Системы с параметром
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите все значения a, при каждом из которых множество точек (x; y), удовлетворяющих условию
будут иметь три общие точки с кривой, заданной уравнением
Если какая-то точка 
подходит в систему и в уравнение кривой, то и точка 
тоже подходит. Поэтому для получения нечетного числа общих точек требуется, чтобы абсцисса одной из общих точек была равна нулю. Тогда это либо 
либо 
Случай 1. Это точка 
Тогда из уравнения кривой получим 
и само уравнение примет вид 
Ясно, что при 
других точек пересечения нет. Если же 
то получаем 
имеющее корни 
Итого три точки пересечения.
Случай 2. Это точка Тогда из уравнения кривой получим 
и само уравнение примет вид 
Ясно, что при подходят 
и это еще две точки пересечения.
Если же то получаем 
откуда 
Однако для них получаются те же точки пересечения, которые мы уже нашли.
Ответ: 
Примечание. Если решать задачу графически, то система задает равносторонний треугольник со стороной 4, а кривая представляет собой окружность с центром в центре этого треугольника и радиусом 
Устраивающие нас две ситуации соответствуют случаям вписанной и описанной окружности треугольника.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система
имеет два решения.
Обозначим 
за b. Тогда первое уравнение дает 
а второе тогда 
Если у квадратного уравнения 
есть корни, то они, очевидно, положительны, поэтому каждый из них дает два различных значения x и с ними два решения исходной системы. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы это уравнение имело единственный корень, то есть чтобы
Используя формулу для суммы геометрической прогрессии, для 
получим
При 
полученное равенство также верно, поскольку в левой и правой частях нули. Итак,
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система 
имеет ровно 2 решения.
Заметим, что если пара (x, y) является решением системы, то и пара тоже является решением. Поэтому все решения системы кроме тех, в которых разбиваются на пары. Поэтому в решениях либо есть одна такая пара, либо обе точки 
В этом втором случае 
и годится также точка 
поэтому решений не два, а больше.
Итак, есть одна пара решений. То есть есть единственное положительное x и соответствующее ему y, для которых выполнены оба условия системы.
Тогда 
и 
имеет единственное решение y на отрезке 
имеет единственное решение y на отрезке
Тогда a должно быть максимальным значением функции 
на указанном отрезке.
Найдем это значение, взяв производную и приравняв ее к нулю.
заметим, что 
Теперь подставим в исходную функцию это значение, а также 
— концы отрезка и они же — точки, где не определена производная.
Итак, наибольшее значение этой функции равно 
Ответ: 
Примечание. При графическом способе решения первое уравнение задает окружность, а второе — часть плоскости, лежащую выше бесконечного угла. Полученная в ответе ситуация соответствует случаю, когда стороны угла касаются окружности.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
имеет ровно 4 различных решения.
Сделаем замену 
Очевидно, каждому y соответствует ровно одно t, и каждому неотрицательному t соответствует ровно одно значение y, а именно 
Поэтому нас будет интересовать количество решений системы
при неотрицательных t.
Заметим, что функция 
принимает по два раза значения на промежутке 
один раз принимает значение 1 и не принимает других неотрицательных значений.
Поэтому нужно, чтобы нашлось два различных 
для решений этой системы (каждому из них мы потом сопоставим два различных значения x. Иными словами, уравнение 
имеет два корня на 
Его корни — 
и 
они оба попадают на нужный промежуток при 
При 
эти корни равны. Таким образом, получаем ответ.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Заметим, что если пара 
является решением системы, то и пара 
тоже является решением, поскольку 
Поэтому все решения системы кроме тех, в которых разбиваются на пары. Поэтому если решение системы единственно, то в этом решении 
Из второго уравнения тогда или 
Если 
то из первого уравнения 
Если 
то из первого уравнения 
Итак, возможные ситуации — 
и решение 
или 
и решение (0;0).
Осталось установить, будут ли эти решения единственными.
Случай 1. Тогда из второго уравнения сразу получаем а тогда из первого — Здесь действительно единственное решение.
Случай 2. Тогда система сводится к такой
Из второго уравнения 
поэтому первая задача сводится к 
Левая часть не меньше двух (как сумма двух взаимно обратных чисел), правая — не больше двух, причем равенства возможны только при 
Итак, здесь тоже единственное решение.
Ответ: или
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
или Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх