СДАМ ГИА






Каталог заданий. Задача на доказательство и вычисление
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задание 16 № 501887

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а второй — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.

а) Докажите, что пря­мые AD и BC параллельны.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKB, если известно, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 4 и 1.

Источник: Проект демонстрационной версии ЕГЭ—2014 по математике.

2
Задание 16 № 505501

В тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­на бис­сек­три­са АМ. Прямая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну В пер­пен­ди­ку­ляр­но АМ, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.

а) докажите, что бис­сек­три­са угла С делит от­ре­зок МN пополам

б) пусть Р — точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка АВС. Най­ди­те от­но­ше­ние АР : РN.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 19.06.2014. Основная волна, ре­зерв­ный день. Запад. Ва­ри­ант 1.

3
Задание 16 № 507211

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним образом. Тре­тья окруж­ность ка­са­ет­ся пер­вых двух и их линии центров.

а) Докажите, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в цен­трах трёх окруж­но­стей равен диа­мет­ру наи­боль­шей из этих окружностей.

б) Най­ди­те ра­ди­ус тре­тьей окружности, если известно, что ра­ди­у­сы пер­вых двух равны 6 и 2.


Аналоги к заданию № 507211: 507237

Решение ·

4
Задание 16 № 507262

Диагональ AC пря­мо­уголь­ни­ка ABCD с цен­тром O об­ра­зу­ет со сто­ро­ной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.

а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.

б) Пря­мая OE пе­ре­се­ка­ет сторону AD пря­мо­уголь­ни­ка в точке K. Най­ди­те EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.


Аналоги к заданию № 507262: 511418


5
Задание 16 № 507510

Медианы AA1, BB1 и CC1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Точки A2, B2 и C2 — се­ре­ди­ны от­рез­ков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка A1B2C1A2B1C2 вдвое мень­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов всех сто­рон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.


Аналоги к заданию № 507510: 511440

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 12.12.2013 с решениями: ва­ри­ант МА10301 (Часть С).

6
Задание 16 № 507586

Медианы AA1, BB1 и CC1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Точки A2, B2 и C2 — се­ре­ди­ны от­рез­ков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка A1B2C1A2B1C2 вдвое мень­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов всех сто­рон этого шестиугольника, если известно, что AB = 4, BC = 7 и AC = 8.

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 12.12.2013 с решениями: ва­ри­ант МА10302 (Часть С).

7
Задание 16 № 507889

Хорды AD, BE и CF окруж­но­сти делят друг друга на три рав­ные части.

а) Докажите, что эти хорды равны.

б) Най­ди­те пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF, если точки A, B, C, D, E по­сле­до­ва­тель­но рас­по­ло­же­ны на окружности, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен


Аналоги к заданию № 507889: 507912 511502

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 21.01.2015 ва­ри­ант МА10109.

8
Задание 16 № 508235

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AP и CQ.

а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.

б) Най­ди­те ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.


Аналоги к заданию № 508235: 509045 509066 511508 511587

Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург 2015. Вариант 1.

9
Задание 16 № 508256

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке KMN про­ве­де­ны вы­со­ты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Най­ди­те ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABM, если известно, что и ∠KMN = 45°.


Аналоги к заданию № 508256: 511509

Источник: Проб­ный эк­за­мен Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 2.

10
Задание 16 № 508974

Медианы AA1, BB1 и CC1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Известно, что AC = 3MB.

а) Докажите, что тре­уголь­ник ABC прямоугольный.

б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов ме­ди­ан AA1 и CC1, если известно, что AC = 12.

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10309.
Решение ·

11
Задание 16 № 509003

Медианы AA1, BB1 и CC1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Известно, что AC = 3MB.

а) Докажите, что тре­уголь­ник ABC прямоугольный.

б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов ме­ди­ан AA1 и CC1, если известно, что AC = 10.

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10310.

12
Задание 16 № 509094

Точка О — центр окружности, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. На про­дол­же­нии от­рез­ка AO за точку О от­ме­че­на точка K так, что BK = OK.

а) Докажите, что че­ты­рех­уголь­ник ABKC вписанный.

б) Най­ди­те длину от­рез­ка AO, если известно, что ра­ди­у­сы впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей тре­уголь­ни­ка ABC равны 3 и 12 соответственно, а OK = 5.


Аналоги к заданию № 509094: 511589 511592

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Ва­ри­ант 1.

13
Задание 16 № 509123

Точка О — центр окружности, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. На про­дол­же­нии от­рез­ка AO за точку О от­ме­че­на точка K так, что

а) Докажите, что че­ты­рех­уголь­ник OBKC вписанный.

б) Най­ди­те ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KBC, если известно, что ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АBC равен 12, а

Источник: ЕГЭ 28.04.2014 по ма­те­ма­ти­ке. До­сроч­ная волна. Ва­ри­ант 2.

14
Задание 16 № 509161

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC с пря­мым углом C из­вест­ны сто­ро­ны AC = 12, BC = 5. Окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром O на сто­ро­не BC про­хо­дит через вер­ши­ну C. Вто­рая окруж­ность ка­са­ет­ся ка­те­та AC, ги­по­те­ну­зы треугольника, а также внеш­ним об­ра­зом ка­са­ет­ся пер­вой окружности.

а) Докажите, что ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти меньше, чем длины ка­те­та AC.

б) Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окружности.


Аналоги к заданию № 509161: 509024 510494 511581 511593

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.02.2015 ва­ри­ант МА00410.

15
Задание 16 № 509582

Окружность с цен­тром O про­хо­дит через вер­ши­ны B и C боль­шей бо­ко­вой сто­ро­ны пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABCD и ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AD в точке T. Точка O лежит внут­ри тра­пе­ции ABCD.

а) Докажите, что угол BOC вдвое боль­ше угла BTC.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки T до пря­мой BC, если ос­но­ва­ния тра­пе­ции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.


Аналоги к заданию № 509582: 509929

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10409.

16
Задание 16 № 509823

Окружность, по­стро­ен­ная на ме­ди­а­не BM рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC как на диаметре, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние BC в точке K.

а) Докажите, что от­ре­зок BK втрое боль­ше от­рез­ка CK.

б) Пусть ука­зан­ная окруж­ность пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке N. Най­ди­те AB, если BK = 18 и BN = 17.


Аналоги к заданию № 509823: 511600

Раздел: Алгебра
Источник: ЕГЭ по математике — 2015. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день (часть С).

17
Задание 16 № 512338

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция KLMN с ос­но­ва­ни­я­ми KN и LM. Окруж­ность с цен­тром O, по­стро­ен­ная на бо­ко­вой сто­ро­не KL как на диаметре, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны MN и вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет боль­шее ос­но­ва­ние KN в точке H, точка Q — се­ре­ди­на MN.

а) Докажите, что четырёхугольник NQOH — параллелограмм.

б) Най­ди­те KN, если ∠LKN = 75° и LM = 1.


Аналоги к заданию № 512338: 509204 510074

Источник: СтатГрад: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10107.

18
Задание 16 № 512359

В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са R, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AC в точке M , причём AM = 2R и CM = 3R.

а) Докажите, что тре­уголь­ник ABC прямоугольный.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми его впи­сан­ной и опи­сан­ной окружностей, если известно, что R = 2 .

Источник: СтатГрад: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10211.

19
Задание 16 № 512380

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция KLMN с ос­но­ва­ни­я­ми KN и LM. Окруж­ность с цен­тром O, по­стро­ен­ная на бо­ко­вой сто­ро­не KL как на диаметре, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны MN и вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет боль­шее ос­но­ва­ние KN в точке H, точка Q — се­ре­ди­на MN.

а) Докажите, что четырёхугольник NQOH — параллелограмм.

б) Най­ди­те KN, если ∠LKN = 75° и LM = 2.

Источник: СтатГрад: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10108.

20
Задание 16 № 512401

В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са R, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AC в точке M , причём AM = 5R и CM = 1,5R.

а) Докажите, что тре­уголь­ник ABC прямоугольный.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми его впи­сан­ной и опи­сан­ной окружностей, если известно, что R = 4.

Источник: СтатГрад: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10212.

21
Задание 16 № 513267

Отрезок, со­еди­ня­ю­щий середины M и N ос­но­ва­ний BC и AD со­от­вет­ствен­но трапеции ABCD, раз­би­ва­ет её на две трапеции, в каж­дую из ко­то­рых можно впи­сать окружность.

а) Докажите, что тра­пе­ция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что ра­ди­ус этих окруж­но­стей равен 3, а мень­шее основание BC ис­ход­ной трапеции равно 8. Най­ди­те радиус окружности, ка­са­ю­щей­ся боковой сто­ро­ны AB, ос­но­ва­ния AN тра­пе­ции ABMN и впи­сан­ной в неё окружности.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Решение ·

22
Задание 16 № 513277

На от­рез­ке BD взята точка C. Бис­сек­три­са BL рав­но­бед­рен­но­го треугольника ABC с ос­но­ва­ни­ем BC яв­ля­ет­ся боковой сто­ро­ной равнобедренного тре­уголь­ни­ка BLD с ос­но­ва­ни­ем BD.

а) Докажите, что тре­уголь­ник DCL равнобедренный.

б) Известно, что В каком от­но­ше­нии прямая DL делит сто­ро­ну AB?

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

23
Задание 16 № 513281

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что

б) Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 10, BC = 32 и ∠ACB = 30°.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

24
Задание 16 № 503149

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а второй — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.

а) Докажите, что пря­мые AD и BC параллельны.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKB, если известно, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 4 и 1.

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2014 по математике.

25
Задание 16 № 502296

В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окружность ра­ди­у­са R, ка­са­ю­ща­я­ся стороны AC в точке D, причём AD= R.

а) Докажите, что тре­уголь­ник ABC прямоугольный.

б) Вписанная окруж­ность касается сто­рон AB и BC в точ­ках E и F. Най­ди­те площадь тре­уголь­ни­ка BEF, если известно, что R= 5 и CD =15.

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2013 ва­ри­ант МА10101.

26
Задание 16 № 502316

В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са R, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AC в точке D, причём AD = R.

а) Докажите, что тре­уголь­ник ABC прямоугольный.

б) Вписанная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон AB и BC в точ­ках E и F. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BEF, если известно, что R = 2 и CD = 10.


Аналоги к заданию № 502316: 511378

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2013 ва­ри­ант МА10116.

27
Задание 16 № 503002

Биссектриса угла ADC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в точке E. В тре­уголь­ник ADE впи­са­на окружность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AE в точке K и сто­ро­ны AD в точке T.

а) Докажите, что пря­мые KT и DE параллельны.

б) Най­ди­те угол BAD, если известно, что AD = 6 и KT = 3.


Аналоги к заданию № 503002: 511381

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 14.11.2013 ва­ри­ант МА10201.

28
Задание 16 № 503130

Биссектриса угла ADC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в точке E. В тре­уголь­ник ADE впи­са­на окружность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AE в точке K и сто­ро­ны AD в точке T.

а) Докажите, что пря­мые KT и DE параллельны.

б) Най­ди­те угол BAD, если известно, что AD = 8 и KT = 4.

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 14.11.2013 ва­ри­ант МА10202.
Решение ·

29
Задание 16 № 504546

На ги­по­те­ну­зу AB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC опу­сти­ли вы­со­ту CH . Из точки H на ка­те­ты опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HE.

а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.

б) Най­ди­те ра­ди­ус этой окружности, если AB = 12, CH = 5.


Аналоги к заданию № 504546: 511390

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.03.2014 ва­ри­ант МА10505.

30
Задание 16 № 504567

На ги­по­те­ну­зу AB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC опу­сти­ли вы­со­ту CH . Из точки H на ка­те­ты опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HE.

а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.

б) Най­ди­те ра­ди­ус этой окружности, если AB = 24, CH = 7.

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.03.2014 ва­ри­ант МА10506.

31
Задание 16 № 504264

Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках P и Q. Прямая, про­хо­дя­щая через точку P, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке A, а вто­рую — в точке D. Прямая, про­хо­дя­щая через точку Q па­рал­лель­но AD, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке B, а вто­рую — в точке C.

