СДАМ ГИА






Каталог заданий. Комбинации фигур
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д10 C4 № 505589

В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M. Известно, что AD = 8, AB = 4, угол CDB равен 60 градусов.

а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.

б) Найдите длину EM.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 40.

2
Задания Д10 C4 № 505619

В треугольнике ABC угол В прямой, точка М лежит на стороне АС, причем Величина угла АВМ равна 60 градусам, BM = 8.

а) Найдите величину угла ВАС;

б) Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ВСМ и ВАМ.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 45.

3
Задания Д10 C4 № 505685

В треугольнике ABC точка O — центр описанной окружности, точка R лежит на отрезке BC и BR = RC. Описанная около треугольника BRO окружность пересекает AB в точке T. Известно, что угол BOR равен 30 градусов, RT = 8, BT = 6.

а) Докажите, что TR || AC.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 55.

4
Задания Д10 C4 № 505691

В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M.

а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.

б) Найдите EM, если AD = 8, AB = 4 и угол CDB равен 60°.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 56.

5
Задания Д10 C4 № 505697

Дан квадрат ABCD со стороной 7. На сторонах BC и CD даны точки M и N такие, что периметр треугольника CMN равен 14.

а) Докажите, что B и D — точки касания вневписанной окружности треугольника CMN, а ее центр находится в вершине A квадрата ABCD.

б) Найдите угол MAN.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 57.

6
Задания Д10 C4 № 505703

В окружность радиуса R вписан треугольник ABC. Вторая окружность радиуса r, концентрическая с первой, касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух других сторон на три равные части.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите

 

Пояснение: концентрические окружности — это окружности, у которых совпадают центры.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 58.

7
Задания Д10 C4 № 505733

В треугольнике АВС основание ВС = 9,5, площадь треугольника равна 28,5. Окружность, вписанная в треугольник, касается средней линии, параллельной основанию.

а) Докажите, что АС + АВ = 3ВС.

б) Найдите меньшую из боковых сторон.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 63.

8
Задания Д10 C4 № 505739

В треугольнике АВС AB = BC = 10, AC = 12. Биссектриса угла ВАС пересекает сторону BC в точке D и описанную около треугольника окружность в точке P.

а) Докажите, что ∠ABP = ∠BDP.

б) Найдите отношение площадей треугольников ADB и BDP.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 64.

9
Задания Д10 C4 № 505769

Продолжение медианы AE треугольника ABC пересекает описанную около треугольника окружность в точке D.

а) Докажите подобие треугольников ABC и AEC, если AC = CD.

б) Найдите длину отрезка BC, если длина каждой из хорд AC и DC равна 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 69.

10
Задания Д10 C4 № 505787

В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M.

а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.

б) Найдите EM, если AD = 8, AB =  и угол CDB = 60°.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 72.

11
Задания Д10 C4 № 505793

В треугольнике KLM угол L тупой, а длина стороны KM равна 6. На окружности, описанной около треугольника KLM, лежит центр окружности, проходящей через вершины K, M и точку пересечения высот треугольника KLM.

а) Докажите, что угол KLM равен 120 градусов.

б) Найдите радиус описанной около треугольника KLM окружности.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 73.

12
Задания Д10 C4 № 505805

Окружность радиуса с центром на стороне AC треугольника ABC касается сторон AB и BC, равных соответственно 10 и 24.

а) Докажите, что треугольник ABC — прямоугольный.

б) Найдите высоту, опущенную из вершины прямого угла треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 75.

13
Задания Д10 C4 № 505835

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE, H — точка пересечения высот.

а) Докажите, что точки A, E, D и С лежат на одной окружности.

б) Известно, что радиус этой окружности равен 2, а радиус описанной окружности треугольника ABC равен 4. Найдите угол ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 80.

