Ре­ше­ние. Еже­ме­сяч­ное уве­ли­че­ние ва­лют­ной массы, на­хо­дя­щей­ся в об­ра­ще­нии, со­став­ля­ет 100 − 50  =  50 тыс. дол­ла­ров, по­это­му через n ме­ся­цев в стра­не будет (1000 + 50n) тыс. дол­ла­ров.

Ко­ли­че­ство фаль­ши­вых дол­ла­ров еже­ме­сяч­но умень­ша­ет­ся на тыс. дол­ла­ров. Из­на­чаль­но их было 1 000 000 · 0,2  =  200 000, по­это­му через n ме­ся­цев в стра­не будет (200 − 5n) тыс. фаль­ши­вых дол­ла­ров.

Через n ме­ся­цев фаль­ши­вые дол­ла­ры со­ста­ви­ли 5% от об­ще­го ко­ли­че­ства дол­ла­ров. Имеем:

Ответ: через 20 ме­ся­цев.

Ре­ше­ние. Пусть сумма на­хо­дя­щих­ся в банке средств кли­ен­тов со­став­ля­ет S де­неж­ных еди­ниц. Банк по­лу­чит наи­мень­шую при­быль, если его до­хо­ды по обоим вло­же­ни­ям ока­жут­ся ми­ни­маль­ны­ми, а вы­пла­ты кли­ен­там мак­си­маль­ны­ми. Ве­ли­чи­на ми­ни­маль­ных до­хо­дов со­став­ля­ет

Вы­пла­та кли­ен­там по выс­шей став­ке (20%) со­став­ля­ет 0,2 . Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шая воз­мож­ная чи­стая при­быль равна

Банк по­лу­чит наи­боль­шую при­быль, если его до­хо­ды по обоим вло­же­ни­ям ока­жут­ся мак­си­маль­ны­ми, а вы­пла­ты кли­ен­там ми­ни­маль­ны­ми. Ве­ли­чи­на мак­си­маль­ных до­хо­дов со­став­ля­ет

Вы­пла­та кли­ен­там по низ­шей став­ке (10%) со­став­ля­ет 0,1 . По­это­му наи­боль­шая воз­мож­ная чи­стая при­быль равна

Ответ: 5%; 20%.

При­ме­ча­ние.

Эта за­да­ча, взя­тая нами из ва­ри­ан­тов А. Ла­ри­на № 93 и № 239, впер­вые, по-ви­ди­мо­му, была пред­ло­же­на на всту­пи­тель­ном эк­за­ме­не по ма­те­ма­ти­ке для по­сту­па­ю­щих на от­де­ле­ние ме­недж­мен­та эко­но­ми­че­ско­го фа­куль­те­та МГУ им. М. В. Ло­мо­но­со­ва в июле 1997 года. Со­став­ляя пар­ную за­да­чу к этой, ав­то­ры, по всей ве­ро­ят­но­сти, до­пу­сти­ли ошиб­ку, рас­про­стра­нен­ную потом при ци­ти­ро­ва­нии в ме­то­ди­че­ских пуб­ли­ка­ци­ях. Ин­те­ре­су­ю­ще­му­ся чи­та­те­лю ре­ко­мен­ду­ем са­мо­сто­я­тель­но ре­шить эту (не­слож­ную) за­да­чу, а затем про­ве­рить себя.

Ре­ше­ние и ком­мен­та­рии при­ве­де­ны в за­да­нии 621856.

Ре­ше­ние. Пусть х м  — глу­би­на ко­лод­ца. Тогда часть вы­плат, за­ви­ся­щих от глу­би­ны ко­лод­ца, об­ра­зу­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью 500, пер­вый член ко­то­рой равен 1000. Най­дем сумму пер­вых х чле­нов про­грес­сии, по­след­ний член ко­то­рой равен Она (сумма) будет равна

По­сколь­ку, кроме ука­зан­ной суммы, было вы­пла­че­но еще 10 000 руб, а сред­няя сто­и­мость 1 м при этом со­ста­ви­ла 6250 руб, то имеет место урав­не­ние, ко­то­рое решим, имея в виду, глу­би­на ко­лод­ца свыше 10 м.

