Пусть на пер­вый объ­ект будет на­прав­ле­но х ра­бо­чих, су­точ­ная зар­пла­та ко­то­рых со­ста­вит Тогда на вто­рой объ­ект будет на­прав­ле­но ра­бо­чих  — су­точ­ная за­ра­бот­ная плата со­ста­вит В день на­чаль­ник будет дол­жен пла­тить ра­бо­чим у. е.

Рас­смот­рим функ­цию при Это квад­ра­тич­ная функ­ция, стар­ший ко­эф­фи­ци­ент по­ло­жи­те­лен, сле­до­ва­тель­но, она имеет наи­мень­шее зна­че­ние при x₀  =  4,8. За­ме­тим, что точка ми­ни­му­ма не яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным чис­лом, по­это­му ис­сле­ду­е­мая функ­ция до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния в точке 4 или в точке 5. Най­дем и срав­ним эти зна­че­ния:

Таким об­ра­зом, на мно­же­стве на­ту­раль­ных зна­че­ний ар­гу­мен­та наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке 5. По­это­му не­об­хо­ди­мо на­пра­вить 5 ра­бо­чих на пер­вый объ­ект, 19 ра­бо­чих  — на вто­рой объ­ект. Зар­пла­та ра­бо­чих со­ста­вит 461 у. е.

Ответ: 5 ра­бо­чих на 1-⁠й объ­ект, 19 ра­бо­чих на 2-⁠й объ­ект; 461 у. е.

Пусть x  — ко­ли­че­ство пе­ре­во­зи­мых кон­тей­не­ров типа А, y  — ко­ли­че­ство кон­тей­не­ров типа В, Тогда вес кон­тей­не­ров типа А со­ста­вит т, типа В  — 5у т. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи Кроме того, долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие:

Пусть S  — сум­мар­ная сто­и­мость всех кон­тей­не­ров. Тогда S  =  5x + 7y. Нам пред­сто­ит ис­сле­до­вать функ­цию S(x, y) на наи­боль­шее зна­че­ние при за­дан­ных усло­ви­ях.

Имеем: зна­чит,

Най­дем, при каком зна­че­нии у вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство

По­сколь­ку x, y, а также сто­и­мо­сти кон­тей­не­ров  — числа на­ту­раль­ные, то Зна­чит,

Если то На­ту­раль­ных ре­ше­ний нет.

Если то На­ту­раль­ных ре­ше­ний нет.

Если то На­ту­раль­ных ре­ше­ний нет.

Если то На­ту­раль­ное ре­ше­ние:

Вы­чис­лим зна­че­ние x при

Итак, ис­ко­мое зна­че­ние 220 млн. руб.

Ответ: 220 млн. руб.

При­ведём ариф­ме­ти­че­ское ре­ше­ние.

За­ме­тим, что кон­тей­нер типа А при­но­сит 2,5 млн руб. за тонну, а кон­тей­нер типа В  — 1,4 млн руб. за тонну, по­это­му кон­тей­не­ров типа А долж­но быть как можно боль­ше, а кон­тей­не­ров типа В как можно мень­ше. По усло­вию, на каж­дые 4 кон­тей­не­ра типа А долж­но при­хо­дить­ся не менее 5 кон­тей­не­ров типа B. Пусть кон­тей­не­ров типа А будет 4x, а кон­тей­не­ров типа B  — 5x, их общий вес со­ста­вит 8x + 25x  =  33x тонн. Гру­зо­подъёмность баржи 134 тонны, по­это­му наи­боль­шее воз­мож­ное целое зна­че­ние x  =  4.

