В окруж­ность впи­сан че­ты­рех­уголь­ник ABCD, диа­го­на­ли ко­то­ро­го вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку E и пер­пен­ди­ку­ляр­ная к AB, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точке M. Из­вест­но, что AD = 8, AB = 4, угол CDB равен 60 гра­ду­сов.

а)  До­ка­жи­те, что EM  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка CED.

б)  Най­ди­те длину EM.

В тре­уголь­ни­ке ABC угол В пря­мой, точка М лежит на сто­ро­не АС, при­чем Ве­ли­чи­на угла АВМ равна 60 гра­ду­сам, BM = 8.

а)  Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ВАС;

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, опи­сан­ных во­круг тре­уголь­ни­ков ВСМ и ВАМ.

В тре­уголь­ни­ке ABC точка O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти, точка R лежит на от­рез­ке BC и BR = RC. Опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка BRO окруж­ность пе­ре­се­ка­ет AB в точке T.

а)  До­ка­жи­те, что TR || AC.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что угол BOR равен 30°, RT = 8, BT  =  6.

В окруж­ность впи­сан че­ты­рех­уголь­ник ABCD, диа­го­на­ли ко­то­ро­го вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку E и пер­пен­ди­ку­ляр­ная к AB, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что EM  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка CED.

б)  Най­ди­те EM, если AD = 8, AB = 4 и угол CDB равен 60°.

Дан квад­рат ABCD со сто­ро­ной 7. На сто­ро­нах BC и CD даны точки M и N такие, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка CMN равен 14.

а)  До­ка­жи­те, что B и D  — точки ка­са­ния внев­пи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка CMN, а ее центр на­хо­дит­ся в вер­ши­не A квад­ра­та ABCD.

б)  Най­ди­те угол MAN.

В окруж­ность ра­ди­у­са R впи­сан тре­уголь­ник ABC. Вто­рая окруж­ность ра­ди­у­са r, кон­цен­три­че­ская с пер­вой, ка­са­ет­ся одной сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка и делит каж­дую из двух дру­гих сто­рон на три рав­ные части.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те

По­яс­не­ние: кон­цен­три­че­ские окруж­но­сти  — это окруж­но­сти, у ко­то­рых сов­па­да­ют цен­тры.

В тре­уголь­ни­ке АВС ос­но­ва­ние ВС = 9,5, пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна 28,5. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, ка­са­ет­ся сред­ней линии, па­рал­лель­ной ос­но­ва­нию.

а)  До­ка­жи­те, что АС + АВ = 3ВС.

б)  Най­ди­те мень­шую из бо­ко­вых сто­рон.

В тре­уголь­ни­ке АВС AB  =  BC  =  10, AC  =  12. Бис­сек­три­са угла ВАС пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке D и опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка окруж­ность в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что ∠ABP = ∠BDP.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков ADB и BDP.

Про­дол­же­ние ме­ди­а­ны AE тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка окруж­ность в точке D.

а)  До­ка­жи­те по­до­бие тре­уголь­ни­ков ABC и AEC, если AC  =  CD.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка BC, если длина каж­дой из хорд AC и DC равна 1.

В окруж­ность впи­сан четырёхуголь­ник ABCD, диа­го­на­ли ко­то­ро­го вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку E и пер­пен­ди­ку­ляр­ная к AB, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что EM  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка CED.

б)  Най­ди­те EM, если AD  =  8, AB  =  4 и угол CDB  =  60°.

В тре­уголь­ни­ке KLM угол L тупой, а длина сто­ро­ны KM равна 6. На окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLM, лежит центр окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через вер­ши­ны K, M и точку пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка KLM.

а)  До­ка­жи­те, что угол KLM равен 120 гра­ду­сов.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLM окруж­но­сти.

Окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром на сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC ка­са­ет­ся сто­рон AB и BC, рав­ных со­от­вет­ствен­но 10 и 24.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC  — пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те вы­со­ту, опу­щен­ную из вер­ши­ны пря­мо­го угла тре­уголь­ни­ка ABC.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AD и CE, H  — точка пе­ре­се­че­ния высот.