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. При удо­ро­жа­нии ком­му­наль­ных услуг на 100%, общая сумма уве­ли­чи­лась бы на 70%. А если бы элек­три­че­ство по­до­ро­жа­ло на 100%, то общая сумма пла­те­жа уве­ли­чи­лась бы на 20%. Зна­чит, в общем пла­те­же на ком­му­наль­ные услу­ги при­хо­дит­ся 70%, а на элек­три­че­ство  — 20%. По­это­му на те­ле­фон при­хо­дят­ся остав­ши­е­ся 10%.

При­ведём дру­гие ре­ше­ния.

1.  Ал­геб­ра­и­че­ский под­ход.

Пусть плата за ком­му­наль­ные услу­ги и элек­три­че­ство со­став­ля­ет х руб. в месяц, а за те­ле­фон  — у руб. Если плата и за ком­му­наль­ные услу­ги, и за элек­три­че­ство уве­ли­чит­ся на 50%, эта часть опла­ты со­ста­вит 1,5x руб., что по­вле­чет уве­ли­че­ние общей суммы пла­те­жа на 35% + 10%  =  45%. Тогда

Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да Это озна­ча­ет, что на те­ле­фон при­хо­дит­ся часть от общей суммы пла­те­жа, а это со­став­ля­ет 10%.

2.  Ариф­ме­ти­ка по­мо­га­ет ал­геб­ре.

Если все три вида предо­став­ля­е­мых услуг по­до­ро­жа­ют на 50%, то общая сумма пла­те­жа уве­ли­чит­ся на 50%. Но из-за того, что пла­теж за услу­ги те­ле­фо­нии оста­нет­ся не­из­мен­ным, общая сумма пла­те­жа после по­до­ро­жа­ния по осталь­ным двум видам услуг будет на 50% − 35% −10%  =  5% мень­ше. Эти 5%  — доля те­ле­фо­нии в числе 50% опла­ты за все услу­ги. Тем самым, доля опла­ты за те­ле­фон со­став­ля­ет 5/⁠50 или 10% от общей суммы.

3.  Си­сте­ма ли­ней­ных урав­не­ний.

Обо­зна­чим за x долю общей опла­ты, при­хо­дя­щей­ся на ком­му­наль­ные услу­ги, за y  — на элек­три­че­ство и за z  — на те­ле­фон. Со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний. Сумма всех оплат   — пер­вое урав­не­ние. Уве­ли­чи­ва­ем в 1,5 раза ком­му­наль­ные услу­ги:   — вто­рое урав­не­ние. Уве­ли­чи­ва­ем в 1,5 раза опла­ту за элек­три­че­ство:   — тре­тье урав­не­ние. Затем вы­чи­та­ем из тре­тье­го урав­не­ния пер­вое, по­лу­ча­ем от­сю­да Затем вы­чи­та­ем из вто­ро­го урав­не­ния пер­вое, по­лу­ча­ем от­сю­да Под­став­ля­ем в пер­вое урав­не­ние: от­сю­да или 10%.

Ответ: 10%.

Ре­ше­ние. Пусть x кг  — масса яблок 1-го сорта, y кг  — масса яблок 2-⁠го сорта, остав­ши­е­ся 91 − (x + у) кг  — масса яблок 3-⁠го сорта. Для ве­ли­чи­ны вы­руч­ки имеем:

от­ку­да (*).

По­сколь­ку масса яблок 1-⁠го сорта мень­ше массы яблок 2-⁠го сорта на столь­ко же про­цен­тов, на сколь­ко про­цен­тов масса яблок 2-⁠го сорта мень­ше массы яблок 3-⁠го сорта имеем:

Под­ста­вим усло­вие (*) в по­лу­чен­ную про­пор­цию и решим ее:

Таким об­ра­зом, са­до­вод про­дал 7 кг яблок пер­во­го сорта и, сле­до­ва­тель­но, 35 − 14 = 21 кг яблок вто­ро­го сорта.

Ответ: 21.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пусть x кг  — масса яблок пер­во­го сорта, про­дан­ных са­до­во­дом, а масса яблок вто­ро­го сорта со­став­ля­ет tx кг. Тогда масса про­дан­ных яблок тре­тье­го сорта со­ста­вит tx · t  =  t²x кг. По усло­вию за­да­чи:

По­де­лив почлен­но ра­вен­ство (2) на ра­вен­ство (1), по­лу­чим:

Зна­че­ние не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи. Зна­че­ние x най­дем из урав­не­ния

Ответ: 21 кг.

Ре­ше­ние. Пусть сумма, ко­то­рой пер­во­на­чаль­но рас­по­ла­га­ла ад­ми­ни­стра­ция края, со­став­ля­ла S у. е., а цена бар­ре­ля сырой нефти M у. е. Тогда пер­во­на­чаль­но воз­мож­ный объем за­ку­пок со­став­лял бар­ре­лей. Этот объем при­мем за 100 про­цен­тов. За 2 ме­ся­ца хра­не­ния в банке по­ло­жен­ная сумм вы­рос­ла до у. е., а цена бар­ре­ля сырой нефти за это же время убыла до у. е. Сле­до­ва­тель­но, 1 но­яб­ря 2001 г. ру­ко­вод­ство края на эту сумму могла за­ку­пить бар­ре­лей сырой нефти. Про­цент­ное от­но­ше­ние этого объ­е­ма к пер­во­на­чаль­но воз­мож­но­му объ­е­му за­ку­пок со­ста­вит:

Зна­чит, ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить 1 но­яб­ря 2001 г. неф­тя­ные за­па­сы края на 96% боль­ше, чем 1 сен­тяб­ря того же года.

Ответ: 96.

Ре­ше­ние.

Ответ: цена тре­тье­го пред­ло­же­ния со­ста­ви­ла $48 за одну акцию; всего было вы­куп­ле­но 108 000 акций.

Ре­ше­ние. Пер­вый спо­соб (близ­кий к ариф­ме­ти­че­ско­му ре­ше­нию).

Пусть пер­вый бро­кер купил x акций, а вто­рой  — y акций. Тогда пер­вый про­дал акций, вто­рой  — акций.

То, что сумма от про­да­жи акций, по­лу­чен­ных вто­рым бро­ке­ром, на 140% пре­вы­си­ла сумму, по­лу­чен­ную пер­вым бро­ке­ром, озна­ча­ет: сумма, по­лу­чен­ная вто­рым бро­ке­ром, боль­ше суммы, по­лу­чен­ной пер­вым, в 2,4 раза:

Так как цена одной акции у обоих бро­ке­ров оди­на­ко­ва, а по­лу­чен­ные суммы прямо про­пор­ци­о­наль­ны ко­ли­че­ству акций, про­дан­ных каж­дым бро­ке­ром, то

Если k  — ко­эф­фи­ци­ент про­пор­ци­о­наль­но­сти ко­ли­че­ства акций, куп­лен­ных бро­ке­ра­ми, то ими при­об­ре­те­но акций на сумму 3640 р. Сле­до­ва­тель­но, на тот мо­мент цена каж­дой акции со­став­ля­ла:

Пер­вый бро­кер про­дал акций, вто­рой акций. Всего было про­да­но акций. К мо­мен­ту про­да­жи цена одной акции стала

Зна­чит, цена одной акции воз­рос­ла на 37,5%

Вто­рой спо­соб (пре­об­ла­да­ет ал­геб­ра­и­че­ский под­ход).

Пусть x р.  — пер­во­на­чаль­ная цена одной акции, y  — ко­ли­че­ство акций, куп­лен­ных пер­вым бро­ке­ром, z  — ко­ли­че­ство акций, куп­лен­ных вто­рым бро­ке­ром. И пусть цена одной акции воз­рос­ла на t %. Тогда: (1)

Со вре­ме­нем цена одной акции вы­рос­ла до руб­лей.

Пер­вый бро­кер про­дал акций на сумму руб­лей, а вто­рой бро­кер  — на руб­лей.

Со­глас­но усло­вию за­да­чи имеем: т. е.

Сумма от про­да­жи акций, по­лу­чен­ная вто­рым бро­ке­ром, на 140% пре­вы­си­ла сумму, по­лу­чен­ную пер­вым бро­ке­ром, по­это­му

Под­ста­вив по­лу­чен­ное зна­че­ние z в урав­не­ние (1), будем иметь:

Под­ста­вим то же зна­че­ние z в урав­не­ние (2):

А зна­че­ние xy нами най­де­но выше.

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 37,5.

