Решение 1. Вме­сто сум­мар­но­го про­цен­та будем счи­тать сум­мар­ную долю де­во­чек ― очевидно, эти числа от­ли­ча­ют­ся в 100 раз и до­сти­га­ют сво­е­го мак­си­му­ма одновременно. Каж­дая де­воч­ка в клас­се из 22 че­ло­век со­став­ля­ет от об­ще­го числа уча­щих­ся в этом классе, а в клас­се из 23 че­ло­век ― от об­ще­го числа учащихся. Значит, если по­ме­нять ме­ста­ми де­воч­ку из боль­ше­го клас­са и маль­чи­ка из меньшего, сум­мар­ный про­цент де­во­чек вырастет. Таким образом, мак­си­мум достигается, когда все по­доб­ные пе­ре­ста­нов­ки сделаны, то есть, когда мень­ший класс пол­но­стью со­сто­ит из девочек, а в боль­шем клас­се ― 3 де­воч­ки и 20 мальчиков.

Решение 2. Пусть в мень­ший класс рас­пре­де­ле­но х де­во­чек (где ), тогда в боль­ший класс по­па­ло девочек. Значит, сум­мар­ная доля де­во­чек в двух клас­сах равна и пред­став­ля­ет собой ли­ней­ную функ­цию с по­ло­жи­тель­ным уг­ло­вым коэффициентом. Значит, эта функ­ция до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния на пра­вом конце про­ме­жут­ка [2; 22], то есть при Таким образом, мень­ший класс пол­но­стью дол­жен со­сто­ять из девочек, а в боль­шем клас­се долж­но быть 3 де­воч­ки и 20 мальчиков.

Ответ: В одном клас­се ― 22 девочки, в дру­гом ― 3 де­воч­ки и 20 мальчиков.

Пусть на пер­вый объ­ект будет на­прав­ле­но х рабочих, су­точ­ная зар­пла­та ко­то­рых со­ста­вит . Тогда на вто­рой объ­ект будет на­прав­ле­но 24 − x ра­бо­чих — су­точ­ная за­ра­бот­ная плата составит . В день на­чаль­ник будет дол­жен ­пла­тить рабочим у. е.

Рас­смот­рим функ­цию при Это квадратичная функция, стар­ший ко­эф­фи­ци­ент положителен, следовательно, она имеет наи­мень­шее зна­че­ние при x₀ = 4,8. Заметим, что точка минимума не является натуральным числом, поэтому исследуемая функция достигает наименьшего значения в точке 4 или в точке 5. Найдем и сравним эти значения:

Тем самым, на множестве натуральных значений аргумента наименьшее значение функции достигается в точке 5. Поэтому необходимо направить 5 рабочих на первый объект, 19 рабочих — на второй объект. Зарплата рабочих составит 461 у. е.

Ответ: 5 ра­бо­чих на 1-й объект, 19 ра­бо­чих на 2-й объект; 461 у.е.

Обозначим бук­вой t время, про­шед­шее с на­чаль­но­го момента времени. По­сколь­ку каж­дый ве­ло­си­пе­дист дви­жет­ся по вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ным дорогам, то рас­сто­я­ние между ними может быть вычислено по тео­ре­ме Пифагора. Рассмотрим f (t) — квад­рат длины в каж­дый мо­мент времени, тогда:

Итак, У дан­ной квад­ра­тич­ной функ­ции есть наи­мень­шее значение, ко­то­рое до­сти­га­ет­ся при (ч).

Таким образом минимальное расстояние между велосипедистами равно км, и будет достигнуто через 6,96 мин.

Ответ: 6,96 мин, 0,6 км.

Скорость сбли­же­ния Алексея и Жучки (разность скоростей) Δv = 9 км/ч. Пер­во­на­чаль­ная разность рас­сто­я­ний между хо­зя­и­ном и со­ба­кой составляет ΔS = 6 км. Най­дем разностное от­но­ше­ние (ч) . Это и есть время, ко­то­рое по­тре­бо­ва­лось Жучке, чтобы до­гнать Алексея.

С того времени, как Жучка бе­жа­ла за хозяином, Алек­сей прошел расстояние, рав­ное км. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем задачи Алек­сей прошел еще 6 км пока Жучка была дома. Значит, в на­прав­ле­нии от дома Алексей, бу­дучи на прогулке, про­шел км. Такой же путь Алек­сей прошел после того, как Жучка до­гна­ла его, но в об­рат­ном направлении. На пре­одо­ле­ние этого пути (со ско­ро­стью 4 км/ч) по­тре­бо­ва­лось часов. Итак, вся про­гул­ка Алексея про­дли­лась

Эта сумма будет наименьшей, когда сумма двух вза­им­но обратных по­ло­жи­тель­ных выражений и при­мет наименьшее значение. И эта наи­мень­шая сумма за­ве­до­мо известна, она равна 2 (классическое не­ра­вен­ство  — наименьшее зна­че­ние достигается при a = 1). Следовательно, в нашем слу­чае должно вы­пол­нять­ся равенство то есть v = 6 км/ч. Время всей про­гул­ки Алексея со­став­ля­ет часов.

Ответ: 6 км/ч, часов.

Примем объем бас­сей­на за 1. Пусть вначале пер­вая и вто­рая трубы, ра­бо­тая вместе t₁ ч, на­ли­ли бассейна, далее все три трубы, ра­бо­тая вместе t₂ ч, на­ли­ли бассейна. Тогда время наполнения бассейна

 

Необходимо найти наименьшее значение этой функции на интервале (0; 10). Найдем производную:

 

Решим уравнение используя равносильность

 

Нетрудно показать, что это точка минимума, в которой функция достигает наименьшего значения на исследуемом промежутке.

Ответ:

Приведем решение без производной.

Пусть объем бас­сей­на равен A м³. Пер­вая и вто­рая трубы, ра­бо­тая вместе t₁ ч, на­ли­ли м³ бассейна, далее все три трубы, ра­бо­тая вместе t₂ ч, на­ли­ли м³ бассейна. В ре­зуль­та­те бассейн был налит полностью.

Известно, что для любых двух по­ло­жи­тель­ных чисел t₁ и t₂ верно не­ра­вен­ство (неравенство Коши).

Рассмотрим про­из­ве­де­ние

Ясно, что зна­ме­на­тель полученной дроби имеет наи­боль­шее значение в точке А это значит: имеет наи­мень­шее значение в точке (значение V при­над­ле­жит заданному промежутку). Следовательно, вы­ра­же­ние также будет иметь ана­ло­гич­ное значение в той же точке При этом:

Итак, при по­лу­чим А это значит, что в точке вы­ра­же­ние t₁ + t₂ также при­мет наименьшее значение.

Пусть x кг — масса яблок 1-го сорта, y кг — масса яблок 2-го сорта, остав­ши­е­ся 91 − (x + у) кг — масса яблок 3-го сорта. Для ве­ли­чи­ны вы­руч­ки имеем:

откуда (*).