а)  До­ка­жи­те, что точки A, E, D и С лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Из­вест­но, что ра­ди­ус этой окруж­но­сти равен 2, а ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC равен 4. Най­ди­те угол ABC.

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник АВС, с ка­те­та­ми АВ  =  5 и ВС  =  12. Точка I  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник АВС. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку I, па­рал­лель­на одной из сто­рон тре­уголь­ни­ка АВС и пе­ре­се­ка­ет две дру­гие сто­ро­ны в точ­ках К и Р. Най­ди­те длину от­рез­ка КР.

Дан тре­уголь­ник ABC, где BA = 5, BC = 8. В тре­уголь­ник впи­са­на окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны BC в точке Р. Из­вест­но, что ВР = 3. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ВМР, где М  — точка ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­ной тре­уголь­ни­ка АВС.

Дан тре­уголь­ник АВС, в ко­то­ром В тре­уголь­ник впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон AC, CB, BA в точ­ках K, T и M со­от­вет­ствен­но. Пря­мая AT пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке L, при­чем AL = 2. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, одна из сто­рон ко­то­ро­го AT, а дру­гая со­дер­жит точку ка­са­ния окруж­но­стью тре­уголь­ни­ка АВС, если AK = 4.

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник MNK с ка­те­та­ми 5 и 12. Тре­уголь­ник KNJ  — рав­но­сто­рон­ний, при­чем точка J и точка M ледат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой NK. Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра впи­сан­ной окруж­но­сти в MNK до цен­тра впи­сан­ной в KNJ окруж­но­сти.

Че­ты­рех­уголь­ник KLMN впи­сан в окруж­ность, его диа­го­на­ли KM и LN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F, при­чем KL  =  8, MN  =  4, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка MNF равен 9, пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLF равна Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KNF.

Тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD = 6 и BC = 4 и диа­го­на­лью BD = 7 впи­са­на в окруж­ность. На окруж­но­сти взята точка К, от­лич­ная от точки D так, что BK = 7. Най­ди­те длину от­рез­ка АК.

В тре­уголь­ни­ке АВС АС = 12, ВС = 5, АВ = 13. Во­круг этого тре­уголь­ни­ка опи­са­на окруж­ность S. Точка D яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной сто­ро­ны АС. По­стро­е­на окруж­ность S₁, ка­са­ю­ща­я­ся окруж­но­сти S и от­рез­ка АС в точке D. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти S₁.

На бо­ко­вой сто­ро­не рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка как на диа­мет­ре по­стро­е­на окруж­ность, де­ля­щая вто­рую бо­ко­вую сто­ро­ну на от­рез­ки, рав­ные 1 и 2. Най­ди­те ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка.

В окруж­ность ра­ди­у­са впи­са­на тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 2 и 4. Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции.

Окруж­но­сти ра­ди­у­сов 2 и 1 ка­са­ют­ся в точке A. Най­ди­те сто­ро­ну рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка, одна из вер­шин ко­то­ро­го на­хо­дит­ся в точке A, а две дру­гие лежат на раз­ных окруж­но­стях.

Длины со­сед­них сто­рон впи­сан­но­го в окруж­ность че­ты­рех­уголь­ни­ка от­ли­ча­ют­ся на 1. Длина наи­мень­шей из них также равна 1. Найти ра­ди­ус окруж­но­сти.

Пусть O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, угол AOC равен 60 гра­ду­сов. Най­ди­те угол AMC, где M  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

На окруж­но­сти ра­ди­у­са 3 с цен­тром в вер­ши­не остро­го угла А пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АВС взята точка Р. Из­вест­но, что АС = 3, ВС = 8, а тре­уголь­ни­ки АРС и АРВ рав­но­ве­ли­ки. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки Р до пря­мой ВС, если из­вест­но, что оно боль­ше 2.

В тра­пе­ции ABCD AD || BC, AB  =  2 и E  — точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­три­сы угла BAD и пря­мой BC. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABE, ка­са­ет­ся сто­рон AB и BE в точ­ках M и H со­от­вет­ствен­но, MH = 1.

а)  До­ка­жи­те, что MH || AE;

б)  Най­ди­те угол BAD.

