СДАМ ГИА






Каталог заданий. Многоугольники и их свойства
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1

На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1.

Задание 16 № 484621
Решение

2

Прямая, проведённая через се­ре­ди­ну N сто­ро­ны AB квад­ра­та ABCD, пе­ре­се­ка­ет пря­мые CD и AD в точ­ках M и T со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ет с пря­мой AB угол, тан­генс ко­то­ро­го равен 4. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMT, если сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 8.

Задание 16 № 507368


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 10.02.2011 ва­ри­ант 1. (Часть С)
Решение

3

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD, AB = 2, BC = 3, ∠A = 60°. Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бис­сек­три­сы угла D и двух сто­рон параллелограмма, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны од­но­го его остро­го угла. Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника ABOD.

Задание 16 № 507370


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке, но­ябрь 2009 года ва­ри­ант 3. (Часть С)
Решение

4

В пря­мо­уголь­ни­ке ABCD AB = 2, Точка E на пря­мой AB вы­бра­на так, что ∠AED = ∠DEC. Най­ди­те AE.

Задание 16 № 507386

Аналоги к заданию № 507386: 511426



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 20.01.2010 ва­ри­ант 1. (Часть С)
5

Тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC впи­са­на в окруж­ность с цен­тром O. Най­ди­те вы­со­ту трапеции, если её сред­няя линия равна 3 и

Задание 16 № 507387


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 20.01.2010 ва­ри­ант 2. (Часть С)
Решение

6

Через се­ре­ди­ну сто­ро­ны AB квад­ра­та ABCD про­ве­де­на прямая, пе­ре­се­ка­ю­щая пря­мые CD и AD в точ­ках M и T со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ю­щая с пря­мой AB угол α, tg α = 3. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMT, если сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 4.

Задание 16 № 507392

Аналоги к заданию № 507392: 511427



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та 08.12.2009 ва­ри­ант 1 (Часть С).
7

Дана тра­пе­ция ABCD, ос­но­ва­ния ко­то­рой BC = 44, AD = 100; AB = CD = 35. Окружность, ка­са­ю­ща­я­ся пря­мых AD и AC, ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD в точке K. Най­ди­те длину от­рез­ка CK.

Задание 16 № 507393


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та 08.12.2009 ва­ри­ант 2 (Часть С).
Решение

8

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­не BC вы­бра­на точка D так, что BD : DC = 1 : 2. Ме­ди­а­на CE пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AD в точке F. Какую часть пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC со­став­ля­ет пло­щадь тре­уголь­ни­ка AEF?

Задание 16 № 507394

Аналоги к заданию № 507394: 511428



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 2010 год ва­ри­ант 201. (Часть С)
Решение

9

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны биссектрисы AD и CE. Най­ди­те длину от­рез­ка DE, если AC = 6, AE = 2, CD = 3.

Задание 16 № 507395


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 2010 год ва­ри­ант 202. (Часть С)
Решение

10

Площадь тра­пе­ции ABCD равна 560. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Отрезки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ну P ос­но­ва­ния AD с вер­ши­на­ми B и C, пе­ре­се­ка­ют­ся с диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции в точ­ках M и N. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка MON, если одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции в пол­то­ра раза боль­ше другого.

Задание 16 № 507641


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.04.2012 ва­ри­ант 1. (Часть С)
Решение

11

Прямая, проведённая через се­ре­ди­ну N сто­ро­ны AB квад­ра­та ABCD, пе­ре­се­ка­ет пря­мые CD и AD в точ­ках M и T со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ет с пря­мой AB угол, тан­генс ко­то­ро­го равен 0,5. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMT, если сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 8.

Задание 16 № 507671


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 10.02.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)
12

Дан тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AB = 34, AC = 65 и BC = 93. На сто­ро­не BC взята точка M, причём AM = 20. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMB.

Задание 16 № 507701

Аналоги к заданию № 507701: 507697 511477



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.05.2012 ва­ри­ант 2. (Часть С)
13

Площадь тра­пе­ции ABCD равна 240. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Отрезки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ну P ос­но­ва­ния AD с вер­ши­на­ми B и C, пе­ре­се­ка­ют­ся с диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции в точ­ках M и N. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка MON, если одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции втрое боль­ше другого.

Задание 16 № 507707


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.04.2012 ва­ри­ант 2. (Часть С)
14

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 60, а одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции втрое боль­ше другого. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O; отрезки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ну P ос­но­ва­ния AD с вер­ши­на­ми B и C, пе­ре­се­ка­ют­ся с диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции в точ­ках M и N соответственно. Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника OMPN.

Задание 16 № 511422
15

На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ABP, проведённую из вершины A, если известно, что сторона квадрата равна 1.

Задание 16 № 484623
16

Дан треугольник АВС, площадь которого равна 55. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника ABE, если известно, что ∠ABE = ∠CBD = α и .

Задание 16 № 500009

Аналоги к заданию № 500009: 511331

17

Дан треугольник АВС. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ, площадь которого равна 14, ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что ∠ABE = ∠CBD = α и .

Задание 16 № 500003
18

В прямоугольнике ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 10 на стороне AD расположены точки M и N таким образом, что DM = 4, при этом P — точка пересечения прямых BN и CM. Площадь треугольника MNP равна 1. Найдите длину отрезка, соединяющего точки M и N.

Задание 16 № 484608
Решение

19

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD бис­сек­три­сы углов при сто­ро­не AD делят сто­ро­ну BC точ­ка­ми M и N так, что BM : MN = 1 : 2. Най­ди­те BC если AB = 12.

Задание 16 № 484612

Аналоги к заданию № 484612: 511301

Решение

20

Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине равен Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.

Задание 16 № 484613

Аналоги к заданию № 484613: 511302

21

Площадь тра­пе­ции ABCD равна 810. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Отрезки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ну P ос­но­ва­ния AD с вер­ши­на­ми B и C, пе­ре­се­ка­ют­ся с диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции в точ­ках M и N. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка MON, если одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции вдвое боль­ше другого.

Задание 16 № 486002

Аналоги к заданию № 486002: 507369 507358



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 01.03.2012 ва­ри­ант 2. (Часть С)
22

На прямой, со­дер­жа­щей ме­ди­а­ну AD пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с пря­мым углом C, взята точка E, уда­лен­ная от вер­ши­ны A на расстояние, рав­ное 4. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCE, если BC = 6, AC = 4.

Задание 16 № 500114
23

Расстояния от точки M, рас­по­ло­жен­ной внутри пря­мо­го угла, до сто­рон угла равны 3 и 6. Через точку M про­ве­де­на прямая, от­се­ка­ю­щая от угла треугольник, пло­щадь которого равна 48. Най­ди­те длину от­рез­ка этой прямой, за­клю­чен­но­го внутри угла.

Задание 16 № 501047

Аналоги к заданию № 501047: 507353 507366



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 06.03.2013 ва­ри­ант МА1501.
24

Из вер­шин острых углов B и C тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­де­ны две его высоты ― BM и CN, при­чем прямые BM и CN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H. Най­ди­те угол BHC, если известно, что

Задание 16 № 501218


Источник: Добровольное тре­ни­ро­воч­ное тестирование Санкт-Пе­тер­бург 2013.
25

Медианы АА1 и ВВ1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 — середины отрезков MA, MB и МС соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 4, ВС = 7 и АС = 8.

Задание 16 № 507204

Аналоги к заданию № 507204: 511416


Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!