Поскольку масса яблок 1-го сорта мень­ше массы яблок 2-го сорта на столь­ко же процентов, на сколь­ко про­цен­тов масса яблок 2-го сорта мень­ше массы яблок 3-го сорта имеем:

Подставим усло­вие (*) в по­лу­чен­ную про­пор­цию и решим ее:

Тем самым, са­до­вод про­дал 7 кг яблок пер­во­го сорта и, следовательно, 35 − 14 = 21 кг яблок вто­ро­го сорта.

Ответ: 21.

Приведём другое решение.

Пусть x кг — масса яблок первого сорта, проданных садоводом, а масса яблок второго сорта составляет tx кг. Тогда масса проданных яблок третьего сорта составит tx · t = t²x кг. По условию задачи:

Поделив почленно равенство (2) на равенство (1), получим:

Значение не подходит по смыслу задачи. Значение x найдем из уравнения

Ответ: 21 кг.

Пусть x — ко­ли­че­ство перевозимых кон­тей­не­ров типа А, y — ко­ли­че­ство контейнеров типа В, Тогда вес кон­тей­не­ров типа А со­ста­вит т, типа В — 5у т. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем задачи Кроме того, долж­но выполняться условие:

Пусть S — сум­мар­ная стоимость всех контейнеров. Тогда S = 5x + 7y. Нам пред­сто­ит исследовать функ­цию S(x, y) на наи­боль­шее значение при за­дан­ных условиях.

Имеем: значит,

Найдем, при каком зна­че­нии у вы­пол­ня­ет­ся равенство

Поскольку x, y, а также сто­и­мо­сти контейнеров — числа натуральные, то Значит,

Если то На­ту­раль­ных решений нет.

Если то На­ту­раль­ных решений нет.

Если то На­ту­раль­ных решений нет.

Если то На­ту­раль­ное решение:

Вычислим зна­че­ние x при

Итак, ис­ко­мое значение 220 млн. руб.

Ответ: 220 млн. руб.

Приведём арифметическое решение.

Заметим, что контейнер типа А приносит 2,5 млн руб. за тонну, а контейнер типа В — 1,4 млн руб. за тонну, поэтому контейнеров типа А должно быть как можно больше, а контейнеров типа В как можно меньше. По условию, на каждые 4 контейнера типа А должно приходиться не менее 5 контейнеров типа B. Пусть контейнеров типа А будет 4x, а контейнеров типа B — 5x, их общий вес составит 8x + 25x = 33x тонн. Грузоподъёмность баржи 134 тонны, поэтому наибольшее возможное целое значение x = 4.

Если x = 4, то на баржу можно загрузить 16 контейнеров типа А и 20 контейнеров типа B, их стоимость составит 80 + 140 = 220 млн руб. При этом баржа будет недогружена на 2 тонны. Заменим два контейнера типа А одним контейнером типа В. Стоимость 14 контейнеров типа А и 21 контейнера типа В составляет 70 + 147 = 217 млн руб., при этом баржа недогружена на 1 тонну. Можно было бы загрузить баржу полностью, заменив ещё два контейнера типа А одним контейнером типа В, но при этом общая стоимость контейнеров снова бы снизилась на 3 млн руб. Из этого следует, что оптимально не загружать баржу полностью, а загрузить на неё 16 контейнеров типа А и 20 контейнеров типа В общей стоимостью 220 млн руб.

Примечание.

Проверять изменение стоимости при дозагрузке не полностью нагруженной баржи — обязательная часть решения. Например, если бы контейнер типа В стоил 11 млн руб., а другие данные задачи не поменялись бы, то стоимость 16 контейнеров типа А и 20 контейнеров типа B составила бы 80 + 220 = 300 млн руб. (недогружено 2 тонны), стоимость 14 контейнеров типа А и 21 контейнера типа В составила бы 70 + 231 = 301 млн руб. (недогружена 1 тонна), а стоимость 12 контейнеров типа А и 22 контейнеров типа В составила бы 302 млн руб. — баржа загружена полностью, прибыль максимальна, дальнейшая замена контейнеров типа А на контейнеры типа В приводит к уменьшению прибыли.

См. так же решение задания 513295.

Пусть ра­бо­чие первого за­во­да за не­де­лю производят x приборов, вто­ро­го завода — y приборов. И при этом будет вы­пол­не­но условие. x + y = 20. Тогда доля человеко-часов, за­тра­чен­ных на пер­вом заводе со­ста­вит 4x³, а на вто­ром — y³. Таким образом, Лео­ни­ду придется за­пла­ни­ро­вать на опла­ту труда ра­бо­чих обоих за­во­дов тысяч руб­лей за неделю. Так как y = 20 − x, то , Най­дем наименьшее зна­че­ние функции на

Положительное зна­че­ние искомого корня Заметим, что на это един­ствен­ная точка экстремума. Если она ока­жет­ся точ­кой минимума функции, то функ­ция именно в этой точке и до­сти­га­ет наименьшего значения.

Итак, кри­ти­че­ская точка функ­ции точка яв­ля­ет­ся точкой ми­ни­му­ма функции S(x). По­сколь­ку количество из­го­тов­лен­ных приборов будет вы­ра­жать­ся числом натуральным, то наи­мень­шая сумма, не­об­хо­ди­мая для вы­пла­ты рабочим, будет до­стиг­ну­та либо при x = 6, либо при x = 7.

Итак, ис­ко­мая сумма 3 569 000 рублей.

Ответ: 3 569 000 рублей.

Предположим, что Саша и Паша первоначально положили в банк S руб.

Динамика прироста вклада Саши. К концу 4 года хранения денежных средств на счету Саши оказалось 1,1⁴S = 1,4641S руб.

Динамика прироста вклада Паши.

К концу второго года на счету Паши оказалось 1,15²S = 1,3225S руб. А к концу же четвертого года — руб.

Разность образованных сумм обоих вкладов составила руб., что меньше числа 0,1S.

Решим неравенство:

Поскольку условием задачи требуется найти наибольшее возможное целое значение процентной ставки, таким значением будет число 8.

Ответ: 8%.

Продавать свек­лу более выгодно, по­это­му вто­рое поле, где ее уро­жай­ность выше, сле­ду­ет за­са­дить толь­ко свеклой. Она при­не­сет доход 10 га · 400 ц/га · 11 000 руб./ц = 44 млн руб.

На пер­вом поле уро­жай­ность свек­лы со­став­ля­ет 300/400 = 0,75 уро­жай­но­сти картофеля, а сто­и­мость свек­лы составляет 11 000/10 000 = 1,1 сто­и­мо­сти картофеля. Про­из­ве­де­ние этих по­ка­за­те­лей меньше 1, по­это­му вы­ра­щи­вать картофель выгоднее: по­те­ри от мень­шей стоимости ком­пен­си­ру­ют­ся более вы­со­кой урожайностью. Следовательно, все поле сле­ду­ет за­се­ять картофелем, он при­не­сет доход 10 га · 400 ц/га · 10 000 руб./ц = 40 млн руб.

