Решение 1. Вместо суммарного процента будем считать суммарную долю девочек ― очевидно, эти числа отличаются в 100 раз и достигают своего максимума одновременно. Каждая девочка в классе из 22 человек составляет от общего числа учащихся в этом классе, а в классе из 23 человек ― от общего числа учащихся. Значит, если поменять местами девочку из большего класса и мальчика из меньшего, суммарный процент девочек вырастет. Таким образом, максимум достигается, когда все подобные перестановки сделаны, то есть, когда меньший класс полностью состоит из девочек, а в большем классе ― 3 девочки и 20 мальчиков.

Решение 2. Пусть в меньший класс распределено х девочек (где ), тогда в больший класс попало девочек. Значит, суммарная доля девочек в двух классах равна и представляет собой линейную функцию с положительным угловым коэффициентом. Значит, эта функция достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [2; 22], то есть при Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из девочек, а в большем классе должно быть 3 девочки и 20 мальчиков.

Ответ: В одном классе ― 22 девочки, в другом ― 3 девочки и 20 мальчиков.

Пусть на первый объект будет направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит Тогда на второй объект будет направлено рабочих — суточная заработная плата составит В день начальник будет должен платить рабочим у. е.

Рассмотрим функцию при Это квадратичная функция, старший коэффициент положителен, следовательно, она имеет наименьшее значение при x₀ = 4,8. Заметим, что точка минимума не является натуральным числом, поэтому исследуемая функция достигает наименьшего значения в точке 4 или в точке 5. Найдем и сравним эти значения:

Тем самым, на множестве натуральных значений аргумента наименьшее значение функции достигается в точке 5. Поэтому необходимо направить 5 рабочих на первый объект, 19 рабочих — на второй объект. Зарплата рабочих составит 461 у. е.

Ответ: 5 рабочих на 1-й объект, 19 рабочих на 2-й объект; 461 у.е.

Обозначим буквой t время, прошедшее с начального момента времени. Поскольку каждый велосипедист движется по взаимно перпендикулярным дорогам, то расстояние между ними может быть вычислено по теореме Пифагора. Рассмотрим f (t) — квадрат длины в каждый момент времени, тогда:

Итак, У данной квадратичной функции есть наименьшее значение, которое достигается при мин.

Таким образом минимальное расстояние между велосипедистами равно км, и будет достигнуто через мин.

Ответ: мин, км.

Скорость сближения Алексея и Жучки (разность скоростей) Δv = 9 км/ч. Первоначальная разность расстояний между хозяином и собакой составляет ΔS = 6 км. Найдем разностное отношение часа. Это и есть время, которое потребовалось Жучке, чтобы догнать Алексея.

С того времени, как Жучка бежала за хозяином, Алексей прошел расстояние, равное км. В соответствии с условием задачи Алексей прошел еще 6 км пока Жучка была дома. Значит, в направлении от дома Алексей, будучи на прогулке, прошел км. Такой же путь Алексей прошел после того, как Жучка догнала его, но в обратном направлении. На преодоление этого пути (со скоростью 4 км/ч) потребовалось часа. Итак, вся прогулка Алексея продлилась

Эта сумма будет наименьшей, когда сумма двух взаимно обратных положительных выражений и примет наименьшее значение. И эта наименьшая сумма заведомо известна, она равна 2 (классическое неравенство  — наименьшее значение достигается при a = 1). Следовательно, в нашем случае должно выполняться равенство то есть v = 6 км/ч. Время всей прогулки Алексея составляет часа.

Ответ: 6 км/ч, часа.

Примем объем бассейна за 1. Пусть вначале первая и вторая трубы, работая вместе t₁ ч, налили бассейна, далее все три трубы, работая вместе t₂ ч, налили бассейна. Тогда время наполнения бассейна

Найдем, при каком V полученное выражение наименьшего значения. Графиком функции является парабола, пересекающая ось абсцисс в точках 20 и ветви которой направлены вниз. Абсцисса вершины этой параболы равна Эта величина лежит в интервале (0; 10), а значит, наибольшее значение квадратного трехчлена на данном интервале и достигается при Осталось заметить, что наибольшее значение знаменателя положительно, поэтому оно соответствует наименьшему значению

Ответ:

Примечание.

В общем случае можно исследовать функцию при помощи производной. Необходимо найти наименьшее значение этой функции на интервале (0; 10). Найдем производную:

Решим уравнение используя равносильность

Нетрудно показать, что это точка минимума, в которой функция достигает наименьшего значения на исследуемом промежутке.

Приведем другое решение.

Пусть объем бассейна равен A м³. Первая и вторая трубы, работая вместе t₁ ч, налили м³ бассейна, далее все три трубы, работая вместе t₂ ч, налили м³ бассейна. В результате бассейн был налит полностью.

Известно, что для любых двух положительных чисел t₁ и t₂ верно неравенство (неравенство Коши).

Рассмотрим произведение

Ясно, что знаменатель полученной дроби имеет наибольшее значение в точке А это значит: имеет наименьшее значение в точке (значение V принадлежит заданному промежутку). Следовательно, выражение также будет иметь аналогичное значение в той же точке При этом:

Итак, при получим А это значит, что в точке выражение t₁ + t₂ также примет наименьшее значение.

Пусть x кг — масса яблок 1-го сорта, y кг — масса яблок 2-го сорта, оставшиеся 91 − (x + у) кг — масса яблок 3-го сорта. Для величины выручки имеем:

откуда (*).

Поскольку масса яблок 1-го сорта меньше массы яблок 2-го сорта на столько же процентов, на сколько процентов масса яблок 2-го сорта меньше массы яблок 3-го сорта имеем:

Подставим условие (*) в полученную пропорцию и решим ее:

Тем самым, садовод продал 7 кг яблок первого сорта и, следовательно, 35 − 14 = 21 кг яблок второго сорта.

Ответ: 21.

Приведём другое решение.

