СДАМ ГИА






Каталог заданий. Задача на доказательство и вычисление
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а второй — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.

а) Докажите, что пря­мые AD и BC параллельны.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKB, если известно, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 4 и 1.

Задание 16 № 501887


Источник: Проект демонстрационной версии ЕГЭ—2014 по математике.
2

В тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­на бис­сек­три­са АМ. Прямая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну В пер­пен­ди­ку­ляр­но АМ, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.

а) докажите, что бис­сек­три­са угла С делит от­ре­зок МN пополам

б) пусть Р — точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка АВС. Най­ди­те от­но­ше­ние АР : РN.

Задание 16 № 505501


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 19.06.2014. Основная волна, ре­зерв­ный день. Запад. Ва­ри­ант 1.
3

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним образом. Тре­тья окруж­ность ка­са­ет­ся пер­вых двух и их линии центров.

а) Докажите, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в цен­трах трёх окруж­но­стей равен диа­мет­ру наи­боль­шей из этих окружностей.

б) Най­ди­те ра­ди­ус тре­тьей окружности, если известно, что ра­ди­у­сы пер­вых двух равны 6 и 2.

Задание 16 № 507211

Аналоги к заданию № 507211: 507237

Решение

4

Диагональ AC пря­мо­уголь­ни­ка ABCD с цен­тром O об­ра­зу­ет со сто­ро­ной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.

а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.

б) Пря­мая OE пе­ре­се­ка­ет сторону AD пря­мо­уголь­ни­ка в точке K. Най­ди­те EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.

Задание 16 № 507262

Аналоги к заданию № 507262: 511418

5

Медианы AA1, BB1 и CC1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Точки A2, B2 и C2 — се­ре­ди­ны от­рез­ков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка A1B2C1A2B1C2 вдвое мень­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов всех сто­рон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.

Задание 16 № 507510

Аналоги к заданию № 507510: 511440



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 12.12.2013 с решениями: ва­ри­ант МА10301 (Часть С).
6

Медианы AA1, BB1 и CC1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Точки A2, B2 и C2 — се­ре­ди­ны от­рез­ков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка A1B2C1A2B1C2 вдвое мень­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов всех сто­рон этого шестиугольника, если известно, что AB = 4, BC = 7 и AC = 8.

Задание 16 № 507586


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 12.12.2013 с решениями: ва­ри­ант МА10302 (Часть С).
7

Хорды AD, BE и CF окруж­но­сти делят друг друга на три рав­ные части.

а) Докажите, что эти хорды равны.

б) Най­ди­те пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF, если точки A, B, C, D, E по­сле­до­ва­тель­но рас­по­ло­же­ны на окружности, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен

Задание 16 № 507889

Аналоги к заданию № 507889: 507912 511502



Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 21.01.2015 ва­ри­ант МА10109.
8

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AP и CQ.

а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.

б) Най­ди­те ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.

Задание 16 № 508235

Аналоги к заданию № 508235: 509045 509066 511508 511587



Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург 2015. Вариант 1.
9

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке KMN про­ве­де­ны вы­со­ты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Най­ди­те ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABM, если известно, что и ∠KMN = 45°.

Задание 16 № 508256

Аналоги к заданию № 508256: 511509



Источник: Проб­ный эк­за­мен Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 2.
10

Медианы AA1, BB1 и CC1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Известно, что AC = 3MB.

а) Докажите, что тре­уголь­ник ABC прямоугольный.

б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов ме­ди­ан AA1 и CC1, если известно, что AC = 12.

Задание 16 № 508974


Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10309.
Решение

11

Медианы AA1, BB1 и CC1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Известно, что AC = 3MB.

а) Докажите, что тре­уголь­ник ABC прямоугольный.

б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов ме­ди­ан AA1 и CC1, если известно, что AC = 10.

Задание 16 № 509003


Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10310.
12

Точка О — центр окружности, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. На про­дол­же­нии от­рез­ка AO за точку О от­ме­че­на точка K так, что BK = OK.

а) Докажите, что че­ты­рех­уголь­ник ABKC вписанный.

б) Най­ди­те длину от­рез­ка AO, если известно, что ра­ди­у­сы впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей тре­уголь­ни­ка ABC равны 3 и 12 соответственно, а OK = 5.

Задание 16 № 509094

Аналоги к заданию № 509094: 511589 511592



Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Ва­ри­ант 1.
13

Точка О — центр окружности, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. На про­дол­же­нии от­рез­ка AO за точку О от­ме­че­на точка K так, что

а) Докажите, что че­ты­рех­уголь­ник OBKC вписанный.