Тем самым, наи­боль­ший воз­мож­ный доход фер­ме­ра равен 84 млн руб.

Ответ: 84 млн руб.

Примечание.

Поясним фразу «Уро­жай­ность свек­лы со­став­ля­ет 0,75 уро­жай­но­сти картофеля, а сто­и­мость составляет 1,1 сто­и­мо­сти картофеля. Про­из­ве­де­ние этих по­ка­за­те­лей меньше 1, по­это­му вы­ра­щи­вать картофель выгоднее».

Пусть на поле выросло х кг картофеля, который можно продать по у руб. за кг. Тогда доход составит ху руб. Если на этом поле вырастить 0,75х кг свеклы и продать ее по цене 1,1y руб. за кг, то доход составит 0,825хy руб., то есть окажется на 17,5% меньше дохода от продажи картофеля.

Поскольку алюминий и никель взаимозаменяемы, а рабочие первой области одинаково эффективно добывают и алюминий, и никель, они могут добывать любой из металлов. За сутки ими будет добыто 160 · 5 · 0,1 = 80 кг металла.

Пусть во второй области алюминий добывают t рабочих, а никель — 160 − t рабочих. Тогда за сутки они добудут кг алюминия и кг никеля. Найдем наибольшее значение функции для натуральных t, не больших 160. Имеем:

Найдем нули производной:

При t меньших 80 производная положительна, а при t больших 80 производная отрицательна, поэтому в точке 80 функция достигает максимума , равного наибольшему значению функции на исследуемом промежутке.

Тем самым, 80 рабочих второй области следует направить на добычу алюминия и 80 — на добычу никеля. Они добудут 40 кг металла. Совместно рабочие первой и второй области добудут 120 кг металла.

Ответ: 120 кг.

Начнём решение с анализа фразы: «на втором заводе для изготовления t деталей (и А, и В) требуется человеко-смен». Из этого условия следует, что работающие на заводе 100 человек за смену смогут произвести максимум 10 деталей.

Пусть на первом комбинате х рабочих заняты на производстве детали А, а остальные 100 − х рабочих производят детали типа В, и пусть на втором комбинате из 10 деталей производится y деталей типа А и 10 − y деталей типа В. Внесем данные из условия в таблицу.

	Деталь A		Деталь B
	Количество человек	Количество деталей	Количество человек	Количество деталей
Первый комбинат
Второй комбинат
Всего

Для производства изделий деталей типа B должно быть в три раза больше деталей типа A:

Пусть s шт. — количество изделий, оно равно количеству деталей типа А: Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):

Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение при неотрицательных целых значениях y, не больших 10.

Функция − убывающая. Наибольшее значение на отрезке она принимает при , при этом , а .

Таким образом, максимальное количество изделий за смену будет собрано, если на втором заводе будут изготавливать только детали типа В (100 рабочих изготовят 10 деталей типа В), а на первом заводе 11 человек изготовят 33 детали типа А, а остальные 89 рабочих изготовят 89 деталей типа В. Итого получим 33 детали типа А и 99 деталей типа В, на производстве которых были заняты все 200 человек.

Значит, комбинат сможет собрать за смену 33 изделия.

Ответ: 33 изделия.

Замечание.

Вначале мы прочли условие иначе и полагали, что на вто­ром заводе для из­го­тов­ле­ния t де­та­лей каждого типа (и А, и В независимо друг от друга) тре­бу­ет­ся t² человеко-смен. Приведём решение и примечания к нему для такого понимания условия. К этому же пониманию условия относятся комментарии читателей.

Пусть на пер­вом комбинате х ра­бо­чих, а на вто­ром комбинате y ра­бо­чих за­ня­ты на про­из­вод­стве детали А. Вне­сем дан­ные из усло­вия в таблицу.

	Деталь A		Деталь B
	Количество человек	Количество деталей	Количество человек	Количество деталей
Первый комбинат
Второй комбинат
Всего

Для про­из­вод­ства из­де­лий деталей типа B долж­но быть в три раза боль­ше деталей типа A:

Пусть s шт — ко­ли­че­ство изделий, оно равно ко­ли­че­ству деталей типа А: Будем ис­кать наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этого выражения, под­ста­вив в него (*):

Наибольшему воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние при на­ту­раль­ных зна­че­ни­ях y не боль­ших 100. Имеем:

Найдем нули производной:

В най­ден­ной точке про­из­вод­ная меняет знак с плюса на минус, по­это­му в ней функ­ция достигает максимума, сов­па­да­ю­ще­го с наи­боль­шим значением функ­ции на ис­сле­ду­е­мой области, рав­ным при этом Ко­ли­че­ство деталей долж­но быть на­ту­раль­ным числом, по­это­му рабочие могут произвести, самое большее, 33 де­та­ли типа А.

Из (*) на­хо­дим чел. Это означает, что 10 ра­бо­чиx пер­вого ком­би­на­та и 10 ра­бо­чих второго ком­би­на­та долж­ны быть за­ня­ты на про­из­вод­стве де­та­ли А, за сутки они про­из­ве­дут их 33 шт, остав­ши­е­ся 90 ра­бо­чих пер­во­го комбината и 90 ра­бо­чих вто­ро­го комбината долж­ны быть за­ня­ты на про­из­вод­стве деталей В, за сутки они про­из­ве­дут их 99 шт.

Ответ: 33 изделия.

Примечание 1.

Внимательный читатель мог бы задать вопрос о том, почему в равенстве (*) предполагается, что деталей производится ровно в отношении 1:3. Ведь можно произвести, например, 11 деталей типа B и 34 детали типа А, из них получится собрать 33 изделия, а одна деталь типа А останется лишней. Ответим на этот вопрос.

Если есть лишние детали, то уменьшим их число до соотношения 1:3 и отправим на обед людей, производивших лишние детали. Тогда получим решение задачи для меньшего числа людей, но с тем же выходом продукта и соотношением деталей 1:3. Теперь вернём людей с обеда. Меньшего количества изделий мы не получим, поскольку зависимость между числом деталей и количеством людей неубывающая. Большего количества изделий тоже не достичь, поскольку из лишних деталей целого изделия собрать не получится. Поэтому наибольшее количество изделий совпадет с найденным.

Примечание 2.

Заметим, что если рабочие второго комбината будут производить только детали типа В, то они произведут их 10 шт. Пусть при этом 89 рабочих первого комбината произведут 89 деталей типа В, а оставшиеся 11 рабочих первого комбината произведут 33 детали типа А. Тогда всего будет произведено 33 детали типа А и 99 деталей типа В. Из них также можно собрать 33 изделия. Таких вариантов довольно много (см. таблицу в конце).

Примечание 3.

Можно было бы спросить, почему не образовать из рабочих второго завода 100 независимых групп, каждая из которых состоит из одного рабочего.

Приведём решение Евгения Обухова.

Пусть первый завод выпускает x деталей В, а второй завод выпускает y деталей В. Тогда на первом заводе деталь В выпускает x рабочих, а деталь А выпускает рабочих. Поэтому первый завод выпускает деталей А.

