Решение 1. Вместо суммарного процента будем считать суммарную долю девочек ― очевидно, эти числа отличаются в 100 раз и достигают своего максимума одновременно. Каждая девочка в классе из 22 человек составляет от общего числа учащихся в этом классе, а в классе из 23 человек ― от общего числа учащихся. Значит, если поменять местами девочку из большего класса и мальчика из меньшего, суммарный процент девочек вырастет. Таким образом, максимум достигается, когда все подобные перестановки сделаны, то есть, когда меньший класс полностью состоит из девочек, а в большем классе ― 3 девочки и 20 мальчиков.

Решение 2. Пусть в меньший класс распределено х девочек (где ), тогда в больший класс попало девочек. Значит, суммарная доля девочек в двух классах равна и представляет собой линейную функцию с положительным угловым коэффициентом. Значит, эта функция достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [2; 22], то есть при Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из девочек, а в большем классе должно быть 3 девочки и 20 мальчиков.

Ответ: В одном классе ― 22 девочки, в другом ― 3 девочки и 20 мальчиков.

Пусть на первый объект будет направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит Тогда на второй объект будет направлено рабочих — суточная заработная плата составит В день начальник будет должен платить рабочим у. е.

Рассмотрим функцию при Это квадратичная функция, старший коэффициент положителен, следовательно, она имеет наименьшее значение при x₀ = 4,8. Заметим, что точка минимума не является натуральным числом, поэтому исследуемая функция достигает наименьшего значения в точке 4 или в точке 5. Найдем и сравним эти значения:

Тем самым, на множестве натуральных значений аргумента наименьшее значение функции достигается в точке 5. Поэтому необходимо направить 5 рабочих на первый объект, 19 рабочих — на второй объект. Зарплата рабочих составит 461 у. е.

Ответ: 5 рабочих на 1-й объект, 19 рабочих на 2-й объект; 461 у.е.

Обозначим буквой t время, прошедшее с начального момента времени. Поскольку каждый велосипедист движется по взаимно перпендикулярным дорогам, то расстояние между ними может быть вычислено по теореме Пифагора. Рассмотрим f (t) — квадрат длины в каждый момент времени, тогда:

Итак, У данной квадратичной функции есть наименьшее значение, которое достигается при мин. Найдем его:

Таким образом минимальное расстояние между велосипедистами равно км, и будет достигнуто через мин.

Ответ: мин, км.

Примечание.

Условие уточнено редакцией Решу ЕГЭ.

Скорость сближения Алексея и Жучки (разность скоростей) Δv = 9 км/ч. Первоначальная разность расстояний между хозяином и собакой составляет ΔS = 6 км. Найдем разностное отношение часа. Это и есть время, которое потребовалось Жучке, чтобы догнать Алексея.

С того времени, как Жучка бежала за хозяином, Алексей прошел расстояние, равное км. В соответствии с условием задачи Алексей прошел еще 6 км пока Жучка была дома. Значит, в направлении от дома Алексей, будучи на прогулке, прошел км. Такой же путь Алексей прошел после того, как Жучка догнала его, но в обратном направлении. На преодоление этого пути (со скоростью 4 км/ч) потребовалось часа. Итак, вся прогулка Алексея продлилась

Эта сумма будет наименьшей, когда сумма двух взаимно обратных положительных выражений и примет наименьшее значение. И эта наименьшая сумма заведомо известна, она равна 2 (классическое неравенство  — наименьшее значение достигается при a = 1). Следовательно, в нашем случае должно выполняться равенство то есть v = 6 км/ч. Время всей прогулки Алексея составляет часа.

Ответ: 6 км/ч, часа.

Примем объем бассейна за 1. Пусть вначале первая и вторая трубы, работая вместе t₁ ч, налили бассейна, далее все три трубы, работая вместе t₂ ч, налили бассейна. Тогда время наполнения бассейна

Найдем, при каком V полученное выражение наименьшего значения. Графиком функции является парабола, пересекающая ось абсцисс в точках 20 и ветви которой направлены вниз. Абсцисса вершины этой параболы равна Эта величина лежит в интервале (0; 10), а значит, наибольшее значение квадратного трехчлена на данном интервале и достигается при Осталось заметить, что наибольшее значение знаменателя положительно, поэтому оно соответствует наименьшему значению

Ответ:

Примечание.

В общем случае можно исследовать функцию при помощи производной. Необходимо найти наименьшее значение этой функции на интервале (0; 10). Найдем производную:

Решим уравнение используя равносильность

Нетрудно показать, что это точка минимума, в которой функция достигает наименьшего значения на исследуемом промежутке.

Приведем другое решение.

Пусть объем бассейна равен A м³. Первая и вторая трубы, работая вместе t₁ ч, налили м³ бассейна, далее все три трубы, работая вместе t₂ ч, налили м³ бассейна. В результате бассейн был налит полностью.

Известно, что для любых двух положительных чисел t₁ и t₂ верно неравенство (неравенство Коши).

Рассмотрим произведение

Ясно, что знаменатель полученной дроби имеет наибольшее значение в точке А это значит: имеет наименьшее значение в точке (значение V принадлежит заданному промежутку). Следовательно, выражение также будет иметь аналогичное значение в той же точке При этом:

Итак, при получим А это значит, что в точке выражение t₁ + t₂ также примет наименьшее значение.