ЕГЭ–2021, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Каталог заданий.
Задачи на оптимальный выбор

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word

Задание 15 № 508236

В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

Решение.

Решение 1. Вместо суммарного процента будем считать суммарную долю девочек ― очевидно, эти числа отличаются в 100 раз и достигают своего максимума одновременно. Каждая девочка в классе из 22 человек составляет $дробь, числитель — 1, знаменатель — { 22}$ от общего числа учащихся в этом классе, а в классе из 23 человек ― $дробь, числитель — 1, знаменатель — { 23}$ от общего числа учащихся. Значит, если поменять местами девочку из большего класса и мальчика из меньшего, суммарный процент девочек вырастет. Таким образом, максимум достигается, когда все подобные перестановки сделаны, то есть, когда меньший класс полностью состоит из девочек, а в большем классе ― 3 девочки и 20 мальчиков.

Решение 2. Пусть в меньший класс распределено х девочек (где $2 меньше или равно x меньше или равно 22$ ), тогда в больший класс попало $(25 минус x)$ девочек. Значит, суммарная доля девочек в двух классах равна $дробь, числитель — x, знаменатель — 22 плюс дробь, числитель — 25 минус x, знаменатель — 23 = дробь, числитель — x, знаменатель — 506 плюс дробь, числитель — 25, знаменатель — 23$ и представляет собой линейную функцию с положительным угловым коэффициентом. Значит, эта функция достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [2; 22], то есть при $x=22.$ Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из девочек, а в большем классе должно быть 3 девочки и 20 мальчиков.

Ответ: В одном классе ― 22 девочки, в другом ― 3 девочки и 20 мальчиков.

Аналоги к заданию № 508236: 508257 Все

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 1., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 1.

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Задачи на оптимальный выбор

Решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·

1 комментарий · Сообщить об ошибке · Помощь

Задание 15 № 511227

В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t² у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t² у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Аналоги к заданию № 511227: 551765 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 123.

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Задачи на оптимальный выбор

Решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·

2 комментария · Сообщить об ошибке · Помощь

Задание 15 № 511234

Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. Через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние? Считайте, что перекресток не T-образный, обе дороги продолжаются за перекрестком.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 124.

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Задачи на оптимальный выбор

Решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·

1 комментарий · Сообщить об ошибке · Помощь

Олег Цимбалист 19.12.2017 13:07

В условии сказано, что велосипедисты движутся по направлению к перекрестку и ничего не сказано, куда они будут двигаться, достигнув этого перекрёстка, и будут ли вообще куда-то двигаться. И даже продолжается ли каждая из дорог после этого перекрёстка нам тоже неизвестно (бывают ведь и Т-образные перекрёстки). И остаются ли они на этом продолжении, если таковое имеется, по-прежнему взаимно перпендикулярными.

На мой взгляд, правильным решением будет тот момент, когда второй велосипедист достигнет перекрёстка, то есть через шесть минут. Ведь именно в этот момент они оба ещё двигались по направлению к перекрестку. К этому моменту первый велосипедист будет на расстоянии 1 км от перекрёстка и от второго велосипедиста. То есть при решении задачи минимум функции f(t) следует искать на отрезке от 0 до 0,1 часа. В предложенном же на сайте варианте решения второй велосипедист уже почти целую минуту движется по направлению от перекрестка, что не соответствует условию задачи.

Замечу ещё, что «два велосипедиста», на мой взгляд, не соответствует нормам правописания в русском языке: правильно - «двое велосипедистов». Сорри за занудство.

Задание 15 № 511887

Алексей вышел из дома на прогулку со скоростью v км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома следом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение v, при котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 116.

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Задачи на оптимальный выбор

Решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь

Задание 15 № 511894

В бассейн проведены три трубы. Первая труба наливает 30 м³ воды в час. Вторая труба наливает в час на 3V м³ меньше, чем первая (0 < V < 10), а третья труба наливает в час на 10V м³ больше первой. Сначала первая и вторая трубы, работая вместе, наливают 30% бассейна, а затем все три трубы, работая вместе, наливают оставшиеся 0,7 бассейна. При каком значении V бассейн быстрее всего наполнится указанным способом?

Решение.

Примем объем бассейна за 1. Пусть вначале первая и вторая трубы, работая вместе t₁ ч, налили $(30 плюс 30 минус 3V) умножить на t_1=(60 минус 3V)t_1=0,3$ бассейна, далее все три трубы, работая вместе t₂ ч, налили $(30 плюс 30 минус 3V плюс 30 плюс 10V) умножить на t_2=(90 плюс 7V)t_2=0,7$ бассейна. Тогда время наполнения бассейна

$t(V)=t_1 плюс t_2= дробь, числитель — 0,1, знаменатель — 20 минус V плюс дробь, числитель — 0,7, знаменатель — 90 плюс 7V = дробь, числитель — 23, знаменатель — (20 минус V)(90 плюс 7V) .$

Найдем, при каком V полученное выражение наименьшего значения. Графиком функции $y=(20 минус V)(90 плюс 7V)$ является парабола, пересекающая ось абсцисс в точках 20 и $минус дробь, числитель — 90, знаменатель — 7 ,$ ветви которой направлены вниз. Абсцисса вершины этой параболы равна $дробь, числитель — 20 плюс левая круглая скобка минус дробь, числитель — {, знаменатель — 9 0, знаменатель — 7 правая круглая скобка }2= дробь, числитель — 25, знаменатель — 7 .$ Эта величина лежит в интервале (0; 10), а значит, наибольшее значение квадратного трехчлена на данном интервале и достигается при $V= дробь, числитель — 25, знаменатель — 7 .$ Осталось заметить, что наибольшее значение знаменателя положительно, поэтому оно соответствует наименьшему значению $t(V).$

Ответ: $дробь, числитель — 25, знаменатель — 7 .$

Примечание.

