Ре­ше­ние. Пусть   — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са     — вто­рой окруж­но­сти, A  — вер­ши­на пря­мо­го угла, тогда

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: точка лежит между точ­ка­ми A и (рис. 1), тогда от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке имеем: По­сколь­ку общая хорда MN окруж­но­стей пер­пен­ди­ку­ляр­на линии цен­тров и де­лит­ся ею по­по­лам, вы­со­та MN тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не

По­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка равен тогда для пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка имеем:

от­ку­да

Вто­рой слу­чай: точка лежит между точ­ка­ми A и (рис. 2), тогда от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти В тре­уголь­ни­ке имеем Ана­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю, вы­со­та MN тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не

В тре­уголь­ни­ке по­лу­пе­ри­метр:

от­ку­да

При­ведём ре­ше­ние за­да­чи ме­то­дом ко­ор­ди­нат.

За­ме­тим, что центр окруж­но­сти лежит на бис­сек­три­се пря­мо­го угла, по­это­му рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей ра­ди­у­сов R и r равно , где По усло­вию это рас­сто­я­ние равно 8, по­это­му если ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти (слу­чай 1), то:

а если ра­ди­ус мень­шей окруж­но­сти (слу­чай 2), то:

По­ме­стим на­ча­ло си­сте­мы ко­ор­ди­нат в вер­ши­не пря­мо­го угла, а ко­ор­ди­нат­ные оси рас­по­ло­жим вдоль его сто­рон. Тогда в слу­чае 1 ко­ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей можно найти из си­сте­мы урав­не­ний:

решая ко­то­рую, на­хо­дим: Тогда по фор­му­ле рас­сто­я­ния между двумя точ­ка­ми на­хо­дим: от­ку­да

В слу­чае 2 имеем си­сте­му урав­не­ний:

решая ко­то­рую, на­хо­дим: Далее на­хо­дим от­ку­да

Ответ: или

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 501609.

Ре­ше­ние.

Пусть O₁  — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са 6, O₂  — центр вто­рой окруж­но­сти, O  — вер­ши­на угла, в ко­то­рый впи­са­ны окруж­но­сти, A и B  — точки ка­са­ния со­от­вет­ствен­но пер­вой и вто­рой окруж­но­стей с одной из сто­рон угла, тогда OO₁  =  2O₁A  =  12.

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: точка O₁ лежит между точ­ка­ми O и O₂ (рис. 1), тогда OO₂  =  OO₁ + O₁O₂  =  16, от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем O₁O₂  =  4, O₁M  =  6, O₂M  =  8. По­сколь­ку общая хорда MN окруж­но­стей пер­пен­ди­ку­ляр­на линии цен­тров O₁O₂ и де­лит­ся ею по­по­лам, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O₁MO₂ равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Вто­рой слу­чай: точка O₂ лежит между точ­ка­ми O и O₁ (рис. 2), тогда OO₂  =  OO₁ − O₁O₂  =  8, от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

Ана­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю, в тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем O₁O₂  =  4, O₁M  =  6, O₂M  =  4, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O₁MO₂ равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Ответ: или

Ре­ше­ние. Точки и A лежат на одной пря­мой. По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки и рав­но­бед­рен­ные, от­ку­да

Пер­вый слу­чай. Окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом (рис. 1), тогда точка B лежит между точ­ка­ми A и C, от­ку­да

Вто­рой слу­чай. Окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом (рис. 2), тогда точка A лежит между точ­ка­ми B и C,

Ответ: 2,5 или 10.

Ре­ше­ние. Точки лежат на одной пря­мой. По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки и рав­но­бед­рен­ные, от­ку­да

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом (рис. 1),тогда точка B лежит

между точ­ка­ми А и С, от­ку­да

Вто­рой слу­чай: окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом (рис. 2), тогда точка А лежит между точ­ка­ми B и С,

Ответ:

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 501692.

Ре­ше­ние. Точки и L лежат на одной пря­мой. По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки и рав­но­бед­рен­ные, от­ку­да

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом (рис. 1), тогда точка K лежит между точ­ка­ми L и M, от­ку­да

Вто­рой слу­чай: окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом (рис. 2), тогда точка L лежит между точ­ка­ми K и

Ответ: 3,5 или 5,5.

Ре­ше­ние. Точки и C лежат на одной пря­мой.

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: точки A и B лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой O₁O₂ (рис. 1). От­ре­зок MA па­рал­ле­лен пря­мой O₁O₂ (точка M при­над­ле­жит ра­ди­у­су BO₂), сле­до­ва­тель­но, O₁O₂MA  — па­рал­ле­ло­грамм: AM  =  O₁O₂  =  32, O₁A  =  O₂M  =  11, ∠O₂MA = ∠AO₁O₂  =  60°.