б) Най­ди­те ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KBC, если известно, что ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АBC равен 12, а

Задание 16 № 509123


Источник: ЕГЭ 28.04.2014 по ма­те­ма­ти­ке. До­сроч­ная волна. Ва­ри­ант 2.
14

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC с пря­мым углом C из­вест­ны сто­ро­ны AC = 12, BC = 5. Окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром O на сто­ро­не BC про­хо­дит через вер­ши­ну C. Вто­рая окруж­ность ка­са­ет­ся ка­те­та AC, ги­по­те­ну­зы треугольника, а также внеш­ним об­ра­зом ка­са­ет­ся пер­вой окружности.

а) Докажите, что ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти меньше, чем длины ка­те­та AC.

б) Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окружности.

Задание 16 № 509161

Аналоги к заданию № 509161: 509024 510494 511581 511593



Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.02.2015 ва­ри­ант МА00410.
15

Окружность с цен­тром O про­хо­дит через вер­ши­ны B и C боль­шей бо­ко­вой сто­ро­ны пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABCD и ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AD в точке T . Точка O лежит внут­ри тра­пе­ции ABCD.

а) Докажите, что угол BOC вдвое боль­ше угла BTC.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки T до пря­мой BC, если ос­но­ва­ния тра­пе­ции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.

Задание 16 № 509582

Аналоги к заданию № 509582: 509929



Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10409.
16

Окружность, по­стро­ен­ная на ме­ди­а­не BM рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC как на диаметре, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние BC в точке K.

а) Докажите, что от­ре­зок BK втрое боль­ше от­рез­ка CK.

б) Пусть ука­зан­ная окруж­ность пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке N. Най­ди­те AB, если BK = 18 и BN = 17.

Задание 16 № 509823

Аналоги к заданию № 509823: 511600



Раздел: Алгебра
Источник: ЕГЭ по математике — 2015. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день (часть С).
17

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция KLMN с ос­но­ва­ни­я­ми KN и LM. Окруж­ность с цен­тром O, по­стро­ен­ная на бо­ко­вой сто­ро­не KL как на диаметре, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны MN и вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет боль­шее ос­но­ва­ние KN в точке H, точка Q — се­ре­ди­на MN.

а) Докажите, что четырёхугольник NQOH — параллелограмм.

б) Най­ди­те KN, если ∠LKN = 75° и LM = 1.

Задание 16 № 512338

Аналоги к заданию № 512338: 509204 510074



Источник: СтатГрад: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10107.
18

В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са R, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AC в точке M , причём AM = 2R и CM = 3R.

а) Докажите, что тре­уголь­ник ABC прямоугольный.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми его впи­сан­ной и опи­сан­ной окружностей, если известно, что R = 2 .

Задание 16 № 512359


Источник: СтатГрад: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10211.
19

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция KLMN с ос­но­ва­ни­я­ми KN и LM. Окруж­ность с цен­тром O, по­стро­ен­ная на бо­ко­вой сто­ро­не KL как на диаметре, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны MN и вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет боль­шее ос­но­ва­ние KN в точке H, точка Q — се­ре­ди­на MN.

а) Докажите, что четырёхугольник NQOH — параллелограмм.

б) Най­ди­те KN, если ∠LKN = 75° и LM = 2.

Задание 16 № 512380


Источник: СтатГрад: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10108.
20

В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са R, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AC в точке M , причём AM = 5R и CM = 1,5R.

а) Докажите, что тре­уголь­ник ABC прямоугольный.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми его впи­сан­ной и опи­сан­ной окружностей, если известно, что R = 4.

Задание 16 № 512401


Источник: СтатГрад: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10212.
21

Отрезок, со­еди­ня­ю­щий середины M и N ос­но­ва­ний BC и AD со­от­вет­ствен­но трапеции ABCD, раз­би­ва­ет её на две трапеции, в каж­дую из ко­то­рых можно впи­сать окружность.

а) Докажите, что тра­пе­ция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что ра­ди­ус этих окруж­но­стей равен 3, а мень­шее основание BC ис­ход­ной трапеции равно 8. Най­ди­те радиус окружности, ка­са­ю­щей­ся боковой сто­ро­ны AB, ос­но­ва­ния AN тра­пе­ции ABMN и впи­сан­ной в неё окружности.