Если x  =  4, то на баржу можно за­гру­зить 16 кон­тей­не­ров типа А и 20 кон­тей­не­ров типа B, их сто­и­мость со­ста­вит 80 + 140  =  220 млн руб. При этом баржа будет не­до­гру­же­на на 2 тонны. За­ме­ним два кон­тей­не­ра типа А одним кон­тей­не­ром типа В. Сто­и­мость 14 кон­тей­не­ров типа А и 21 кон­тей­не­ра типа В со­став­ля­ет 70 + 147  =  217 млн руб., при этом баржа не­до­гру­же­на на 1 тонну. Можно было бы за­гру­зить баржу пол­но­стью, за­ме­нив ещё два кон­тей­не­ра типа А одним кон­тей­не­ром типа В, но при этом общая сто­и­мость кон­тей­не­ров снова бы сни­зи­лась на 3 млн руб. Из этого сле­ду­ет, что оп­ти­маль­но не за­гру­жать баржу пол­но­стью, а за­гру­зить на неё 16 кон­тей­не­ров типа А и 20 кон­тей­не­ров типа В общей сто­и­мо­стью 220 млн руб.

При­ме­ча­ние.

Про­ве­рять из­ме­не­ние сто­и­мо­сти при до­за­груз­ке не пол­но­стью на­гру­жен­ной баржи  — обя­за­тель­ная часть ре­ше­ния. На­при­мер, если бы кон­тей­нер типа В стоил 11 млн руб., а дру­гие дан­ные за­да­чи не по­ме­ня­лись бы, то сто­и­мость 16 кон­тей­не­ров типа А и 20 кон­тей­не­ров типа B со­ста­ви­ла бы 80 + 220  =  300 млн руб. (не­до­гру­же­но 2 тонны), сто­и­мость 14 кон­тей­не­ров типа А и 21 кон­тей­не­ра типа В со­ста­ви­ла бы 70 + 231  =  301 млн руб. (не­до­гру­же­на 1 тонна), а сто­и­мость 12 кон­тей­не­ров типа А и 22 кон­тей­не­ров типа В со­ста­ви­ла бы 302 млн руб.  — баржа за­гру­же­на пол­но­стью, при­быль мак­си­маль­на, даль­ней­шая за­ме­на кон­тей­не­ров типа А на кон­тей­не­ры типа В при­во­дит к умень­ше­нию при­бы­ли.

См. также ре­ше­ние за­да­ния 513295.

Пусть ра­бо­чие пер­во­го за­во­да за не­де­лю про­из­во­дят x при­бо­ров, вто­ро­го за­во­да  — y при­бо­ров, и пусть вы­пол­не­но усло­вие. x + y  =  20. Тогда доля че­ло­ве­ко-часов, за­тра­чен­ных на пер­вом за­во­де, со­ста­вит 4x³, а на вто­ром  — y³. Таким об­ра­зом, Лео­ни­ду при­дет­ся за­пла­ни­ро­вать на опла­ту труда ра­бо­чих обоих за­во­дов тысяч руб­лей в не­де­лю. Так как y  =  20 − x, то

Най­дем наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на

Ис­ко­мый ко­рень по­ло­жи­те­лен, он равен За­ме­тим, что на это един­ствен­ная точка экс­тре­му­ма. Если она ока­жет­ся точ­кой ми­ни­му­ма функ­ции, то функ­ция имен­но в этой точке и до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния. Най­дем

Итак, кри­ти­че­ская точка функ­ции точка яв­ля­ет­ся точ­кой ми­ни­му­ма функ­ции S(x).

По­сколь­ку ко­ли­че­ство из­го­тов­лен­ных при­бо­ров будет вы­ра­жать­ся чис­лом на­ту­раль­ным, то наи­мень­шая сумма, не­об­хо­ди­мая для вы­пла­ты ра­бо­чим, будет до­стиг­ну­та либо при x  =  6, либо при x  =  7. Срав­ним эти зна­че­ния:

Итак, ис­ко­мая сумма 3 569 000 руб­лей.

Ответ: 3 569 000 руб­лей.