В тре­уголь­ни­ке AMB имеем MB  =  10, AM  =  32, ∠AMB  =  120°, от­ку­да

Вто­рой слу­чай: точки A и B лежат по раз­ные сто­ро­ны от от­рез­ку O₁O₂ (рис. 1). От­ре­зок AM па­рал­ле­лен пря­мой O₁O₂ (точка M лежит на про­дол­же­нии ра­ди­у­са BO₂ за точку O₂), сле­до­ва­тель­но, O₁O₂MA  — па­рал­ле­ло­грамм: AM  =  O₁O₂  =  32, O₁A  =  O₂M  =  11, ∠O₂MA = ∠AO₁O₂  =  60°.

В тре­уголь­ни­ке AMB имеем MB  =  32, AM  =  32, ∠AMB  =  60°, зна­чит, тре­уголь­ник AMB  — пра­виль­ный, от­ку­да AB  =  32.

Ответ: 32 или 38.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом, точка ка­са­ния лежит на про­дол­же­нии от­рез­ка за точку Воз­мож­ны два слу­чая.

Пер­вый слу­чай. Точки и лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой Через точку про­ведём пря­мую, па­рал­лель­ную Пусть A  — ‍ точка её пе­ре­се­че­ния с ра­ди­у­сом В тре­уголь­ни­ке из­вест­но, что

Тре­уголь­ник AMN  — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но,

Вто­рой слу­чай. Точки M и N лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой Пусть A  — точка её пе­ре­се­че­ния с про­дол­же­ни­ем ра­ди­у­са

В тре­уголь­ни­ке MAN из­вест­но, что

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 10 или 38.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

По­сколь­ку окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом, точка ка­са­ния лежит на про­дол­же­нии от­рез­ка за точку Воз­мож­ны два слу­чая.

Пер­вый слу­чай. Точки и лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры и MK на пря­мую сле­до­ва­тель­но, четырёхуголь­ник   — тра­пе­ция. От­ку­да Из тре­уголь­ни­ка

По­сколь­ку и  — пря­мо­уголь­ник. От­ку­да и В тре­уголь­ни­ке MNK По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Вто­рой слу­чай. Точки и лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры и MK на про­дол­же­ние пря­мой Ана­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю, по­лу­ча­ем, что от­ку­да Из тре­уголь­ни­ка NMK по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

При­ме­ча­ние. При­ведём ав­тор­ское ре­ше­ние, оно не­вер­но, по­сколь­ку не яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом.

Точки и K лежат на одной пря­мой. Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: точки M и N лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой (рис. 1). От­ре­зок ML па­рал­ле­лен от­рез­ку (точка L при­над­ле­жит ра­ди­у­су ), сле­до­ва­тель­но,   — па­рал­ле­ло­грамм:

В тре­уголь­ни­ке LMN имеем зна­чит, тре­уголь­ник LMN  — пра­виль­ный, от­ку­да

Вто­рой слу­чай: точки и N лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой (рис. 2). От­ре­зок ML па­рал­ле­лен от­рез­ку (точка L лежит на про­дол­же­нии ра­ди­у­са за точку ), сле­до­ва­тель­но,   — па­рал­ле­ло­грамм:

В тре­уголь­ни­ке LMN имеем от­ку­да

Ре­ше­ние. Точка D лежит на окруж­но­сти с диа­мет­ром AB, по­это­му ∠CDA  =  90°. Ана­ло­гич­но, ∠BDA  =  90°. Сле­до­ва­тель­но, точка D лежит на пря­мой BC.

Воз­мож­ны два слу­чая: точка D лежит либо на от­рез­ке BC (рис. 1), либо

на про­дол­же­нии от­рез­ка BC за точку B (рис. 2). Точка D не может ле­жать на про­дол­же­нии от­рез­ка BC за точку C, так как угол ACB  — ост­рый.

По­ло­жим DB  =  t, DC  =  3t. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ADC и ADB на­хо­дим:

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай. По тео­ре­ме си­ну­сов то есть от­ку­да

Во вто­ром слу­чае от­ку­да

По­сколь­ку BC < AC, по­лу­ча­ем: ∠BAC < ∠ABC, зна­чит, ∠BAC  — ост­рый и равен или

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть BD  =  x, тогда по усло­вию DC  =  4x.

По­сколь­ку D  — точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, по­стро­ен­ных на сто­ро­нах AB и AC как на диа­мет­рах, ∠ADB = ∠ADC  =  90°, зна­чит, точки В, С и D лежат на одной пря­мой.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ACD угол ∠C  =  60°, от­ку­да В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABD

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: угол ABC тупой (рис. 1), тогда точка B лежит между точ­ка­ми D и C, зна­чит, BC  =  DC − BD  =  3x.