Пусть x кг — масса яблок первого сорта, проданных садоводом, а масса яблок второго сорта составляет tx кг. Тогда масса проданных яблок третьего сорта составит tx · t = t²x кг. По условию задачи:

Поделив почленно равенство (2) на равенство (1), получим:

Значение не подходит по смыслу задачи. Значение x найдем из уравнения

Ответ: 21 кг.

Пусть x — количество перевозимых контейнеров типа А, y — количество контейнеров типа В, Тогда вес контейнеров типа А составит т, типа В — 5у т. В соответствии с условием задачи Кроме того, должно выполняться условие:

Пусть S — суммарная стоимость всех контейнеров. Тогда S = 5x + 7y. Нам предстоит исследовать функцию S(x, y) на наибольшее значение при заданных условиях.

Имеем: значит,

Найдем, при каком значении у выполняется равенство

Поскольку x, y, а также стоимости контейнеров — числа натуральные, то Значит,

Если то Натуральных решений нет.

Если то Натуральных решений нет.

Если то Натуральных решений нет.

Если то Натуральное решение:

Вычислим значение x при

Итак, искомое значение 220 млн. руб.

Ответ: 220 млн. руб.

Приведём арифметическое решение.

Заметим, что контейнер типа А приносит 2,5 млн руб. за тонну, а контейнер типа В — 1,4 млн руб. за тонну, поэтому контейнеров типа А должно быть как можно больше, а контейнеров типа В как можно меньше. По условию, на каждые 4 контейнера типа А должно приходиться не менее 5 контейнеров типа B. Пусть контейнеров типа А будет 4x, а контейнеров типа B — 5x, их общий вес составит 8x + 25x = 33x тонн. Грузоподъёмность баржи 134 тонны, поэтому наибольшее возможное целое значение x = 4.

Если x = 4, то на баржу можно загрузить 16 контейнеров типа А и 20 контейнеров типа B, их стоимость составит 80 + 140 = 220 млн руб. При этом баржа будет недогружена на 2 тонны. Заменим два контейнера типа А одним контейнером типа В. Стоимость 14 контейнеров типа А и 21 контейнера типа В составляет 70 + 147 = 217 млн руб., при этом баржа недогружена на 1 тонну. Можно было бы загрузить баржу полностью, заменив ещё два контейнера типа А одним контейнером типа В, но при этом общая стоимость контейнеров снова бы снизилась на 3 млн руб. Из этого следует, что оптимально не загружать баржу полностью, а загрузить на неё 16 контейнеров типа А и 20 контейнеров типа В общей стоимостью 220 млн руб.

Примечание.

Проверять изменение стоимости при дозагрузке не полностью нагруженной баржи — обязательная часть решения. Например, если бы контейнер типа В стоил 11 млн руб., а другие данные задачи не поменялись бы, то стоимость 16 контейнеров типа А и 20 контейнеров типа B составила бы 80 + 220 = 300 млн руб. (недогружено 2 тонны), стоимость 14 контейнеров типа А и 21 контейнера типа В составила бы 70 + 231 = 301 млн руб. (недогружена 1 тонна), а стоимость 12 контейнеров типа А и 22 контейнеров типа В составила бы 302 млн руб. — баржа загружена полностью, прибыль максимальна, дальнейшая замена контейнеров типа А на контейнеры типа В приводит к уменьшению прибыли.

См. так же решение задания 513295.

Пусть рабочие первого завода за неделю производят x приборов, второго завода — y приборов. И при этом будет выполнено условие. x + y = 20. Тогда доля человеко-часов, затраченных на первом заводе составит 4x³, а на втором — y³. Таким образом, Леониду придется запланировать на оплату труда рабочих обоих заводов тысяч рублей за неделю. Так как y = 20 − x, то , Найдем наименьшее значение функции на

Положительное значение искомого корня Заметим, что на это единственная точка экстремума. Если она окажется точкой минимума функции, то функция именно в этой точке и достигает наименьшего значения.

Итак, критическая точка функции точка является точкой минимума функции S(x). Поскольку количество изготовленных приборов будет выражаться числом натуральным, то наименьшая сумма, необходимая для выплаты рабочим, будет достигнута либо при x = 6, либо при x = 7.

Итак, искомая сумма 3 569 000 рублей.

Ответ: 3 569 000 рублей.

Предположим, что Саша и Паша первоначально положили в банк S руб.

Динамика прироста вклада Саши. К концу 4 года хранения денежных средств на счету Саши оказалось 1,1⁴S = 1,4641S руб.

Динамика прироста вклада Паши.

К концу второго года на счету Паши оказалось 1,15²S = 1,3225S руб. А к концу же четвертого года — руб.

Разность образованных сумм обоих вкладов составила руб., что меньше числа 0,1S.

Решим неравенство:

Поскольку условием задачи требуется найти наибольшее возможное целое значение процентной ставки, таким значением будет число 8.

Ответ: 8%.

Продавать свеклу более выгодно, поэтому второе поле, где ее урожайность выше, следует засадить только свеклой. Она принесет доход 10 га · 400 ц/га · 11 000 руб./ц = 44 млн руб.

На первом поле урожайность свеклы составляет 300/400 = 0,75 урожайности картофеля, а стоимость свеклы составляет 11 000/10 000 = 1,1 стоимости картофеля. Произведение этих показателей меньше 1, поэтому выращивать картофель выгоднее: потери от меньшей стоимости компенсируются более высокой урожайностью. Следовательно, все поле следует засеять картофелем, он принесет доход 10 га · 400 ц/га · 10 000 руб./ц = 40 млн руб.

Тем самым, наибольший возможный доход фермера равен 84 млн руб.

Ответ: 84 млн руб.

Примечание.

Поясним фразу «Урожайность свеклы составляет 0,75 урожайности картофеля, а стоимость составляет 1,1 стоимости картофеля. Произведение этих показателей меньше 1, поэтому выращивать картофель выгоднее».