На втором заводе деталь В выпускает рабочих, деталь А выпускает рабочих. Поэтому второй завод выпускает деталей A. Здесь — целая часть числа.

Пусть комбинат выпускает k изделий. Имеем следующие необходимые и достаточные условия:

Рассмотрим . Тогда получим:

Домножим второе неравенство на 3 и сложим с первым, получим: . Заметим, что (при ) удовлетворяют исходному неравенству. То есть комбинат может изготовить 33 изделия.

Проверим, может ли он изготовить больше. Пусть , тогда:

 

Поскольку теперь мы можем считать , из второго неравенства находим . Тогда оценим: . Получили противоречие с первым неравенством.

Следовательно, максимальное число изделий, которое может произвести комбинат, равно 33.

Приведём таблицу других вариантов, также дающих 33 изделия

Решение 1. Вме­сто сум­мар­но­го про­цен­та будем счи­тать сум­мар­ную долю маль­чи­ков ― очевидно, эти числа от­ли­ча­ют­ся в 100 раз и до­сти­га­ют сво­е­го мак­си­му­ма одновременно. Каж­дый маль­чик в клас­се из 22 че­ло­век со­став­ля­ет от об­ще­го числа уча­щих­ся в этом классе, а в клас­се из 21 че­ло­век ― от об­ще­го числа учащихся. Значит, если по­ме­нять ме­ста­ми де­воч­ку из мень­ше­го клас­са и маль­чи­ка из большего, сум­мар­ный про­цент маль­чи­ков вырастет. Таким образом, мак­си­мум достигается, когда все по­доб­ные пе­ре­ста­нов­ки сделаны, то есть, когда мень­ший класс пол­но­стью со­сто­ит из мальчиков, а в боль­шем клас­се ― 20 де­во­чек и 2 мальчика.

Решение 2. Пусть в мень­ший класс рас­пре­де­ле­но х маль­чи­ков (где ), тогда в боль­ший класс по­па­ло () мальчиков. Значит, сум­мар­ная доля маль­чи­ков в двух клас­сах равна и пред­став­ля­ет собой ли­ней­ную функ­цию с по­ло­жи­тель­ным уг­ло­вым коэффициентом. Значит, эта функ­ция до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния на пра­вом конце про­ме­жут­ка [1; 21], то есть при Таким образом, мень­ший класс пол­но­стью дол­жен со­сто­ять из мальчиков, а в боль­шем клас­се долж­но быть 20 де­воч­ки и 2 мальчика.

Ответ: В одном клас­се ― 21 мальчик, в дру­гом ― 20 де­во­чек и 2 мальчика.

Пусть x — доля мощ­но­стей завода, за­ня­тых под про­из­вод­ство блин­чи­ков с ягод­ной начинкой, а y — доля мощностей, за­ня­тых под про­из­вод­ство блин­чи­ков с тво­рож­ной начинкой. Тогда x + y = 1, при этом блин­чи­ков с ягод­ной на­чин­кой про­из­во­дит­ся 90x тонн, а с тво­рож­ной на­чин­кой — 75y тонн. Кроме того, из усло­вия ас­сор­ти­мент­но­сти следует, что от­ку­да а от­ку­да При­быль за­во­да с одной тонны про­дук­ции с ягод­ной на­чин­кой равна 100 − 70 = 30 тыс. руб., при­быль с одной тонны про­дук­ции с тво­рож­ной на­чин­кой равна 135 − 100 = 35 тыс. руб., общая при­быль с произведённой за месяц про­дук­ции равна Таким образом, нам не­об­хо­ди­мо найти наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния 75 · (36x + 35y) при вы­пол­не­нии сле­ду­ю­щих условий:

Подставляя у = 1 − x в вы­ра­же­ние 36x + 35y, получаем: 36x + 35(1 − x) = x + 35. Наибольшее значение этого выражения при условии достигается при тогда

По­это­му мак­си­маль­но воз­мож­ная при­быль за­во­да за месяц равна:

при этом фабрика производит 72 тонны блинчиков с ягодной начинкой и 15 тонн блинчиков с творожной начинкой.

Ответ: 2685 тыс. руб.

Приведём решение Дмитрия Гущина.

Тонна блинчиков с творожной начинкой приносит 35 тыс. руб., а тонна блинчиков с ягодной — 30 тыс. руб. При этом 1 тонне блинчиков с творожной начинкой соответствует 1,2 тонны блинчиков с ягодной начинкой. Заметим, что 1 т · 35 тыс. руб. < 1,2 т · 30 тыс. руб. = 36 т · 1 тыс. руб., поэтому более выгодно производить блинчики с ягодной начинкой. Значит, блинчиков с творожной начинкой необходимо производить 15 тонн, а блинчиков с ягодной начинкой — 90 − 15 · 1,2 = 72 тонны, что даст 15 · 35 + 72 · 30 = 2685 тыс. руб. прибыли.

Пусть — доля мощ­но­стей завода, за­ня­тых под про­из­вод­ство ком­по­тов в стек­лян­ной таре, а — доля мощностей, за­ня­тых под про­из­вод­ство ком­по­тов в же­стя­ной банке. Тогда при этом ком­по­тов в стек­лян­ной таре про­из­во­дит­ся центнеров, а в же­стя­ной таре — центнеров. При­быль за­во­да с 1 цент­не­ра про­дук­ции в стек­лян­ной таре равна руб., при­быль с 1 цент­не­ра в же­стя­ной таре равна руб., а общая при­быль с произведённой за день про­дук­ции равна

Кроме того, из усло­вия ас­сор­ти­мент­но­сти следует, что и то есть и

Таким образом, в пе­ре­во­де на ма­те­ма­ти­че­ский язык, нам не­об­хо­ди­мо найти наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния при вы­пол­не­нии сле­ду­ю­щих условий:

Подставляя в вы­ра­же­ние получаем: очевидно, что это вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при и, следовательно, По­это­му мак­си­маль­но воз­мож­ная при­быль за­во­да за день равна

Ответ: 53 500 руб.

Пусть на сер­ве­ре №1 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся а на сер­ве­ре №2 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся Гбайт из всей пер­вич­ной информации. Тогда а об­ра­бо­та­но будет Гбайт информации. Тре­бу­ет­ся найти мак­си­мум суммы при условии

Так как то для не­ко­то­ро­го угла Так как то

для не­ко­то­ро­го вспо­мо­га­тель­но­го угла с Следовательно, наи­боль­шее зна­че­ние суммы Оно до­сти­га­ет­ся при то есть для значений, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­ви­ям

Приведём дру­гое решение.

Пусть на сер­ве­ре №1 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся а на сер­ве­ре №2 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся Гбайт из всей пер­вич­ной информации. Тогда а об­ра­бо­та­но будет Гбайт информации. Вы­ра­зим через Тре­бу­ет­ся найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

Приведём тре­тий ва­ри­ант решения.

