а)  За­ме­тим, что про­ек­ция пря­мой на плос­кость это пря­мая Про­ек­ция пря­мой на плос­кость это пря­мая и как диа­го­на­ли квад­ра­та. Таким об­ра­зом, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах и Тогда, по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мой и плос­ко­сти,

б)  Пусть точка O  — центр куба, а M  — се­ре­ди­на а MO  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка по­это­му Тре­уголь­ник   — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол равен углу

При­мем длины ребер куба за Най­дем сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка Из тре­уголь­ни­ка на­хо­дим из рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим

По­сколь­ку O  — се­ре­ди­на диа­го­на­ли то Те­перь при­ме­ним к тре­уголь­ни­ку тео­ре­му ко­си­ну­сов:

Ответ:

а)  Про­ек­ция B₁D на плос­кость ABCD это пря­мая BD. Но BD и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны как пря­мые, со­дер­жа­щие диа­го­на­ли квад­ра­та. Тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах по­лу­ча­ем, что от­ре­зок B₁D пер­пен­ди­ку­ля­рен диа­го­на­ли AC. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть точка M  — се­ре­ди­на от­рез­ка AD₁. При­мем длины ребер куба за a. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABB₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём AB₁:

Ана­ло­гич­но,

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры B₁H и CK на сто­ро­ну AD₁ тре­уголь­ни­ки AB₁D₁ и ACD₁ рав­но­сто­рон­ние, по­это­му пер­пен­ди­ку­ля­ры B₁H и CK также яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми и ме­ди­а­на­ми, по­это­му точки H, K и M сов­па­да­ют. Угол B₁MC  — ис­ко­мый. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AB₁M:

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка B₁MC:

Сле­до­ва­тель­но, угол между плос­ко­стя­ми равен

Ответ: б)

а)  Пусть SABC  — дан­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной S, от­ре­зок SH  — ее вы­со­та, точка M  — се­ре­ди­на BC и от­ре­зок CK  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка BSC. Угол SMH  — угол между бо­ко­вой гра­нью пи­ра­ми­ды и ос­но­ва­ни­ем.

Пусть SM  =  4a. тогда

Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка SBC по­лу­чим:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка BSC. Двумя спо­со­ба­ми:

Зна­чит,

Ребро AC пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти SBH, по­это­му сто­ро­ны SB и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но, плос­кость AKC пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру SB. Ис­ко­мый угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми равен углу при вер­ши­не рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AKC:

Ответ: б)

а)  Пусть SABC  — дан­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной S, от­ре­зок SH  — ее вы­со­та, точка M  — се­ре­ди­на BC, CK  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка Угол SMH  — угол между бо­ко­вой гра­нью пи­ра­ми­ды и ос­но­ва­ни­ем.

Пусть SM  =  6a. тогда

Обо­зна­чим вы­со­ту пи­ра­ми­ды, про­ве­ден­ную к BSC за h. Тогда h  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ASM. От­сю­да от­ку­да

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка BSC двумя спо­со­ба­ми:

Зна­чит,

Ребро AC пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти SBH, по­это­му SB и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но, плос­кость AKC пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру Ис­ко­мый угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми равен углу при вер­ши­не рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AKC:

Ответ: б)

а)  В квад­ра­те диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны, по­это­му Кроме того, так как BC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти От­сю­да по­лу­ча­ем, что пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти А тогда, по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти плос­ко­стей, по­лу­ча­ем тре­бу­е­мое (ведь плос­кость со­дер­жит пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную плос­ко­сти ).

б)  Пусть точка M  — се­ре­ди­на от­рез­ка При­мем длины ребер куба за Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём

Ана­ло­гич­но, Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры и CK на сто­ро­ну тре­уголь­ни­ки и рав­но­сто­рон­ние, по­это­му пер­пен­ди­ку­ля­ры и CK также яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми и ме­ди­а­на­ми, по­это­му точки H, K и M сов­па­да­ют. Угол   — ис­ко­мый. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка

Сле­до­ва­тель­но, угол между плос­ко­стя­ми равен

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Ука­жем дру­гой путь на­хож­де­ния угла B₁MC. В пря­мо­уголь­ни­ке CDA₁B₁ про­ведём через точку M  — се­ре­ди­ну бо­ко­вой сто­ро­ны DA₁  — от­ре­зок MK, па­рал­лель­ный сто­ро­не CD (см. рис.). Тогда: