Всего: 819 … 541–560 | 561–580 | 581–600 | 601–620 | 621–640 | 641–660 | 661–680 | 681–700 …
Добавить в вариант
Окружность, проходящая через вершину B треугольника ABC, касается стороны AC в точке D, такой, что BD — биссектриса угла B, и пересекает стороны AB и BC в точках E и F соответственно.
а) Докажите, что AE : CF = AB : BC.
б) Найдите отношение площадей треугольников AED и DFC, если известно, что AE : CF = 2 : 3.
Из этих двух равенств получаем, что 
В треугольнике ABC известно, что AB = AC = 10, BC = 12. На стороне AB отметили точки M1 и M2 так, что AM1 < AM2. Через точки M1 и M2 провели прямые, перпендикулярные стороне AB и отсекающие от треугольника ABC пятиугольник, в который можно вписать окружность.
а) Докажите, что AM1 : BM2 = 1 : 3.
б) Найдите площадь данного пятиугольника.
Площадь треугольника ABC можно вычислить, например, по формуле Герона, получится 48. Тогда радиус вписанной окружности равен 
отсюда 
M2E = 4 и площадь треугольника BM2E равна 6. Обозначим вершину пятиугольника, лежащую на отрезке AC, буквой F. Заметим, что 
и площадь треугольника AM1F равна 
Отсюда площадь искомого пятиугольника равна 
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD проведена высота SH. K — середина ребра SD, N — середина ребра CD. Плоскость ABK пересекает ребро SC в точке P.
а) Докажите, что прямая PK делит отрезок NS пополам.
б) Найдите расстояние от точки P до плоскости ABS, если SH = 15, CD = 16.
а значит, прямая CD параллельна плоскости ABK и поэтому CD не имеет общих точек с прямой PK, лежащей в плоскости сечения. Так как PK и CD не имеют общих точек и лежат в плоскости SCD, они параллельны.
и 
следует, прямая PK параллельна прямой AB, а следовательно, и всей плоскости ABS. Значит, расстояние от любой точки прямой PK до плоскости ABS будет одинаковым. Найдём это расстояние от точки пересечения PK и SN — точки E.
и 
откуда следует, что четырехугольник ADNL — прямоугольник и 
то есть L — середина AB.
Поскольку прямая AB перпендикулярна пересекающимся прямым LN и SL, она перпендикулярна плоскости SNL, а раз AB лежит в плоскости ABS, плоскости ABS и SNL перпендикулярны. Тогда перпендикуляры NT и EF к плоскости ABS из точек N и E плоскости SNL попадут на прямую их пересечения SL.
) и катету (
), поэтому другие катеты SN и SL также равны. Рассмотрим равнобедренный треугольник SNL, в котором 
основание 
а высота и медиана к нему 
По теореме Пифагора для треугольника LHS найдём 
откуда 
поэтому 
В прямоугольном треугольнике SNT с прямым углом T отрезок EF перпендикулярен ST и проходит через середину SN, а значит, является средней линией треугольника SNT, поэтому 
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AD = 14, высота SH = 24. Точка P — середина бокового ребра SD, а точка N — середина ребра CD. Плоскость ABP пересекает боковое ребро SC в точке K.
а) Докажите, что прямая KP пересекает отрезок SN в его середине.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости ABS.
следует, прямая PK параллельна прямой AB, а следовательно, и всей плоскости ABS. Значит, расстояние от любой точки прямой PK до плоскости ABS будет одинаковым. Найдём это расстояние от точки пересечения PK и SN — точки E.
а высота и медиана к нему 
По теореме Пифагора для треугольника LHS найдём
поэтому 
В прямоугольном треугольнике SNT с прямым углом T отрезок EF перпендикулярен ST и проходит через середину SN, а значит, является средней линией треугольника SNT, поэтому 
Дана трапеция ABCD, где AB = BC = CD, точка E лежит на плоскости так, что BE ⊥ AD и CE ⊥ BD.
а) Докажите, что углы AEB и BDA равны.
б) Найдите площадь трапеции, если AB = 50, а 
и 
Окончательно получаем:
Дана трапеция ABCD, где AB = BC = CD, точка E лежит на плоскости так, что BE ⊥ AD и CE ⊥ BD
а) Доказать, что ∠AEB = ∠BDA
б) Найти площадь ABCD, если AB = 72, 
и 
Окончательно получаем:
В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник ABC. На прямой AA1 отмечена точка D так, что A1 — середина AD. На прямой B1C1 отмечена точка E так, что C1 — середина B1E.
а) Докажите, что прямые A1B1 и DE перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AB и DE, если AB = 4, а AA1 = 1.
Далее, пусть L — точка пересечения прямой DE и плоскости ABC. Тогда отрезки AL и A1E параллельны, следовательно, 
по теореме о средней линии треугольника. 