Пусть на сер­ве­ре №1 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся а на сер­ве­ре №2 об­ра­ба­ты­ва­ет­ся Гбайт из всей пер­вич­ной информации. Тогда а об­ра­бо­та­но будет Гбайт информации.

Так как то урав­не­ние за­да­ет окруж­но­сть ра­ди­у­са с цен­тром в на­ча­ле координат. Заметим, что уравнение задает семейство параллельных прямых. Мы ищем наибольшее значение такое, что прямая имеет общие точки с окружностью. Из всех прямых семейства пересекающих окружность, наибольшее значение будет достигаться в случае касания.

Про­ве­дем из начала координат в первый координатный квадрант век­тор пер­пен­ди­ку­ляр­ный пря­мым Луч, кол­ли­не­ар­ный век­то­ру пересечёт окруж­ность в точке Это и будет точка касания в которой достигается наибольшее значение Усло­вия для точки выполнены. Значит,

Ответ: 1682.

Пусть на опла­ту труда ра­бо­чих пер­во­го за­во­да вы­де­ле­но x руб., а вто­ро­го — остав­ши­е­ся (900 000 − x) руб. Тогда на пер­вом за­во­де можно опла­тить часов работы, а на вто­ром — часов работы. Ко­ли­че­ство произведённого за не­де­лю то­ва­ра равно квад­рат­ным кор­ням из этих величин, по­это­му для от­ве­та на во­прос за­да­чи тре­бу­ет­ся найти наи­боль­шее целое зна­че­ние функ­ции

на от­рез­ке Найдём ее производную:

Решая урав­не­ние получаем:

Поскольку про­из­вод­ная не­пре­рыв­ной функ­ции f (x) по­ло­жи­тель­на на ин­тер­ва­ле (0; 400 000), равна нулю в точке 400 000 и от­ри­ца­тель­на на ин­тер­ва­ле (400 000; 900 000), функ­ция f (x) до­сти­га­ет наи­боль­ше­го на от­рез­ке [0; 900 000] зна­че­ния в точке 400 000. Найдём его:

Тем самым, наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство товара, ко­то­рое могут про­из­ве­сти ра­бо­чие за не­де­лю при за­дан­ном раз­ме­ре опла­ты труда, равно 90 единицам.

Ответ: 90.

Пусть на пер­вом за­во­де ра­бо­та­ют сум­мар­но , а на вто­ром — часов в неделю. Тре­бу­ет­ся найти мак­си­мум суммы при усло­вии

Выразим из пер­во­го со­от­но­ше­ния: подставим в (*), получим уравнение:

По­лу­чен­ное урав­не­ние имеет решения, если не­от­ри­ца­те­лен его дискриминант, а значит, и чет­верть дискриминанта:

Тем самым, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние равно 500. Покажем, что оно достигается при натуральных значениях переменных: действительно, из (**) находим, что значению соответствует а тогда

Ответ: 500 единиц товара.

Прибыль (в млн рублей) за один год вы­ра­жа­ет­ся величиной

Это вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся квад­рат­ным трёхчленом и до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния при x = p − 1. Прибыль составит не менее 75 млн рублей, если

то есть при p ≥ 9, по­сколь­ку цена про­дук­ции не может быть отрицательной. Таким образом, наи­мень­шее зна­че­ние p = 9, искомая наименьшая цена 9 тыс. руб.

Ответ: p = 9.

Прибыль (в млн рублей) за один год вы­ра­жа­ет­ся как

Это вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся квад­рат­ным трёхчленом и до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния при x = p − 2. Наи­боль­шее зна­че­ние равно Через 4 года при­быль со­ста­вит не менее 52 млн руб­лей при

то есть при p ≥ 8, по­сколь­ку цена про­дук­ции не может быть отрицательной. Таким образом, наи­мень­шее зна­че­ние p = 8.

Ответ: p = 8.

Чтобы при­быль за три года была не мень­ше 78 млн руб. необходимо, чтобы еже­год­ная при­быль была не мень­ше 26 млн руб., то есть, чтобы вы­пол­ня­лось неравенство

откуда, ис­поль­зуя не­ра­вен­ство между сред­ним ариф­ме­ти­че­ским и сред­ним геометрическим, получаем:

Удостоверимся, что это значение параметра достигается, то есть существует количество продукции x, при котором достигается эта цена.

Тем самым, при p = 10 (цене 10 тыс. руб) и x = 8 (производстве 8 тыс. единиц продукции), завод окупится за три года.

Ответ: p = 10

Примечание.

Напомним, что среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Иными словами, если , то или причем неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда числа равны. Последним неравенством мы и воспользовались в решении:

Продавать свек­лу более выгодно, по­это­му вто­рое поле, где ее уро­жай­ность выше, сле­ду­ет за­са­дить толь­ко свеклой. Она при­не­сет доход 10 га · 500 ц/га · 8000 руб/ц = 40 млн руб.

На пер­вом более уро­жай­ность свек­лы со­став­ля­ет 300/500 = 0,6 уро­жай­но­сти картофеля, а сто­и­мость свек­лы 8000/5000 = 1,6 сто­и­мо­сти картофеля. Про­из­ве­де­ние этих по­ка­за­те­лей мень­ше 1, по­это­му вы­ра­щи­вать свек­лу невыгодно: по­те­ри от мень­шей уро­жай­но­сти не ком­пен­си­ру­ют­ся более вы­со­кой выручкой. Следовательно, все поле сле­ду­ет за­се­ять картофелем, он при­не­сет доход 10 га · 500 ц/га · 5000 руб/ц = 25 млн руб.

Тем самым, наи­боль­ший воз­мож­ный доход фер­ме­ра равен 65 млн руб.

Ответ: 65 млн руб.

Пусть в отеле будет х но­ме­ров пло­ща­дью 27 кв. м и у но­ме­ров пло­ща­дью 45 кв. м. Тогда или (*). Прибыль, ко­то­рую будут при­но­сить эти номера, равна или При­быль будет наи­боль­шей при наи­боль­шем зна­че­нии суммы Пусть тогда откуда, под­став­ляя в (*), получаем:

В случае равенства наибольшему значению суммы s соответствовало бы наибольшее значение величины у. В случае неравенства необходимо найти наибольшее возможное значение y и проверить меньшие значения, уменьшающие количество пустого пространства.

Наибольшее возможное значение у равно 21. Поскольку для получения наибольшей прибыли в гостинице необходимо открыть 21 номер люкс и 1 стандартный номер, которые будут приносить предпринимателю доход руб. в сутки. При этом останется 9 кв. м. незанятого пространства. Уменьшим на 1 количество люксов. Если в гостинице 20 люксов и 3 стандартных номера, незанятого пространства не остается: В этом случае доход тот же руб. Дальнейшее уменьшение количества люксов в пользу стандартных номеров приведет к уменьшению прибыли. Тем самым, в отеле должно быть как можно больше номеров площадью 45 кв. м.

Ответ: 86 000 руб.

