а) Дробь равна нулю, когда чис­ли­тель равен нулю, а зна­ме­на­тель от­ли­чен от нуля:

Из урав­не­ния получаем

или

Неравенству удо­вле­тво­ря­ет толь­ко серия

б) При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни уравнения, ле­жа­щие на от­рез­ке По­лу­чим

Ответ: а) ; б)

Уравнение рав­но­силь­но системе:

Уравнение ре­ше­ний не имеет. Учитывая, что получаем:

Ответ:

Уравнение рав­но­силь­но системе:

Уравнение ре­ше­ний не имеет. Учитывая, что получаем:

Ответ:

Урав­не­ние имеет смысл если При­рав­ня­ем чис­ли­тель к нулю:

Учи­ты­вая усло­вие получаем, что серии и не яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми исходного уравнения.

Ответ:

Левая часть урав­не­ния имеет смысл при По­это­му мно­жи­тель положителен. Рас­смот­рим два случая.

Первый случай: тогда

Второй случай: тогда

Учитывая усло­вие получаем, что числа не яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми дан­но­го уравнения.

Ответ:

Перейдём к системе:

Решим первое уравнение:

Учитывая, что получаем:

Ответ:

Найдем нули числителя:

 

 

Учитывая, что получаем:

Ответ:

Левая часть урав­не­ния имеет смысл при Вы­ра­же­ние по­ло­жи­тель­но при всех до­пу­сти­мых Значит,

Учитывая, что и получаем, что ре­ше­ни­я­ми яв­ля­ют­ся числа

Ответ:

Левая часть урав­не­ния имеет смысл при и Скобка по­ло­жи­тель­на при всех до­пу­сти­мых Рассмотри первую скобку:

Учитывая, что и получаем, что ре­ше­ни­я­ми яв­ля­ют­ся числа

Ответ:

Левая часть урав­не­ния имеет смысл при Пре­об­ра­зу­ем уравнение:

Поскольку получаем:

Учитывая, что получаем,

Ответ:

Левая часть урав­не­ния имеет смысл при

Преобразуем уравнение:

Поскольку получаем:

Учитывая, что , находим:

Ответ:

а) Перейдём к системе:

Рассмотрим пер­вое урав­не­ние системы:

Условию удо­вле­тво­ря­ют толь­ко ре­ше­ния и

б) На от­рез­ке корни отберём с по­мо­щью еди­нич­ной окружности. Получаем:

Ответ: а) б)

а) Получаем:

откуда

б) Корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку отберём с по­мо­щью еди­нич­ной окружности. По­лу­ча­ем и

Ответ: а) б) и

а) Решим уравнение:

Из урав­не­ния по­лу­ча­ем Не­ра­вен­ству удо­вле­тво­ря­ют корни, изоб­ра­жа­е­мые точ­ка­ми тре­тьей чет­вер­ти еди­нич­ной окружности:

б) При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни уравнения, ле­жа­щие на от­рез­ке По­лу­чим

Ответ: а) б)

Решим уравнение

Из найденный решений условию удовлетворяет только и

Ответ:

Преобразуем уравнение:

Откуда получаем, что

В пер­вом слу­чае ре­ше­ний нет. Во вто­ром случае:

Ответ:

Решим уравнение

Из найденных решений условию (*) удовлетворяют только и

Ответ:

Левая часть урав­не­ния имеет смысл при

Если то от­ку­да Если то

Так как числа не яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми уравнения.

Ответ:

Уравнение равносильно системе

Из неравенства получаем, что . В уравнении сделаем замену и решим уравнение или Равенствам и на тригонометрической окружности соответствует четыре точки. Две из них, находящиеся в верхней полуплоскости, не удовлетворяют условию Получаем решения:

Ответ:

Уравнение рав­но­силь­но системе

Решим уравнение:

Тогда или . По­след­нее уравнение не имеет решений, а из первого, учитывая, что , получаем: .

Ответ: .

Дробь равна нулю, если чис­ли­тель равен нулю, а зна­ме­на­тель не равен нулю и не те­ря­ет смысла. По­это­му данное урав­не­ние равносильно системе:

Решив урав­не­ние системы как квад­рат­ное относительно на­хо­дим либо Если то то есть Следовательно, Если то В этом слу­чае с уче­том условия си­сте­мы получаем, что из двух точек еди­нич­ной окружности, со­от­вет­ству­ю­щих решениям урав­не­ния нужно оста­вить только ту, для ко­то­рой Это точка чет­вер­той четверти, и ре­ше­ние уравнении имеет вид

Ответ:

Найдем об­ласть опре­де­ле­ния уравнения:

Найдем корни числителя, ис­поль­зу­ем фор­му­лу

Откуда,

С уче­том об­ла­сти опре­де­ле­ния урав­не­ния получаем:

Ответ:

Найдем ОДЗ:

Найдем корни числителя:

 

С уче­том ОДЗ (см. рис.) получаем:

Ответ:

Произведение двух мно­жи­те­лей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а дру­гой при этом не те­ря­ет смысла:

Из урав­не­ния по­лу­ча­ем , так как . Ре­ше­ни­ем уравнения яв­ля­ет­ся Одно из ко­то­рых лежит в пер­вой четверти (и значит, для него не­ра­вен­ство не выполняется), а дру­гое — в чет­вер­той четверти (для него не­ра­вен­ство выполняется), зна­чит решением этой системы является серия .