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD за­клю­че­ны две окруж­но­сти оди­на­ко­во­го ра­ди­у­са r, ка­са­ю­щи­е­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом. Центр пер­вой окруж­но­сти на­хо­дит­ся на от­рез­ке, со­еди­ня­ю­щем вер­ши­ну A с се­ре­ди­ной F сто­ро­ны CD, а центр вто­рой окруж­но­сти на­хо­дит­ся на от­рез­ке, со­еди­ня­ю­щем вер­ши­ну C с се­ре­ди­ной E сто­ро­ны AB. Пер­вая окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон AB, AD и CD, вто­рая окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон AB, BC и CD.

а)  До­ка­жи­те, что AB || CD;

б)  Най­ди­те АС, если r = 2.

Хорда AB стя­ги­ва­ет дугу окруж­но­сти, рав­ную 120°. Точка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде AB. При этом AD = 2, BD = 1,

а)  До­ка­жи­те, что угол ADC равен

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

В окруж­ность впи­сан че­ты­рех­уголь­ник ABCD, диа­го­на­ли ко­то­ро­го пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Е. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку Е и пер­пен­ди­ку­ляр­ная к АВ, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точке М.

а)  До­ка­жи­те, что ЕМ  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка CЕD.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка ЕМ, если АD = 8, АВ = 4 и угол CDВ равен 60°.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке А. Пря­мая l ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке В, а вто­рой  — в точке С.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей 8 и 2.

Рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник АВС впи­сан в окруж­ность. На окруж­но­сти от­ме­че­на точка М, не сов­па­да­ю­щая ни с одной из точек А, В и С.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние от точки М до одной из вер­шин тре­уголь­ни­ка равно сумме рас­сто­я­ний до двух дру­гих вер­шин.

б)  Най­ди­те пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках А, В, С и М, если из­вест­но, что пло­щадь равна  а ра­ди­ус окруж­но­сти равен

Окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны АВ па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AD и ВС в точ­ках М и N со­от­вет­ствен­но и про­хо­дит через вер­ши­ны С и D.

а)  До­ка­жи­те, что DN = CM.

б)  Най­ди­те DN, зная, что AM = 9, BN = 16, BC = 18.

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Точка Х лежит на его сто­ро­не AD, при­чем ВХ || CD и CX || BA, и DX  =  6.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки АВХ и ВХС по­доб­ны.

б)  Най­ди­те ВС.

На сто­ро­нах пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, как на диа­мет­рах, по­стро­е­ны по­лу­окруж­но­сти w, w₁ и w₂. (рис.).

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна сумме пло­ща­дей двух лу­но­чек, огра­ни­чен­ных по­лу­окруж­но­стя­ми w и w₁ и по­лу­окруж­но­стя­ми w и w₂.

б)  Пусть пря­мая l ка­са­ет­ся w₁ в точке M, а w₂ в точке P. Най­ди­те длину от­рез­ка MP, если из­вест­но, что сумма пло­ща­дей двух лу­но­чек равна 49.

Че­ты­рех­уголь­ник ABDC впи­сан в окруж­ность. Пря­мые AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что AD · BP = BC · DP.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка APC, если из­вест­но, что BD = 2 · AC, а пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABDC равна 36.

В рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и AD впи­са­на окруж­ность. Вто­рая окруж­ность, по­стро­ен­ная на бо­ко­вой сто­ро­не AB как на диа­мет­ре, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет боль­шее ос­но­ва­ние AD в точке H.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник CHD рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те ос­но­ва­ния тра­пе­ции, если ра­ди­у­сы пер­вой и вто­рой окруж­но­стей равны со­от­вет­ствен­но 6 и 6,5.

Около окруж­но­сти опи­са­на рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD. E и K  — точки ка­са­ния этой окруж­но­сти с бо­ко­вы­ми сто­ро­на­ми AD и BC. Угол между ос­но­ва­ни­ем AB и бо­ко­вой сто­ро­ной AD тра­пе­ции равен 60°.

а)  До­ка­жи­те, что EK па­рал­лель­но AB.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABKE, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен

Через вер­ши­ны А и С пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC (∠B  =  90°) про­ве­де­на окруж­ность с цен­тром в точке О, ка­са­ю­ща­я­ся пря­мой AB и пе­ре­се­ка­ю­щая про­дол­же­ние сто­ро­ны BC в точке E.

