В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH  — вы­со­та, Най­ди­те

Век­тор с на­ча­лом в точке A(2; 4) имеет ко­ор­ди­на­ты (6; 2). Най­ди­те ор­ди­на­ту точки B.

Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Иг­раль­ную кость бро­си­ли два раза. Из­вест­но, что три очка не вы­па­ли ни разу. Най­ди­те при этом усло­вии ве­ро­ят­ность со­бы­тия «сумма вы­пав­ших очков ока­жет­ся равна 8».

Стре­лок стре­ля­ет по од­но­му разу по каж­дой из пяти оди­на­ко­вых ми­ше­ней. Ве­ро­ят­ность по­ра­зить ми­шень каж­дым от­дель­ным вы­стре­лом равна 0,8. Во сколь­ко раз ве­ро­ят­ность со­бы­тия «стре­лок по­ра­зит ровно че­ты­ре ми­ше­ни» боль­ше ве­ро­ят­но­сти со­бы­тия «стре­лок по­ра­зит ровно три ми­ше­ни»?

Ре­ши­те урав­не­ние:

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции   — про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (1; 10). Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции f(x).

В ро­зет­ку элек­тро­се­ти под­клю­че­ны при­бо­ры, общее со­про­тив­ле­ние ко­то­рых со­став­ля­ет Па­рал­лель­но с ними в ро­зет­ку пред­по­ла­га­ет­ся под­клю­чить элек­тро­обо­гре­ва­тель. Опре­де­ли­те наи­мень­шее воз­мож­ное со­про­тив­ле­ние этого элек­тро­обо­гре­ва­те­ля, если из­вест­но, что при па­рал­лель­ном со­еди­не­нии двух про­вод­ни­ков с со­про­тив­ле­ни­я­ми и их общее со­про­тив­ле­ние даeтся фор­му­лой а для нор­маль­но­го функ­ци­о­ни­ро­ва­ния элек­тро­се­ти общее со­про­тив­ле­ние в ней долж­но быть не мень­ше 9 Ом. Ответ вы­ра­зи­те в омах.

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 15%-⁠го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 19%-⁠го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те k.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Дана пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCDEF с вер­ши­ной S.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны рёбер SA и SD и вер­ши­ну C, делит апо­фе­му грани ASB в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны рёбер SA и SD и вер­ши­ну C, делит ребро SF, счи­тая от вер­ши­ны S.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Пер­вич­ная ин­фор­ма­ция раз­де­ля­ет­ся по сер­ве­рам №1 и №2 и об­ра­ба­ты­ва­ет­ся на них. С сер­ве­ра №1 при объёме t² Гбайт вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит 20t  Гбайт, а с сер­ве­ра №2 при объёме t² Гбайт вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит 21t  Гбайт об­ра­бо­тан­ной ин­фор­ма­ции, 25 < t < 55. Каков наи­боль­ший общий объём вы­хо­дя­щей ин­фор­ма­ции при общем объёме вхо­дя­щей ин­фор­ма­ции в 3364 Гбайт?

На диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма взяли точку, от­лич­ную от её се­ре­ди­ны. Из неё на все сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма (или их про­дол­же­ния) опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры.

а)  До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник, об­ра­зо­ван­ный ос­но­ва­ни­я­ми этих пер­пен­ди­ку­ля­ров, яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­ной тра­пе­ции, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна 16, а один из его углов равен 60°.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет более двух кор­ней.

На доске на­пи­са­ли не­сколь­ко не обя­за­тель­но раз­лич­ных дву­знач­ных на­ту­раль­ных чисел без нулей в де­ся­тич­ной за­пи­си. Сумма этих чисел ока­за­лась рав­ной 363. Затем в каж­дом числе по­ме­ня­ли ме­ста­ми первую и вто­рую цифры (на­при­мер, число 17 за­ме­ни­ли на число 71).

а)  При­ве­ди­те при­мер ис­ход­ных чисел, для ко­то­рых сумма по­лу­чив­ших­ся чисел ровно в 4 раза боль­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел.

б)  Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел быть ровно в 2 раза боль­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы по­лу­чив­ших­ся чисел.