Ре­ше­ние. Пусть Вася купил квар­ти­ру в кре­дит. Тогда он дол­жен по­га­сить кре­дит за 20 лет, то есть за 240 оди­на­ко­вых еже­ме­сяч­ных пла­те­жей. Сумма, ко­то­рую он дол­жен вы­пла­тить банку, по усло­вию на 180% пре­вы­ша­ет ис­ход­ные 3 млн. руб., то есть равна 3000 · 2,8  =  8400 тыс. руб. Раз­де­лив эту сумму на 240, по­лу­ча­ем еже­ме­сяч­ный пла­теж, рав­ный 35 тыс. руб.

Далее, если вме­сто этого Вася сни­мал квар­ти­ру, то после опла­ты арен­ды у него будет оста­вать­ся еже­ме­сяч­но 20 тыс. руб. Тогда 3 млн руб. Вася на­ко­пит за 3000 : 20  =  150 ме­ся­цев или за 12,5 лет.

Ответ: 12,5 лет.

Ре­ше­ние. Ма­га­зин при­обрёл у по­след­не­го по­сред­ни­ка по цене руб­лей. Тогда за счёт по­сред­ни­ков цена воз­рос­ла в раз. Пусть х по­сред­ни­ков уве­ли­чи­ва­ли цену в 1,5 раза, у по­сред­ни­ков  — в 2 раза. Тогда тогда от­ку­да Учи­ты­вая, что числа 2 и 3 вза­им­но про­стые, по­лу­ча­ем, что то есть От­сю­да общее ко­ли­че­ство по­сред­ни­ков равно х + у  =  5.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Пусть в ре­ги­о­не В в 2014 году про­жи­ва­ло n че­ло­век.

Со­ста­вим таб­ли­цу из­ме­не­ния сред­не­ме­сяч­но­го до­хо­да на душу на­се­ле­ния по дан­ным за­да­чи.

	2014	2015	2016	2017
Ре­ги­он А
Сред­не­ме­сяч­ный доход на душу на­се­ле­ния	43740	43740 · 1,25	43740 · 1,252	43740 · 1,253
Ре­ги­он В
Сред­не­ме­сяч­ный сум­мар­ный доход жи­те­лей	60 000n	60 000n · 1,17	60 000n · 1,172	60 000n · 1,173
Число жи­те­лей	n
Сред­не­ме­сяч­ный доход на душу на­се­ле­ния	60 000

По усло­вию от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да Таким об­ра­зом, на­се­ле­ние ре­ги­о­на B росло на 4% в год.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Пусть в пер­вом со­су­де было x кг соли, а во вто­ром y кг. Тогда доля соли в пер­вом со­су­де со­став­ля­ла а во вто­ром  — После ис­па­ре­ния части воды доли будут равны и По­сколь­ку масса соли оста­лась не­из­мен­ной, масса рас­тво­ров умень­ши­лась в p и q раз со­от­вет­ствен­но.

Наи­боль­шей массе ис­па­рив­шей­ся воды со­от­вет­ству­ет наи­мень­шая масса остав­ших­ся рас­тво­ров. Зна­чит, нужно опре­де­лить наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния Ис­поль­зуя со­от­но­ше­ние между сред­ним ариф­ме­ти­че­ским и сред­ним гео­мет­ри­че­ским двух по­ло­жи­тель­ных чисел по­лу­ча­ем

Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся, если то есть Если взять и то все усло­вия будут вы­пол­не­ны (в том числе то, что то есть вода и прав­да ис­па­ря­лась).

Зна­чит, могло ис­па­рить­ся мак­си­мум кг воды.

Ответ: кг.

Ре­ше­ние. Пусть про­из­вод­ство пше­ни­цы на душу на­се­ле­ния в 2015 году в стра­не А рав­ня­лось а в 2018 году  — Пусть также про­из­вод­ство пше­ни­цы на душу на­се­ле­ния в 2015 году в стра­не B рав­ня­лось а в 2018 году  — Тогда

По усло­вию в 2018 году про­из­вод­ство зерна на душу на­се­ле­ния в стра­нах А и В стало оди­на­ко­вым. Зна­чит,

Под­ста­вим зна­че­ния и по­лу­чим:

Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

Ответ: 18,75.

Ре­ше­ние. Пусть один из биз­не­сме­нов вло­жил в дело a млн руб., а вме­сте они вло­жи­ли b млн руб., тогда доля этого биз­не­сме­на равна Пусть этот биз­не­смен после до­пол­ни­тель­но вло­жил t млн руб., тогда его доля вы­рас­тет на

Тогда

Из­на­чаль­но доля этого биз­не­сме­на со­став­ля­ла После вне­се­ния пер­во­го до­пол­ни­тель­но­го мил­ли­о­на его доля со­ста­ви­ла после вне­се­ния вто­ро­го  — Пусть в тре­тий раз он внёс до­пол­ни­тель­но x млн руб. Для от­ве­та на во­прос за­да­чи решим урав­не­ние

Чтобы уве­ли­чить свою долю еще на 0,06, биз­не­сме­ну нужно ещё до­ба­вить 2 млн руб­лей.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Пусть Ев­ге­ний от­кла­ды­ва­ет в се­ре­ди­не каж­до­го ме­ся­ца х руб­лей. К се­ре­ди­не n-го ме­ся­ца у Ев­ге­ния ско­пит­ся nx руб­лей, а акции будут сто­ить не более 195 000 · 1,4ⁿ⁻¹ руб­лей. Для того чтобы Ев­ге­ний смог ку­пить пакет акций в этом ме­ся­це, не­об­хо­ди­мо, чтобы вы­пол­ня­лось не­ра­вен­ство По­ло­жим Для того что бы Ев­ге­ний смог через не­ко­то­рое время ку­пить пакет акций, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но от­кла­ды­вать сумму, боль­шую либо рав­ную наи­мень­ше­му из чисел Срав­ним два по­сле­до­ва­тель­ных таких числа. Для этого вы­чис­лим их от­но­ше­ние:

От­сю­да по­лу­ча­ем, что при вы­пол­не­но не­ра­вен­ство а при вы­пол­не­но не­ра­вен­ство Зна­чит, наи­мень­шим из чисел a_n будет число

По­это­му наи­мень­шая сумма, ко­то­рую нужно от­кла­ды­вать Ев­ге­нию, равна 127 400 руб­лям.

Ответ: 127 400 руб­лей.

Ре­ше­ние. Пусть ис­ко­мая сумма равна К ты­ся­чам руб­лей. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи (все еди­ни­цы из­ме­ре­ния при­ве­де­ны в ты­ся­чах руб­лей).

Решим урав­не­ние:

Ответ: 2 300 000.

Ре­ше­ние. Пусть сумма средств, о ко­то­рых идет речь, равна S у. е. Наи­мень­шая при­быль, ко­то­рую банку могут при­не­сти оба про­ек­та, равна

Банк по­лу­чит наи­мень­шую чи­стую при­быль 0,1S, если он вы­пла­тит своим кли­ен­там про­цен­ты по выс­шей став­ке. Пусть она равна a%, тогда:

Наи­боль­шая при­быль, ко­то­рую банку могут при­не­сти оба про­ек­та равна

Банк по­лу­чит наи­боль­шую чи­стую при­быль 0,15S, если он вы­пла­тит кли­ен­там про­цен­ты по низ­шей став­ке. Пусть она равна b%, тогда

Зна­чит, и наи­мень­ший, и наи­боль­ший воз­мож­ные уров­ни про­цент­ной став­ки равны и со­став­ля­ют 15%. То есть при став­ке 15% банк по­лу­чит от 10 до 15 про­цен­тов чи­стой при­бы­ли.

Ответ: 15%.

При­ме­ча­ние.

Эта за­да­ча, взя­тая нами из ва­ри­ан­та А. Ла­ри­на № 366, впер­вые была пред­ло­же­на на всту­пи­тель­ном эк­за­ме­не по ма­те­ма­ти­ке для по­сту­па­ю­щих на от­де­ле­ние ме­недж­мен­та эко­но­ми­че­ско­го фа­куль­те­та МГУ им. М. В. Ло­мо­но­со­ва в июле 1997 года и позже ци­ти­ро­ва­лась в ме­то­ди­че­ских пуб­ли­ка­ци­ях для аби­ту­ри­ен­тов и учи­те­лей. См., на­при­мер, Сер­ге­ев И. Н., Мель­ни­ков И. И., Олех­ник С. Н. Ма­те­ма­ти­ка. За­да­чи всту­пи­тель­ных эк­за­ме­нов с от­ве­та­ми и ре­ше­ни­я­ми (1993−1997 гг.) на стр. 72, или жур­нал Ма­те­ма­ти­ка в школе № 2 за 1998 год. В по­след­ней пуб­ли­ка­ции при­ве­де­но ре­ше­ние, да­ю­щее дру­гой ответ: наи­мень­ший воз­мож­ный уро­вень про­цент­ной став­ки со­став­ля­ет 10%, а наи­боль­ший  — 20%. При­во­дим его ниже (в ре­ше­нии опе­чат­ка: два­жды ука­за­но p_x, вто­рой раз долж­но быть p_y).

