а)  Се­че­ние ко­ну­са плос­ко­стью, со­дер­жа­щей его вер­ши­ну S и хорду AB  =  4,  — тре­уголь­ник ASB.

Две сто­ро­ны се­че­ния  — это об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са. Они равны, по­это­му тре­уголь­ник SAB рав­но­бед­рен­ный. В рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках SOA и SOB, где O  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са, OA  =  OB  =  6, SO  =  8, от­ку­да

Тогда в тре­уголь­ни­ке SAB угол S наи­мень­ший (по­сколь­ку лежит про­тив мень­шей сто­ро­ны), а сле­до­ва­тель­но, ост­рый. Два дру­гих угла равны между собой, по­это­му тоже ост­рые. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник SAB ост­ро­уголь­ный.

б)  Пусть SH  — вы­со­та и ме­ди­а­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ASB, Тогда от­ре­зок OH  — вы­со­та и ме­ди­а­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AOB,

Пря­мые SH и OH пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой AB, по­это­му плос­кость SOH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ASB. Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние от точки O до плос­ко­сти ASB равно вы­со­те OM пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SOH, про­ведённой к ги­по­те­ну­зе:

Ответ:

а)  Се­че­ние ко­ну­са плос­ко­стью, со­дер­жа­щей его вер­ши­ну S и хорду   — тре­уголь­ник ASB. Две сто­ро­ны се­че­ния  — это об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са. Они равны, по­это­му тре­уголь­ник SAB рав­но­бед­рен­ный. В рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках SOA и SOB, где О  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са, от­ку­да

Тогда в тре­уголь­ни­ке SAB угол S наи­мень­ший (так как лежит про­тив мень­шей сто­ро­ны), а сле­до­ва­тель­но, ост­рый. Два дру­гих угла равны между собой, по­это­му тоже ост­рые. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник SAB ост­ро­уголь­ный.

б)  Пусть SH  — вы­со­та и ме­ди­а­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ASB, Тогда от­ре­зок ОН   — вы­со­та и ме­ди­а­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AOB,

Пря­мые SH и ОН пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой AB, по­это­му плос­кость SOH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ASB. Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние от точки О до плос­ко­сти ASB равно вы­со­те ОМ пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SOH, про­ве­ден­ной к ги­по­те­ну­зе:

Ответ:

а)  Если все ребра пи­ра­ми­ды оди­на­ко­во на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию, сле­до­ва­тель­но, они вме­сте со сво­и­ми про­ек­ци­я­ми и вы­стой пи­ра­ми­ды об­ра­зу­ют че­ты­ре рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка. Таким об­ра­зом, про­ек­ци­ей вер­ши­ны яв­ля­ет­ся центр опи­сан­ной окруж­но­сти ос­но­ва­ния. Про­ве­дем через этот центр пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную ос­но­ва­нию (она будет со­дер­жать вы­со­ту пи­ра­ми­ды). По­стро­ен­ная пря­мая  — мно­же­ство точек, рав­но­уда­лен­ных от вер­шин ос­но­ва­ния. Рас­смот­рим плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ную бо­ко­во­му ребру и про­хо­дя­щую через его се­ре­ди­ну. Все точки этой плос­ко­сти рав­но­уда­ле­ны от кон­цов ребра. Точка пе­ре­се­че­ния этой плос­ко­сти и ранее по­стро­ен­ной пря­мой будет рав­но­уда­ле­на ото всех вер­шин пи­ра­ми­ды и по­то­му яв­ля­ет­ся цен­тром опи­сан­ной сферы.

б)  По­сколь­ку тра­пе­ция впи­сан­ная, то она рав­но­бед­рен­ная. Опу­стим из вер­ши­ны мень­ше­го ос­но­ва­ния вы­со­ту h на боль­шее ос­но­ва­ние, она разо­бьет ос­но­ва­ние на от­рез­ки дли­ной 9 и 16. Тогда бо­ко­вая сто­ро­на Чтобы найти ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг тра­пе­ции, уда­лим мыс­лен­но одну из вер­шин мень­ше­го ос­но­ва­ния и най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся три остав­ши­е­ся вер­ши­ны тра­пе­ции. Вы­со­та тра­пе­ции Диа­го­наль Зна­чит, окруж­ность опи­са­на около тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 25, 15, 20. Он пря­мо­уголь­ный, зна­чит, центр опи­сан­ной окруж­но­сти тра­пе­ции на­хо­дит­ся на боль­шем ос­но­ва­нии, а ее ра­ди­ус R  =  12,5.

Таким об­ра­зом, вы­со­та пи­ра­ми­ды па­да­ет в се­ре­ди­ну боль­ше­го ос­но­ва­ния и вер­ши­на пи­ра­ми­ды вме­сте с кон­ца­ми боль­ше­го ос­но­ва­ния об­ра­зу­ет рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник (два его угла по по­это­му вы­со­та пи­ра­ми­ды Тогда объем пи­ра­ми­ды

Ответ: б)

а)  Пусть точка О  — центр шара, R  — его ра­ди­ус. Пря­мая OB пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, по­это­му OB об­ра­зу­ет пря­мые углы с пря­мы­ми AB и BC. Зна­чит,

От­сю­да центр шара рав­но­уда­лен от кон­цов от­рез­ка AC, а зна­чит лежит на плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ну AC и пер­пен­ди­ку­ляр­ной ему. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть шар ка­са­ет­ся ребра SA в точке G. Шар ка­са­ет­ся плос­ко­сти ос­но­ва­ния, по­это­му его центр  — точка O  — лежит на пря­мой, про­хо­дя­щей через точку B пер­пен­ди­ку­ляр­но ABC. Рас­сто­я­ния от точки O до плос­ко­сти ос­но­ва­ния и до ребра пря­мой AS равно ра­ди­у­су шара:

По свой­ству про­ве­ден­ных из одной точки ка­са­тель­ных к шару: SG  =  1. Ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной, по­это­му тре­уголь­ник OGS пря­мо­уголь­ный. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем квад­рат его ги­по­те­ну­зы:

Про­ве­дем вы­со­ту пи­ра­ми­ды SH. Точка H  — центр ос­но­ва­ния, по­это­му

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ВSH на­хо­дим:

От­рез­ки SH и OB пер­пен­ди­ку­ля­ры плос­ко­сти АВС, по­это­му они па­рал­лель­ны между собой, а зна­чит, че­ты­рех­уголь­ник BOSH  — пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция. Про­ве­дем в ней вы­со­ту OL, тогда

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OLS по­лу­ча­ем: то есть

от­ку­да

Ответ: б)

а)  Вспом­ним, что пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где R  — ра­ди­ус ос­но­ва­ния, H  — вы­со­та ци­лин­дра. В дан­ном слу­чае по­это­му от­ку­да и сле­ду­ет тре­бу­е­мое.

б)  Се­че­ние ци­лин­дра плос­ко­стью, про­хо­дя­щей па­рал­лель­но его оси OO₁,  — пря­мо­уголь­ник ABB₁A₁ (O и AB  — со­от­вет­ствен­но центр и хорда ниж­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра), AA₁  =  5. Рас­сто­я­ние от оси ци­лин­дра до плос­ко­сти се­че­ния равно вы­со­те OH тре­уголь­ни­ка OAB. OA  =  OB  =  10, OH  =  6, от­ку­да

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка ABB₁A₁

Ответ: 80.