а) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:

Из уравнения получаем

Заметим, что если то а тогда Следовательно условию не удовлетворяют значения переменной, для которых и одновременно. Поэтому серия даёт посторонние корни, а серия даёт решения заданного уравнения (см. рис.). Тем самым,

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни уравнения, лежащие на отрезке Получим

Ответ: а) б)

Уравнение равносильно системе:

Уравнение решений не имеет. Учитывая, что получаем:

Ответ:

Уравнение равносильно системе:

Уравнение решений не имеет. Учитывая, что получаем:

Ответ:

Уравнение имеет смысл если Приравняем числитель к нулю:

Учитывая условие получаем, что серии и не являются решениями исходного уравнения.

Ответ:

Левая часть уравнения имеет смысл при Поэтому множитель положителен. Рассмотрим два случая.

Первый случай: тогда

Второй случай: тогда

Учитывая условие получаем, что числа не являются решениями данного уравнения.

Ответ:

Перейдём к системе:

Решим первое уравнение:

Учитывая, что получаем:

Ответ:

Найдем нули числителя:

 

Учитывая, что получаем:

Ответ:

Левая часть уравнения имеет смысл при Выражение положительно при всех допустимых Значит,

Учитывая, что и получаем, что решениями являются числа

Ответ:

Левая часть уравнения имеет смысл при и Скобка положительна при всех допустимых Рассмотрим первую скобку:

Учитывая, что и получаем, что решениями являются числа

Ответ:

Левая часть уравнения имеет смысл при Преобразуем уравнение:

Поскольку получаем:

Учитывая, что получаем,

Ответ:

Левая часть уравнения имеет смысл при

Преобразуем уравнение:

Поскольку получаем:

Учитывая, что , находим:

Ответ:

а) Перейдём к системе:

Рассмотрим первое уравнение системы:

Условию удовлетворяют только решения и

б) На отрезке корни отберём с помощью единичной окружности. Получаем:

Ответ: а) б)

а) Последовательно получаем:

откуда или

б) Корни, принадлежащие отрезку отберём с помощью единичной окружности.

Получаем и

Ответ: а) б)

а) Получаем:

откуда

б) Корни, принадлежащие отрезку отберём с помощью единичной окружности. Получаем числа: и

Ответ: а) б)

а) Решим уравнение:

Из уравнения получаем Неравенству удовлетворяют корни, изображаемые точками третьей четверти единичной окружности:

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни уравнения, лежащие на отрезке Получим

Ответ: а) б)

Решим уравнение

Из найденный решений условию удовлетворяет только и

Ответ:

Преобразуем уравнение:

Откуда получаем, что

В первом случае решений нет. Во втором случае:

Ответ:

Решим уравнение

откуда

Из найденных решений условию (*) удовлетворяют только и

Ответ:

Левая часть уравнения имеет смысл при

Если то откуда Если то

Так как числа не являются решениями уравнения.

Ответ:

Уравнение равносильно системе

Из неравенства получаем, что В уравнении сделаем замену и решим уравнение или Равенствам и на тригонометрической окружности соответствует четыре точки. Две из них, находящиеся в верхней полуплоскости, не удовлетворяют условию Получаем решения:

Ответ:

Уравнение равносильно системе

Решим уравнение:

Тогда или Последнее уравнение не имеет решений, а из первого, учитывая, что , получаем

Ответ:

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю и не теряет смысла. Поэтому данное уравнение равносильно системе:

Решив уравнение системы как квадратное относительно находим либо Если то то есть Следовательно, Если то В этом случае с учетом условия системы получаем, что из двух точек единичной окружности, соответствующих решениям уравнения нужно оставить только ту, для которой Это точка четвертой четверти, и решение уравнении имеет вид

Ответ:

Найдем область определения уравнения:

Найдем корни числителя, используем формулу

Откуда

С учетом области определения уравнения получаем:

Ответ:

Найдем ОДЗ:

Найдем корни числителя:

Отметим корни на тригонометрической окружности:

С учетом ОДЗ (см. рис.) получаем:

Ответ:

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла:

Из уравнения получаем , так как Решением уравнения является Одно из которых лежит в первой четверти (и, значит, для него неравенство не выполняется), а другое — в четвертой четверти (для него неравенство выполняется), значит, решением этой системы является серия

Осталось решить второе уравнение совокупности:

Ответ:

Если то решений нет.

Если то

Если , то откуда или

Уравнение не имеет решений.

Учитывая, что , из уравнения получаем:

Ответ:

Левая часть уравнения имеет смысл при

Если то

Если , то , откуда

Учитывая, что из уравнения получаем:

Ответ:

а) Пусть тогда имеем:

б) С помощью числовой окружности (см. рис.) найдём корни из отрезка Получим числа:

Ответ: а) б)

Левая часть уравнения имеет смысл при

Если , то , откуда

Если , то , откуда или

Уравнение не имеет решений.