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC: от­ку­да

Вто­рой слу­чай: угол ABC ост­рый (рис. 2), тогда точка D лежит между точ­ка­ми В и С, зна­чит, BC  =  DC + BD  =  5х.

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC: от­ку­да

Ответ: или

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 503363.

Ре­ше­ние. Воз­мож­ны два слу­чая.

Пер­вый слу­чай: хорды PQ и CD не пе­ре­се­ка­ют­ся (рис. 1), тогда ∠PQC  =  180° − ∠PDC.

В тре­уголь­ни­ках PQC и PDC

Зна­чит, от­ку­да

Вто­рой слу­чай: хорды PQ и CD пе­ре­се­ка­ют­ся (рис. 2), тогда

В тре­уголь­ни­ках PQC и PDC

от­ку­да

Ответ: 4 или

Ре­ше­ние. Ре­ше­ние.

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: точки D и Q лежат в раз­ных по­лу­плос­ко­стях от­но­си­тель­но пря­мой CP (рис. 1), тогда ∠PQC  =  180° − ∠PDC.

В тре­уголь­ни­ках PQC и PDC:

от­ку­да

Вто­рой слу­чай: точки D и Q лежат в одной по­лу­плос­ко­сти от­но­си­тель­но пря­мой CP (рис. 2), тогда ∠PQC = ∠PDC. В тре­уголь­ни­ках PQC и PDC

от­ку­да

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть BD  =  x, тогда по усло­вию DC  =  3x. По­сколь­ку D  — точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, по­стро­ен­ных на сто­ро­нах AB и AC как на диа­мет­рах, ∠ADB = ∠ADC  =  90°, зна­чит, точки B, C и D лежат на одной пря­мой.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ACD угол ∠C  =  30°, от­ку­да В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABD

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: угол ABC тупой (рис. 1), тогда точка B лежит между точ­ка­ми D и C, зна­чит, BC  =  DC − BD  =  2x. В тре­уголь­ни­ке ABC имеем: AB  =  BC  =  2x, зна­чит, он рав­но­бед­рен­ный с ос­но­ва­ни­ем AC, сле­до­ва­тель­но, ∠A = ∠C  =  30°, от­ку­да

Вто­рой слу­чай: угол ABC ост­рый (рис. 2), тогда точка D лежит между точ­ка­ми B и C, зна­чит, BC  =  DC + BD  =  4x.

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC:

Ответ: или 1.

Ре­ше­ние. Пусть BD = х, тогда по усло­вию DC = 6х.

По­сколь­ку D  — точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, по­стро­ен­ных на сто­ро­нах АВ и АС как на диа­мет­рах, зна­чит, точки B,С и D лежат на одной пря­мой. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ACD угол от­ку­да В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ник ABD:

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: угол ABC тупой (рис. 1), тогда точка B лежит между точ­ка­ми D и C, зна­чит, По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC: от­ку­да

Вто­рой слу­чай: угол ABC ост­рый (рис. 2), тогда точка D лежит между точ­ка­ми B и С, зна­чит, По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC: от­ку­да

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть O₁  — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са O₂  — центр вто­рой окруж­но­сти, A  — вер­ши­на пря­мо­го угла, тогда

Воз­мож­ны два слу­чая.

Пер­вый слу­чай: точка O₁ лежит между точ­ка­ми A и O₂ (рис. 1), тогда O₂A  =  O₁A + O₁O₂  =  28, от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем O₁O₂  =  12, По­сколь­ку общая хорда MN окруж­но­стей пер­пен­ди­ку­ляр­на линии цен­тров O₁O₂ и де­лит­ся ею по­по­лам, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O₁MO₂ равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Вто­рой слу­чай: точка O₂ лежит между точ­ка­ми A и O₁ (рис. 2), тогда O₂A  =  O₁A − O₁O₂ от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ имеем O₁O₂  =  12, Ана­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O₁MO₂ равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O₁MO₂ по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Ответ: или

Ре­ше­ние. Пусть   — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са   — центр вто­рой окруж­но­сти, A  — вер­ши­на пря­мо­го угла, тогда

Воз­мож­ны два слу­чая.

Пер­вый слу­чай.

Точка лежит между точ­ка­ми A и (рис. 1), тогда

от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти В тре­уголь­ни­ке имеем

По­сколь­ку общая хорда MN окруж­но­стей пер­пен­ди­ку­ляр­на линии цен­тров и де­лит­ся ею по­по­лам, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не

В тре­уголь­ни­ке по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Вто­рой слу­чай.

Точка лежит между точ­ка­ми A и (рис. 2), тогда от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке имеем

Ана­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не

В тре­уголь­ни­ке по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Ответ:

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 502137.