Задание 16 № 513267


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
22

На от­рез­ке BD взята точка C. Бис­сек­три­са BL рав­но­бед­рен­но­го треугольника ABC с ос­но­ва­ни­ем BC яв­ля­ет­ся боковой сто­ро­ной равнобедренного тре­уголь­ни­ка BLD с ос­но­ва­ни­ем BD.

а) Докажите, что тре­уголь­ник DCL равнобедренный.

б) Известно, что В каком от­но­ше­нии прямая DL делит сто­ро­ну AB?

Задание 16 № 513277


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
23

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что

б) Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 10, BC = 32 и ∠ACB = 30°.

Задание 16 № 513281


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
24

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а второй — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.

а) Докажите, что пря­мые AD и BC параллельны.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKB, если известно, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 4 и 1.

Задание 16 № 503149


Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2014 по математике.
25

В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окружность ра­ди­у­са R, ка­са­ю­ща­я­ся стороны AC в точке D, причём AD= R.

а) Докажите, что тре­уголь­ник ABC прямоугольный.

б) Вписанная окруж­ность касается сто­рон AB и BC в точ­ках E и F. Най­ди­те площадь тре­уголь­ни­ка BEF, если известно, что R= 5 и CD =15.

Задание 16 № 502296


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2013 ва­ри­ант МА10101.
26

В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са R, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AC в точке D, причём AD = R.

а) Докажите, что тре­уголь­ник ABC прямоугольный.

б) Вписанная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон AB и BC в точ­ках E и F. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BEF, если известно, что R = 2 и CD = 10.

Задание 16 № 502316

Аналоги к заданию № 502316: 511378



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2013 ва­ри­ант МА10116.
27

Биссектриса угла ADC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в точке E. В тре­уголь­ник ADE впи­са­на окружность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AE в точке K и сто­ро­ны AD в точке T.

а) Докажите, что пря­мые KT и DE параллельны.

б) Най­ди­те угол BAD, если известно, что AD = 6 и KT = 3.

Задание 16 № 503002

Аналоги к заданию № 503002: 511381



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 14.11.2013 ва­ри­ант МА10201.
28

Биссектриса угла ADC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в точке E. В тре­уголь­ник ADE впи­са­на окружность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AE в точке K и сто­ро­ны AD в точке T.

а) Докажите, что пря­мые KT и DE параллельны.

б) Най­ди­те угол BAD, если известно, что AD = 8 и KT = 4.

Задание 16 № 503130


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 14.11.2013 ва­ри­ант МА10202.
Решение

29

На ги­по­те­ну­зу AB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC опу­сти­ли вы­со­ту CH . Из точки H на ка­те­ты опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HE.

а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.

б) Най­ди­те ра­ди­ус этой окружности, если AB = 12, CH = 5.

Задание 16 № 504546

Аналоги к заданию № 504546: 511390



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.03.2014 ва­ри­ант МА10505.
30

На ги­по­те­ну­зу AB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC опу­сти­ли вы­со­ту CH . Из точки H на ка­те­ты опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HE.

а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.

б) Най­ди­те ра­ди­ус этой окружности, если AB = 24, CH = 7.

Задание 16 № 504567


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.03.2014 ва­ри­ант МА10506.
31

Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках P и Q. Прямая, про­хо­дя­щая через точку P, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке A, а вто­рую — в точке D. Прямая, про­хо­дя­щая через точку Q па­рал­лель­но AD, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке B, а вто­рую — в точке C.

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние CP : PB, если ра­ди­ус пер­вой окруж­но­сти втрое боль­ше ра­ди­у­са второй.

Задание 16 № 504264


Раздел: Планиметрия
Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 28.01.2014 ва­ри­ант МА10402.
32

Около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC опи­са­на окруж­ность с цен­тром O. На про­дол­же­нии от­рез­ка AO за точку O от­ме­че­на точка K так, что BAC + AKC=90°.

а) Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный.

б) Най­ди­те ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около четырёхугольника OBKC, если , а

Задание 16 № 505105


Источник: ЕГЭ 28.04.2014 по ма­те­ма­ти­ке. До­сроч­ная волна. Ва­ри­ант 1.
33

На диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма взяли точку, от­лич­ную от её середины. Из неё на все сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма (или их продолжения) опу­сти­ли перпендикуляры.

а) Докажите, что четырёхугольник, об­ра­зо­ван­ный ос­но­ва­ни­я­ми этих перпендикуляров, яв­ля­ет­ся трапецией.

б) Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­ной трапеции, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна 16, а один из его углов равен 60°.