а)  До­ка­жи­те, что сумма углов AOE и AOC равна 180°.

б)  Най­ди­те диа­метр окруж­но­сти, если из­вест­но, что BE  =  5, AC  =  6.

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на бис­сек­три­са CM, ка­са­тель­ная к опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC, про­хо­дя­щая через точку C, пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в точке P.

А)  До­ка­жи­те, что BC : AC  =  CP : AP.

Б)  Най­ди­те длину CP, если из­вест­но, что AM  =  5, BM  =  4.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­ны ме­ди­а­ны АМ и ВК. Из­вест­но, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка АВМК можно опи­сать окруж­ность.

А)  До­ка­жи­те, что СК = СМ.

Б)  Пусть АВ = 2. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около че­ты­рех­уголь­ни­ка.

Рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC и три оди­на­ко­вые окруж­но­сти рас­по­ло­же­ны таким об­ра­зом, что каж­дая окруж­ность ка­са­ет­ся двух сто­рон тре­уголь­ни­ка и двух дру­гих окруж­но­стей.

а)  До­ка­жи­те, что точки по­пар­но­го ка­са­ния окруж­но­стей яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­стей, если из­вест­но, что AB  =  4.

Из точки M, взя­той на окруж­но­сти с цен­тром в точке О, на диа­мет­ры AB и СD опу­ще­ны  пер­пен­ди­ку­ля­ры MK и MP со­от­вет­ствен­но.  

а)  До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет точка, оди­на­ко­во удалённая от точек M, О, P, K. 

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка MKP, если из­вест­но, что ∠MKP  =  30°, ∠AOC  =  15°, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен 4. 

В ромб впи­са­на окруж­ность Θ. Окруж­но­сти w₁ и w₂ (раз­но­го ра­ди­у­са) рас­по­ло­же­ны так, что каж­дая ка­са­ет­ся окруж­но­сти Θ и двух со­сед­них сто­рон ромба. 

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь круга, огра­ни­чен­но­го окруж­но­стью Θ, со­став­ля­ет менее 80% пло­ща­ди ромба.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­сов окруж­но­стей w₁ и w₂, если из­вест­но, что диа­го­на­ли ромба от­но­сят­ся, как 1 : 2. 

В па­рал­ле­ло­грамм впи­са­на окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что этот па­рал­ле­ло­грамм  — ромб.

б)  Окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны ромба, делит её на от­рез­ки, рав­ные 5 и 3. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми ромба.

Во­круг вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми a, b, c, d опи­са­на окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние его диа­го­на­лей вы­ра­жа­ет­ся как

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, если a = 2, b = 8, c = 12, d = 4.

Окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон AB и BC тре­уголь­ни­ка ABC со­от­вет­ствен­но в точ­ках D и E, точки A, D, E, C лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те длину вы­со­ты тре­уголь­ни­ка ABC, опу­щен­ной из точки А, если сто­ро­ны AB и АС равны со­от­вет­ствен­но 5 и 2. 

В окруж­ность ра­ди­у­са R впи­сан че­ты­рех­уголь­ник ABCD, P  — точка пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей, AB  =  CD  =  5, AD > BC. Вы­со­та, опу­щен­ная из точки В на сто­ро­ну AD, равна 3, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка ADP равна 

а)  До­ка­жи­те, что ABCD  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция 

б)  Най­ди­те сто­ро­ны AD, BC и ра­ди­ус окруж­но­сти R.

Через вер­ши­ны А, В, С па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD со сто­ро­на­ми AB  =  3 и BC  =  5 про­ве­де­на окруж­ность, пе­ре­се­ка­ю­щая пря­мую BD в точке E, при­чем BE  =  9.  

а)  До­ка­жи­те, что BE > BD.

б)  Най­ди­те диа­го­наль BD.

Окруж­ность, про­хо­дя­щая через вер­ши­ны A, C и D пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC, пе­ре­се­ка­ет мень­шую бо­ко­вую сто­ро­ну AB в точке P и ка­са­ет­ся пря­мой BC. Из­вест­но, что AD  =  CD.

