Ре­ше­ние. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его по­лу­пе­ри­мет­ра (p) на ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти (r):

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Из фор­му­лы где p  — по­лу­пе­ри­метр, на­хо­дим, что пе­ри­метр опи­сан­но­го мно­го­уголь­ни­ка равен от­но­ше­нию удво­ен­ной пло­ща­ди к ра­ди­у­су впи­сан­ной окруж­но­сти:

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус впи­сан­ной в мно­го­уголь­ник окруж­но­сти равен от­но­ше­нию его пло­ща­ди к по­лу­пе­ри­мет­ру. Пусть пло­щадь равна S, по­лу­пе­ри­метр равен p, ра­ди­ус окруж­но­сти равен r. Тогда

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, равен одной трети вы­со­ты. По­это­му он равен 2.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен от­но­ше­нию пло­ща­ди к по­лу­пе­ри­мет­ру:

Ответ: 18.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Вы­со­та пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна 3 ра­ди­у­сам впи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му она равна 18.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти равен от­но­ше­нию пло­ща­ди к по­лу­пе­ри­мет­ру:

Ответ: 0,5.

При­ме­ча­ние.

Дру­гой спо­соб ре­ше­ния со­сто­ит в ис­поль­зо­ва­нии фор­му­лы, вы­ра­жа­ю­щей ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти в рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник через его сто­ро­ну:

Ре­ше­ние. Из­вест­но, что а по усло­вию Сле­до­ва­тель­но, по­это­му длина сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус r впи­сан­ной в ромб окруж­но­сти вдвое мень­ше его вы­со­ты d. По­это­му

Ответ: 0,25.

При­ве­дем ре­ше­ние Артёма Ма­лах­вея.

Про­ве­дем вы­со­ту ромба. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке катет, ле­жа­щий про­тив угла в 30°, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, по­это­му вы­со­та ромба равна Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен по­ло­ви­не вы­со­ты, то есть 0,25.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус r впи­сан­ной в ромб окруж­но­сти вдвое мень­ше его вы­со­ты d. По­это­му

Ответ: 8.

При­ве­дем ре­ше­ние Ильи Сус­ло­ва.

Тре­уголь­ник ADH пря­мо­уголь­ный, DH  =  2r  =  4. Катет, ле­жа­щий про­тив угла в 30°, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. Сле­до­ва­тель­но, AD  =  2 · 4  =  8.

Ре­ше­ние. Пусть точка О  — центр окруж­но­сти. Тре­уголь­ник АОВ яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным с углом при вер­ши­не 60° (см. рис.), по­это­му этот тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний. Ра­ди­ус ОН впи­сан­ной в ше­сти­уголь­ник окруж­но­сти яв­ля­ет­ся вы­со­той, бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной тре­уголь­ни­ка АОВ, по­это­му:

Ответ: 2.

При­ведём ре­ше­ние Мар­се­ля Да­вы­до­ва (Аба­кан).

Вос­поль­зу­ем­ся со­от­но­ше­ни­ем между сто­ро­ной пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка и ра­ди­у­сом впи­сан­ной в него окруж­но­сти:

Ре­ше­ние. Угол между сто­ро­на­ми пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равен 120°. Рас­смот­рим тре­уголь­ник FEA и при­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов, счи­тая, что длина сто­ро­ны ше­сти­уголь­ни­ка равна a:

Далее имеем:

Ответ: 1,5.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Со­еди­ним центр O впи­сан­ной окруж­но­сти с вер­ши­на­ми ше­сти­уголь­ни­ка, при этом ше­сти­уголь­ник будет раз­бит на 6 рав­ных тре­уголь­ни­ков. Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOB. Он рав­но­бед­рен­ный, угол при вер­ши­не равен сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ним со сто­ро­ной

Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой, ме­ди­а­ной и вы­со­той этого тре­уголь­ни­ка. Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник окруж­но­сти равен по­ло­ви­не раз­но­сти суммы ка­те­тов и ги­по­те­ну­зы:

Ответ: 1.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Ра­ди­ус впи­сан­ной в мно­го­уголь­ник окруж­но­сти равен от­но­ше­нию его удво­ен­ной пло­ща­ди к пе­ри­мет­ру. Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его ка­те­тов. Таким об­ра­зом, для ка­те­тов и ги­по­те­ну­зы имеем:

Ре­ше­ние. Имеем:

Ответ: 1.