Задание 16 № 505155


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2014 ва­ри­ант МА10601.
34

На диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма взяли точку, от­лич­ную от её середины. Из неё на все сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма (или их продолжения) опу­сти­ли перпендикуляры.

а) Докажите, что четырёхугольник, об­ра­зо­ван­ный ос­но­ва­ни­я­ми этих перпендикуляров, яв­ля­ет­ся трапецией.

б) Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­ной трапеции, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна 24, а один из его углов равен 45°.

Задание 16 № 505176

Аналоги к заданию № 505176: 511398



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2014 ва­ри­ант МА10602.
35

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC с углом 120° при вер­ши­не A про­ве­де­на бис­сек­три­са BD. В тре­уголь­ник ABC впи­сан пря­мо­уголь­ник DEFH так, что сто­ро­на FH лежит на от­рез­ке BC, а вер­ши­на E —  на от­рез­ке AB.

а) Докажите, что FH = 2DH.

б) Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка DEFH, если AB = 4.

Задание 16 № 505239

Аналоги к заданию № 505239: 511400



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 08.05.2014. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день. Ва­ри­ант 1.
36

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC с углом 120° при вер­ши­не A про­ве­де­на бис­сек­три­са BD. В тре­уголь­ник ABC впи­сан пря­мо­уголь­ник DEFH так, что сто­ро­на FH лежит на сто­ро­не BC, а вер­ши­на E —  на сто­ро­не AB.

а) Докажите, что FH = 2DH.

б) Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка DEFH, если AB = 2.

Задание 16 № 505249


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 08.05.2014. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день. Ва­ри­ант 2.
37

Дан четырёхугольник ABCD.

а) Докажите, что от­рез­ки LN и KM, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ны его про­ти­во­по­лож­ных сторон, делят друг друга пополам.

б) Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника ABCD, если ,

Задание 16 № 505389

Аналоги к заданию № 505389: 505410 511403



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.05.2014 ва­ри­ант МА10701.
Решение

38

Высоты BB1 и CC1 ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H.

а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.

б) Най­ди­те BC, если и ∠BAC = 60°.

Задание 16 № 505419

Аналоги к заданию № 505419: 505452 511406



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Запад. Ва­ри­ант 301.
39

Высоты BB1 и CC1 ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H.

а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.

б) Най­ди­те BC, если AH = 4 и ∠BAC = 60°.

Задание 16 № 505425


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Запад. Ва­ри­ант 302.
40

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ту BH из точки H на сто­ро­ны AB и BC опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HM соответственно.

а) Докажите, что тре­уголь­ник MBK по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MBK к пло­ща­ди четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC равен 4.

Задание 16 № 505473


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 1.
41

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ту BH из точки H на сто­ро­ны AB и BC опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HM соответственно.

а) Докажите, что тре­уголь­ник MBK по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MBK к пло­ща­ди четырёхугольника AKMC, если BH = 1, а ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, равен 4.

Задание 16 № 505495

Аналоги к заданию № 505495: 509182 511409



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 2.
42

Медианы AA1, BB1 и CC1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Известно, что AC = 3MB.

а) Докажите, что тре­уголь­ник ABC прямоугольный.

б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов ме­ди­ан AA1 и CC1, если известно, что AC = 10.

Задание 16 № 505537

Аналоги к заданию № 505537: 511579

43

На сто­ро­нах AD и BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD взяты со­от­вет­ствен­но точки M и N , причём M — се­ре­ди­на AD, а BN : NC = 1 : 3.

а) Докажите, что пря­мые AN и AC делят от­ре­зок BM на три рав­ные части.

б) Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника, вер­ши­ны ко­то­ро­го на­хо­дят­ся в точ­ках С, N и точ­ках пе­ре­се­че­ния пря­мой BM c пря­мы­ми AN и AC , если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 48.

Задание 16 № 504418

Аналоги к заданию № 504418: 511388



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.02.2014 ва­ри­ант МА00201.
44

Точка M — се­ре­ди­на сто­ро­ны AD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD . Из вер­ши­ны A про­ве­де­ны два луча, ко­то­рые раз­би­ва­ют от­ре­зок BM на три рав­ные части.

а) Докажите, что один из лучей со­дер­жит диа­го­наль параллелограмма.

б) Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника, огра­ни­чен­но­го двумя проведёнными лу­ча­ми и пря­мы­ми BD и BC , если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 40.

Задание 16 № 504439

Аналоги к заданию № 504439: 511389



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.02.2014 ва­ри­ант МА00202.
45

Окружность с цен­тром O, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке P и пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок BO в точке Q. При этом от­рез­ки OC и QP параллельны.