Уравнение имеет корни Учитывая, что , получаем:

Ответ:

а) Решим уравнение:

б) Отбор корней. Составим двойное неравенство:

Тогда искомый корень

Ответ: а) б)

а) Преобразуем уравнение:

Если то

Второй случай:

б) Отметим решения на единичной окружности.

Отрезку принадлежат корни и

Ответ: а) б)

а) Преобразуем уравнение

Если то

Если то

б) Отметим решения на единичной окружности.

Отрезку принадлежат корни и

Ответ: а) б)

а)

Из уравнения (1) находим:

Так как решения уравнения (a) не удовлетворяют условию (2), то окончательно получаем

б) Из найденных в пункте а) решений промежутку принадлежит только одно число:

Ответ: а) б)

а) Область определения данного уравнения задается условием

При этом условии имеем: откуда или

Корни уравнения не удовлетворяют условию а из уравнения получаем или

б) Из найденных решений промежутку принадлежат числа

Ответ: а) б)

а) Область определения данного уравнения задается условием

При этом условии имеем: откуда или

Корни уравнения не удовлетворяют условию а из уравнения получаем

б) Из найденных решений промежутку принадлежат числа

Ответ: а) б)

а) Левая часть уравнения определена, если и При этом

Поэтому уравнение можно переписать в виде

Решив последнее уравнение как квадратное относительно получим или Значит, либо откуда

либо что невозможно в силу условия

б) Отберем с помощью единичной окружности отберём корни, принадлежащие промежутку

Ответ: а) б)

Приведём другое решение.

а)

 

 

б)

Отрезку принадлежит корень

а) Преобразуем уравнение:

откуда или где

б) Отберем корни на промежутке с помощью тригонометрической окружности.

Получаем и

Ответ: а) б)

а) Используя формулу синуса двойного угла и формулу приведения, имеем:

б) При помощи единичной окружности находим, что отрезку принадлежит только корень

Ответ: а) б)

а) Левая часть уравнения определена при то есть при Числитель дроби должен быть равен нулю:

Серию нужно отбросить. Получаем ответ:

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, лежащие на отрезке

Ответ: а) б)

а) Решим уравнение

б) Найдем корни, лежащие в заданном отрезке, решая двойное неравенство:

Тогда искомый корень

Примечание.

Отобрать корни можно, используя тригонометрическую окружность (см. рис.).

Ответ: а) б)

а) Левая часть уравнения определена при , то есть при Числитель дроби должен быть равен :

Серию нужно отбросить. Получаем ответ:

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, лежащие на отрезке Получим числа:

Ответ: а) б)

Ответ:

Произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы одно из них равно нулю, а другое при этом не теряет смысла:

Поскольку , то Поэтому

Ответ:

а) Имеем:

Откуда

б) Корни, принадлежащие отрезку отберём с помощью единичной окружности. Получим число

Ответ: а) б)

а) Имеем

Откуда или

б) Корни, принадлежащие отрезку отберём с помощью единичной окружности. Получаем

Ответ: а) б)

а) Последовательно получаем:

б) В силу цепочки соотношений условию удовлетворяет только одно решение уравнения — число

Ответ: а) б)

а) Преобразуем уравнение

б) Поскольку на заданном отрезке лежит только одно число —

Ответ: a) б)

а) Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, или откуда или откуда или где

При найденных значениях переменной

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку

Получим числа:

Ответ: а) б)

а) Решим уравнение:

б) Среди представленных корней отберем те, которые принадлежат отрезку

Это числа и

Ответ: а) б)

а) Решим уравнение:

б) Среди представленных корней с помощью тригонометрической окружности отберем те, которые принадлежат отрезку Получим число

Ответ: а) б)

а) Перейдём к системе

Откуда

б) С помощью числовой окружности отберём корни на отрезке Получим число

Ответ: а) б)

а) Перейдём к системе:

Решаем уравнение системы

Получаем:

С учётом всех ограничений

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим число

Примечание. Отбор корней может быть обоснован и любым другим способом: с помощью графика, решения двойных неравенств и т. п.

Ответ: а) б)

а) Имеем:

Откуда

б) Корни, принадлежащие отрезку , отберём с помощью единичной окружности.

Получаем

Ответ: а) б)

а) Преобразуем уравнение:

б) Отбор корней произведём с помощью единичной окружности. Отрезку принадлежат корни и

Ответ: а) б)

а) Сведём уравнение к однородному тригонометрическому уравнению второй степени.

а) Сведём уравнение к однородному тригонометрическому уравнению второй степени.

Получаем , или

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа

Ответ: а) б)

Заметим предварительно, что в силу формулы справедлива формула откуда Имеем:

Неотрицательным значениям параметра k соответствуют положительные значения корней; они не лежат на отрезке Будем последовательно перебирать отрицательные значения параметра: значению соответствуют корни и значению соответствуют корни и значению соответствуют корни и Меньшим значениям k соответствуют меньшие значения корней; они также не лежат на заданном отрезке. Из вышеперечисленных корней заданному отрезку принадлежат числа и

Ответ: а) б) и

Имеем:

Условию удовлетворяют числа и .

Ответ: а) ;

                б) .