Пусть на поле выросло х кг картофеля, который можно продать по у руб. за кг. Тогда доход составит ху руб. Если на этом поле вырастить 0,75х кг свеклы и продать ее по цене 1,1y руб. за кг, то доход составит 0,825хy руб., то есть окажется на 17,5% меньше дохода от продажи картофеля.

Поскольку алюминий и никель взаимозаменяемы, а рабочие первой области одинаково эффективно добывают и алюминий, и никель, они могут добывать любой из металлов. За сутки ими будет добыто 160 · 5 · 0,1 = 80 кг металла.

Пусть во второй области алюминий добывают t рабочих, а никель — 160 − t рабочих. Тогда за сутки они добудут кг алюминия и кг никеля. Найдем наибольшее значение функции для натуральных t, не больших 160. Имеем:

Найдем нули производной:

При t меньших 80 производная положительна, а при t больших 80 производная отрицательна, поэтому в точке 80 функция достигает максимума , равного наибольшему значению функции на исследуемом промежутке.

Тем самым, 80 рабочих второй области следует направить на добычу алюминия и 80 — на добычу никеля. Они добудут 40 кг металла. Совместно рабочие первой и второй области добудут 120 кг металла.

Ответ: 120 кг.

Начнём решение с анализа фразы: «на втором заводе для изготовления t деталей (и А, и В) требуется человеко-смен». Из этого условия следует, что работающие на заводе 100 человек за смену смогут произвести максимум 10 деталей.

Пусть на первом комбинате х рабочих заняты на производстве детали А, а остальные 100 − х рабочих производят детали типа В, и пусть на втором комбинате из 10 деталей производится y деталей типа А и 10 − y деталей типа В. Внесем данные из условия в таблицу.

	Деталь A		Деталь B
	Количество человек	Количество деталей	Количество человек	Количество деталей
Первый комбинат
Второй комбинат
Всего

Для производства изделий деталей типа B должно быть в три раза больше деталей типа A:

Пусть s шт. — количество изделий, оно равно количеству деталей типа А: Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):

Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение при неотрицательных целых значениях y, не больших 10.

Функция − убывающая. Наибольшее значение на отрезке она принимает при , при этом , а

Таким образом, максимальное количество изделий за смену будет собрано, если на втором заводе будут изготавливать только детали типа В (100 рабочих изготовят 10 деталей типа В), а на первом заводе 11 человек изготовят 33 детали типа А, а остальные 89 рабочих изготовят 89 деталей типа В. Итого получим 33 детали типа А и 99 деталей типа В, на производстве которых были заняты все 200 человек.

Значит, комбинат сможет собрать за смену 33 изделия.

Ответ: 33 изделия.

Замечание.

Вначале мы прочли условие иначе и полагали, что на втором заводе для изготовления t деталей каждого типа (и А, и В независимо друг от друга) требуется t² человеко-смен. Приведём решение и примечания к нему для такого понимания условия. К этому же пониманию условия относятся комментарии читателей.

Пусть на первом комбинате х рабочих, а на втором комбинате y рабочих заняты на производстве детали А. Внесем данные из условия в таблицу.

	Деталь A		Деталь B
	Количество человек	Количество деталей	Количество человек	Количество деталей
Первый комбинат
Второй комбинат
Всего

Для производства изделий деталей типа B должно быть в три раза больше деталей типа A:

Пусть s шт — количество изделий, оно равно количеству деталей типа А: Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):

Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение при натуральных значениях y не больших 100. Имеем:

Найдем нули производной:

В найденной точке производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в ней функция достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции на исследуемой области, равным при этом Количество деталей должно быть натуральным числом, поэтому рабочие могут произвести, самое большее, 33 детали типа А.

Из (*) находим чел. Это означает, что 10 рабочиx первого комбината и 10 рабочих второго комбината должны быть заняты на производстве детали А, за сутки они произведут их 33 шт, оставшиеся 90 рабочих первого комбината и 90 рабочих второго комбината должны быть заняты на производстве деталей В, за сутки они произведут их 99 шт.

Ответ: 33 изделия.

Примечание 1.

Внимательный читатель мог бы задать вопрос о том, почему в равенстве (*) предполагается, что деталей производится ровно в отношении 1:3. Ведь можно произвести, например, 11 деталей типа B и 34 детали типа А, из них получится собрать 33 изделия, а одна деталь типа А останется лишней. Ответим на этот вопрос.

Если есть лишние детали, то уменьшим их число до соотношения 1:3 и отправим на обед людей, производивших лишние детали. Тогда получим решение задачи для меньшего числа людей, но с тем же выходом продукта и соотношением деталей 1:3. Теперь вернём людей с обеда. Меньшего количества изделий мы не получим, поскольку зависимость между числом деталей и количеством людей неубывающая. Большего количества изделий тоже не достичь, поскольку из лишних деталей целого изделия собрать не получится. Поэтому наибольшее количество изделий совпадет с найденным.

Примечание 2.

Заметим, что если рабочие второго комбината будут производить только детали типа В, то они произведут их 10 шт. Пусть при этом 89 рабочих первого комбината произведут 89 деталей типа В, а оставшиеся 11 рабочих первого комбината произведут 33 детали типа А. Тогда всего будет произведено 33 детали типа А и 99 деталей типа В. Из них также можно собрать 33 изделия. Таких вариантов довольно много (см. таблицу в конце).

Примечание 3.

Можно было бы спросить, почему не образовать из рабочих второго завода 100 независимых групп, каждая из которых состоит из одного рабочего.

Приведём решение Евгения Обухова.

Пусть первый завод выпускает x деталей В, а второй завод выпускает y деталей В. Тогда на первом заводе деталь В выпускает x рабочих, а деталь А выпускает рабочих. Поэтому первый завод выпускает деталей А.

На втором заводе деталь В выпускает рабочих, деталь А выпускает рабочих. Поэтому второй завод выпускает деталей A. Здесь — целая часть числа.

