Не сни­жая общ­но­сти рас­суж­де­ний, при­мем на­чаль­ную сумму кре­ди­та за 100 руб. и будем счи­тать, что вы­пла­ты про­из­во­ди­лись 14 числа каж­до­го ме­ся­ца. Со­ста­вим таб­ли­цу вы­плат:

Таким об­ра­зом, пол­ная сумма вы­плат равна 15 + 14,5 + 14 + 13,5 +13 + 52,5  =  122,5 руб., пе­ре­пла­та со­ста­ви­ла 22,5%.

Ответ: 22,5.

Долг перед бан­ком (в млн руб­лей) по со­сто­я­нию на июль дол­жен умень­шать­ся до нуля рав­но­мер­но:

По усло­вию каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на r %. Пусть тогда по­сле­до­ва­тель­ность раз­ме­ров долга (в млн руб­лей) в ян­ва­ре та­ко­ва:

Сле­до­ва­тель­но, по­след­ний пла­теж со­ста­вит 0,7k млн руб­лей.

По­лу­ча­ем от­ку­да Зна­чит,

Ответ: 17.

Ясно, что наи­боль­шим яв­ля­ет­ся пер­вый платёж, со­от­вет­ству­ю­щий мак­си­маль­ной сумме долга. Пусть кре­дит пла­ни­ру­ет­ся взять на n лет. Пер­вый платёж при вы­пла­те диф­фе­рен­ци­ру­е­мы­ми пла­те­жа­ми равен млн руб. По усло­вию эта ве­ли­чи­на равна 3,6 млн руб., от­ку­да По фор­му­ле для вы­пла­ты В при опла­те кре­ди­та S, взя­то­го под r% го­до­вых, имеем:

По­это­му

О ре­ше­нии таких за­да­ний см. Гущин Д. Д. «Встре­чи с фи­нан­со­вой ма­те­ма­ти­кой».

Ответ: 14,4.

При­ведём ав­тор­ское ре­ше­ние.

Долг перед бан­ком (в млн руб­лей) по со­сто­я­нию на июль дол­жен умень­шать­ся до нуля рав­но­мер­но:

По усло­вию каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 20%, зна­чит, по­сле­до­ва­тель­ность раз­ме­ров долга (в млн руб­лей) в ян­ва­ре та­ко­ва:

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты (в млн руб­лей) долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми:

По­лу­ча­ем от­ку­да Зна­чит, всего сле­ду­ет вы­пла­тить

Ответ: 14,4 млн руб­лей.

В июле 2020 года долг со­став­лял 147 тыс. руб. После на­чис­ле­ния 10% он стал со­став­лять 147 + 14,7  =  161,7 тыс. руб. Пусть пер­вая вы­пла­та была равна x тыс. руб. Тогда долг на июль 2021 года стал со­став­лять 161,7 − x тыс. руб.

После вто­ро­го на­чис­ле­ния про­цен­тов сумма долга со­ста­ви­ла (161,7 − x)1,1  =  177,87 − 1,1x. Этот долг был по­га­шен вто­рым пла­те­жом, рав­ным x, от­ку­да по­лу­ча­ем урав­не­ние 177,87 − 1,1x  =  x. Из этого урав­не­ния на­хо­дим x  =  84,7 тыс. руб. По­это­му банку было вы­пла­че­но 2x  =  169,4 тыс. руб.

Ответ: 169 400.

При­ведём ре­ше­ние в общем слу­чае.

Пусть сумма кре­ди­та равна S, а го­до­вые со­став­ля­ют а%. Тогда остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент b  =  1 + 0,01а. После пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит S₁  =  Sb − X. После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит

По усло­вию кре­дит будет по­га­шен двумя пла­те­жа­ми, по­это­му от­ку­да

При S  =  147 000 и а  =  10 по­лу­ча­ем: b  =  1,1 и

Ответ: 169 400 руб­лей.

По фор­му­ле для пе­ре­пла­ты П при вы­пла­те суммы кре­ди­та S  =  18 млн руб­лей диф­фе­рен­ци­ро­ван­ны­ми пла­те­жа­ми имеем:

где n  — ис­ко­мое число лет, а r  =  10  — ве­ли­чи­на пла­теж­ной став­ки в про­цен­тах (см. Гущин Д. Д. «Встре­чи с фи­нан­со­вой ма­те­ма­ти­кой»; для по­лу­че­ния пол­но­го балла до­ка­за­тель­ство этих фор­мул не­об­хо­ди­мо при­во­дить на эк­за­ме­не). По усло­вию, пе­ре­пла­та  П равна млн руб­лей,

от­ку­да n  =  9.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Долг умень­ша­ет­ся каж­дый июль рав­но­мер­но:

В ян­ва­ре долг воз­рас­та­ет на 10%, зна­чит, долг в ян­ва­ре:

Вы­пла­ты:

Тогда

Ответ: 9.