Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 508488

Решите неравенство: \log _x в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1.

Спрятать решение

Решение.

Первый способ:

Рассмотрим два случая. Первый случай: x в квадрате больше 1.

\log _x в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1 равносильно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно x в квадрате равносильно 2x плюс 1 меньше или равно 0 равносильно x меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Учитывая условие x в квадрате больше 1, получаем: x меньше минус 1.

 

 

Второй случай: 0 меньше x в квадрате меньше 1.

\log _x в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1 равносильно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно x в квадрате равносильно 2x плюс 1 больше или равно 0 равносильно x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Учитывая условие 0 меньше x в квадрате меньше 1, получаем  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше 0 или 0 меньше x меньше 1.

 

Множество решений неравенства системы:  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка .

 

Второй способ:

\log _x в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: \lg левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: десятичный логарифм x в квадрате конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: \lg левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус десятичный логарифм x в квадрате , знаменатель: десятичный логарифм x в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно
 равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус x в квадрате , знаменатель: x в квадрате минус 1 конец дроби меньше или равно 0,x не равно минус 1 ,x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 2x плюс 1, знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0,x не равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений x меньше минус 1, минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше 0,0 меньше x меньше 1. конец совокупности .

Приведём другое решение.

Перепишем правую часть неравенства:  логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в квадрате .

Воспользуемся методом рационализации:

\begincases левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус x в квадрате правая круглая скобка \leqslant0, x в квадрате больше 0, x в квадрате не равно q1, левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате больше 0. \endcases равносильно \begincases левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 плюс x правая круглая скобка \leqslant0, x не равно q0, x не равно q\pm1, x не равно q минус 1. \endcases равносильно совокупность выражений x меньше минус 1, минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше 0, 0 меньше x меньше 1. конец совокупности .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 508488: 508490 508515 508517 508529 516932 Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов