Всего: 819 … 421–440 | 441–460 | 461–480 | 481–500 | 501–520 | 521–540 | 541–560 | 561–580 …
Добавить в вариант
на отрезке 
Две окружности касаются внешним образом в точке C. Прямая касается меньшей окружности в точке A, а большей — в точке B, отличной от A. Прямая AC вторично пересекает большую окружность в точке D, прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке E.
а) Докажите, что прямая AE параллельна прямой BD.
б) Пусть L — отличная от D точка пересечения отрезка DE с большей окружностью. Найдите EL, если радиусы окружностей равны 1 и 3.
то есть медиана CM треугольника ABC равна половине стороны AB. Значит, 
Тогда 
поэтому AE — диаметр меньшей окружности. Следовательно, прямая AE перпендикулярна прямой AB. Аналогично докажем, что прямая BD перпендикулярна прямой AB. Прямые AE и BD перпендикулярны одной и той же прямой AB, значит, они параллельны.
проведем равный AB перпендикуляр EF из точки E на BD. Тогда:
Покажем, что 
По теореме Пифагора находим: 
на отрезке 
Две окружности касаются внешним образом в точке С. Прямая касается меньшей окружности в точке A, а большей — в точке B, отличной от A. Прямая AС вторично пересекает бóльшую окружность в точке D, прямая BС вторично пересекает меньшую окружность в точке E.
а) Докажите, что прямая AE параллельна прямой BD.
б) Пусть L — отличная от D точка пересечения отрезка DE с большей окружностью. Найдите EL, если радиусы окружностей равны 2 и 3.
на отрезке 
Две окружности касаются внешним образом в точке С. Прямая касается меньшей окружности в точке A, а большей — в точке B, отличной от A. Прямая AС вторично пересекает бóльшую окружность в точке D, прямая BС вторично пересекает меньшую окружность в точке E.
а) Докажите, что прямая AE параллельна прямой BD.
б) Пусть L — отличная от D точка пересечения отрезка DE с большей окружностью. Найдите EL, если радиусы окружностей равны 1 и 4.
Проведем равный AB перпендикуляр EF из точки E на BD. Тогда:
Дан треугольник ABC со сторонами 
и 
Точки M и N — середины сторон AB и AC соответственно.
а) Докажите, что окружность, вписанная в треугольник ABC, касается одной из средних линий.
б) Найдите общую хорду окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая описана около треугольника AMN.
и 
проведённой из вершины L. Высота QT этого равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является медианой, значит,
Дан треугольник ABC со сторонами 
и 
Точки M и N — середины сторон AB и AC соответственно.
а) Докажите, что окружность, вписанная в треугольник ABC, касается одной из средних линий.
б) Найдите общую хорду окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая описана около треугольника AMN.
и 
проведённой из вершины L. Высота QT этого равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является медианой, значит,
Груз колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону 
(в м/с), где t — время с момента начала колебаний (в с), T = 2 с — период колебаний, 
м/с. Кинетическая энергия E груза массой m (в кг) равна 
(в Дж), где υ — скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза в момент времени 
секунды после начала колебаний, если масса груза равна 0,16 кг. Ответ дайте в джоулях.
м/с
У Вовы есть набор из n грузиков попарно различных натуральных масс в граммах и чашечные весы, которые находятся в равновесии, если на каждой из двух их чаш лежат грузики с одинаковыми суммарными массами. Известно, что, какие бы два из них ни положили на одну чашу весов, всегда можно положить на другую чашу один или несколько из оставшихся грузиков так, что весы уравновесятся.
а) Может ли у Вовы быть ровно 6 грузиков, среди которых есть грузик массой 5 г?
б) Может ли у Вовы быть ровно 5 грузиков?
в) Известно, что среди грузиков Вовы есть грузик массой 1 г. Какую наименьшую массу может иметь самый тяжёлый грузик Вовы?
Если 
и 
то уравновесить эти грузики можно двумя грузиками с массами 
и 
граммов. Если 
то уравновесить эти грузики можно двумя грузиками с массами 
и 
граммов. Если 
и 
то эти грузики уравновешиваются грузиком массой 7 г. Если 
то эти грузики уравновешиваются грузиком массой 8 г. Если 
и 
то эти грузики уравновешиваются грузиками с массами 3 г, 4 г и 7 г. Наконец, если 
и 
и условия задачи выполнены. Грузики массами d и e можно уравновесить только тремя оставшимися грузиками. Значит, 
Аналогично грузики массами c и e можно уравновесить только тремя оставшимися грузиками. Значит, 
Вычитая левые и правые части двух полученных равенств, получаем 
Отсюда 
и мы приходим к противоречию.
и условия задачи выполнены.
и 
то уравновесить эти грузики можно двумя грузиками с массами 
Груз колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону (в м/с), где t — время с момента начала колебаний (в с), T = 2 с — период колебаний, 
м/с. Кинетическая энергия E груза массой m (в кг) равна (в Дж), где 
— скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза в момент времени 
секунды после начала колебаний, если масса груза равна 0,4 кг. Ответ дайте в джоулях.
м/с
У Вовы есть набор из n грузиков попарно различных натуральных масс в граммах и чашечные весы, которые находятся в равновесии, если на каждой из двух их чаш лежат грузики с одинаковыми суммарными массами. Известно, что, какие бы два из них ни положили на одну чашу весов, всегда можно положить на другую чашу один или несколько из оставшихся грузиков так, что весы уравновесятся.
а) Может ли у Вовы быть ровно 6 грузиков, среди которых есть грузик массой 7 г?
б) Может ли у Вовы быть ровно 5 грузиков?
в) Известно, что среди грузиков Вовы самый лёгкий грузик имеет массу 2 г. Какую наименьшую массу может иметь самый тяжёлый грузик Вовы?
и условия задачи выполнены.
и 
то уравновесить эти грузики можно двумя грузиками с массами 
На конкурсе «Мисс−261» выступление каждой участницы оценивают шесть судей. Каждый судья выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что за выступление участницы С все члены жюри выставили различные оценки. По старой системе оценивания итоговый балл за выступление определяется как среднее арифметическое всех оценок судей. По новой системе оценивания итоговый балл вычисляется следующим образом: отбрасываются две наибольшие оценки, и считается среднее арифметическое четырех оставшихся оценок.
а) Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равной 18?
б) Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равной 
в) Найдите наименьшее возможное значение разности итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
а итоговый балл по новой системе не меньше 
Поэтому разность итоговых баллов не может быть больше 6.
Тогда разность итоговых баллов равна
нецелое.
а вычитаемое 
Следовательно, разность итоговых баллов не меньше 1. Значение 1 достигается, например, при оценках 0, 1, 2, 3, 4, 5.Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведена плоскость α, перпендикулярная этому ребру. Известно, что она пересекает остальные боковые рёбра и разбивает пирамиду на два многогранника, объёмы которых относятся как 1 : 3.
а) Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если боковое ребро пирамиды равно 4.
объёма пирамиды. Отсюда 
и косинус плоского угла MPE при вершине равен 
поэтому 
Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведена плоскость α, перпендикулярная этому ребру. Известно, что она пересекает остальные боковые рёбра и разбивает пирамиду на два многогранника, объёмы которых относятся как 1 к 3.
а) Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если боковое ребро пирамиды равно 2.
Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB = 21, BC = 4, CD = 20, AD = 17.
Отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD, она параллельна основанию BC, а тогда 
как односторонние углы при пересечении параллельных прямых секущей. Следовательно, 
Для смежных углов справедливо равенство 
а потому 
В четырёхугольнике MPQN сумма противоположных углов равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Тем самым, точки M, N, P и Q лежат на одной окружности, что и требовалось доказать. 
как соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей. В пункте а) было показано, что 
это означает, что 
и, следовательно, точки A, D, P и Q также лежат на одной окружности. 
и 
Значит, треугольники DPC и AQB подобны по двум углам. Следовательно, 
поскольку по условию отрезки DP и PC перпендикулярны. 
Осталось найти косинус угла CDA. Для этого на отрезке AD отметим точку E такую, что 
Тогда 
Для треугольника CDE запишем теорему косинусов:
Отсюда найдем
по теореме синусов для треугольника MPN можем найти радиус окружности, описанной около четырехугольника MPQN:
найдем MQ по теореме синусов для треугольника MQN:
на отрезке [6; 8].
В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 15 и BC = 9. Точка M — середина ребра AD. На ребре BC выбрана точка E так, что CE = 3, а на ребре AC выбрана точка F так, что CF = 5. Плоскость MEF пересекает ребро BD в точке N. Расстояние от точки M до прямой EF равно 
а) Докажите, что N — середина ребра BD.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MNF.
поэтому эти треугольники подобны. Значит, 
откуда 
Тогда 
и плоскость MEF пересекает плоскость ABD по прямой, параллельной прямой EF, а следовательно, параллельной AB. Таким образом, отрезок MN — средняя линия треугольника ABD и точка N — середина ребра BD.
Далее имеем:
В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 5 и диагональю BD = 9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 4.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.
откуда BM = 4. Тогда AM = 1. Треугольники ABS и AMF подобны, значит, отрезок FM параллелен отрезку SB. Поэтому прямая SB параллельна плоскости CEF.
Пусть O — центр основания ABCD. Так как все боковые рёбра пирамиды равны, SO — высота пирамиды. Имеем
В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 4 и диагональю BD = 7. Все боковые рёбра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 3 .
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.
откуда BM = 3. Тогда AM = 1. Треугольники ABS и AMF подобны, значит, отрезок FM параллелен отрезку SB. Поэтому прямая SB параллельна плоскости CEF.
Пусть O — центр основания ABCD. Так как все боковые рёбра пирамиды равны, SO — высота пирамиды. Имеем