При­ве­дем ре­ше­ние Айши Гу­чи­го­вой.

Най­дем ги­по­те­ну­зу тре­уголь­ни­ка:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна С дру­гой сто­ро­ны, от­ку­да

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен от­но­ше­нию пло­ща­ди к по­лу­пе­ри­мет­ру. Для на­хож­де­ния пло­ща­ди вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой Ге­ро­на:

Тогда

Ответ: 1,5.

При­ве­дем ре­ше­ние Лены Кис­ло­вой.

Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен от­но­ше­нию пло­ща­ди к по­лу­пе­ри­мет­ру. Для на­хож­де­ния пло­ща­ди най­дем вы­со­ту рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка:

Тогда

Ре­ше­ние. Пусть точки H и K яв­ля­ют­ся точ­ка­ми ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми AB и СВ со­от­вет­ствен­но. Тре­уголь­ни­ки HOB и KOB равны, так как яв­ля­ют­ся пря­мо­уголь­ны­ми с общей ги­по­те­ну­зой и рав­ны­ми ка­те­та­ми, зна­чит,

Ответ: 22.

Ре­ше­ние. В вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда суммы длин его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Сле­до­ва­тель­но, сумма ос­но­ва­ний тра­пе­ции равна сумме бо­ко­вых сто­рон, то есть равна 8. Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний, по­это­му она равна 4.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. В вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда по­это­му

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ную тра­пе­цию, равен по­ло­ви­не ее вы­со­ты, то есть по­ло­ви­не сто­ро­ны AD. В че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда суммы длин его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Каж­дая из этих сумм равна по­ло­ви­не пе­ри­мет­ра че­ты­рех­уголь­ни­ка, по­это­му Тогда и

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. В че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда AB + CD  =  BC + AD. Тогда

Ответ: 52.

Ре­ше­ние. В вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда суммы длин его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. В этом слу­чае пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка вдвое боль­ше суммы длин про­ти­во­по­лож­ных сто­рон, сле­до­ва­тель­но, в дан­ном че­ты­рех­уголь­ни­ке сумма длин про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равна 12, а зна­чит, сто­ро­ны дли­ной 5 и 6 не могут быть про­ти­во­по­лож­ны­ми и яв­ля­ют­ся смеж­ны­ми.

На­про­тив сто­ро­ны дли­ной 5 лежит сто­ро­на дли­ной 12 − 5  =  7. На­про­тив сто­ро­ны дли­ной 6 лежит сто­ро­на дли­ной 12 − 6  =  6. Боль­шая из этих двух сто­рон имеет длину 7.

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. В че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда AB + CD  =  BC + AD, зна­чит,

Ответ: 14.

Ре­ше­ние. По­ка­жем, что сумма пе­ри­мет­ров от­се­чен­ных тре­уголь­ни­ков равна сумме длин сто­рон тре­уголь­ни­ка АВС, то есть равна его пе­ри­мет­ру. От­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти из точек K, H, O, F, N, M со­от­вет­ствен­но равны друг другу (см. рис., рав­ные от­рез­ки вы­де­ле­ны оди­на­ко­вы­ми цве­та­ми). По­это­му

Сло­жим пра­вые части по­лу­чен­ных ра­венств:

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат, равен по­ло­ви­не его сто­ро­ны.

Ответ: 5.

При­ме­ча­ние.

До­ка­жем, что че­ты­рех­уголь­ник ABCD дей­стви­тель­но яв­ля­ет­ся квад­ра­том, для этого до­ка­жем, что все его сто­ро­ны равны и хотя бы один угол пря­мой. Най­дем длины сто­рон:

В тре­уголь­ни­ке DAB най­дем DB:

Сле­до­ва­тель­но, в тре­уголь­ни­ке DAB вы­пол­ня­ет­ся усло­вие зна­чит, угол DAB  — пря­мой.

Ре­ше­ние. Найдём ги­по­те­ну­зу AB:

Ра­ди­ус впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник окруж­но­сти равен по­ло­ви­не раз­но­сти суммы ка­те­тов и ги­по­те­ну­зы:

Ответ: 6.

При­ве­дем ре­ше­ние Мар­се­ля Да­вы­до­ва (Аба­кан).

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка как по­лу­про­из­ве­де­ние ка­те­тов:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

от­ку­да по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка Далее имеем:

Ре­ше­ние. В че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда от­сю­да

Ответ: 9.