поэтому угол 
прямой, следовательно, прямая AB перпендикулярна плоскости ADE, поэтому расстояние между прямыми DE и AB равно расстоянию от точки A до прямой DE, то есть высоте AF прямоугольного треугольника с катетами AD = 2 и 
Далее вычислим расстояние между прямыми AB и DE:
В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник ABC. На прямой AA1 отмечена точка D так, что A1 — середина AD. На прямой B1C1 отмечена точка E так, что C1 — середина B1E.
а) Докажите, что прямые A1B1 и DE перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AB и DE, если
Далее, пусть L — точка пересечения прямой DE и плоскости ABC. Тогда отрезки AL и A1E параллельны, следовательно, 
по теореме о средней линии треугольника. Прямая AB перпендикулярна плоскости ADE, поэтому расстояние между прямыми DE и AB равно расстоянию от точки A до прямой DE, то есть высоте AF прямоугольного треугольника с катетами AD = 2 и 
Далее вычислим расстояние между прямыми AB и DE:
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведена секущая плоскость, содержащая диагональ AC1 и пересекающая ребра BB1 и DD1 в точках
а) Докажите, что сечение AFC1E — параллелограмм.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что AFC1E — ромб и AB = 3, BC = 2, AA1 = 5.
Две правильные четырехугольные пирамиды EABCD и FABCD имеют общее основание ABCD и расположены по разные стороны от него. Точки
а) Докажите, что угол между прямыми AE и BF равен 60°.
б) Найдите угол между прямыми EM и FN.
EB = 2a, 
Координаты точек будут 
Тогда 
и, таким образом, угол между прямыми 
В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 5. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = AE = AL = 4.
а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Таким образом, высота треугольника ADE, проведённая из точки A, составляет 
высоты треугольника ABC и при этом они лежат на одной прямой, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BC, следовательно, основание высоты треугольника ADE делит высоту треугольника ABC в соотношении 2 : 1, считая от вершины A, и совпадает с точкой O — центром треугольника ABC. Таким образом, точка O лежит на DE.
откуда
По теореме синусов:
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 4, боковые ребра равны 6. Точка M — середина ребра CC1, на ребре BB1 отмечена точка N, такая, что BN : NB1 = 1 : 2.
а) Докажите, что плоскость AMN делит ребро DD1 в отношении 1 : 5, считая от точки D.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.
тогда
тогда 
и 
представляют один и тот же угол.В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC является биссектрисой угла BAD и пересекается с диагональю BD в точке E. Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность.
а) Докажите, что AE · AC = AD · AB.
б) Найдите AE, если известно, что BC = 7, CE = 4.
На ребре BB1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка F так, что B1F : FB = 1 : 6. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что 
AD = 12, AA1 = 14.
а) Докажите, что плоскость FTD1 делит ребро AA1 в отношении 2 : 5.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью FTD1.
Найдём x из уравнения 
Найдём высоту трапеции: 
Точка E лежит на боковом ребре SC правильной четырехугольной пирамиды SABCD и делит его в отношении 1 : 2, считая от вершины S. Через точку E и середины сторон AB и AD проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α делит высоту пирамиды в отношении 3 : 2.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если сторона основания пирамиды равна 12, а высота — 
На ребре BB1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка F так, что B1F : FB = 3 : 4. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что 
AD = 12, AA1 = 14.
а) Докажите, что плоскость FTD1 делит ребро AA1 в отношении 6 : 1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью FTD1.
В основании прямой призмы KBCDK1B1C1D1 лежит ромб KBCD со стороной, равной 4 и углом DKB, равным 60°. Точки E и F являются соответственно серединами сторон KD и KB нижнего основания призмы. Прямые B1E и D1F пересекаются в точке O так, что угол B1OD1 равен 90°.
а) Докажите, что угол между плоскостями DD1F и BB1E равен 60°.
б) Найдите объем пирамиды EFK1C1.
далее,
отсюда 
Далее, имеем:
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AC равна 
а боковое ребро равно 
На ребре AC отмечена точка E так, что 
Точки F, N — середины сторон A1B1 и B1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямая CF перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки F до плоскости α.
Пусть F1 — проекция точки F на ABC, K и K1 — точки пересечения прямых CF1 и DE, C1F и MN соответственно, O — точка пересечения прямых CF и KK1. Имеем:
откуда
Дана окружность с диаметром AB. Вторая окружность с центром в точке A пересекает первую окружность в точках C и D и диаметр в точке E. На дуге CE, не содержащей точки D, взята точка M, отличная от точек C и E. Луч BM пересекает первую окружность в точке N, а вторую пересекает вторично в точке K.
а) Докажите, что MN = NK.
б) Найдите MN, если известно, что CN = 2, ND = 3.
Точки L и N — середины оснований соответственно BC и AD трапеции ABCD, а точки K и M — середины диагоналей AC и BD соответственно. Известно, что прямые AB и CD перпендикулярны.
а) Докажите, что LN = KM.
б) Найдите высоту трапеции, если площадь четырехугольника KLMN равна 60, а разность оснований трапеции равна 26.
Отсюда 
Таким образом, высота трапеции равна 