а)  До­ка­жи­те, что CP  — бис­сек­три­са угла ACB.

б)  В каком от­но­ше­нии пря­мая DP делит пло­щадь тра­пе­ции?

В рав­но­бо­кую тра­пе­цию впи­са­на окруж­ность. 

а)  До­ка­жи­те, что диа­метр окруж­но­сти равен сред­не­му гео­мет­ри­че­ско­му длин ос­но­ва­ний тра­пе­ции. (Сред­ним  гео­мет­ри­че­ским двух по­ло­жи­тель­ных чисел а и b на­зы­ва­ет­ся зна­че­ние вы­ра­же­ния  ) 

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми тра­пе­ции, если из­вест­но, что длины ос­но­ва­ний тра­пе­ции 8 и 18.

а)  До­ка­жи­те, что ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, равен по­ло­ви­не раз­но­сти суммы ка­те­тов и ги­по­те­ну­зы.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей, впи­сан­ных в  тре­уголь­ни­ки, на ко­то­рые он де­лит­ся вы­со­той, про­ведённой к ги­по­те­ну­зе, равны 4 и 5. 

В пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ω, ка­са­ю­ща­я­ся ги­по­те­ну­зы AB в точке M. Точка О  — центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти. Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти ω, про­ве­ден­ная из точки О, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АС в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна про­из­ве­де­нию длин от­рез­ков AM и BM.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BCPO, если из­вест­но, что AM  =  12, BM  =  5.

На ка­те­тах AC и BC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC как на диа­мет­рах по­стро­е­ны окруж­но­сти, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке M. Точка Q лежит на мень­шей дуге MB окруж­но­сти с диа­мет­ром BC. Пря­мая CQ вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром AC в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые PM и QM пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те PQ, если AM  =  1, BM  =  3, а Q  — се­ре­ди­на дуги MB.

В па­рал­ле­ло­грамм впи­са­на окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что этот па­рал­ле­ло­грамм  — ромб.

б)  Окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны ромба, делит её на от­рез­ки, рав­ные 3 и 2. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми ромба.

Точка О  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АВС.

На луче АО от­ме­че­на точка М так, что

а)  До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет точка Р, оди­на­ко­во уда­лен­ная от точек В, О, С, М.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки Р до точки М, если из­вест­но, что и ВС  =  15.

В тре­уголь­ни­ке ABC на AB, как на диа­мет­ре, по­стро­е­на окруж­ность ω₁, а на AC, как на диа­мет­ре, по­стро­е­на окруж­ность ω₂. Окруж­но­сти ω₁ и ω₂ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке М, от­лич­ной от точек А, В и С.

а)  До­ка­жи­те, что точки М, В и С лежат на одной пря­мой.

б)  Пусть АМ  =  6, а диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АВС, равен 10. Най­ди­те про­из­ве­де­ние АВ∙АС.

Вы­со­ты рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка АВС с ос­но­ва­ни­ем АС пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Н, угол В равен 30 гра­ду­сов. Луч СН вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет окруж­ность ω, опи­сан­ную во­круг тре­уголь­ни­ка АВН, в точке К.

а)  До­ка­жи­те, что ВА  — бис­сек­три­са угла КВС.

б)  От­ре­зок ВС пе­ре­се­ка­ет окруж­ность ω в точке Е. Най­ди­те ВЕ, если АС  =  12.

Через вер­ши­ны А и В тре­уголь­ни­ка АВС про­ве­де­на окруж­ность ра­ди­у­са от­се­ка­ю­щая от пря­мой ВС от­ре­зок и ка­са­ю­ща­я­ся пря­мой АС в точке А. Из точки В про­ве­ден пер­пен­ди­ку­ляр к пря­мой ВС до пе­ре­се­че­ния с пря­мой АС в точке F.

а)  До­ка­жи­те AF  =  BF.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если BF  =  2.

Ка­са­тель­ная в точке А к опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка АВС пе­ре­се­ка­ет пря­мую ВС в точке Е, AD  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка АВС.

а)  До­ка­жи­те, что АЕ  =  ЕD.