Пусть комбинат выпускает k изделий. Имеем следующие необходимые и достаточные условия:

Рассмотрим Тогда получим:

Домножим второе неравенство на 3 и сложим с первым, получим: Заметим, что (при ) удовлетворяют исходному неравенству. То есть комбинат может изготовить 33 изделия.

Проверим, может ли он изготовить больше. Пусть , тогда:

Поскольку теперь мы можем считать , из второго неравенства находим Тогда оценим: Получили противоречие с первым неравенством.

Следовательно, максимальное число изделий, которое может произвести комбинат, равно 33.

Приведём таблицу других вариантов, также дающих 33 изделия

Решение 1. Вместо суммарного процента будем считать суммарную долю мальчиков ― очевидно, эти числа отличаются в 100 раз и достигают своего максимума одновременно. Каждый мальчик в классе из 22 человек составляет от общего числа учащихся в этом классе, а в классе из 21 человек ― от общего числа учащихся. Значит, если поменять местами девочку из меньшего класса и мальчика из большего, суммарный процент мальчиков вырастет. Таким образом, максимум достигается, когда все подобные перестановки сделаны, то есть, когда меньший класс полностью состоит из мальчиков, а в большем классе ― 20 девочек и 2 мальчика.

Решение 2. Пусть в меньший класс распределено х мальчиков (где ), тогда в больший класс попало () мальчиков. Значит, суммарная доля мальчиков в двух классах равна и представляет собой линейную функцию с положительным угловым коэффициентом. Значит, эта функция достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [1; 21], то есть при Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из мальчиков, а в большем классе должно быть 20 девочки и 2 мальчика.

Ответ: В одном классе ― 21 мальчик, в другом ― 20 девочек и 2 мальчика.

Пусть x — доля мощностей завода, занятых под производство блинчиков с ягодной начинкой, а y — доля мощностей, занятых под производство блинчиков с творожной начинкой. Тогда x + y = 1, при этом блинчиков с ягодной начинкой производится 90x тонн, а с творожной начинкой — 75y тонн. Кроме того, из условия ассортиментности следует, что откуда а откуда Прибыль завода с одной тонны продукции с ягодной начинкой равна 100 − 70 = 30 тыс. руб., прибыль с одной тонны продукции с творожной начинкой равна 135 − 100 = 35 тыс. руб., общая прибыль с произведённой за месяц продукции равна Таким образом, нам необходимо найти наибольшее значение выражения 75 · (36x + 35y) при выполнении следующих условий:

Подставляя у = 1 − x в выражение 36x + 35y, получаем: 36x + 35(1 − x) = x + 35. Наибольшее значение этого выражения при условии достигается при тогда

Поэтому максимально возможная прибыль завода за месяц равна:

при этом фабрика производит 72 тонны блинчиков с ягодной начинкой и 15 тонн блинчиков с творожной начинкой.

Ответ: 2685 тыс. руб.

Приведём решение Дмитрия Гущина.

Тонна блинчиков с творожной начинкой приносит 35 тыс. руб., а тонна блинчиков с ягодной — 30 тыс. руб. При этом 1 тонне блинчиков с творожной начинкой соответствует 1,2 тонны блинчиков с ягодной начинкой. Заметим, что 1 т · 35 тыс. руб. < 1,2 т · 30 тыс. руб. = 36 т · 1 тыс. руб., поэтому более выгодно производить блинчики с ягодной начинкой. Значит, блинчиков с творожной начинкой необходимо производить 15 тонн, а блинчиков с ягодной начинкой — 90 − 15 · 1,2 = 72 тонны, что даст 15 · 35 + 72 · 30 = 2685 тыс. руб. прибыли.

Пусть — доля мощностей завода, занятых под производство компотов в стеклянной таре, а — доля мощностей, занятых под производство компотов в жестяной банке. Тогда при этом компотов в стеклянной таре производится центнеров, а в жестяной таре — центнеров. Прибыль завода с 1 центнера продукции в стеклянной таре равна руб., прибыль с 1 центнера в жестяной таре равна руб., а общая прибыль с произведённой за день продукции равна

Кроме того, из условия ассортиментности следует, что и то есть и

Таким образом, в переводе на математический язык, нам необходимо найти наибольшее значение выражения при выполнении следующих условий:

Подставляя в выражение получаем: очевидно, что это выражение принимает наибольшее значение при и, следовательно, Поэтому максимально возможная прибыль завода за день равна

Ответ: 53 500 руб.

Пусть на сервере №1 обрабатывается а на сервере №2 обрабатывается Гбайт из всей первичной информации. Тогда а обработано будет Гбайт информации. Требуется найти максимум суммы при условии

Так как то для некоторого угла Так как то

для некоторого вспомогательного угла с Следовательно, наибольшее значение суммы Оно достигается при то есть для значений, удовлетворяющих условиям

Приведём другое решение.

Пусть на сервере №1 обрабатывается а на сервере №2 обрабатывается Гбайт из всей первичной информации. Тогда а обработано будет Гбайт информации. Выразим через Требуется найти наибольшее значение функции

Приведём третий вариант решения.

Пусть на сервере №1 обрабатывается а на сервере №2 обрабатывается Гбайт из всей первичной информации. Тогда а обработано будет Гбайт информации.

Так как то уравнение задает окружность радиуса с центром в начале координат. Заметим, что уравнение задает семейство параллельных прямых. Мы ищем наибольшее значение такое, что прямая имеет общие точки с окружностью. Из всех прямых семейства пересекающих окружность, наибольшее значение будет достигаться в случае касания.

Проведем из начала координат в первый координатный квадрант вектор перпендикулярный прямым Луч, коллинеарный вектору пересечёт окружность в точке Это и будет точка касания в которой достигается наибольшее значение Условия для точки выполнены. Значит,

Ответ: 1682.

Пусть на оплату труда рабочих первого завода выделено x руб., а второго — оставшиеся (900 000 − x) руб. Тогда на первом заводе можно оплатить часов работы, а на втором — часов работы. Количество произведённого за неделю товара равно квадратным корням из этих величин, поэтому для ответа на вопрос задачи требуется найти наибольшее целое значение функции

на отрезке Найдём ее производную:

Решая уравнение получаем:

Поскольку производная непрерывной функции f (x) положительна на интервале (0; 400 000), равна нулю в точке 400 000 и отрицательна на интервале (400 000; 900 000), функция f (x) достигает наибольшего на отрезке [0; 900 000] значения в точке 400 000. Найдём его:

Тем самым, наибольшее возможное количество товара, которое могут произвести рабочие за неделю при заданном размере оплаты труда, равно 90 единицам.

Ответ: 90.

Пусть на первом заводе работают суммарно , а на втором — часов в неделю. Требуется найти максимум суммы при условии

Выразим из первого соотношения: подставим в (*), получим уравнение:

Полученное уравнение имеет решения, если неотрицателен его дискриминант, а значит, и четверть дискриминанта:

Тем самым, наибольшее возможное значение равно 500. Покажем, что оно достигается при натуральных значениях переменных: действительно, из (**) находим, что значению соответствует а тогда

Ответ: 500 единиц товара.

Прибыль (в млн рублей) за один год выражается величиной

Это выражение является квадратным трёхчленом и достигает своего наибольшего значения при x = p − 1. Прибыль составит не менее 75 млн рублей, если

то есть при p ≥ 9, поскольку цена продукции не может быть отрицательной. Таким образом, наименьшее значение p = 9, искомая наименьшая цена 9 тыс. руб.

Ответ: p = 9.

Прибыль (в млн рублей) за один год выражается как

Это выражение является квадратным трёхчленом и достигает своего наибольшего значения при x = p − 2. Наибольшее значение равно Через 4 года прибыль составит не менее 52 млн рублей при

то есть при p ≥ 8, поскольку цена продукции не может быть отрицательной. Таким образом, наименьшее значение p = 8.

Ответ: p = 8 тыс. рублей.

Чтобы прибыль за три года была не меньше 78 млн руб. необходимо, чтобы ежегодная прибыль была не меньше 26 млн руб., то есть, чтобы выполнялось неравенство

откуда, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, получаем:

Удостоверимся, что это значение параметра достигается, то есть существует количество продукции x, при котором достигается эта цена.

Тем самым, при p = 10 (цене 10 тыс. руб) и x = 8 (производстве 8 тыс. единиц продукции), завод окупится за три года.

Ответ: p = 10

Примечание.

Напомним, что среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Иными словами, если , то или причем неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда числа равны. Последним неравенством мы и воспользовались в решении:

Продавать свеклу более выгодно, поэтому второе поле, где ее урожайность выше, следует засадить только свеклой. Она принесет доход 10 га · 500 ц/га · 8000 руб/ц = 40 млн руб.

На первом поле урожайность свеклы составляет 300/500 = 0,6 урожайности картофеля, а стоимость свеклы 8000/5000 = 1,6 стоимости картофеля. Произведение этих показателей меньше 1, поэтому выращивать свеклу невыгодно: потери от меньшей урожайности не компенсируются более высокой выручкой. Следовательно, все поле следует засеять картофелем, он принесет доход 10 га · 500 ц/га · 5000 руб/ц = 25 млн руб.

Тем самым, наибольший возможный доход фермера равен 65 млн руб.

Ответ: 65 млн руб.

Пусть в отеле будет х номеров площадью 27 кв. м и у номеров площадью 45 кв. м. Тогда или Прибыль, которую будут приносить эти номера, равна или Прибыль будет наибольшей при наибольшем значении суммы Пусть тогда откуда, подставляя в последнее неравенство, получаем:

В случае равенства наибольшему значению суммы s соответствовало бы наибольшее значение величины у. В случае неравенства необходимо найти наибольшее возможное значение y и проверить меньшие значения, уменьшающие количество пустого пространства.

Наибольшее возможное значение у равно 21. Поскольку для получения наибольшей прибыли в гостинице необходимо открыть 21 номер люкс и 1 стандартный номер, которые будут приносить предпринимателю доход руб. в сутки. При этом останется 9 кв. м. незанятого пространства. Уменьшим на 1 количество люксов. Если в гостинице 20 люксов и 3 стандартных номера, незанятого пространства не остается: В этом случае доход тот же руб. Дальнейшее уменьшение количества люксов в пользу стандартных номеров приведет к уменьшению прибыли. Тем самым, в отеле должно быть как можно больше номеров площадью 45 кв. м.

Ответ: 86 000 руб.

Пусть в отеле будет х номеров площадью 30 кв. м и у номеров площадью 40 кв. м. Тогда или (*). Прибыль, которую будут приносить эти номера, равна или Прибыль будет наибольшей при наибольшем значении суммы Пусть тогда откуда, подставляя в (*), получаем:

В случае точного равенства наибольшему значению суммы s соответствовало бы наименьшее значение величины у. В случае строгого неравенства необходимо найти наименьшее возможное значение y и проверить большие значения, уменьшающие количество пустого пространства.

Наименьшее возможное значение у равно 0. Поскольку в гостинице можно открыть 31 стандартный номер и не открывать номера люкс. В этом случае номера будут приносить предпринимателю доход руб. в сутки, и при этом останется 10 кв. м. незанятого пространства. Уменьшим на 1 количество стандартных номеров. Если в гостинице 30 стандартных номеров и 1 люкс, незанятого пространства не остается: В этом случае доход будет равен руб. Дальнейшее уменьшение количества стандартных номеров в пользу люксов приведет к уменьшению прибыли.

Ответ: 125 000 руб.

Пусть в первой шахте х рабочих, а во второй шахте y рабочих заняты на добыче алюминия. Составим таблицу по данным задачи.