а) Докажите, что тре­уголь­ник ABC ― рав­но­бед­рен­ный треугольник.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BQP, если точка O делит вы­со­ту BD тре­уголь­ни­ка в от­но­ше­нии BO : OD = 3 : 1 и AC = 2a.

Задание 16 № 504832

Аналоги к заданию № 504832: 511393



Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 2014. Ва­ри­ант 1.
46

Около рав­но­бед­рен­но­го треугольника ABC с ос­но­ва­ни­ем BC опи­са­на окружность. Через точку C про­ве­ли прямую, па­рал­лель­ную стороне AB. Ка­са­тель­ная к окружности, проведённая в точке B, пе­ре­се­ка­ет эту пря­мую в точке K.

а) Докажите, что треугольник BCK — равнобедренный.

б) Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника BCK, если

Задание 16 № 505431

Аналоги к заданию № 505431: 511408



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 901.
47

Медианы AA1, BB1 и CC1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Точки A2, B2 и C2 — се­ре­ди­ны от­рез­ков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка A1B2C1A2B1C2 вдвое мень­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов всех сто­рон этого шестиугольника, если известно, что AB = 4, BC = 7 и AC = 8.

Задание 16 № 505536
48

Точка O — центр окружности, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, I — центр впи­сан­ной в него окружности, H — точка пе­ре­се­че­ния высот. Известно, что

а) Докажите, что точка I лежит на окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BOC.

б) Най­ди­те угол OIH, если

Задание 16 № 513608


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 28.03.2016. До­сроч­ная волна, ва­ри­ант 101
49

Прямая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну В, пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, пер­пен­ди­ку­ляр­ная диа­го­на­ли АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D

а) Докажите, что ∠ABM = ∠DBC = ∠MBD.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки О, точки пе­ре­се­че­ния диагоналей, до от­рез­ка СМ, если BC = 42.

Задание 16 № 513915


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2016. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день (часть С).
50

Прямая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну В, пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, пер­пен­ди­ку­ляр­ная диа­го­на­ли АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D

а) Докажите, что BM и ВD делят угол В на три равных угла.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей пря­мо­уголь­ни­ка ABCD до прямой СМ, если

Задание 16 № 513922


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2016. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).
51

Одна окруж­ность впи­са­на в пря­мо­уголь­ную трапецию, а вто­рая ка­са­ет­ся боль­шей бо­ко­вой сто­ро­ны и про­дол­же­ний оснований.

а) Докажите, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно боль­шей бо­ко­вой сто­ро­не трапеции.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны од­но­го из пря­мых углов тра­пе­ции до цен­тра вто­рой окружности, если точка ка­са­ния пер­вой окруж­но­сти с боль­шей бо­ко­вой сто­ро­ной тра­пе­ции делит её на отрезки, рав­ные 2 и 50.

Задание 16 № 514097


Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2014
52

К двум не­пе­ре­се­ка­ю­щим­ся окруж­но­стям рав­ных ра­ди­у­сов про­ве­де­ны две па­рал­лель­ные общие касательные. Окруж­но­сти ка­са­ют­ся одной из этих пря­мых в точ­ках A и B/ Через точку C, ле­жа­щую на от­рез­ке AB, про­ве­де­ны ка­са­тель­ные к этим окружностям, пе­ре­се­ка­ю­щие вто­рую пря­мую в точ­ках D и E, причём от­рез­ки CA и CD ка­са­ют­ся одной окружности, а от­рез­ки CB и CE — другой.

а) Докажите, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка CDE вдвое боль­ше рас­сто­я­ния между цен­тра­ми окружностей.

б) Най­ди­те DE, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 5, рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми равно 18, а AC = 8.

Задание 16 № 514098


Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2014
53

Диагональ AC раз­би­ва­ет тра­пе­цию ABCD с ос­но­ва­ни­ем AD и BC? из ко­то­рых AD большее, на два по­доб­ных треугольника.

а) Докажите, что ∠ABC = ACD.

б) Най­ди­те отрезок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний трапеции, если известно, что BC = 18, AD = 50 и

Задание 16 № 514124


Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2014
54

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?

Задание 16 № 514372


Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2015
55

Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.

а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD, пересекаются на стороне AD.

б) Пусть N — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM : MC = 3 : 4, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 24.

Задание 16 № 514375


Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2015
56

В треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.

 

а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны;

б) Найдите отношение ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.