В общем случае можно исследовать функцию при помощи производной. Необходимо найти наименьшее значение этой функции на интервале (0; 10). Найдем производную:

$t'(V)= дробь, числитель — 0,1, знаменатель — (20 минус V) в степени 2 минус дробь, числитель — 4,9, знаменатель — (90 плюс 7V) в степени 2 .$

Решим уравнение $t'(V)=0,$ используя равносильность $x в степени 2 =y в степени 2 равносильно x=\pm y:$

$дробь, числитель — 0,1, знаменатель — (20 минус V) в степени 2 минус дробь, числитель — 4,9, знаменатель — (90 плюс 7V) в степени 2 =0 равносильно (90 плюс 7V) в степени 2 =49(20 минус V) в степени 2 равносильно$

$равносильно 90 плюс 7V=7(20 минус V) \text{или} 90 плюс 7V= минус 7(20 минус V)=0 равносильно 14V минус 50=0 равносильно V= дробь, числитель — 25, знаменатель — 7 .$

Нетрудно показать, что это точка минимума, в которой функция достигает наименьшего значения на исследуемом промежутке.

Приведем другое решение.

Пусть объем бассейна равен A м³. Первая и вторая трубы, работая вместе t₁ ч, налили $(30 плюс 30 минус 3V) умножить на t_1=(60 минус 3V)t_1=0,3A$ м³ бассейна, далее все три трубы, работая вместе t₂ ч, налили $(30 плюс 30 минус 3V плюс 30 плюс 10V) умножить на t_2=(90 плюс 7V)t_2=0,7A$ м³ бассейна. В результате бассейн был налит полностью.

Известно, что для любых двух положительных чисел t₁ и t₂ верно неравенство $t_1 плюс t_2 больше или равно 2 корень из { t_1 умножить на t_2}$ (неравенство Коши).

Рассмотрим произведение $t_1 умножить на t_2.$

$t_1 умножить на t_2= дробь, числитель — 0,1A, знаменатель — 20 минус V умножить на дробь, числитель — 0,7A, знаменатель — 90 плюс 7V = дробь, числитель — 0,7A в степени 2 , знаменатель — 1800 минус 90V плюс 140V минус 7V в степени 2 = дробь, числитель — 0,7A в степени 2 , знаменатель — минус 7V в степени 2 плюс 50V плюс 1800 .$

Ясно, что знаменатель полученной дроби имеет наибольшее значение в точке $V= дробь, числитель — 50, знаменатель — 14 = дробь, числитель — 25, знаменатель — 7 .$ А это значит: $t_1 умножить на t_2$ имеет наименьшее значение в точке $V= дробь, числитель — 25, знаменатель — 7$ (значение V принадлежит заданному промежутку). Следовательно, выражение $2 корень из { t_1 умножить на t_2}$ также будет иметь аналогичное значение в той же точке $V= дробь, числитель — 25, знаменатель — 7 .$ При этом:

$2 корень из { t_1 умножить на t_2}=2 корень из { дробь, числитель — 0,1A, знаменатель — 20 минус дробь, числитель — 25 {7, знаменатель — } умножить на дробь, числитель — 0,7A, знаменатель — 90 плюс 7 умножить на дробь, числитель — 25 {7, знаменатель — } }=2A умножить на корень из { дробь, числитель — 1, знаменатель — 200 минус дробь, числитель — 250 {7, знаменатель — } умножить на дробь, числитель — 0,7, знаменатель — 115 }=2A корень из { дробь, числитель — 7, знаменатель — 1150 умножить на дробь, числитель — 7, знаменатель — 1150 }= дробь, числитель — 14A, знаменатель — 1150 = дробь, числитель — 7A, знаменатель — 575 .$

$t_1 плюс t_2= дробь, числитель — 0,1A, знаменатель — 20 минус дробь, числитель — 25 {7, знаменатель — } плюс дробь, числитель — 0,7A, знаменатель — 90 плюс 7 умножить на дробь, числитель — 25 {7, знаменатель — } =A умножить на левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 200 минус дробь, числитель — 250 {7, знаменатель — } плюс дробь, числитель — 0,7, знаменатель — 115 правая круглая скобка =$

$=A умножить на левая круглая скобка дробь, числитель — 7, знаменатель — 1400 минус 250 плюс дробь, числитель — 7, знаменатель — 1150 правая круглая скобка =7A умножить на левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 1150 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 1150 правая круглая скобка = дробь, числитель — 14A, знаменатель — 1150 = дробь, числитель — 7A, знаменатель — 575 .$

Итак, при $V= дробь, числитель — 25, знаменатель — 7$ получим $t_1 плюс t_2=2 корень из { t_1 умножить на t_2}.$ А это значит, что в точке $V= дробь, числитель — 25, знаменатель — 7$ выражение t₁ + t₂ также примет наименьшее значение.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 117.

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Задачи на оптимальный выбор

Решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·

1 комментарий · Сообщить об ошибке · Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям