Всего: 819 … 621–640 | 641–660 | 661–680 | 681–700 | 701–720 | 721–740 | 741–760 | 761–780 …
Добавить в вариант
Биссектриса АМ острого угла А равнобедренной трапеции ABCD делит боковую сторону CD пополам. Отрезок DN перпендикулярен отрезку AM и делит сторону АВ в отношении 
а) Докажите, что прямые ВМ и CN перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка MN, если площадь трапеции равна 
тогда:
и дуги окружности радиуса 3 с центром в точке 
лежащей не ниже прямой 
является пучок прямых, проходящих через точку 
и прямая 
и 
прямая 
— в точке D, при 
прямая 
— через точку С. Тогда исходная система
имеет одно решение;
не имеет решений;
имеет одно решение;
— два решения;
— три решения;
— два решения;
— три решения;
— два решения;
— одно решение.
или 
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 5 и BC = 3. 
а
а) Докажите, что плоскость MKC делит отрезок BB1 пополам.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью МKC, если 
и 
В равнобедренной трапеции с основаниями 5 и 3 и углом 60° боковые стороны равны 2, то есть 
получаем: 
откуда 
Следовательно, 
(рис. 2). Тогда площадь треугольника ELN равна 
Грани ABD и ACD тетраэдра ABCD являются правильными треугольниками со стороной 4 и перпендикулярны друг другу. Плоскость α перпендикулярна ребру CD и пересекает рёбра AB и CD в точках K и M соответственно, причём 
а) Докажите, что K — середина ребра AB.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью α.
и 
Пусть прямые LK и BD пересекаются в точке E (рис. 2), а прямые EM и BC пересекаются в точке N. Треугольник EBK равнобедренный с углом 120° при вершине B, поэтому 
и 
на ребре BD такую, что прямые BN и 
параллельны. Тогда 
и 
поэтому площадь треугольника EKN составляет 
Стороны AB и AD квадрата ABCD касаются окружности, радиус которой втрое меньше стороны квадрата.
а) Докажите, что эта окружность разбивает диагональ BD на три равных отрезка.
б) Касательная к окружности, проведённая через точку B, пересекает сторону CD в точке E. Найдите длину отрезка DE, если сторона квадрата равна 18.
и удалена от AD на R. Точка Q равноудалена от сторон AD и CD квадрата ABCD, значит, точка Q лежит на диагонали BD и делит её в отношении 1 : 2, считая от D. Аналогично точка P, диаметрально противоположная точке L, лежит на диагонали BD и делит её в отношении 1 : 2, считая от B. Следовательно, 
Тогда 
и
то есть 
Прямоугольные треугольники EDK и ECB подобны с коэффициентом 
следовательно, 
откуда находим:
По теореме Пифагора в треугольнике ABD находим 
По свойству касательной и секущей получаем: 
то есть 
Решением этого уравнения является 
(не подходит) или 
откуда DQ = QP = PB, что и требовалось доказать.
Находим:
следовательно,
Грани ABD и ACD тетраэдра ABCD являются правильными треугольниками со стороной 3 и перпендикулярны друг другу. На рёбрах 
и CD отмечены точки K, L и M соответственно, причём 
а) Докажите, что плоскость KLM перпендикулярна ребру CD.
б) Найдите длину отрезка пересечения грани ABC с плоскостью KLM.
(рис. 1). Следовательно, 
Аналогично 
Плоскости ACD и ABD перпендикулярны. Следовательно, перпендикулярна плоскости ACD. Прямые KL и ML перпендикулярны прямой CD. Следовательно, прямая CD перпендикулярна плоскости KLM.
Пусть прямые LK и BD пересекаются в точке E (рис. 2), а прямые EM и BC пересекаются в точке N. Треугольник EBK равнобедренный с углом 120° при вершине B, поэтому 
и 
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 3 и BC = 2. Точка M делит ребро A1D1 в отношении 
а точка K — середина ребра DD1.
а) Докажите, что плоскость MKC делит отрезок 
пополам.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKC, если и
В равнобедренной трапеции с основаниями 3 и 2 и углом 60° боковые стороны равны 1, то есть 
Прямоугольные треугольники EB1N и CBN равны по катету и углу при вершине N. Значит, 
откуда 
Следовательно, 
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M середина SC, точка N делит ребро SB в
а) Докажите, что точки A, E, M и N лежат в одной плоскости.
б) Найдите расстояние от точки S до этой плоскости, если AB = 2, а высота пирамиды равна 
В плоскости SFC проведем прямую PQ. Пусть M' — точка пересечения прямой PQ с ребром SC. Заметим, что точка M' лежит в плоскости ANKE. Запишем теорему Менелая для треугольника SCO и прямой PQ:
тогда
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно так, что 
точка I — центр вписанной окружности треугольника АВС.
а) Докажите, что точки A, E, I и D лежат на одной окружности.
б) Точка 
симметрична точке D относительно прямой AI. Найдите радиус описанной окружности треугольника 
если 
а радиус вписанной окружности треугольника АВС равен 
откуда
Это и есть радиус окружности, описанной около треугольника EDD'.
В параллелограмме ABCD точки E и O — середины сторон BC и АB соответственно, точка Q — середина отрезка OD, точка F — точка пересечения OC и ED.
а) Докажите, что прямая FQ делит AD в отношении 5 : 6.
б) Найдите отношение площади четырехугольника DQFC к площади ABCD.
Значит, 
поскольку треугольники KOF и NCF подобны, и 
поскольку треугольники KOQ и NDQ равны. Если 
то 
и
Кроме того, 
Тогда
а потому
с центром в точке 
Точки, лежащие на прямых 
и 
не удовлетворяют системе. Построим график совокупности в системе координат xOa для х, лежащих на отрезке [1; 4]. Обозначим точки, как показано на рисунке. Для значений переменной их отрезка [1; 4] система задает:
(выделено синим), лежащую между точками A(1; 1) и D(4; 2), без точки А; 
или 
система (⁎) не имеет решений на отрезке [1; 4], при 
имеет одно решение.
в виде 
Условие 
означает, что 
откуда: 
и 
Найдём решения системы при этих значениях:
то: 
то: 
то: 
на отрезке [1; 4] (см. рис.) Пользуясь графиком, заключаем, что уравнение 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали пересекаются в точке О. Точки М и N — середины ребер
а) Докажите, что плоскость α, проходящая через точку О параллельно прямым B1M и C1N, делит ребро BB1 в отношении 1 : 1.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α, если AB = 6, BC = 4 и AA1 = 3.
Точку пересечения прямой GK с прямой BC обозначим Q. Треугольники QPN и GPA равны по стороне 
и двум прилежащим углам. Следовательно, QN = GA, а так как BN = AW, то QB = GW и треугольники KBQ и TWG равны по катету и острому углу. Тогда 
и 
следовательно, BH является перпендикуляром к плоскости α и 
В окружности с центром О отрезок ЕК — диаметр. Хорды ЕT и KS проведены так, что точки Т и S лежат по одну сторону от прямой EK. Точка пересечения прямых КT и ES находится от точек T и S на расстоянии 5, 
а) Докажите, что точка пересечения прямых КT и ES находится вне окружности.
б) Найдите радиус окружности.
По условию MS = MT, следовательно, MK = ME и SE = TK. Треугольники EKT и KES равны по катету и гипотенузе, значит, 
откуда 
Из этого следует, что точка M лежит вне окружности. 
В окружности с центром О построен правильный шестиугольник KOFPDL так, что его вершина D лежит на окружности. Из точки B, диаметрально противоположной точке D, проведены две хорды AB и BC, проходящие через вершины K и F шестиугольника соответственно.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника ABC, если радиус окружности
и 
Пусть точка E — середина FK, тогда 
и 
Значит, 
следовательно, 
Так как 
то
при 
(см. рис.). Для того, чтобы система имела ровно три решения, необходимо, чтобы уравнение 
и одно решение при 
является решением при всех 
Значит, нужно найти такие значения a, для которых уравнение имеет один корень на (−4; 0] и не имеет корней при 
то уравнение (⁎) имеет единственное решение 
поскольку его левая часть убывает, а правая — возрастает. При 
уравнение (⁎) также имеет единственное решение. Следовательно, 
а тогда функция 
возрастает и пересекается с прямой 
на полуинтервале 
тогда и только тогда, когда одновременно 
и 
Имеем:
имело одно решение при 
и рассмотрим уравнение 
для функции
Найдем производную:
а потому функция 
возрастает, а уравнение 
сохраняет знак при 
заключаем, что 
Таким образом, показано, что функция 
убывает на (−4; ∞). Найдем пределы:
имеет один корень на (−4; 0] и не имеет корней на луче (0; ∞). Множество значений 
функции 
Таким образом, 
Окружность с центром в точке С касается гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F. Точка D — основание высоты, опущенной из вершины С. Точки O1 и O2 — центры окружностей, вписанных в треугольники ВСD и АСD.
а) Докажите, что точки O1 и O2 лежат на отрезке EF.
б) Найдите расстояние от точки С до прямой O1O2, если 
и 
Расстояние от точки С до отрезка O1O2 равно высоте треугольника CEF. Треугольник прямоугольный и равнобедренный, значит, расстояние равно половине гипотенузы EF, то есть 
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, E, F,
правильной шестиугольной призмы 
площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 15.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD = 12, а высота равна 3. На ребрах AB, CD, AS отмечены точки E, F и К соответственно, причем 
и AK = 3.
а) Докажите, что плоскости KEF и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.
следовательно, по обратной теореме Фалеса, прямые KE и SB параллельны, то есть плоскости KEF и SBC содержат две пары пересекающихся параллельных прямых и, следовательно, параллельны.
следовательно, 
где 
— расстояние от точки M до прямой SN, то есть длина высоты треугольника SMN, опущенной из вершины M. Находим:
В четырехугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка О.
а) Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
б) Найдите радиус вписанной в четырехугольник АВCD окружности, если AC = 12 и BD = 13.
Из условия следует, что или 
или 
Без ограничения общности можно считать, что 
Тогда из подобия треугольников AOD и BOC получим, что 
(если равны углы ODA и OBC, то были бы параллельны прямые BC и AD). Таким образом, в треугольнике ABC стороны AB и BC равны. 
а значит, в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Это и требовалось доказать.
Из подобия треугольников FBE и ABD получаем: 
откуда 
Из теоремы Пифагора находим, что 
Кроме того, 
Решая эту систему, получаем, что 
а) Существует ли такое
б) Существует ли такое
в) Найдите наибольшее
делится на 11 тогда и только тогда, когда 
делится на 11. Признаку удовлетворяют числа 748 и 847.
По условию 
а по признаку делимости 
где n — целое число. Но равенства 
и 
противоречивы, поскольку цифры неотрицательны.
Попробуем подобрать оставшиеся цифры и расставить их требуемым образом. Чтобы число делилось на 11, число
а потому возможен лишь случай S = 11. Равенство достигается, когда