Задание 16 № 514449

Аналоги к заданию № 514449: 514529



Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2016
57

В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.

а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.

б) Найдите если известно, что отрезок ВМ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

Задание 16 № 514476


Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2016
58

В трапеции ABCD точка E — середина основания AD, точка M — середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.

а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.

б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC = 3, AD = 4.

Задание 16 № 514482


Источник: ЕГЭ — 2016. Ос­нов­ная волна по математике 06.06.2016. Вариант 437. Юг
59

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.

а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.

б) Найдите отношение EH и AC, если

Задание 16 № 514536


Источник: ЕГЭ — 2016 по математике. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Вариант 3 (C часть)
60

Дана трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опущен перпендикуляр AH. На стороне AB взята точка E так, что прямые СЕ и СD перпендикулярны.

а) Доказать, что прямые BH и ED параллельны.

б) Найти отношение BH к ED, если

Задание 16 № 514562


Источник: ЕГЭ — 2016. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Центр
61

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N — середины катетов АС и ВС соответственно, СН — высота.

а) Докажите, что прямые МН и NH перпендикулярны.

б) Пусть Р — точка пересечения прямых АС и NH, а Q — точка пересечения прямых BC и МН. Найдите площадь треугольника PQM, если АН = 12 и ВН = 3.

Задание 16 № 514605

Аналоги к заданию № 514605: 514612



Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Ос­нов­ная волна. Вариант 601 (C часть).
62

На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отмечена точка D так, что AD = AB. Прямая, проходящая через точку А, параллельно BD, пересекает сторону ВС в точке M.

а) Докажите, что AM — биссектриса треугольника АВС.

б) Найти SAMBD, если AC = 30, BC = 18 и AB = 24.

Задание 16 № 514633


Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Ос­нов­ная волна. Вариант 608 (C часть).
63

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что

б) Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 6, BC = 10 и ∠ACB = 30°.

Задание 16 № 514716


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
64

На от­рез­ке BD взята точка C. Бис­сек­три­са BL рав­но­бед­рен­но­го треугольника ABC с ос­но­ва­ни­ем BC яв­ля­ет­ся боковой сто­ро­ной равнобедренного тре­уголь­ни­ка BLD с ос­но­ва­ни­ем BD.

а) Докажите, что тре­уголь­ник DCL равнобедренный.

б) Известно, что В каком от­но­ше­нии прямая DL делит сто­ро­ну AB?

Задание 16 № 514717


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
65

Сторона CD пря­мо­уголь­ни­ка ABCD ка­са­ет­ся некоторой окруж­но­сти в точке M. Про­дол­же­ние стороны AD пе­ре­се­ка­ет окружность в точ­ках P и Q, причём точка P лежит между точ­ка­ми D и Q. Пря­мая BC ка­са­ет­ся окружности, а точка Q лежит на пря­мой BM.

а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.

б) Известно, что CM = 17 и CD = 25. Най­ди­те сторону AD.

Задание 16 № 514718


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
66

Отрезок, со­еди­ня­ю­щий середины M и N ос­но­ва­ний BC и AD со­от­вет­ствен­но трапеции ABCD, раз­би­ва­ет её на две трапеции, в каж­дую из ко­то­рых можно впи­сать окружность.

а) Докажите, что тра­пе­ция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что ра­ди­ус этих окруж­но­стей равен 3, а мень­шее основание BC ис­ход­ной трапеции равно 10. Най­ди­те радиус окружности, ка­са­ю­щей­ся боковой сто­ро­ны AB, ос­но­ва­ния AN тра­пе­ции ABMN и впи­сан­ной в неё окружности.

Задание 16 № 514719


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
67

В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.

а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.

б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если

Задание 16 № 514730


Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2016
68

Медианы AA1, BB1, и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.

Задание 16 № 515828


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 10. (Часть C).
69

Параллелограмм и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в точках P и Q соответственно.

а) Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.

б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, что AP = a, BC = b, BQ = c.

Задание 16 № 516763


Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1.
70

Окружность проходит через вершины A и B параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и BC в точках M и N соответственно и касается стороны CD.

а) Докажите, что точки C, D, M и N лежат на одной окружности.

б) Найдите длину отрезка AD, зная, что BM = a, MD = b, NC = c.

Задание 16 № 516782


Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2.
71

В треугольнике ABC точки и — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота,

а) Докажите, что и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A1H, если

Задание 16 № 516801


Источник: ЕГЭ по математике 31.03.2017. Досрочная волна. (С часть).

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!