14
Задания Д10 C4 № 505841

Дан прямоугольный треугольник АВС, с катетами АВ и ВС (АВ = 5, ВС = 12 ). Пусть точка I – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Прямая, проходящая через точку I, параллельна одной из сторон треугольника АВС и пересекает две другие стороны в точках К и Р. Найдите длину отрезка КР.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 1.

15
Задания Д10 C4 № 505847

Дан треугольник ABC, где BA = 5, BC = 8. В треугольник вписана окружность, касающаяся стороны BC в точке Р. Известно, что ВР = 3. Найдите площадь треугольника ВМР, где М — точка касания окружности со стороной треугольника АВС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 2.

16
Задания Д10 C4 № 505861

Дан треугольник АВС, в котором В треугольник вписана окружность, которая касается сторон AC, CB, BA в точках K, T и M соответственно. Прямая AT пересекает окружность в точке L, причем AL = 2. Найдите площадь треугольника, одна из сторон которого AT, а другая содержит точку касания окружностью треугольника АВС, если AK = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 3.

17
Задания Д10 C4 № 505885

Дан прямоугольный треугольник MNK с катетами 5 и 12. Треугольник KNJ — равносторонний, причем точка J и точка M ледат по разные стороны от прямой NK. Найдите расстояние от центра вписанной окружности в MNK до центра вписанной в KNJ окружности.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 7.

18
Задания Д10 C4 № 505891

Четырехугольник KLMN вписан в окружность, его диагонали KM и LN пересекаются в точке F, причем KL = 8, MN = 4, периметр треугольника MNF равен 9, площадь треугольника KLF равна Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KNF.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 8.

19
Задания Д10 C4 № 505909

Трапеция ABCD с основаниями AD = 6 и BC = 4 и диагональю BD = 7 вписана в окружность. На окружности взята точка К, отличная от точки D так, что BK = 7. Найдите длину отрезка АК.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 11.

20
Задания Д10 C4 № 505927

В треугольнике АВС АС = 12, ВС = 5, АВ = 13. Вокруг этого треугольника описана окружность S. Точка D является серединой стороны АС. Построена окружность S1, касающаяся окружности S и отрезка АС в точке D. Найдите радиус окружности S1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 14.

21
Задания Д10 C4 № 505969

На боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность, делящая вторую боковую сторону на отрезки, равные 1 и 2. Найдите основание треугольника.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 21.

22
Задания Д10 C4 № 505993

В окружность радиуса вписана трапеция с основаниями 2 и 4. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 25.

23
Задания Д10 C4 № 506017

Окружности радиусов 2 и 1 касаются в точке A. Найдите сторону равностороннего треугольника, одна из вершин которого находится в точке A, а две другие лежат на разных окружностях.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 29.

24
Задания Д10 C4 № 506023

Длины соседних сторон вписанного в окружность четырехугольника отличаются на 1. Длина наименьшей из них также равна 1. Найти радиус окружности.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 30.

25
Задания Д10 C4 № 506029

Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, угол AOC равен 60 градусов. Найдите угол AMC, где M — центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 31.

26
Задания Д10 C4 № 506077

На окружности радиуса 3 с центром в вершине острого угла А прямоугольного треугольника АВС взята точка Р. Известно, что АС = 3, ВС = 8, а треугольники АРС и АРВ равновелики. Найдите расстояние от точки Р до прямой ВС, если известно, что оно больше 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 39.

27
Задания Д10 C4 № 508089

В трапеции ABCD AD || BC, AB = 2 и E — точка пересечения биссектрисы угла BAD и прямой BC. Окружность, вписанная в треугольник ABE, касается сторон AB и BE в точках M и H соответственно, MH = 1.

а) Докажите, что MH || AE;

б) Найдите угол BAD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 82.

28
Задания Д10 C4 № 508104

В выпуклом четырехугольнике ABCD заключены две окружности одинакового радиуса r, касающиеся друг друга внешним образом. Центр первой окружности находится на отрезке, соединяющем вершину A с серединой F стороны CD, а центр второй окружности находится на отрезке, соединяющем вершину C с серединой E стороны AB. Первая окружность касается сторон AB, AD и CD, вторая окружность касается сторон AB, BC и CD.

