Комбинации фигур
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M. Известно, что AD = 8, AB = 4, угол CDB равен 60 градусов.
а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.
б) Найдите длину EM.
Тогда по теореме Пифагора из ΔADE получаем:
В треугольнике ABC угол В прямой, точка М лежит на стороне АС, причем 
Величина угла АВМ равна 60 градусам, BM = 8.
а) Найдите величину угла ВАС;
б) Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ВСМ и ВАМ.
тогда 
(рис. 1).
Так как 
— центр окружности, описанной около 
— центр окружности, описанной около 
(Рис. 2).
и 
которые являются радиусами названных окружностей. 
где 
по теореме Пифагорa получим: 
аналогично 
б) 17.В треугольнике ABC точка O — центр описанной окружности, точка R лежит на отрезке BC и BR = RC. Описанная около треугольника BRO окружность пересекает AB в точке T.
а) Докажите, что TR || AC.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что угол BOR равен 30°, RT = 8, BT = 6.
), то есть получается, что BO — гипотенуза и диаметр малой окружности с центром в точке E. Далее, треугольник BTO вписан в малую окружность, а его угол BTO опирается на диаметр, и потому равен 
Так как 
и O является центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC, то OT — серединный перпендикуляр, то есть T — середина AB. Значит, TR — средняя линия треугольника ABC, поэтому TR || AC. 
(как соответственные при параллельных прямых). В итоге получаем:
В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M.
а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.
б) Найдите EM, если AD = 8, AB = 4 и угол CDB равен 60°.
— равносторонний (так как все углы по 
), то есть EM = ED = MD = x. Так как в прямоугольном треугольнике CED против угла в 30° лежит катет, в 2 раза меньший гипотенузы, то CD = 2x. Получили, что так как DM = x, точка M является серединой гипотенузы CD, то есть EM — медиана ΔCED. Что и требовалось доказать.
Тогда по теореме Пифагора из ΔADE получаем:
Дан квадрат ABCD со стороной 7. На сторонах BC и CD даны точки M и N такие, что периметр треугольника CMN равен 14.
а) Докажите, что B и D — точки касания вневписанной окружности треугольника CMN, а ее центр находится в вершине A квадрата ABCD.
б) Найдите угол MAN.
откуда 
Тогда
Пройти тестирование по этим заданиям