б)  Из­вест­но, что точка Е лежит на луче СВ и СЕ  =  9, ВЕ  =  4, Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны В до пря­мой АС.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС вы­со­ты пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Н, точка О  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти, точка К  — се­ре­ди­на ВС.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок АН вдвое длин­нее от­рез­ка ОК.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка ОН, если из­вест­но, что АВ  =  5, ВС  =  6, АС  =  7.

В тра­пе­цию ABCD c ос­но­ва­ни­я­ми ВС и AD впи­са­на окруж­ность с цен­тром О, СН  — вы­со­та тра­пе­ции, Е  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка СЕОН, если из­вест­но, что BC  =  9, AD  =  18.

Дан вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник ABCD с пря­мым углом А. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через вер­ши­ны А, В и D пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны ВС и CD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Пря­мые BN и DM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Р, а пря­мая СР пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке К.

а)  До­ка­жи­те, что точки А, М, Р и К лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус этой окруж­но­сти, если из­вест­но, что пря­мая СK па­рал­лель­на пря­мой АМ и АВ  =  АК  =  KD  =  

Даны тре­уголь­ник ABC и ромб BDEF, все вер­ши­ны ко­то­ро­го лежат на сто­ро­нах тре­уголь­ни­ка ABC, а угол при вер­ши­не E  — тупой, а ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в ромб, равен 1.

а)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в ромб, до цен­тра окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

В тра­пе­ции ABCD с мень­шим ос­но­ва­ни­ем BC и пло­ща­дью, рав­ной 2, пря­мые BC и AD ка­са­ют­ся окруж­но­сти диа­мет­ром в точ­ках В и D со­от­вет­ствен­но. Бо­ко­вые сто­ро­ны тра­пе­ции AB и CD пе­ре­се­ка­ют окруж­ность в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Длина MN равна 1.

а)  Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла MBN.

б)  Най­ди­те длину ос­но­ва­ния AD.

На сто­ро­нах AC и BC тре­уголь­ни­ка ABC вне тре­уголь­ни­ка по­стро­е­ны квад­ра­ты ACDE и BFKC. Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ния от точки M до цен­тров квад­ра­тов, если и

Диа­го­на­ли тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка CDM, пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AD в точке N и ка­са­ет­ся пря­мой BN.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки BNC и CDN по­доб­ны.

б)  Най­ди­те AD, если а ра­ди­ус окруж­но­сти равен 13.

Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC равны AB  =  7, BC  =  8, AC  =  11. Впи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке R. Внев­пи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке F и про­дол­же­ний сто­рон AB и BC.

а)  До­ка­жи­те, что AF + AB  =  FC + BC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми F и R.

Про­дол­же­ние вы­со­ты BH пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную во­круг тре­уголь­ни­ка ABC окруж­ность ω в точке D, при этом BD  =  BC. На луче BD за точку D от­ме­че­на точка E такая, что EA ка­са­ет­ся ω в точке A.

а)  До­ка­жи­те, что 3∠EBC + 2∠BEA  =  180°.

б)  Най­ди­те AE, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что а DC  =  10.

Окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон AC и BC тре­уголь­ни­ка ABC в точ­ках A и B со­от­вет­ствен­но. На дуге этой окруж­но­сти, ле­жа­щей вне тре­уголь­ни­ка, рас­по­ло­же­на точка K так, что рас­сто­я­ния от нее до про­дол­же­ний сто­рон AC и BC равны 39 и 156 со­от­вет­ствен­но.

а)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки K до пря­мой AB.

б)  В каком от­но­ше­нии пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из точки K на пря­мую AB, делит пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка KFABE, где точки F и E  — ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ля­ров, опу­щен­ных из точки K на пря­мые AC и BC со­от­вет­ствен­но?

Квад­ра­ты ABCD и A₁B₁C₁D₁ (вер­ши­ны на­зва­ны по ча­со­вой стрел­ке) сов­па­да­ют вер­ши­на­ми C и B₁. Точки O и O₁  — цен­тры квад­ра­тов.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая OO₁ пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки A₁B и C₁D под оди­на­ко­вы­ми уг­ла­ми.