Пусть в отеле будет х но­ме­ров пло­ща­дью 30 кв. м и у но­ме­ров пло­ща­дью 40 кв. м. Тогда или (*). Прибыль, ко­то­рую будут при­но­сить эти номера, равна или При­быль будет наи­боль­шей при наи­боль­шем зна­че­нии суммы Пусть тогда откуда, под­став­ляя в (*), получаем:

В случае точного равенства наибольшему значению суммы s соответствовало бы наименьшее значение величины у. В случае строгого неравенства необходимо найти наименьшее возможное значение y и проверить большие значения, уменьшающие количество пустого пространства.

Наименьшее возможное значение у равно 0. Поскольку в гостинице можно открыть 31 стандартный номер и не открывать номера люкс. В этом случае номера будут приносить предпринимателю доход руб. в сутки, и при этом останется 10 кв. м. незанятого пространства. Уменьшим на 1 количество стандартных номеров. Если в гостинице 30 стандартных номеров и 1 люкс, незанятого пространства не остается: В этом случае доход будет равен руб. Дальнейшее уменьшение количества стандартных номеров в пользу люксов приведет к уменьшению прибыли.

Ответ: 125 000 руб.

Пусть в пер­вой шахте х ра­бо­чих, а во второй шахте y рабочих заняты на добыче алюминия. Составим таблицу по данным задачи.

	Алюминий		Никель
	Количество рабочих, чел	Количество металла за смену, кг	Количество рабочих, чел	Количество металла за смену, кг
Шахта 1	x	5x
Шахта 2	y	10y
Всего

Поскольку алюминия необходимо добывать вдвое больше никеля, имеем:

Пусть s — масса сплава, она втрое больше массы добытого никеля: Найдем наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):

Наибольшему воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние y. Из (*) ясно, что наи­боль­шее возможное y равно 70, при этом х = 0, Это означает, что 70 рабочих второй шахты должны быть заняты на добыче алюминия, а оставшиеся 30 рабочих второй шахты и все 20 рабочих первой шахты и должны быть заняты на добыче никеля. При этом они добудут 700 кг алюминия и 350 кг никеля, а масса сплава будет равна 1050 кг.

Ответ: 1050 кг.

Пусть в пер­вой шахте х ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че алюминия, а 60 − х ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че никеля. Ра­бо­тая 5 часов в сутки, один ра­бо­чий до­бы­ва­ет 10 кг алю­ми­ния или 15 кг никеля, по­это­му за сутки ра­бо­чие до­бу­дут 10х кг алю­ми­ния и 15(60 − х) кг никеля.

Пусть во вто­рой шахте у ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че алюминия, а 260 − у ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че никеля. Ра­бо­тая 5 часов в сутки, один ра­бо­чий до­бы­ва­ет 15 кг алю­ми­ния или 10 кг никеля, по­это­му за сутки ра­бо­чие до­бу­дут 15у кг алю­ми­ния и 10(260 − у) кг никеля.

Всего будет про­из­ве­де­но кг алю­ми­ния (1) и кг ни­ке­ля (2). По­сколь­ку алю­ми­ния не­об­хо­ди­мо до­бы­вать вдвое боль­ше никеля, имеем:

Пусть s — масса сплава, она втрое больше массы добытого никеля: Найдем наибольшее воз­мож­ное зна­че­ние этого выражения, под­ста­вив в него (*):

Наибольшему воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­большее зна­че­ние y. Из (*) ясно, что наибольшее возможное y равно 200, при этом х = 0, Это означает, что все 60 рабочих первой шахты и 60 рабочих второй шахты должны быть заняты на добыче никеля, а оставшиеся 200 рабочих второй шахты должны быть заняты на добыче алюминия. При этом они добудут 3000 кг алюминия и 1500 кг никеля, а масса сплава будет равна 4500 кг.

Ответ: 4500 кг.

Для про­из­вод­ства спла­ва за­во­ду не­об­хо­ди­мо по­лу­чить рав­ное ко­ли­че­ство алю­ми­ния и никеля, по­это­му ра­бо­чие из пер­вой об­ла­сти долж­ны раз­де­лить­ся на две бри­га­ды по 10 человек. Ра­бо­тая по 10 часов в сутки, бри­га­ды до­бу­дут 0,2 · 10 · 10 = 20 кг алю­ми­ния и 20 кг ни­ке­ля в сутки. Из них на за­во­де из­го­то­вят 40 кг сплава.

Во вто­рой об­ла­сти ко­ли­че­ство до­бы­то­го алю­ми­ния или ни­ке­ля про­пор­ци­о­наль­ны квад­ра­ту за­тра­чен­ных человеко-часов, по­это­му за 10 часов в сутки 10 ра­бо­чих до­бу­дут кг лю­бо­го из металлов. По­сколь­ку за­во­ду не­об­хо­ди­мо по­лу­чить рав­ное ко­ли­че­ство металлов, не­об­хо­ди­мо раз­де­лить ра­бо­чих поровну, тогда они про­из­ве­дут 10 кг алю­ми­ния и 10 кг никеля. Из них на за­во­де из­го­то­вят 20 кг сплава.

Тем самым, завод смо­жет про­из­во­дить 60 кг спла­ва ежедневно.

Ответ: 60 кг.

Пусть в пер­вой об­ла­сти х ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че алюминия, а 20 − х ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че никеля. Ра­бо­тая 10 часов в сутки, один ра­бо­чий до­бы­ва­ет 1 кг алю­ми­ния или 1 кг никеля, по­это­му за сутки ра­бо­чие до­бу­дут х кг алю­ми­ния и (20 − х) кг никеля.

Пусть во вто­рой об­ла­сти у ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че алюминия, а 20 − у ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че никеля. Ра­бо­тая 10 часов в сутки, n ра­бо­чих до­бы­ва­ют кг лю­бо­го из металлов, по­это­му вме­сте бри­га­ды до­бу­дут кг алю­ми­ния и кг никеля.

Всего будет про­из­ве­де­но кг алю­ми­ния (1) и кг ни­ке­ля (2). По­сколь­ку алю­ми­ния не­об­хо­ди­мо до­бы­вать втрое боль­ше никеля, имеем:

Количеству ни­ке­ля со­от­вет­ству­ет ко­ли­че­ство спла­ва Будем ис­кать наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этого выражения, под­ста­вив в него (*):

Наибольшему воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние функции при на­ту­раль­ных y не боль­ших 20.

Имеем:

Найдем нули производной:

В най­ден­ной точке про­из­вод­ная меняет знак с плюса на минус, по­это­му в ней функ­ция достигает максимума, сов­па­да­ю­ще­го с наи­боль­шим значением функ­ции на ис­сле­ду­е­мой области.

Далее имеем: из (*) Это означает, что все ра­бо­чие пер­вой об­ла­сти долж­ны быть за­ня­ты на про­из­вод­стве алюминия, за сутки они про­из­ве­дут его 20 кг, а ра­бо­чие вто­рой об­ла­сти бри­га­да­ми по 10 и 10 че­ло­век долж­ны быть за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния и никеля, они до­бу­дут их по 10 кг. Всего будет до­бы­то 30 кг алю­ми­ния и 10 кг никеля, из них будет про­из­ве­де­но 40 кг сплава.