Ре­ше­ние, по сути, со­сто­ит в по­сле­до­ва­тель­ном по­лу­че­нии сле­ду­ю­щих оце­нок:

а это озна­ча­ет, что

Дей­ствия с не­ра­вен­ства­ми вы­пол­не­ны верно. Но по­че­му же от­ли­ча­ет­ся ответ?

Дело в по­стро­е­нии ма­те­ма­ти­че­ской мо­де­ли  — в пе­ре­во­де усло­вия с рус­ско­го на язык ма­те­ма­ти­че­ских со­от­но­ше­ний. В пер­вом ре­ше­нии фраза «Опре­де­лить наи­мень­ший и наи­боль­ший воз­мож­ные уров­ни про­цент­ной став­ки, при ко­то­рых чи­стая при­быль банка со­ста­вит не менее 10% и не более 15% го­до­вых» по­ни­ма­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: не­об­хо­ди­мо опре­де­лить уро­вень про­цент­ной став­ки, при ко­то­ром чи­стая при­быль банка НЕ ВЫЙ­ДЕТ ЗА ПРЕ­ДЕ­ЛЫ от 10% до 15%.

Вто­рое ре­ше­ние со­от­вет­ству­ет та­ко­му усло­вию: «Из­вест­но, что чи­стая при­быль банка со­ста­ви­ла от 10% до 15%, какой при этом могла быть про­цент­ная став­ка?». Дру­ги­ми сло­ва­ми, ав­то­ра­ми рас­смат­ри­ва­ет­ся во­прос о том, при каком зна­че­нии про­цент­ной став­ки чи­стая при­быль МОЖЕТ ОКА­ЗАТЬ­СЯ В ПРЕ­ДЕ­ЛАХ от 10% до 15% (но может и выйти за эти пре­де­лы).

Раз­ли­чие между двумя при­ве­ден­ны­ми во­про­са­ми ил­лю­стри­ру­ет при­ве­ден­ная спра­ва схема: если от­ло­жен­ная на вер­ти­каль­ной оси про­цент­ная став­ка для кли­ен­тов К лежит от 10 до 20 про­цен­тов, то при­быль банка Б может ока­зать­ся ока­зать­ся от 10 до 15 про­цен­тов, но может быть и 5%, и 20%. (Ана­ло­гич­но из усло­вия х  =  2, сле­ду­ет, что x > 0, но об­рат­ное не­вер­но.) Так и здесь: если 0,1 < Б < 0,15, то 0,10 < К < 0,20, но об­рат­ное не­вер­но. Дей­стви­тель­но, если 0,10 < К < 0,20, то 0,05 < Б < 0,20, а по­след­нее вклю­ча­ет в себя зна­че­ния 0,10 < Б < 0,15, но со­дер­жит и иные зна­че­ния.

По­вто­рим ска­зан­ное дру­ги­ми сло­ва­ми: в пер­вом ре­ше­нии мы ищем все такие K, чтобы для каж­до­го из них было верно не­ра­вен­ство 0,10 < Б < 0,15. Во вто­ром ре­ше­нии ав­то­ры ищут все такие К, ко­то­рые воз­мож­ны при 0,10 < Б < 0,15. На этот во­прос ав­то­ры от­ве­ча­ют верно. Но это дру­гая за­да­ча.

Ре­ше­ние. Пусть общая сумма ин­ве­сти­ций равна x млн руб., а доля пер­во­го ин­ве­сто­ра в общем биз­не­се со­став­ля­ла ω. По усло­вию за­да­чи долж­на вы­пол­нять­ся си­сте­ма

После до­пол­ни­тель­ных вло­же­ний в 2 млн руб. доля пер­во­го ин­ве­сто­ра стала равна а общая сумма ин­ве­сти­ций до­стиг­ла млн руб. Чтобы доля пер­во­го ин­ве­сто­ра уве­ли­чи­лась ещё на 0,06, ему до­пол­ни­тель­но нужно вне­сти y млн руб., а по­то­му

Ответ: 2.