а) Докажите, что AB || CD;

б) Найдите АС, если r = 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 86.

29
Задания Д10 C4 № 508110

Хорда AB стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде AB. При этом AD = 2, BD = 1,

а) Докажите, что угол ADC равен

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 87.

30
Задания Д10 C4 № 508157

В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М.

а) Докажите, что ЕМ — медиана треугольника CЕD.

б) Найдите длину отрезка ЕМ, если АD = 8, АВ = 4 и угол CDВ равен 60°.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 96.

31
Задания Д10 C4 № 508163

Две окружности касаются внешним образом в точке А. Прямая l касается первой окружности в точке В, а второй — в точке С.

а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если радиусы окружностей 8 и 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 97.

32
Задания Д10 C4 № 508187

Равносторонний треугольник АВС вписан в окружность. На окружности отмечена точка М, не совпадающая ни с одной из точек А, В и С.

а) Докажите, что расстояние от точки М до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.

б) Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках А, В, С и М, если известно, что площадь равна  а радиус окружности равен

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 104.

33
Задания Д10 C4 № 508193

Окружность касается стороны АВ параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и ВС в точках М и N соответственно и проходит через вершины С и D.

а) Докажите, что DN = CM.

б) Найдите DN, зная, что AM = 9, BN = 16, BC = 18.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 105.

34
Задания Д10 C4 № 508641

Вокруг выпуклого четырехугольника со сторонами a, b, c, d описана окружность.

а) Докажите, что отношение его диагоналей выражается как

б) Найдите площадь четырехугольника, если a = 2, b = 8, c = 12, d = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 84.

35
Задания Д10 C4 № 508756

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Точка Х лежит на его стороне AD, причем ВХ || CD и CX || BA, и DX = 6.

а) Докажите, что треугольники АВХ и ВХС подобны.

б) Найдите ВС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 89.

36
Задания Д10 C4 № 511254

На сторонах прямоугольного треугольника ABC, как на диаметрах, построены полуокружности w, w1 и w2. (рис.).

а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна сумме площадей двух луночек, ограниченных полуокружностями w и w1 и полуокружностями w и w2.

б) Пусть прямая l касается w1 в точке M, а w2 в точке P. Найдите длину отрезка MP, если известно, что сумма площадей двух луночек равна 49.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 127.

37
Задания Д10 C4 № 511261

Четырехугольник ABDC вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке P.

а) Докажите, что AD · BP = BC · DP.

б) Найдите площадь треугольника APC, если известно, что BD = 2 · AC, а площадь четырехугольника ABDC равна 36.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 128.

38
Задания Д10 C4 № 511268

В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями BC и AD вписана окружность. Вторая окружность, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, второй раз пересекает большее основание AD в точке H.

а) Докажите, что треугольник CHD равнобедренный.

б) Найдите основания трапеции, если радиусы первой и второй окружностей равны соответственно 6 и 6,5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 129.

39
Задания Д10 C4 № 511282

Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD. E и K — точки касания этой окружности с боковыми сторонами AD и BC. Угол между основанием AB и боковой стороной AD трапеции равен 60°.

а) Докажите, что EK параллельно AB.

б) Найдите площадь трапеции ABKE, если радиус окружности равен

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 131.

40
Задания Д10 C4 № 511879

Через вершины А и С прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°) проведена окружность с центром в точке О, касающаяся прямой AB и пересекающая продолжение стороны BC в точке E.

а) Докажите, что сумма углов AOE и AOC равна 180°.

б) Найдите диаметр окружности, если известно, что BE = 5, AC = 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 115.

41
Задания Д10 C4 № 511886

В треугольнике ABC проведена биссектриса CM, касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P.