б)  Най­ди­те OO₁, если

Окруж­но­сти С₁ и С₂ ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке А. Пря­мая l ка­са­ет­ся окруж­но­сти С₁ в точке В, а окруж­но­сти С₂  — в точке D. Через точку А про­ве­де­ны две пря­мые: одна про­хо­дит через точку В и пе­ре­се­ка­ет окруж­ность С₂ в точке F, а дру­гая ка­са­ет­ся окруж­но­стей С₁ и С₂ и пе­ре­се­ка­ет пря­мую l в точке Е,

а)  Най­ди­те ра­ди­у­сы окруж­но­стей С₁ и С₂.

б)  Окруж­ность С₃ ка­са­ет­ся внеш­ним об­ра­зом окруж­но­стей С₁ и С₂, а также от­рез­ка BD. Най­ди­те ра­ди­ус этой окруж­но­сти.

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке АВС с ос­но­ва­ни­ем АС вер­ши­ны А, В и точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка Е лежат на окруж­но­сти, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок ВС в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ADC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если CD  =  4, BD  =  5.

Окруж­ность с цен­тром на диа­го­на­ли АС тра­пе­ции ABCD (BC || AD) про­хо­дит через вер­ши­ны А и В, ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD в точке С и пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние AD в точке Е так, что AE  =  8.

а)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABCD.

б)  Пря­мые CD и ВЕ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Q. Най­ди­те BQ.

Окруж­ность ра­ди­у­са ка­са­ет­ся пря­мой a в точке А, а пря­мой b в точке В так, что хорда АВ стя­ги­ва­ет дугу окруж­но­сти в 60°. Пря­мые a и b пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Точка С рас­по­ло­же­на на луче FA, а точка D  — на луче BF так, что AC  =  BD  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник BAD  — пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те длину ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка CBD, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны D.

В тре­уголь­ни­ке АВС сто­ро­на ВC боль­ше сто­ро­ны АC. Бис­сек­три­са CL пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка АВС окруж­ность в точке K. Окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка АКL, вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет пря­мую АС в точке Р.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки ВС и РС равны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АРК, если ВС  =  6, АВ  =  5, АС  =  4.

На ос­но­ва­нии АС рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка АВС рас­по­ло­же­на точка D так, что AD  =  2, CD  =  1. Окруж­но­сти, впи­сан­ные в тре­уголь­ни­ки ABD и DBC, ка­са­ют­ся пря­мой BD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN.

б)   До­ка­жи­те, что ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABD, не может быть более чем в 2 раза боль­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник DBC.

Пя­ти­уголь­ник ABCDE впи­сан в окруж­ность еди­нич­но­го ра­ди­у­са. Из­вест­но, что угол угол

а)  До­ка­жи­те, что центр окруж­но­сти лежит на одной из диа­го­на­лей пя­ти­уголь­ни­ка.

б)  Най­ди­те пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка.

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но, что AB  =  AC  =  10, BC  =  12. На сто­ро­не AB от­ме­ти­ли точки M₁ и M₂ так, что AM₁ < AM₂. Через точки M₁ и M₂ про­ве­ли пря­мые, пер­пен­ди­ку­ляр­ные сто­ро­не AB и от­се­ка­ю­щие от тре­уголь­ни­ка ABC пя­ти­уголь­ник, в ко­то­рый можно впи­сать окруж­ность.

а)   До­ка­жи­те, что AM₁ : BM₂  =  1 : 3.

б)  Най­ди­те пло­щадь дан­но­го пя­ти­уголь­ни­ка.

В окруж­но­сти с цен­тром О по­стро­ен пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник KOFPDL так, что его вер­ши­на D лежит на окруж­но­сти. Из точки B, диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ной точке D, про­ве­де­ны две хорды AB и BC, про­хо­дя­щие через вер­ши­ны K и F ше­сти­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 14.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC от­ме­че­ны H  — ор­то­центр и M  — се­ре­ди­на BC. Пусть ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC равен R.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Пусть до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что и что Най­ди­те R.

Точка О  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АВС, а ВН  — вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка.

а)  До­ка­жи­те, что бис­сек­три­са угла В яв­ля­ет­ся также бис­сек­три­сой угла ОВН.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если вы­со­та и бис­сек­три­са