За­ме­ним на пе­ре­не­сем по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в пра­вую часть и при­ме­ним на об­ла­сти опре­де­ле­ния фор­му­лу суммы ло­га­риф­мов. По­лу­чим:

Тогда ис­ход­ное урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­мам:

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Выше мы вос­поль­зо­ва­лись тем, что число, боль­шее по­ло­жи­тель­но­го, по­ло­жи­тель­но:

За­пом­ним этот прием, он поз­во­ля­ет умень­шать ко­ли­че­ство не­ра­венств в си­сте­мах без по­те­ри рав­но­силь­но­сти.

При­ме­ча­ние Алек­сандра Ива­но­ва (Санкт-Пе­тер­бург).

Чи­та­тель, много ре­шав­ший ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния и не­ра­вен­ства, знает, что если при ре­ше­нии урав­не­ний или не­ра­венств ис­поль­зу­ет­ся фор­му­ла суммы ло­га­риф­мов, то для обес­пе­че­ния рав­но­силь­но­сти до­ста­точ­но за­пи­сать усло­вие на ар­гу­мент лишь од­но­го из скла­ды­ва­е­мых ло­га­риф­мов. На­при­мер, спра­вед­ли­ва рав­но­силь­ность

Поль­зу­ясь ска­зан­ным, при­ве­ден­ное ре­ше­ние можно чуть со­кра­тить:

При­ме­ча­ние Дмит­рия Гу­щи­на (Санкт-Пе­тер­бург).

При­ве­ден­ная в преды­ду­щем при­ме­ча­нии идея яв­ля­ет­ся част­ным слу­ча­ем сле­ду­ю­щих общих и чрез­вы­чай­но по­лез­ных утвер­жде­ний, ко­то­рые не­слож­но до­ка­зать, на­при­мер, ме­то­дом ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции.

Иными сло­ва­ми, из­бав­ля­ясь от ло­га­риф­мов, одно любое усло­вие можно опу­стить. Это свой­ство, ос­но­ван­ное на том, что число, рав­ное по­ло­жи­тель­но­му, по­ло­жи­тель­но, поз­во­ля­ет умень­шить число усло­вий, на­при­мер, в сле­ду­ю­щем слу­чае (три ло­га­риф­ма пе­ре­мен­ных  — два усло­вия):

Или в за­да­че с па­ра­мет­ром, пред­ва­ри­тель­но из­ба­вив­шись от ми­ну­са перед ло­га­риф­мом:

То же утвер­жде­ние верно и для не­ра­венств.

В этом слу­чае, из­бав­ля­ясь от ло­га­риф­мов, можно опу­стить одно, но не любое одно усло­вие, а лишь сто­я­щее в ито­го­вом не­ра­вен­стве спра­ва от знака мень­ше (или, что то же самое, слева от знака боль­ше). Не при­во­дя до­ка­за­тель­ства для об­ще­го слу­чая, за­ме­тим, что в каж­дом кон­крет­ном слу­чае опи­ра­ем­ся на то, что число, боль­шее по­ло­жи­тель­но­го, по­ло­жи­тель­но. Про­ил­лю­стри­ру­ем ска­зан­ное при­ме­ром:

Об­ра­тим вни­ма­ние чи­та­те­ля, что при ре­ше­нии урав­не­ний ино­гда можно не за­бо­тить­ся о рав­но­силь­но­сти пре­об­ра­зо­ва­ний, рас­счи­ты­вая сде­лать про­вер­ку. Од­на­ко не­воз­мож­но про­ве­рить под­ста­нов­кой бес­ко­неч­ное ко­ли­че­ство ре­ше­ний не­ра­венств. По­это­му, решая не­ра­вен­ства, не­пре­мен­но при­хо­дит­ся сле­дить за рав­но­силь­но­стью пре­об­ра­зо­ва­ний. В про­стых за­да­чах до­ста­точ­но найти об­ласть опре­де­ле­ния, на ко­то­рой пре­об­ра­зо­ва­ния рав­но­силь­ны. Но в слож­ных за­да­чах, в част­но­сти в за­да­чах с па­ра­мет­ром, явно найти ОДЗ бы­ва­ет за­труд­ни­тель­но или даже не­воз­мож­но. В таких слу­ча­ях не­до­ста­точ­но, как это не­ред­ко бы­ва­ет, за­пи­сать в пра­вом углу листа не­ра­вен­ства, за­да­ю­щие ОДЗ, ре­шить те, что ре­ша­ют­ся, а осталь­ные бро­сить. Не­об­хо­ди­мо хо­ро­шо по­ни­мать, как на каж­дом шаге ре­ше­ния со­хра­нять рав­но­силь­ность пре­об­ра­зо­ва­ний. По­мочь в этом и при­зва­ны при­ве­ден­ные рас­суж­де­ния.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

За­ме­тим, что Пусть Тогда не­ра­вен­ство си­сте­мы при­ни­ма­ет вид:

Дан­ное не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся толь­ко при Зна­чит,

С учётом огра­ни­че­ний из пер­вой си­сте­мы по­лу­ча­ем, что

Ответ: −2.

Ре­ше­ние не­ра­вен­ства ищем при усло­вии По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ:

Из усло­вия сле­ду­ет, что и по­это­му, ис­поль­зуя свой­ство по­лу­ча­ем:

Пусть Решим не­ра­вен­ство:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ис­поль­зуя фор­му­лу по­лу­ча­ем:

Ответ: