Всего: 819 … 661–680 | 681–700 | 701–720 | 721–740 | 741–760 | 761–780 | 781–800 | 801–819
Добавить в вариант
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что 
и 
а) Докажите, что 
б) Найдите длину диагонали BE, если 
и 
По свойству пересекающихся хорд получаем:
Таким образом, 
следовательно, 
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 10. Точка O — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SA и проходящая через точку O, пересекает рёбра 
а) Докажите, что точка M — середина ребра SC.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMN пересекает грань SBC.
получаем, что 
и 
Треугольник SBC равносторонний, поскольку все ребра пирамиды равны 10. Следовательно, 
поскольку M — середина ребра SC. Находим отрезок MK по теореме косинусов:
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что 
и 
а) Докажите, что
б) Найдите длину диагонали BE, если 
и 
По свойству пересекающихся хорд получаем:
Таким образом, 
Периметр треугольника ABC равен 24. Точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника ABC, если 
Поскольку E и F — середины сторон AB и BC, отрезок EF — средняя линия, а значит, 
Найдем периметр треугольника ABC:
то есть 
то 
По теореме Пифагора (см. рис. 2) имеем: 
Получаем:
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 4. Точка O — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SA и проходящая через точку O, пересекает рёбра SC и SD в точках M и N соответственно. Точка N делит ребро SD в отношении 
а) Докажите, что точка M — середина ребра SC.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMN пересекает грань SBC.
получаем, что 
и 
Точка K симметрична точке E относительна центра основания O, а, значит, 
Треугольник SBC равносторонний, поскольку все ребра пирамиды равны 4, следовательно, угол SCB равен 60°. Тогда 
поскольку M — середина ребра SC. Находим отрезок MK по теореме косинусов:
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC, точка K делит ребро BC в отношении 
а 
и 
а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD.
также известно, что 
Отсюда следует, что 
и 
Пусть плоскости OMK и SAD пересекаются по прямой EF, так как плоскость OMK пересекает ребро SD в точке F, а ребро AD — в точке E. Заметим, что точка E симметрична точке K относительно центра основания O, а, значит, 
Прямая AS параллельна плоскости OMK, значит, прямая AS не имеет общих точек с прямой EF, при этом прямые AS и EF лежат в одной плоскости, значит, они параллельны. Из подобия треугольников ASD и EFD получаем, что 
Найдем боковое ребро:
Периметр треугольника ABC равен 36. Точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника ABC, если 
то 
По теореме Пифагора (см. рис. 2), имеем: 
Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник со сторонами AB = 24 и BC = 7. Боковые ребра 
и SD = 10.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Так как прямая SA перпендикулярна прямым AB и AD, прямая SA перпендикулярна плоскости ABD. Получили, что ребро SA — высота пирамиды SABCD.
и 
Угол между прямыми SC и BD равен углу между прямыми SC и СЕ. Найдём угол SCE. 
Площадь параллелограмма ABCD равна 20. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
Площадь трапеции равна полусумме длин оснований, умноженной на длину высоты. Выразим площадь трапеции через площадь параллелограмма:
Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH и AC, если 
Тогда 
так как они опираются на одну дугу KC в окружности, описанной вокруг четырёхугольника AMKC. Кроме того, 
так как они опираются на одну дугу KH в окружности, описанной вокруг четырёхугольника MKHE. Так как 
прямые EH и АС параллельны, поскольку это соответственные углы при пересечении EH и AC секущей OA. Это и требовалось доказать.
Треугольники OEH и OMK также подобны с тем же коэффициентом подобия. Кроме того, подобны треугольники OMK и AOC, поэтому подобны треугольники OEH и OAC, причем коэффициент подобия равен 
Тогда 
На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки E и K соответственно. Известно, что AE = 3, EK = 2, 
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь четырехугольника ABCK.
значит, 
по обратной теореме Пифагора. Тогда 
Следовательно, треугольники ABE и ECK подобны по двум углам. Из подобия имеем:
На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки E и K соответственно. Известно, что AE = 3, EK = 1, 
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь четырехугольника ABCK.
значит, 
по обратной теореме Пифагора. Тогда 
Следовательно, треугольники ABE и ECK подобны по двум углам. Из подобия имеем:
На сторонах квадрата BC и CD отмечены точки K и E соответственно. Известно, что AK = 3, KE = 2, 
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь квадрата ABCD.
поскольку 13 = 9 + 4. Значит, треугольник AKE прямоугольный с прямым углом 
по теореме, обратной теореме Пифагора. Из рисунка видно, что 
является внешним для прямоугольного треугольника ABK 
по определению квадрата), следовательно, он равен сумме двух несмежных с ним углов:
откуда x = 3y. По теореме Пифагора для треугольника ABK получаем:
В коробке 5 красных и 4 синих шара. Случайным образом извлекают четыре шара из коробки. Какова вероятность того, что среди них окажется не более одного красного шара? Результат округлите до тысячных.
способами. 
второму способу — 
Шары извлекали случайным образом, значит, все элементарные исходы равновероятны, следовательно, искомая вероятность равна
Шары извлекали случайным образом, значит, все элементарные исходы равновероятны, следовательно, искомая вероятность равна:
Чтобы забросить шесть мячей в корзину на тренировке, баскетболисту потребовалось 10 бросков. Считая, что вероятность попадания в корзину при каждом броске одна и та же, найдите вероятность того, что при первых четырёх бросках баскетболист попал в корзину не более одного раза. Peзультат округлите до тысячных.
способами.
событию E — 
Общее число элементарных исходов равно 
Все элементарные исходы равновероятны, тогда искомая вероятность равна:
Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
Площадь трапеции BCDE равна
Дан равносторонний треугольник АВС. На стороне АС выбрана точка М, серединный перпендикуляр к отрезку ВМ пересекает сторону АВ в точке E, а сторону ВС в точке K.
а) Докажите, что угол АЕМ равен углу СМK.
б) Найдите отношение площадей треугольников АЕМ и СМK, если AM : CM = 1 : 4.
тогда 
Треугольники BEK и MEK равны, поскольку они симметричны относительно EK. Тогда 
и 
Пусть также CK = t, тогда 
Из подобия треугольников AME и CKM находим:
следовательно, 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два корня.
где 
и 
График второй системы — лежащая не ниже прямой 
дуга CFD окружности с центром в точке 
и радиусом 
и 
где 
aF — ординаты соответствующих точек. Тогда 
:
Найдём ординату точки E — одной из точек пересечения прямой 
и окружности 
и 