Пусть x  — доля мощ­но­стей за­во­да, за­ня­тых под про­из­вод­ство блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой, а y  — доля мощ­но­стей, за­ня­тых под про­из­вод­ство блин­чи­ков с тво­рож­ной на­чин­кой. Тогда x + y  =  1, при этом блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой про­из­во­дит­ся 90x тонн, а с тво­рож­ной на­чин­кой  — 75y тонн. Кроме того, из усло­вия ас­сор­ти­мент­но­сти сле­ду­ет, что от­ку­да а от­ку­да При­быль за­во­да с одной тонны про­дук­ции с ягод­ной на­чин­кой равна 100 − 70  =  30 тыс. руб., при­быль с одной тонны про­дук­ции с тво­рож­ной на­чин­кой равна 135 − 100  =  35 тыс. руб., общая при­быль с про­из­ведённой за месяц про­дук­ции равна Таким об­ра­зом, нам не­об­хо­ди­мо найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции S (x, y)  =  75 · (36x + 35y) при вы­пол­не­нии сле­ду­ю­щих усло­вий:

Под­став­ляя у  =  1 − x в вы­ра­же­ние 36x + 35y, по­лу­ча­ем: 36x + 35(1 − x)  =  x + 35. Наи­боль­шее зна­че­ние этого вы­ра­же­ния при усло­вии до­сти­га­ет­ся при тогда

По­это­му мак­си­маль­но воз­мож­ная при­быль за­во­да за месяц равна:

при этом фаб­ри­ка про­из­во­дит 72 тонны блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой и 15 тонн блин­чи­ков с тво­рож­ной на­чин­кой.

Ответ: 2685 тыс. руб.

При­ведём ре­ше­ние Дмит­рия Гу­щи­на.

Тонна блин­чи­ков с тво­рож­ной на­чин­кой при­но­сит 35 тыс. руб., а тонна блин­чи­ков с ягод­ной  — 30 тыс. руб. При этом 1 тонне блин­чи­ков с тво­рож­ной на­чин­кой со­от­вет­ству­ет 1,2 тонны блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой. За­ме­тим, что 1 т · 35 тыс. руб.  <  1,2 т · 30 тыс. руб.  =  36 т · 1 тыс. руб., по­это­му более вы­год­но про­из­во­дить блин­чи­ки с ягод­ной на­чин­кой. Зна­чит, блин­чи­ков с тво­рож­ной на­чин­кой не­об­хо­ди­мо про­из­во­дить 15 тонн, а блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой  — 90 − 15 · 1,2  =  72 тонны, что даст 15 · 35 + 72 · 30  =  2685 тыс. руб. при­бы­ли.

Пусть на опла­ту труда ра­бо­чих пер­во­го за­во­да вы­де­ле­но x руб., а вто­ро­го  — остав­ши­е­ся (900 000 − x) руб. Тогда на пер­вом за­во­де можно опла­тить часов ра­бо­ты, а на вто­ром  — часов ра­бо­ты. Ко­ли­че­ство про­из­ведённого за не­де­лю то­ва­ра равно квад­рат­ным кор­ням из этих ве­ли­чин, по­это­му для от­ве­та на во­прос за­да­чи тре­бу­ет­ся найти наи­боль­шее целое зна­че­ние функ­ции

на от­рез­ке Найдём ее про­из­вод­ную:

Решая урав­не­ние по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку про­из­вод­ная не­пре­рыв­ной функ­ции f (x) по­ло­жи­тель­на на ин­тер­ва­ле (0; 400 000), равна нулю в точке 400 000 и от­ри­ца­тель­на на ин­тер­ва­ле (400 000; 900 000), функ­ция f (x) до­сти­га­ет наи­боль­ше­го на от­рез­ке [0; 900 000] зна­че­ния в точке 400 000. Найдём его:

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство то­ва­ра, ко­то­рое могут про­из­ве­сти ра­бо­чие за не­де­лю при за­дан­ном раз­ме­ре опла­ты труда, равно 90 еди­ни­цам.

Ответ: 90.