Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 508255

Решите неравенство  логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка в квадрате 2 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка 4 плюс 2 меньше или равно 0.

Спрятать решение

Решение.

Данное неравенство равносильно неравенству

 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 0.

Пусть  логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби =t, тогда  логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби плюс 2=t в квадрате и, следовательно,

 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби =t в квадрате минус 2.

Тогда исходное неравенство равносильно: t в квадрате минус 2t меньше или равно 0 равносильно 0 меньше или равно t меньше или равно 2, откуда

0 меньше или равно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 2 равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка =1 равносильно 3x минус 1=2 равносильно x=1.

 

Ответ:  левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка .

 

Замечание: Нетрудно заметить, что полученный корень удовлетворяет ОДЗ.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 508255: 509403 511586 Все

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 2.
Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов
Спрятать решение · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
Александр Мордвинов 07.05.2015 16:00

Можете расписать, как решается последнее двойное неравенство? Я решал как квадратное (делал еще одну замену). Есть ли другой способ?

Александр Иванов

Есть.

Сумма двух взаимно обратных чисел по модулю не меньше двух.

Поэтому неравенство 0 меньше или равно a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби \le2 равносильно уравнению a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби =2 , а то в свою очередь равносильно a=1

Tyoma Kozlov 18.01.2017 22:28

А при перехода от одного основания к другому не происходит потеря корней?

Александр Иванов

В данном случае нет.

Переход к известному основанию (в данном случае к двойке) равносилен.