Оста­лось решить вто­рое уравнение со­во­куп­но­сти .

Ответ: .

Если то решений нет.

Если то

Если , то откуда или

Уравнение не имеет решений.

Учитывая, что , из уравнения получаем:

Ответ:

Левая часть уравнения имеет смысл при

Если то

Если , то , откуда

Учитывая, что из уравнения получаем:

Ответ:

Пусть тогда имеем:

С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти (см. рис.) найдём корни из от­рез­ка По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

Левая часть уравнения имеет смысл при .

Если , то , откуда .

Если , то , откуда или .

Уравнение не имеет решений.

Уравнение имеет корни Учитывая, что , получаем: .

Ответ: , .

а) Решим уравнение:

б) Отбор корней. Со­ста­вим двойное неравенство:

Тогда ис­ко­мый корень .

Ответ: а) б)

а)

Из уравнения (1) находим:

Так как решения уравнения (a) не удовлетворяют условию (2), то окончательно получаем

б) Из найденных в пункте а) решений промежутку принадлежит только одно число:

Ответ: а) б)

Область определения данного уравнения задается условием

При этом условии имеем: откуда или

Корни уравнения не удовлетворяют условию а из уравнения получаем

Из найденных решений промежутку принадлежат числа

Ответ: а) б)

Область опре­де­ле­ния дан­но­го урав­не­ния за­да­ет­ся усло­ви­ем

При этом усло­вии имеем: от­ку­да или

Корни урав­не­ния не удо­вле­тво­ря­ют усло­вию а из урав­не­ния по­лу­ча­ем

Из най­ден­ных ре­ше­ний про­ме­жут­ку при­над­ле­жат числа

Ответ: а) б)

а) Левая часть уравнения определена, если и При этом

Поэтому уравнение можно переписать в виде

Решив последнее уравнение как квадратное относительно получим или Значит, либо откуда

либо что невозможно в силу условия

б) Отберем с помощью единичной окружности отберём корни, принадлежащие промежутку

Ответ: а) б)

Приведём другое решение.

а)

 

 

 

б)

Отрезку принадлежит корень

а) Перейдём к системе:

Рассмотрим пер­вое урав­не­ние системы:

Поскольку получаем: от­ку­да

Условию удо­вле­тво­ря­ют только числа

б) На от­рез­ке корни отберём с по­мо­щью еди­нич­ной окружности. По­лу­ча­ем единственный корень:

Ответ: а) б)

Используя фор­му­лу си­ну­са двой­но­го угла и фор­му­лу приведения, имеем:

При по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти находим, что от­рез­ку при­над­ле­жит толь­ко ко­рень

Ответ: а) б)

а) Решим уравнение

б) Най­дем корни, ле­жа­щие в за­дан­ном отрезке, решая двой­ное неравенство:

Тогда ис­ко­мый ко­рень .

Примечание.

Отобрать корни можно, ис­поль­зуя три­го­но­мет­ри­че­скую окруж­ность (см. рис.).

Ответ: а) ; б) .

а) Имеем

откуда

б) Корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку отберём с по­мо­щью еди­нич­ной окружности. По­лу­чим

Ответ: а) б)

а) Имеем

откуда или

б) Корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку отберём с по­мо­щью еди­нич­ной окружности. По­лу­чаем

Ответ: а) б)

а) По­сле­до­ва­тель­но получаем:

б) В силу це­поч­ки со­от­но­ше­ний усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко одно ре­ше­ние урав­не­ния — число

Ответ: а) б)

а) Преобразуем уравнение

б) По­сколь­ку на за­дан­ном отрезке лежит толь­ко одно число:

Ответ: a) б)

а) Имеем

откуда или

б) Корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку , отберём с по­мо­щью еди­нич­ной окружности.

По­лу­чаем

Ответ: а) б)

а) Решим уравнение:

б) Среди представленных корней отберем те, которые принадлежат отрезку

Ответ: а) б)

а) Решим уравнение:

б) Среди представленных корней отберем те, которые принадлежат отрезку

Ответ: а) б)

а) Решим уравнение:

б) Среди представленных корней отберем те, которые принадлежат отрезку

Ответ: а) б)

а) Решим уравнение:

Пусть имеем

Тогда

б) Проверим, какие из корней принадлежат отрезку

Корень не принадлежит отрезку

Проверим второй корень. Заметим, что Поэтому:

Тогда

Ответ: а) б)

а) Решим уравнение:

б) Среди представленных корней с помощью тригонометрической окружности отберем те, которые принадлежат отрезку

Ответ: а) б)

а) Перейдём к системе

Получим

б) С помощью числовой окружности отберём корни на отрезке .

Получим .

Ответ: а) ; б) .

а) Перейдём к системе:

Решаем уравнение системы .

Получаем:

С учётом всех ограничений

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку .

Получим число .

Отбор корней может быть обоснован и любым другим способом: с помощью графика, решения двойных неравенств и т. п.

а) Имеем:

Откуда .

б) Корни, принадлежащие отрезку , отберём с помощью единичной окружности.

Получаем

Ответ: а) ; б) .

а) Имеем:

б) При помощи числовой оси отберем корни, принадлежащие отрезку Получим число

Ответ: а) 4; б)