А) Докажите, что BC : AC = CP : AP.

Б) Найдите длину CP, если известно, что AM = 5, BM = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 116.

42
Задания Д10 C4 № 511918

В прямоугольном треугольнике АВС проведены медианы АМ и ВК. Известно, что около четырехугольника АВМК можно описать окружность.

А) Докажите, что СК = СМ.

Б) Пусть АВ = 2. Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 119.

43
Задания Д10 C4 № 512461

Равносторонний треугольник ABC и три одинаковые окружности расположены таким образом, что каждая окружность касается двух сторон треугольника и двух других окружностей.

а) Докажите, что точки попарного касания окружностей являются вершинами равностороннего треугольника.

б) Найдите радиус окружностей, если известно, что AB = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 137.

44
Задания Д10 C4 № 512664

Из точки M, взятой на окружности с центром в точке О, на диаметры AB и СD опущены  перпендикуляры MK и MP соответственно.  

а) Докажите, что существует точка, одинаково удалённая от точек M, О, P, K

б) Найдите площадь треугольника MKP, если известно, что ∠MKP = 30°, ∠AOC = 15°, а радиус окружности равен 4. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 140.

45
Задания Д10 C4 № 512672

В ромб вписана окружность Θ. Окружности w1 и w2 (разного радиуса) расположены так, что каждая касается окружности Θ и двух соседних сторон ромба. 

а) Докажите, что площадь круга, ограниченного окружностью Θ, составляет менее 80% площади ромба.

б) Найдите отношение радиусов окружностей w1 и w2, если известно, что диагонали ромба относятся, как 1 : 2. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 141.

46
Задания Д10 C4 № 508116

В треугольнике ABC точка О — центр описанной окружности, точка K лежит на отрезке BC, причем BК = КC. Описанная около треугольника BKO окружность пересекает AB в точке T.

а) Докажите, что TK || АС.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что угол BOK равен 30°, КT = 8, ВТ = 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 90.

47
Задания Д10 C4 № 513766

Окружность касается сторон AB и BC треугольника ABC соответственно в точках D и E, точки A, D, E, C лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите длину высоты треугольника ABC, опущенной из точки А, если стороны AB и АС равны соответственно 5 и 2. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 147.

48
Задания Д10 C4 № 513773

В окружность радиуса R вписан четырехугольник ABCDP — точка пересечения его диагоналей, AB = CD = 5, AD > BC. Высота, опущенная из точки В на сторону AD, равна 3, а площадь треугольника ADP равна 

а) Докажите, что ABCD — равнобедренная трапеция 

б) Найдите стороны ADBC и радиус окружности R.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 148.

49
Задания Д10 C4 № 513780

Через вершины А, В, С параллелограмма ABCD со сторонами AB = 3 и BC = 5 проведена окружность, пересекающая прямую BD в точке E, причем BE = 9.  

а) Докажите, что BE > BD.

б) Найдите диагональ BD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 149.

50
Задания Д10 C4 № 514061

В равнобокую трапецию вписана окружность. 

а) Докажите, что диаметр окружности равен среднему геометрическому длин оснований трапеции. (Средним  геометрическим двух положительных чисел а и b называется значение выражения 

б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции, если известно, что длины оснований трапеции 8 и 18.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 153.

51
Задания Д10 C4 № 514068

а) Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности суммы катетов и гипотенузы.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если радиусы окружностей, вписанных в  треугольники, на которые он делится высотой, проведённой к гипотенузе, равны 4 и 5. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 154.

52
Задания Д10 C4 № 514075

В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность ω, касающаяся гипотенузы AB в точке M. Точка О — центр описанной около треугольника ABC окружности. Касательная к окружности ω, проведенная из точки О, пересекает сторону АС в точке P.

а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна произведению длин отрезков AM и BM.

б) Найдите площадь четырехугольника BCPO, если известно, что AM = 12, BM = 5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 155.

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте · Редакция

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!