Ответ: 40 кг.

Пусть в пер­вой об­ла­сти х ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че алюминия, а 100 − х ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че никеля, и пусть во вто­рой об­ла­сти y ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че алюминия, а 100 − y ра­бо­чих за­ня­ты на до­бы­че никеля. Вне­сем данные из усло­вия в таблицу.

	Алюминий		Никель
	Количество человек	Масса за смену	Количество человек	Масса за смену
Первая область
Вторая область
Всего

Для про­из­вод­ства сплава масса до­бы­то­го алюминия долж­на быть равна массе до­бы­то­го никеля:

Пусть s кг — масса сплава, она равна сумме масс алю­ми­ния и никеля: Будем ис­кать наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этого выражения, под­ста­вив в него (*):

Наибольшему воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние при на­ту­раль­ных y не боль­ших 100. Имеем:

Найдем нули производной:

В найденной точке производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в ней функция достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции на исследуемой области.

Далее имеем: кг, из (*) на­хо­дим чел. Это означает, что 30 ра­бо­чиx пер­вой об­ла­сти и 10 из вто­рой долж­ны быть за­ня­ты на про­из­вод­стве алюминия, за сутки они до­бу­дут 90 + 10 = 100 кг алюминия, остав­ши­е­ся 70 ра­бо­чих первой об­ла­сти и 90 ра­бо­чих второй об­ла­сти должны быть за­ня­ты на до­бы­че никеля, за сутки они до­бу­дут 70 + 30 = 100 кг никеля. Из до­бы­тых металлов будет про­из­ве­де­но 200 кг сплава.

Ответ: 200 кг.

Поскольку алю­ми­ний и ни­кель взаимозаменяемы, и не­об­хо­ди­мо произвести наи­боль­шее количество металла, все ра­бо­чие первой об­ла­сти должны быть на­прав­ле­ны на до­бы­чу никеля, ко­то­рый они до­бы­ва­ют втрое более эффективно, чем алюминий. За сутки ими будет до­бы­то 160 · 5 · 0,3 = 240 кг никеля.

Пусть во вто­рой области алю­ми­ний добывают х рабочих, а ни­кель — 160 − х рабочих. Тогда за сутки они до­бу­дут кг алю­ми­ния и кг никеля. Най­дем наибольшее зна­че­ние функции

для на­ту­раль­ных х, не боль­ших 160. Имеем:

Найдем нули производной:

При x меньших 80 производная положительна, а при x больших 80 производная отрицательна, поэтому в точке 80 функция достигает максимума равного наибольшему значению функции на исследуемом промежутке.

Тем самым, 80 ра­бо­чих второй об­ла­сти следует на­пра­вить на до­бы­чу алюминия и 80 — на до­бы­чу никеля. Они до­бу­дут 40 кг металла. Сов­мест­но рабочие пер­вой и вто­рой области до­бу­дут 280 кг металла.

Ответ: 280 кг.

Примечание.

Можно было обойтись без производной. Напомним, что наибольшее значение функции на от­рез­ке до­сти­га­ет­ся в точке и равно Доказательство можно получить, например, возведением в квадрат.

В нашем слу­чае по­это­му искомое наибольшее значение до­сти­га­ет­ся в точке, где то есть при

Приведём геометрическое решение.

Пусть во вто­рой области на до­бы­чу алюминия будет от­ве­де­но человеко-часов, а на до­бы­чу никеля — человеко-часов. Всего ра­бо­чих 160, ра­бо­тая по 5 часов, они вы­ра­ба­ты­ва­ют 800 человеко-часов в сутки, по­это­му Для таких зна­че­ний переменных тре­бу­ет­ся определить наи­боль­шее значение ко­ли­че­ства добытого ме­тал­ла Тем самым, не­об­хо­ди­мо определить наи­боль­шее значение па­ра­мет­ра при ко­то­ром прямая, за­да­ва­е­мая уравнением будет иметь с окруж­но­стью общие точки, ле­жа­щие в пер­вой координатной четверти.

Из ри­сун­ка видно, что точка ка­са­ния является се­ре­ди­ной гипотенузы рав­но­бед­рен­но­го прямоугольного треугольника. Ко­ор­ди­на­ты точки ка­са­ния долж­ны удовлетворять урав­не­нию окружности. Тогда от­ку­да при

Пусть Вася купил квар­ти­ру в кредит. Тогда он дол­жен по­га­сить кре­дит за 20 лет, то есть за 240 оди­на­ко­вых еже­ме­сяч­ных платежей. Сумма, ко­то­рую он дол­жен вы­пла­тить банку, по усло­вию на 180% пре­вы­ша­ет ис­ход­ные 3 млн. руб., то есть, равна 3000 · 2,8 = 8400 тыс. руб. Раз­де­лив эту сумму на 240, по­лу­ча­ем еже­ме­сяч­ный платеж, рав­ный 35 тыс. руб.

Далее, если вме­сто этого Вася сни­мал квартиру, то после опла­ты арен­ды у него будет оста­вать­ся еже­ме­сяч­но 20 тыс. руб. Тогда 3 млн. руб. Вася на­ко­пит за 3000 : 20 = 150 ме­ся­цев или за 12,5 лет.

Ответ: 12,5 лет.

Пусть Вася купил квар­ти­ру в кредит. Тогда он дол­жен по­га­сить кре­дит за 20 лет, то есть за 240 оди­на­ко­вых еже­ме­сяч­ных платежей. Сумма, ко­то­рую он дол­жен вы­пла­тить банку, по усло­вию на 260% пре­вы­ша­ет ис­ход­ные 2 млн. руб., то есть, равна 2000 · 3, 6 = 7200 тыс. руб. Раз­де­лив эту сумму на 240, по­лу­ча­ем еже­ме­сяч­ный платеж, рав­ный 30 тыс. руб.

Далее, если вме­сто этого Вася сни­мал квартиру, то после опла­ты арен­ды у него будет оста­вать­ся еже­ме­сяч­но 16 тыс. руб. По­сколь­ку 2000 : 16 = 125 месяцев то есть за 10 лет и 5 месяцев.

Ответ: 125 месяцев.

Допустим, банк начисляет a процентов, то есть умножает остаток долга на Обозначим это выражение за x. Тогда первые три платежа составляли миллионов рублей.

Пусть четвертый и пятый платежи составляли N миллионов рублей. Тогда откуда

По условию Решим это уравнение:

Тогда банк начислял 20% годовых.

Ответ: 20%.

Составим таблицу согласно условиям задачи:

	алюминий		никель
область	кол-во человек	масса	кол-во человек	масса
I	x
II	y
всего

Из таблицы видно, что всех рабочих первой области надо отправить на добычу алюминия — его производится больше, а алюминий с никелем взаимозаменяемы.

Масса металлов равна кг.