	Алюминий		Никель
	Количество рабочих, чел	Количество металла за смену, кг	Количество рабочих, чел	Количество металла за смену, кг
Шахта 1	x	5x
Шахта 2	y	10y
Всего

Поскольку алюминия необходимо добывать вдвое больше никеля, имеем:

Пусть s — масса сплава, она втрое больше массы добытого никеля: Найдем наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):

Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение y. Из (*) ясно, что наибольшее возможное y равно 70, при этом х = 0, Это означает, что 70 рабочих второй шахты должны быть заняты на добыче алюминия, а оставшиеся 30 рабочих второй шахты и все 20 рабочих первой шахты и должны быть заняты на добыче никеля. При этом они добудут 700 кг алюминия и 350 кг никеля, а масса сплава будет равна 1050 кг.

Ответ: 1050 кг.

Пусть в первой шахте х рабочих заняты на добыче алюминия, а 60 − х рабочих заняты на добыче никеля. Работая 5 часов в сутки, один рабочий добывает 10 кг алюминия или 15 кг никеля, поэтому за сутки рабочие добудут 10х кг алюминия и 15(60 − х) кг никеля.

Пусть во второй шахте у рабочих заняты на добыче алюминия, а 260 − у рабочих заняты на добыче никеля. Работая 5 часов в сутки, один рабочий добывает 15 кг алюминия или 10 кг никеля, поэтому за сутки рабочие добудут 15у кг алюминия и 10(260 − у) кг никеля.

Всего будет произведено кг алюминия (1) и кг никеля (2). Поскольку алюминия необходимо добывать вдвое больше никеля, имеем:

Пусть s — масса сплава, она втрое больше массы добытого никеля: Найдем наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):

Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение y. Из (*) ясно, что наибольшее возможное y равно 200, при этом х = 0, Это означает, что все 60 рабочих первой шахты и 60 рабочих второй шахты должны быть заняты на добыче никеля, а оставшиеся 200 рабочих второй шахты должны быть заняты на добыче алюминия. При этом они добудут 3000 кг алюминия и 1500 кг никеля, а масса сплава будет равна 4500 кг.

Ответ: 4500 кг.

Для производства сплава заводу необходимо получить равное количество алюминия и никеля, поэтому рабочие из первой области должны разделиться на две бригады по 10 человек. Работая по 10 часов в сутки, бригады добудут 0,2 · 10 · 10 = 20 кг алюминия и 20 кг никеля в сутки. Из них на заводе изготовят 40 кг сплава.

Во второй области количество добытого алюминия или никеля пропорциональны квадрату затраченных человеко-часов, поэтому за 10 часов в сутки 10 рабочих добудут кг любого из металлов. Поскольку заводу необходимо получить равное количество металлов, необходимо разделить рабочих поровну, тогда они произведут 10 кг алюминия и 10 кг никеля. Из них на заводе изготовят 20 кг сплава.

Тем самым, завод сможет производить 60 кг сплава ежедневно.

Ответ: 60 кг.

Пусть в первой области х рабочих заняты на добыче алюминия, а 20 − х рабочих заняты на добыче никеля. Работая 10 часов в сутки, один рабочий добывает 1 кг алюминия или 1 кг никеля, поэтому за сутки рабочие добудут х кг алюминия и (20 − х) кг никеля.

Пусть во второй области у рабочих заняты на добыче алюминия, а 20 − у рабочих заняты на добыче никеля. Работая 10 часов в сутки, n рабочих добывают кг любого из металлов, поэтому вместе бригады добудут кг алюминия и кг никеля.

Всего будет произведено кг алюминия (1) и кг никеля (2). Поскольку алюминия необходимо добывать втрое больше никеля, имеем:

Количеству никеля соответствует количество сплава Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):

Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение функции при натуральных y не больших 20.

Имеем:

Найдем нули производной:

В найденной точке производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в ней функция достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции на исследуемой области.

Далее имеем: из (*) Это означает, что все рабочие первой области должны быть заняты на производстве алюминия, за сутки они произведут его 20 кг, а рабочие второй области бригадами по 10 и 10 человек должны быть заняты на добыче алюминия и никеля, они добудут их по 10 кг. Всего будет добыто 30 кг алюминия и 10 кг никеля, из них будет произведено 40 кг сплава.

Ответ: 40 кг.

Пусть в первой области х рабочих заняты на добыче алюминия, а 100 − х рабочих заняты на добыче никеля, и пусть во второй области y рабочих заняты на добыче алюминия, а 100 − y рабочих заняты на добыче никеля. Внесем данные из условия в таблицу.

	Алюминий		Никель
	Количество человек	Масса за смену	Количество человек	Масса за смену
Первая область
Вторая область
Всего

Для производства сплава масса добытого алюминия должна быть равна массе добытого никеля:

Пусть s кг — масса сплава, она равна сумме масс алюминия и никеля: Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):

Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение при натуральных y не больших 100. Имеем:

Найдем нули производной:

В найденной точке производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в ней функция достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции на исследуемой области.

Далее имеем: кг, из (*) находим чел. Это означает, что 30 рабочиx первой области и 10 из второй должны быть заняты на производстве алюминия, за сутки они добудут 90 + 10 = 100 кг алюминия, оставшиеся 70 рабочих первой области и 90 рабочих второй области должны быть заняты на добыче никеля, за сутки они добудут 70 + 30 = 100 кг никеля. Из добытых металлов будет произведено 200 кг сплава.

Ответ: 200 кг.

Поскольку алюминий и никель взаимозаменяемы, и необходимо произвести наибольшее количество металла, все рабочие первой области должны быть направлены на добычу никеля, который они добывают втрое более эффективно, чем алюминий. За сутки ими будет добыто 160 · 5 · 0,3 = 240 кг никеля.

Пусть во второй области алюминий добывают х рабочих, а никель — 160 − х рабочих. Тогда за сутки они добудут кг алюминия и кг никеля. Найдем наибольшее значение функции

для натуральных х, не больших 160. Имеем:

Найдем нули производной:

При x меньших 80 производная положительна, а при x больших 80 производная отрицательна, поэтому в точке 80 функция достигает максимума равного наибольшему значению функции на исследуемом промежутке.