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние CP : PB, если ра­ди­ус пер­вой окруж­но­сти втрое боль­ше ра­ди­у­са второй.

Раздел: Планиметрия
Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 28.01.2014 ва­ри­ант МА10402.

32
Задание 16 № 505105

Около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC опи­са­на окруж­ность с цен­тром O. На про­дол­же­нии от­рез­ка AO за точку O от­ме­че­на точка K так, что BAC + AKC=90°.

а) Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный.

б) Най­ди­те ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около четырёхугольника OBKC, если , а

Источник: ЕГЭ 28.04.2014 по ма­те­ма­ти­ке. До­сроч­ная волна. Ва­ри­ант 1.

33
Задание 16 № 505155

На диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма взяли точку, от­лич­ную от её середины. Из неё на все сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма (или их продолжения) опу­сти­ли перпендикуляры.

а) Докажите, что четырёхугольник, об­ра­зо­ван­ный ос­но­ва­ни­я­ми этих перпендикуляров, яв­ля­ет­ся трапецией.

б) Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­ной трапеции, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна 16, а один из его углов равен 60°.

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2014 ва­ри­ант МА10601.

34
Задание 16 № 505176

На диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма взяли точку, от­лич­ную от её середины. Из неё на все сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма (или их продолжения) опу­сти­ли перпендикуляры.

а) Докажите, что четырёхугольник, об­ра­зо­ван­ный ос­но­ва­ни­я­ми этих перпендикуляров, яв­ля­ет­ся трапецией.

б) Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­ной трапеции, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна 24, а один из его углов равен 45°.


Аналоги к заданию № 505176: 511398

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2014 ва­ри­ант МА10602.

35
Задание 16 № 505239

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC с углом 120° при вер­ши­не A про­ве­де­на бис­сек­три­са BD. В тре­уголь­ник ABC впи­сан пря­мо­уголь­ник DEFH так, что сто­ро­на FH лежит на от­рез­ке BC, а вер­ши­на E —  на от­рез­ке AB.

а) Докажите, что FH = 2DH.

б) Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка DEFH, если AB = 4.


Аналоги к заданию № 505239: 511400

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 08.05.2014. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день. Ва­ри­ант 1.

36
Задание 16 № 505249

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC с углом 120° при вер­ши­не A про­ве­де­на бис­сек­три­са BD. В тре­уголь­ник ABC впи­сан пря­мо­уголь­ник DEFH так, что сто­ро­на FH лежит на сто­ро­не BC, а вер­ши­на E —  на сто­ро­не AB.

а) Докажите, что FH = 2DH.

б) Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка DEFH, если AB = 2.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 08.05.2014. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день. Ва­ри­ант 2.

37
Задание 16 № 505389

Дан четырёхугольник ABCD.

а) Докажите, что от­рез­ки LN и KM, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ны его про­ти­во­по­лож­ных сторон, делят друг друга пополам.

б) Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника ABCD, если ,


Аналоги к заданию № 505389: 505410 511403

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.05.2014 ва­ри­ант МА10701.
Решение ·

38
Задание 16 № 505419

Высоты BB1 и CC1 ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H.

а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.

б) Най­ди­те BC, если и ∠BAC = 60°.


Аналоги к заданию № 505419: 505452 511406

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Запад. Ва­ри­ант 301.

39
Задание 16 № 505425

Высоты BB1 и CC1 ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H.

а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.

б) Най­ди­те BC, если AH = 4 и ∠BAC = 60°.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Запад. Ва­ри­ант 302.

40
Задание 16 № 505473

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ту BH из точки H на сто­ро­ны AB и BC опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HM соответственно.

а) Докажите, что тре­уголь­ник MBK по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MBK к пло­ща­ди четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC равен 4.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 1.

41
Задание 16 № 505495

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ту BH из точки H на сто­ро­ны AB и BC опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HM соответственно.

а) Докажите, что тре­уголь­ник MBK по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MBK к пло­ща­ди четырёхугольника AKMC, если BH = 1, а ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, равен 4.