Для второй области необходимо найти максимум функции

. Для этого найдем производную и приравняем ее к нулю.

Значит, во второй области 45 рабочих добывают никель, а остальные 45 — алюминий.

Масса металлов равна Тогда общая масса равна 135 + 30 = 165 кг.

Ответ: 165 кг.

Поскольку неважно, какой металл добывать, то пусть в первой области добывают только алюминий. Имеем: кг.

Во второй области y рабочих трудится на добыче никеля, тогда (250 − y) — на добыче алюминия. Необходимо найти максимум функции: Для этого необходимо найти производную и приравнять ее к нулю:

Таким образом, f(y) принимает наибольшее значение при Для второй области Тогда всего можно добыть 250 + 50 = 300 кг.

Ответ: 300 кг.

Доход за 1 га картофеля на первом поле: руб.

Доход за 1 га картофеля на втором поле: руб.

Доход за 1 га свеклы на первом поле: руб.

Доход за 1 га свеклы на втором поле: руб.

Таким образом, первое поле выгодно полностью засадить картофелем, а второе — свеклой. Суммарно получаем:

Ответ: 69 млн. рублей.

Пусть акции проданы в конце года t за t² тыс. руб., и полученная сумма положена в банк на оставшиеся 20 − t лет под 25% годовых. Тогда цена акций на конец срока составит s = t² · 1,25^20 − t тыс. руб. Найдём наибольшее значение полученной функции на множестве натуральных t, не превосходящих 20. Имеем:

Найденная производная обращается в нуль в точке и меняет в ней знак с плюса на минус. Следовательно, это точка максимума. Заметим, что

Из полученной оценки следует, что точка максимума лежит на интервале (8; 10). Сравним значения функции в точках 8, 9 и 10. Поскольку

наибольшее значением функции на множестве натуральных аргументов достигается в точке 9. Продавать акции необходимо в конце девятого года.

Ответ: в конце девятого года.

Примечание.

Без сравнения значений функции в точках 8, 9 и 10 не обойтись. Например, если точка максимума достаточно близка к точке 8, значение в точке 8 может оказаться больше, чем значение в точке 9.

Приведём другое решение.

Перекладывать деньги в банк имеет смысл, когда доход в 25% годовых, то есть ежегодное увеличение суммы в 1,25 раза, будет превосходить ежегодный квадратичный рост цен. Проследим за доходностью:

Коэффициент доходности k за 9-й год больше 1,25, а за 10-й код меньше 1,25. Покажем, что в следующие годы он будет далее уменьшаться. Действительно, в силу тождеств

получаем, что коэффициент k монотонно убывает с увеличением t.

Теперь можно сделать вывод о том, что в конце девятого года целесообразно переложить деньги в банк.

Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце кода k, то в конце двадцать пятого года на его счёте будет тыс. рублей.

Найдем производную полученного выражения:

Заметим, что найденная производная равна нулю в единственной точке положительна при и отрицательна при Следовательно, возрастает на и убывает на Из условия известно, что продавать бумаги необходимо в конце 21 года, следовательно, доход, полученный при продаже бумаг в конце 21 года, больше, чем доход, который мог бы получить фонд при продаже бумаг в конце 20-го года и в конце 22 года. Из выясненного выше характера монотонности функции можно заключить, что выполнение неравенств и гарантирует, что для всех значений k, отличных от 21. А значит, необходимо и достаточно найти решения системы неравенств:

Примечание. В решении нельзя ограничиться только решением неравенств (*). Из того, что доход при продаже бумаг в конце 21 года больше, чем доход при их продаже в конце 20 и 22 годов не следует, что этот доход больше, чем при продаже в любой другой год, а именно это оговорено в условии. Однако можно обойтись без производной.

Например, рассмотрим разность предполагаемых доходов от продажи ценных бумаг в конце года и года :

Первый множитель положителен, второй может менять знак. Положительность произведения означает, что доход, который получит фонд, продав ценные бумаги в конце года k, меньше дохода при их продаже в следующем году. Отрицательность произведения означает, что доход, который получит фонд, продав ценные бумаги в конце года k, больше дохода, который можно получить при продаже бумаг в следующем году.

Пусть Поскольку квадратный трёхчлен имеет единственный корень на положительной полуоси, и потому если для некоторого натурального числа k выполнено неравенство то для любого выполнено неравенство Из этого следует, что если доход при продаже акций в какой-то год оказался менее выгодным, чем доход при их продаже в предыдущий год, то и во все последующие годы продавать акции будет менее выгодно.

Поскольку ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года, должны быть одновременно выполнены неравенства и то есть и Значит, и откуда

Приведём другое рассуждение. Определим, во сколько раз увеличивается стоимость ценных бумаг по сравнению с их стоимостью в предыдущий год, если фонд не продает ценные бумаги, а хранит их:

Полученное отношение монотонно убывает с ростом k, поэтому если фонд хранит ценные бумаги, не продавая их, с течением лет прирост дохода падает, приближаясь к единице. В силу показанного убывания, если момент продажи наступил в конце 21 года, то он не мог наступить ни раньше, ни позже. Поэтому решения двойного неравенства

дадут искомые значения r. Первое из этих неравенств означает, что доход от хранения ценных бумаг в течение 22-го года принесет меньше прибыли, чем в случае их продажи в конце 21-го года, — ждать не имеет смысла, поскольку доходность стала меньше банковской и будет меньше во все следующие годы. Второе неравенство означает, что раньше продавать тоже не имело смысла — доход от хранения ценных бумаг в 21-м году превышает доход, который был бы получен от банка, и так было все предыдущие годы.

Осталось заметить, что

Пусть сумма кредита S , ежегодные выплаты x, По условию долг на июль меняется так:

Если долг выплачен двумя равными платежами x₂, то

Если долг выплачен четырьмя равными платежами x₄, то

Подставим в это уравнение выражение для , получаем:

Откуда получаем для :

По условию , а , тогда:

Откуда получаем , а, следовательно, %.

Ответ: 20%.

Допустим, что на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся часов, а на заводе, расположенном во втором городе, часов. Тогда в неделю будет произведено единиц товара, а затраты на оплату труда составят Выразим y через x:

Значит, нам нужно найти наибольшее значение функции при Для этого найдем производную функции

Найдем точки экстремума:

то есть — единственная точка экстремума, удовлетворяющая условию Найдем значения функции в найденной точке и на концах отрезка:

Наибольшее значение функции равно 100, значит, наибольшее количество единиц товара равно 100.

Ответ: 100.

Приведем другое решение

Пусть на первом заводе работают суммарно , а на втором — часов в неделю. Требуется найти максимум суммы при условии

Выразим из первого соотношения: подставим в (*), получим уравнение:

Полученное уравнение имеет решения, если неотрицателен его дискриминант, а значит, и четверть дискриминанта:

Тем самым, наибольшее возможное значение равно 100. Покажем, что оно достигается при натуральных значениях переменных: действительно, из (**) находим, что значению соответствует а тогда

Ответ: 100.