Тем самым, 80 рабочих второй области следует направить на добычу алюминия и 80 — на добычу никеля. Они добудут 40 кг металла. Совместно рабочие первой и второй области добудут 280 кг металла.

Ответ: 280 кг.

Примечание.

Можно было обойтись без производной. Напомним, что наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке и равно Доказательство можно получить, например, возведением в квадрат.

В нашем случае поэтому искомое наибольшее значение достигается в точке, где то есть при

Приведём геометрическое решение.

Пусть во второй области на добычу алюминия будет отведено человеко-часов, а на добычу никеля — человеко-часов. Всего рабочих 160, работая по 5 часов, они вырабатывают 800 человеко-часов в сутки, поэтому Для таких значений переменных требуется определить наибольшее значение количества добытого металла Тем самым, необходимо определить наибольшее значение параметра при котором прямая, задаваемая уравнением будет иметь с окружностью общие точки, лежащие в первой координатной четверти.

Из рисунка видно, что точка касания является серединой гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника. Координаты точки касания должны удовлетворять уравнению окружности. Тогда откуда при

Пусть Вася купил квартиру в кредит. Тогда он должен погасить кредит за 20 лет, то есть за 240 одинаковых ежемесячных платежей. Сумма, которую он должен выплатить банку, по условию на 180% превышает исходные 3 млн. руб., то есть равна 3000 · 2,8 = 8400 тыс. руб. Разделив эту сумму на 240, получаем ежемесячный платеж, равный 35 тыс. руб.

Далее, если вместо этого Вася снимал квартиру, то после оплаты аренды у него будет оставаться ежемесячно 20 тыс. руб. Тогда 3 млн. руб. Вася накопит за 3000 : 20 = 150 месяцев или за 12,5 лет.

Ответ: 12,5 лет.

Пусть Вася купил квартиру в кредит. Тогда он должен погасить кредит за 20 лет, то есть за 240 одинаковых ежемесячных платежей. Сумма, которую он должен выплатить банку, по условию на 260% превышает исходные 2 млн. руб., то есть, равна 2000 · 3, 6 = 7200 тыс. руб. Разделив эту сумму на 240, получаем ежемесячный платеж, равный 30 тыс. руб.

Далее, если вместо этого Вася снимал квартиру, то после оплаты аренды у него будет оставаться ежемесячно 16 тыс. руб. Поскольку 2000 : 16 = 125 месяцев то есть за 10 лет и 5 месяцев.

Ответ: 125 месяцев.

Составим таблицу согласно условиям задачи:

	алюминий		никель
область	кол-во человек	масса	кол-во человек	масса
I	x
II	y
всего

Из таблицы видно, что всех рабочих первой области надо отправить на добычу алюминия — его производится больше, а алюминий с никелем взаимозаменяемы.

Масса металлов равна кг.

Для второй области необходимо найти максимум функции

Для этого найдем производную и приравняем ее к нулю.

Значит, во второй области 45 рабочих добывают никель, а остальные 45 — алюминий.

Масса металлов равна Тогда общая масса равна 135 + 30 = 165 кг.

Ответ: 165 кг.

Поскольку неважно, какой металл добывать, то пусть в первой области добывают только алюминий. Имеем: кг.

Во второй области y рабочих трудится на добыче никеля, тогда (250 − y) — на добыче алюминия. Необходимо найти максимум функции: Для этого необходимо найти производную и приравнять ее к нулю:

Таким образом, f(y) принимает наибольшее значение при Для второй области Тогда всего можно добыть 250 + 50 = 300 кг.

Ответ: 300 кг.

Доход за 1 га картофеля на первом поле: руб.

Доход за 1 га картофеля на втором поле: руб.

Доход за 1 га свеклы на первом поле: руб.

Доход за 1 га свеклы на втором поле: руб.

Таким образом, первое поле выгодно полностью засадить картофелем, а второе — свеклой. Суммарно получаем:

Ответ: 69 млн. рублей.

Пусть акции проданы в конце года t за t² тыс. руб., и полученная сумма положена в банк на оставшиеся 20 − t лет под 25% годовых. Тогда цена акций на конец срока составит тыс. руб. Найдём наибольшее значение полученной функции на множестве натуральных t, не превосходящих 20. Имеем:

Найденная производная обращается в нуль в точке и меняет в ней знак с плюса на минус. Следовательно, это точка максимума. Заметим, что

Из полученной оценки следует, что точка максимума лежит на интервале (8; 10). Сравним значения функции в точках 8, 9 и 10. Поскольку

наибольшее значением функции на множестве натуральных аргументов достигается в точке 9. Продавать акции необходимо в конце девятого года.

Ответ: в конце девятого года.

Примечание.

Без сравнения значений функции в точках 8, 9 и 10 не обойтись. Например, если точка максимума достаточно близка к точке 8, значение в точке 8 может оказаться больше, чем значение в точке 9.

Приведём другое решение.

Перекладывать деньги в банк имеет смысл, когда доход в 25% годовых, то есть ежегодное увеличение суммы в 1,25 раза, будет превосходить ежегодный квадратичный рост цен. Проследим за доходностью:

Коэффициент доходности k за 9-й год больше 1,25, а за 10-й год меньше 1,25. Покажем, что в следующие годы он будет далее уменьшаться. Действительно, в силу тождеств

получаем, что коэффициент k монотонно убывает с увеличением t.

Теперь можно сделать вывод о том, что в конце девятого года целесообразно переложить деньги в банк.

Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце кода k, то в конце двадцать пятого года на его счёте будет тыс. рублей.

