­ству­ет наи­мень­ше­му зна­че­нию

Ответ:

При­ме­ча­ние.

В общем слу­чае можно ис­сле­до­вать функ­цию при по­мо­щи про­из­вод­ной. Не­об­хо­ди­мо найти наи­мень­шее зна­че­ние этой функ­ции на ин­тер­ва­ле (0; 10). Най­дем про­из­вод­ную:

Решим урав­не­ние ис­поль­зуя рав­но­силь­ность

Не­труд­но по­ка­зать, что это точка ми­ни­му­ма, в ко­то­рой функ­ция до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния на ис­сле­ду­е­мом про­ме­жут­ке.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть объем бас­сей­на равен A м³. Пер­вая и вто­рая трубы, ра­бо­тая вме­сте t₁ ч, на­ли­ли м³ бас­сей­на, далее все три трубы, ра­бо­тая вме­сте t₂ ч, на­ли­ли м³ бас­сей­на. В ре­зуль­та­те бас­сейн был налит пол­но­стью.

Из­вест­но, что для любых двух по­ло­жи­тель­ных чисел t₁ и t₂ верно не­ра­вен­ство (не­ра­вен­ство Коши).

Рас­смот­рим про­из­ве­де­ние

Ясно, что зна­ме­на­тель по­лу­чен­ной дроби имеет наи­боль­шее зна­че­ние в точке А это зна­чит: имеет наи­мень­шее зна­че­ние в точке (зна­че­ние V при­над­ле­жит за­дан­но­му про­ме­жут­ку). Сле­до­ва­тель­но, вы­ра­же­ние также будет иметь ана­ло­гич­ное зна­че­ние в той же точке При этом

Итак, при по­лу­чим А это зна­чит, что в точке вы­ра­же­ние t₁ + t₂ также при­мет наи­мень­шее зна­че­ние.