Аналоги к заданию № 505495: 509182 511409

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 2.

42
Задание 16 № 505537

Медианы AA1, BB1 и CC1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Известно, что AC = 3MB.

а) Докажите, что тре­уголь­ник ABC прямоугольный.

б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов ме­ди­ан AA1 и CC1, если известно, что AC = 10.


Аналоги к заданию № 505537: 511579


43
Задание 16 № 504418

На сто­ро­нах AD и BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD взяты со­от­вет­ствен­но точки M и N , причём M — се­ре­ди­на AD, а BN : NC = 1 : 3.

а) Докажите, что пря­мые AN и AC делят от­ре­зок BM на три рав­ные части.

б) Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника, вер­ши­ны ко­то­ро­го на­хо­дят­ся в точ­ках С, N и точ­ках пе­ре­се­че­ния пря­мой BM c пря­мы­ми AN и AC , если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 48.


Аналоги к заданию № 504418: 511388

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.02.2014 ва­ри­ант МА00201.

44
Задание 16 № 504439

Точка M — се­ре­ди­на сто­ро­ны AD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD . Из вер­ши­ны A про­ве­де­ны два луча, ко­то­рые раз­би­ва­ют от­ре­зок BM на три рав­ные части.

а) Докажите, что один из лучей со­дер­жит диа­го­наль параллелограмма.

б) Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника, огра­ни­чен­но­го двумя проведёнными лу­ча­ми и пря­мы­ми BD и BC , если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 40.


Аналоги к заданию № 504439: 511389

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.02.2014 ва­ри­ант МА00202.

45
Задание 16 № 504832

Окружность с цен­тром O, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке P и пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок BO в точке Q. При этом от­рез­ки OC и QP параллельны.

а) Докажите, что тре­уголь­ник ABC ― рав­но­бед­рен­ный треугольник.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BQP, если точка O делит вы­со­ту BD тре­уголь­ни­ка в от­но­ше­нии BO : OD = 3 : 1 и AC = 2a.


Аналоги к заданию № 504832: 511393

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 2014. Ва­ри­ант 1.

46
Задание 16 № 505431

Около рав­но­бед­рен­но­го треугольника ABC с ос­но­ва­ни­ем BC опи­са­на окружность. Через точку C про­ве­ли прямую, па­рал­лель­ную стороне AB. Ка­са­тель­ная к окружности, проведённая в точке B, пе­ре­се­ка­ет эту пря­мую в точке K.

а) Докажите, что треугольник BCK — равнобедренный.

б) Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника BCK, если


Аналоги к заданию № 505431: 511408

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 901.

47
Задание 16 № 505536

Медианы AA1, BB1 и CC1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Точки A2, B2 и C2 — се­ре­ди­ны от­рез­ков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка A1B2C1A2B1C2 вдвое мень­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов всех сто­рон этого шестиугольника, если известно, что AB = 4, BC = 7 и AC = 8.


48
Задание 16 № 513608

Точка O — центр окружности, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, I — центр впи­сан­ной в него окружности, H — точка пе­ре­се­че­ния высот. Известно, что

а) Докажите, что точка I лежит на окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BOC.

б) Най­ди­те угол OIH, если

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 28.03.2016. До­сроч­ная волна, ва­ри­ант 101

49
Задание 16 № 513915

Прямая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну В, пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, пер­пен­ди­ку­ляр­ная диа­го­на­ли АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D

а) Докажите, что ∠ABM = ∠DBC = ∠MBD.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки О, точки пе­ре­се­че­ния диагоналей, до от­рез­ка СМ, если BC = 42.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2016. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день (часть С).

50
Задание 16 № 513922

Прямая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну В, пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, пер­пен­ди­ку­ляр­ная диа­го­на­ли АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D

а) Докажите, что BM и ВD делят угол В на три равных угла.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей пря­мо­уголь­ни­ка ABCD до прямой СМ, если

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2016. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).

51
Задание 16 № 514097

Одна окруж­ность впи­са­на в пря­мо­уголь­ную трапецию, а вто­рая ка­са­ет­ся боль­шей бо­ко­вой сто­ро­ны и про­дол­же­ний оснований.

а) Докажите, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно боль­шей бо­ко­вой сто­ро­не трапеции.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны од­но­го из пря­мых углов тра­пе­ции до цен­тра вто­рой окружности, если точка ка­са­ния пер­вой окруж­но­сти с боль­шей бо­ко­вой сто­ро­ной тра­пе­ции делит её на отрезки, рав­ные 2 и 50.

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2014

52
Задание 16 № 514098

К двум не­пе­ре­се­ка­ю­щим­ся окруж­но­стям рав­ных ра­ди­у­сов про­ве­де­ны две па­рал­лель­ные общие касательные. Окруж­но­сти ка­са­ют­ся одной из этих пря­мых в точ­ках A и B/ Через точку C, ле­жа­щую на от­рез­ке AB, про­ве­де­ны ка­са­тель­ные к этим окружностям, пе­ре­се­ка­ю­щие вто­рую пря­мую в точ­ках D и E, причём от­рез­ки CA и CD ка­са­ют­ся одной окружности, а от­рез­ки CB и CE — другой.

а) Докажите, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка CDE вдвое боль­ше рас­сто­я­ния между цен­тра­ми окружностей.

б) Най­ди­те DE, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 5, рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми равно 18, а AC = 8.

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2014

53
Задание 16 № 514124

Диагональ AC раз­би­ва­ет тра­пе­цию ABCD с ос­но­ва­ни­ем AD и BC? из ко­то­рых AD большее, на два по­доб­ных треугольника.

а) Докажите, что ∠ABC = ACD.

б) Най­ди­те отрезок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний трапеции, если известно, что BC = 18, AD = 50 и

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2014

54
Задание 16 № 514372

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2015

55
Задание 16 № 514375

Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.

а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD, пересекаются на стороне AD.

б) Пусть N — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM : MC = 3 : 4, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 24.

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2015

56
Задание 16 № 514449

В треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.

 

а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны;

б) Найдите отношение ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.


Аналоги к заданию № 514449: 514529

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2016

57
Задание 16 № 514476

В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.

а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.

б) Найдите если известно, что отрезок ВМ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2016

58
Задание 16 № 514482

В трапеции ABCD точка E — середина основания AD, точка M — середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.

а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.

б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC = 3, AD = 4.

Источник: ЕГЭ — 2016. Ос­нов­ная волна по математике 06.06.2016. Вариант 437. Юг

59
Задание 16 № 514536

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.

а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.

б) Найдите отношение EH и AC, если

Источник: ЕГЭ — 2016 по математике. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Вариант 3 (C часть)

60
Задание 16 № 514562

Дана трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опущен перпендикуляр AH. На стороне AB взята точка E так, что прямые СЕ и СD перпендикулярны.

а) Доказать, что прямые BH и ED параллельны.

б) Найти отношение BH к ED, если

Источник: ЕГЭ — 2016. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Центр

61
Задание 16 № 514605

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N — середины катетов АС и ВС соответственно, СН — высота.

а) Докажите, что прямые МН и NH перпендикулярны.

б) Пусть Р — точка пересечения прямых АС и NH, а Q — точка пересечения прямых BC и МН. Найдите площадь треугольника PQM, если АН = 12 и ВН = 3.


Аналоги к заданию № 514605: 514612

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Ос­нов­ная волна. Вариант 601 (C часть).

62
Задание 16 № 514633

На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отмечена точка D так, что AD = AB. Прямая, проходящая через точку А, параллельно BD, пересекает сторону ВС в точке M.

а) Докажите, что AM — биссектриса треугольника АВС.

б) Найти SAMBD, если AC = 30, BC = 18 и AB = 24.

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Ос­нов­ная волна. Вариант 608 (C часть).

63
Задание 16 № 514716

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что

б) Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 6, BC = 10 и ∠ACB = 30°.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

64
Задание 16 № 514717

На от­рез­ке BD взята точка C. Бис­сек­три­са BL рав­но­бед­рен­но­го треугольника ABC с ос­но­ва­ни­ем BC яв­ля­ет­ся боковой сто­ро­ной равнобедренного тре­уголь­ни­ка BLD с ос­но­ва­ни­ем BD.

