Описанные окружности и четырехугольники
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Параллелограмм и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в точках P и Q соответственно.
а) Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.
б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, что AP = a, BC = b, BQ = c.
Аналогично находим 
откуда 
и тогда 
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.
поскольку 
Пусть 
тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причем сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причем H — середина AE.
а) Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что AB = 3 и 
Заметим, что 
опирается на диаметр, поэтому он равен 90°. Более того, 
следовательно, CB параллельно FA. Тогда четырехугольник FCBA — вписанная в окружность трапеция, что означает, что она равнобедренная. Поэтому 
Следовательно, 
и CF параллельно BE, ведь соответственные углы 
и 
равны. Таким образом, четырехугольник BCFE — параллелограмм.
Заметим, что 
как вертикальные и 
как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Тогда треугольник CFE — равнобедренный, 
Найдем катет BH по теореме Пифагора, он равен 
Найдем DH по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд:
(площадь дельтоида) 
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр CC1 перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке M, а диаметр DD1 перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N.
а) Пусть AA1 также диаметр окружности. Докажите, что 
б) Найдите углы четырехугольника ABCD, если CDB вдвое меньше угла ADB.
как накрест лежащие.
Следовательно, 
Тогда
из равенства 
находим, что 
Следовательно, 
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиусом 10. Известно, что AB = BC = CD = 6.
а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.
По теореме синусов для треугольника ABC находим: 
откуда
Треугольник ABC равнобедренный, поэтому 
Значит, 
Четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому 
Значит, 
а из треугольника BOF получаем, что 
Тогда высота трапеции 
а 
Пройти тестирование по этим заданиям