Па­рал­ле­ло­грамм и окруж­ность рас­по­ло­же­ны так, что сто­ро­на AB ка­са­ет­ся окруж­но­сти, CD яв­ля­ет­ся хор­дой, а сто­ро­ны DA и BC пе­ре­се­ка­ют окруж­ность в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка ABQP можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка DQ, если из­вест­но, что AP  =  a, BC  =  b, BQ  =  c.

В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке ABCD из­вест­ны сто­ро­ны и диа­го­наль: AB  =  3, BC  =  CD  =  5, AD  =  8, AC  =  7.

а)  До­ка­жи­те, что во­круг этого четырёхуголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те BD.

Четырёхуголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность, при­чем сто­ро­на CD  — диа­метр этой окруж­но­сти. Про­дол­же­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра AH к диа­го­на­ли BD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точке Е, а окруж­ность  — в точке F, при­чем H  — се­ре­ди­на AE.

а)  До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник BCFE  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABCD, если из­вест­но, что AB  =  3 и

Четырёхуголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Диа­метр CC₁ пер­пен­ди­ку­ля­рен сто­ро­не AD и пе­ре­се­ка­ет её в точке M, а диа­метр DD₁ пер­пен­ди­ку­ля­рен сто­ро­не AB и пе­ре­се­ка­ет её в точке N.

а)  Пусть AA₁ также диа­метр окруж­но­сти. До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те углы че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если CDB вдвое мень­ше угла ADB.

Четырёхуголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность ра­ди­у­сом 10. Из­вест­но, что AB  =  BC  =  CD  =  6.

а)  До­ка­жи­те,что пря­мые BC и AD па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те AD.

Хорды АС и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Т. На хорде ВС от­ло­жен от­ре­зок СР, рав­ный AD. Точки Р и D рав­но­уда­ле­ны от хорды АС, а от­ре­зок ТР пер­пен­ди­ку­ля­рен хорде ВС.

а)  До­ка­жи­те, что пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ков ABPD и APCD равны.

б)  Най­ди­те эти пло­ща­ди, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка ATD равна трем.

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность ра­ди­у­са R  =  27. Из­вест­но, что AB  =  BC  =  CD  =  36.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BC и AD па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те AD.

Дана окруж­ность с цен­тром в точке O и ра­ди­у­сом 5. Точка K делит диа­метр AD в от­но­ше­нии 1 : 4 , счи­тая от точки D. Через точку K про­ве­де­на хорда BC пер­пен­ди­ку­ляр­но диа­мет­ру AD. На мень­шей дуге AB окруж­но­сти взята точка M.

а)  До­ка­жи­те, что BM · CM < BA².

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ACBM, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCM равна 24.

Четырёхуголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Точка F лежит на его сто­ро­не AD, причём пря­мые BF и CD па­рал­лель­ны, и пря­мые CF и AB па­рал­лель­ны.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки BF и CF раз­би­ва­ют четырёхуголь­ник ABCD на три по­доб­ных тре­уголь­ни­ка.

б)  Из­вест­но, что AF  =  1, DF  =  4. Най­ди­те BC.

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD диа­го­наль AC яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла BAD и пе­ре­се­ка­ет­ся с диа­го­на­лью BD в точке E. Из­вест­но, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что AE · AC  =  AD · AB.

б)  Най­ди­те AE, если из­вест­но, что BC  =  7, CE  =  4.

На сто­ро­не остро­го угла с вер­ши­ной A от­ме­че­на точка B. Из точки B на бис­сек­три­су и дру­гую сто­ро­ну угла опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры BC и BD со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Пря­мые AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке T най­ди­те от­но­ше­ние если

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD с пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми диа­го­на­ля­ми AC и BD впи­сан в окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая, про­хо­дя­щая через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей че­ты­рех­уголь­ни­ка пер­пен­ди­ку­ляр­но сто­ро­не BC, делит по­по­лам сто­ро­ну AD.

б)  Най­ди­те сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если из­вест­но, что AC  =  84 и BD  =  77, а диа­метр окруж­но­сти равен 85.

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­ны сто­ро­ны AB  =  4, AC  =  5 и На его сто­ро­не BC вне тре­уголь­ни­ка (точки A и D лежат в раз­ных по­лу­плос­ко­стях от­но­си­тель­но пря­мой BC) по­стро­им рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник BCD.

а)  До­ка­жи­те, что около четырёхуголь­ни­ка ABDC можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра этой окруж­но­сти до точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей четырёхуголь­ни­ка ABDC.

В окруж­ность впи­са­на тра­пе­ция, ос­но­ва­ние AD ко­то­рой яв­ля­ет­ся диа­мет­ром, а угол BAD равен 60°. Хорда CE пе­ре­се­ка­ет диа­метр AD в точке P так, что

а)  До­ка­жи­те, что СР делит тра­пе­цию на две рав­но­ве­ли­кие части.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ВРЕ, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен

В че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD, впи­сан­ном в окруж­ность, бис­сек­три­сы углов A и B пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E, ле­жа­щей на сто­ро­не CD. Из­вест­но, что CD : BC  =  3 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что точка E рав­но­уда­ле­на от пря­мых AD и AB.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков ADE и BCE.

Точка F лежит на мень­шей дуге ВС окруж­но­сти, опи­сан­ной около квад­ра­та ABCD, при­чем Пря­мая AF пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну ВС в точке Т, а диа­го­наль BD  — в точке О.

а)  До­ка­жи­те, что ТО  =  ТС.

б)  Най­ди­те длину сто­ро­ны квад­ра­та, если ВО  =  1.