Найдем производную полученного выражения:

Заметим, что найденная производная равна нулю в единственной точке положительна при и отрицательна при Следовательно, возрастает на и убывает на Из условия известно, что продавать бумаги необходимо в конце 21 года, следовательно, доход, полученный при продаже бумаг в конце 21 года, больше, чем доход, который мог бы получить фонд при продаже бумаг в конце 20-го года и в конце 22 года. Из выясненного выше характера монотонности функции можно заключить, что выполнение неравенств и гарантирует, что для всех значений k, отличных от 21. А значит, необходимо и достаточно найти решения системы неравенств:

Примечание. В решении нельзя ограничиться только решением неравенств (*). Из того, что доход при продаже бумаг в конце 21 года больше, чем доход при их продаже в конце 20 и 22 годов не следует, что этот доход больше, чем при продаже в любой другой год, а именно это оговорено в условии. Однако можно обойтись без производной.

Например, рассмотрим разность предполагаемых доходов от продажи ценных бумаг в конце года и года :

Первый множитель положителен, второй может менять знак. Положительность произведения означает, что доход, который получит фонд, продав ценные бумаги в конце года k, меньше дохода при их продаже в следующем году. Отрицательность произведения означает, что доход, который получит фонд, продав ценные бумаги в конце года k, больше дохода, который можно получить при продаже бумаг в следующем году.

Пусть Поскольку квадратный трёхчлен имеет единственный корень на положительной полуоси, и потому если для некоторого натурального числа k выполнено неравенство то для любого выполнено неравенство Из этого следует, что если доход при продаже акций в какой-то год оказался менее выгодным, чем доход при их продаже в предыдущий год, то и во все последующие годы продавать акции будет менее выгодно.

Поскольку ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года, должны быть одновременно выполнены неравенства и то есть и Значит, и откуда

Приведём другое рассуждение. Определим, во сколько раз увеличивается стоимость ценных бумаг по сравнению с их стоимостью в предыдущий год, если фонд не продает ценные бумаги, а хранит их:

Полученное отношение монотонно убывает с ростом k, поэтому если фонд хранит ценные бумаги, не продавая их, с течением лет прирост дохода падает, приближаясь к единице. В силу показанного убывания, если момент продажи наступил в конце 21 года, то он не мог наступить ни раньше, ни позже. Поэтому решения двойного неравенства

дадут искомые значения r. Первое из этих неравенств означает, что доход от хранения ценных бумаг в течение 22-го года принесет меньше прибыли, чем в случае их продажи в конце 21-го года, — ждать не имеет смысла, поскольку доходность стала меньше банковской и будет меньше во все следующие годы. Второе неравенство означает, что раньше продавать тоже не имело смысла — доход от хранения ценных бумаг в 21-м году превышает доход, который был бы получен от банка, и так было все предыдущие годы.

Осталось заметить, что

Допустим, что на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся часов, а на заводе, расположенном во втором городе, часов. Тогда в неделю будет произведено единиц товара, а затраты на оплату труда составят Выразим y через x:

Значит, нам нужно найти наибольшее значение функции при Для этого найдем производную функции

Найдем точки экстремума:

то есть — единственная точка экстремума, удовлетворяющая условию Найдем значения функции в найденной точке и на концах отрезка:

Наибольшее значение функции равно 100, значит, наибольшее количество единиц товара равно 100.

Ответ: 100.

Приведем другое решение

Пусть на первом заводе работают суммарно , а на втором — часов в неделю. Требуется найти максимум суммы при условии

Выразим из первого соотношения: подставим в (*), получим уравнение:

Полученное уравнение имеет решения, если неотрицателен его дискриминант, а значит, и четверть дискриминанта:

Тем самым, наибольшее возможное значение равно 100. Покажем, что оно достигается при натуральных значениях переменных: действительно, из (**) находим, что значению соответствует а тогда

Ответ: 100.

Допустим, что на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся x² часов, а на заводе, расположенном во втором городе, y² часов. Тогда в неделю будет произведено единиц товара, а затраты на оплату труда составят рублей. В этом случае нужно найти наименьшее значение при условии Выразим y через x:

при После преобразования получаем

Наименьшее значение квадратного трёхчлена достигается при причём При этом значении получаем

Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце года k, то в конце двадцатого года на его счёте будет тыс. рублей.

Сравним числа и

Уравнение имеет корень . Таким образом, при при Значит,

поэтому наибольший член последовательности (a_k) — это a₅, то есть ценные бумаги надо продавать в конце пятого года.

Ответ: 5.

Прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составляет

Это выражение является квадратным трёхчленом и достигает своего наибольшего значения при Наибольшее значение равно

Строительство завода окупится не более чем за 5 лет, если

то есть при поскольку цена продукции не может быть отрицательной. Таким образом, наименьшее значение

Ответ:

Прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составляет

Это выражение является квадратным трёхчленом и достигает своего наибольшего значения при Наибольшее значение равно

Строительство завода окупится не более чем за 4 года, если

то есть при поскольку цена продукции не может быть отрицательной. Таким образом, наименьшее значение

Ответ:

Поскольку прибыль фирмы составляет

(рублей).

Эта величина является квадратичной функцией от Q, а её максимум достигается при Значит, общая сумма налогов, собранных государством, будет равна рублей. Эта величина является квадратичной функцией от t, а её максимум достигается при

Ответ: 6000.

Поскольку прибыль фирмы составляет

(рублей).

Эта величина является квадратичной функцией от Q, а её максимум достигается при Значит, общая сумма налогов, собранных государством, будет равна рублей. Эта величина является квадратичной функцией от t, а её максимум достигается при

Ответ: 7000.

Прибыль фирмы выражается как то есть квадратично зависит от цены Р. Пусть первоначальная цена равнялась Р₀. После снижения цена стала равняться 0,8Р₀. Наибольшая прибыль достигается при значении Р, для которого достигает максимума. График функции  — парабола с ветвями, направленными вниз, поэтому максимум достигается в вершине параболы. Поскольку вершина параболы находится в точке Значит, нужно увеличить цену с 0,8Р₀ до 0,9Р₀, то есть на 12,5%.

Ответ: 12,5.