а) Докажите, что тре­уголь­ник DCL равнобедренный.

б) Известно, что В каком от­но­ше­нии прямая DL делит сто­ро­ну AB?

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

65
Задание 16 № 514718

Сторона CD пря­мо­уголь­ни­ка ABCD ка­са­ет­ся некоторой окруж­но­сти в точке M. Про­дол­же­ние стороны AD пе­ре­се­ка­ет окружность в точ­ках P и Q, причём точка P лежит между точ­ка­ми D и Q. Пря­мая BC ка­са­ет­ся окружности, а точка Q лежит на пря­мой BM.

а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.

б) Известно, что CM = 17 и CD = 25. Най­ди­те сторону AD.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

66
Задание 16 № 514719

Отрезок, со­еди­ня­ю­щий середины M и N ос­но­ва­ний BC и AD со­от­вет­ствен­но трапеции ABCD, раз­би­ва­ет её на две трапеции, в каж­дую из ко­то­рых можно впи­сать окружность.

а) Докажите, что тра­пе­ция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что ра­ди­ус этих окруж­но­стей равен 3, а мень­шее основание BC ис­ход­ной трапеции равно 10. Най­ди­те радиус окружности, ка­са­ю­щей­ся боковой сто­ро­ны AB, ос­но­ва­ния AN тра­пе­ции ABMN и впи­сан­ной в неё окружности.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

67
Задание 16 № 514730

В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.

а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.

б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2016

68
Задание 16 № 515689

Точки B1 и C1 лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причём AB1 : B1C = AC1 : C1B. Прямые BB1 и CC1 пересекаются в точке O.

а) Докажите, что прямая AO делит пополам сторону BC.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника ABC, если известно, что AB1 : B1C = AC1 : C1B = 1 : 4.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 3. (Часть C).

69
Задание 16 № 515727

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина гипотенузы AB, H — точка пересечения прямых CM и DK.

а) Докажите, что CMDK.

б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 5. (Часть C).

70
Задание 16 № 515765

Окружность с центром O вписана в угол, равный 60°. Окружность большего радиуса с центром O1 также вписана в этот угол и проходит через точку O.

а) Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.

б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 7. (Часть C).

71
Задание 16 № 515784

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что

б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если и

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 8. (Часть C).

72
Задание 16 № 515828

Медианы AA1, BB1, и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 10. (Часть C).

73
Задание 16 № 516277

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.

а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD .

б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 15 и BD = 8,5.


Аналоги к заданию № 516277: 516258

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.01.2017 вариант МА10310

74
Задание 16 № 516334

Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC.

а) Докажите, что

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если а площадь треугольника AKC равна 108.


Аналоги к заданию № 516334: 516301

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 20.12.2016 вариант МА10210

75
Задание 16 № 516403

Точки P,\ Q,\ W делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AP : PB = CQ : QB = CW : WD = 3 : 4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW = 12, угол PWQ — острый.

а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.


Аналоги к заданию № 516403: 516383

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 22.09.2016 вариант МА10112
Решение ·

76
Задание 16 № 516763

Параллелограмм и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в точках P и Q соответственно.

а) Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.

б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, что AP = a, BC = b, BQ = c.

Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1.

77
Задание 16 № 516782

Окружность проходит через вершины A и B параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и BC в точках M и N соответственно и касается стороны CD.

а) Докажите, что точки C, D, M и N лежат на одной окружности.

б) Найдите длину отрезка AD, зная, что BM = a, MD = b, NC = c.

Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2.

78
Задание 16 № 516801

В треугольнике ABC точки A1, B1 и C1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота,

а) Докажите, что A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности.

б) Найдите A1H, если

Источник: ЕГЭ по математике 31.03.2017. Досрочная волна.

79
Задание 16 № 517183

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.

а) Докажите, что ∠ABM = ∠DBC = 30°.

б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9.


Аналоги к заданию № 517183: 517221

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа 06.03.2017 вариант МА10609

80
Задание 16 № 517202

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.

а) Докажите, что

б) Пусть прямые MK и BC пресекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = 


Аналоги к заданию № 517202: 517240

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа 21.04.2017 вариант МА10709

81
Задание 16 № 517265

Точка M — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N.

а) Докажите, что ∠CAN = ∠CMN.

б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2017. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).

82
Задание 16 № 517448

Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K, так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO = KO.

б) Найти отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет площади трапеции ABCD.


Аналоги к заданию № 517448: 517441 517455 517553

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017

83
Задание 16 № 517462

Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B, причём точки O1 и O2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжения диаметра CA первой окружности и хорды CB этой окружности пересекают вторую окружности в точках D и E соответственно.

а) Докажите, что треугольники CBD и O1AO2 подобны.

б) Найдите AD, если радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и AB = 3.


Аналоги к заданию № 517462: 517469 517530 517531

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017

84
Задание 16 № 517479

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O1 и O2 соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.

б) Найдите площадь четырёхугольника MO1NO2, если AC = 20 и BC = 15.

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017

85
Задание 16 № 517486

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O1 и O2 соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.

б) Найдите площадь четырёхугольника MO1NO2, если AC = 12 и BC = 5.

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017

86
Задание 16 № 517502

Точки E и K — соответственно середины сторон CD и AD квадрата ABCD. Прямая BE пересекается с прямой CK в точке O.

а) Докажите, что вокруг четырёхугольника ABOK можно описать окружность.

б) Найдите AO, если сторона квадрата равна 1.

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017

87
Задание 16 № 517516

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.

а) Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.

б) Известно, что Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите отношение

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017

88
Задание 16 № 517522

Известно, что АBCD трапеция, АD = 2BC, AD, BC — основания. Точка M такова, что углы АBM и MCD прямые.

а) Доказать, что MA = MD.

б) Расстояние от M до AD = BC, а угол АDC равен 55. Найдите угол BAD.

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017

89
Задание 16 № 517523

В трапеции АBCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании АD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точке C и M.

а) Докажите, что угол BАM равен углу CАD.

б) Диагонали трапеции АBCD пересекаются в точке O.

Найдите площадь треугольника АOB, если АB = 6, а BC = 4BM.

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017

90
Задание 16 № 517524

Дана равнобедренная трапеция, в которой AD = 3BC, CM — высота трапеции.

а) Доказать, что M делит AD в отношении 2:1.

б) Найдите расстояние от точки C до середины BD, если AD = 18, AC =

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017

91
Задание 16 № 517526

Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите площадь трапеции.

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017

92
Задание 16 № 517528

Дана трапеция с диагоналями равными 6 и 8. Сумма оснований равна 10.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017

93
Задание 16 № 517529

Дана трапеция ABCD, так, что и точка M внутри трапеции,

а) Докажите, что АM = DM.

б) Найдите угол BAD, если угол CDA равен 50 градусов, а высота, проведённая из точки M к АD равна BC.

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017

94
Задание 16 № 517532

Две окружности с центрами O1 и O2 и радиусами 3 и 4 пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая MK пересекающая обе окружности в точках M и K, причем точка A находится между ними.

а) Докажите, что треугольники BMK и O1AO2 подобны.

б) Найдите расстояние от точки B до прямой MK, если O1O2 = 5, MK = 7.

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017

95
Задание 16 № 517535

Основания трапеции равны 4 и 9, а её диагонали равны 5 и 12.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите площадь трапеции.

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2017

96
Задание 16 № 517741

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 8MB и DN = 2CN.

а) Докажите, что AD = 4BC.

б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен


Аналоги к заданию № 517741: 517751

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Вариант 501 (C часть).

97
Задание 16 № 517758

В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь трапеции, если а основания равны 5 и 7.

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Вариант 992 (C часть).

98
Задание 16 № 517832

В треугольник ABC, в котором длина стороны AC меньше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B1 симметрична точке B относительно CO.

а) Докажите, что A, B, O и B1 лежат на одной окружности.

б) Найдите площадь четырёхугольника AOBB1, если AB = 10, AC = 6 и BC = 8.

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Восток (C часть).

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте · Редакция

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!