На сто­ро­не CD квад­ра­та ABCD по­стро­ен рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник CPD. Най­ди­те вы­со­ту тре­уголь­ни­ка ADP, про­ведённую из вер­ши­ны D, если из­вест­но, что сто­ро­на квад­ра­та равна 1.

Пря­мая, про­ведённая через се­ре­ди­ну N сто­ро­ны AB квад­ра­та ABCD, пе­ре­се­ка­ет пря­мые CD и AD в точ­ках M и T со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ет с пря­мой AB угол, тан­генс ко­то­ро­го равен 4. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMT, если сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 8.

В пря­мо­уголь­ни­ке ABCD AB  =  2, Точка E на пря­мой AB вы­бра­на так, что ∠AED = ∠DEC. Най­ди­те AE.

Тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC впи­са­на в окруж­ность с цен­тром O. Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции, если её сред­няя линия равна 3 и

Через се­ре­ди­ну сто­ро­ны AB квад­ра­та ABCD про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая пря­мые CD и AD в точ­ках M и T со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ю­щая с пря­мой AB угол α, tg α = 3. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMT, если сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 4.

Дана тра­пе­ция ABCD, ос­но­ва­ния ко­то­рой BC = 44, AD = 100, AB = CD = 35. Окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся пря­мых AD и AC, ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD в точке K. Най­ди­те длину от­рез­ка CK.

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­не BC вы­бра­на точка D так, что BD : DC = 1 : 2. Ме­ди­а­на CE пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AD в точке F. Какую часть пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC со­став­ля­ет пло­щадь тре­уголь­ни­ка AEF?

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны бис­сек­три­сы AD и CE. Най­ди­те длину от­рез­ка DE, если AC  =  6, AE = 2, CD  =  3.

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 560. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. От­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ну P ос­но­ва­ния AD с вер­ши­на­ми B и C, пе­ре­се­ка­ют­ся с диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции в точ­ках M и N. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка MON, если одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции в пол­то­ра раза боль­ше дру­го­го.

Пря­мая, про­ведённая через се­ре­ди­ну N сто­ро­ны AB квад­ра­та ABCD, пе­ре­се­ка­ет пря­мые CD и AD в точ­ках M и T со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ет с пря­мой AB угол, тан­генс ко­то­ро­го равен 0,5. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMT, если сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 8.

Дан тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AB = 34, AC = 65 и BC = 93. На сто­ро­не BC взята точка M, причём AM  =  20. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMB.

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 240. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. От­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ну P ос­но­ва­ния AD с вер­ши­на­ми B и C, пе­ре­се­ка­ют­ся с диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции в точ­ках M и N. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка MON, если одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции втрое боль­ше дру­го­го.

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 60, а одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции втрое боль­ше дру­го­го. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O; от­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ну P ос­но­ва­ния AD с вер­ши­на­ми B и C, пе­ре­се­ка­ют­ся с диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка OMPN.

Дан тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AB = 17, AC = 10 и BC = 9. На пря­мой BC взята точка M, причём AM  =  10. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMB.

На сто­ро­не CD квад­ра­та ABCD по­стро­ен рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник CPD. Най­ди­те вы­со­ту тре­уголь­ни­ка ABP, про­ведённую из вер­ши­ны A, если из­вест­но, что сто­ро­на квад­ра­та равна 1.

Дан тре­уголь­ник АВС, пло­щадь ко­то­ро­го равна 55. Точка Е на пря­мой АС вы­бра­на так, что тре­уголь­ник АВЕ ― рав­но­бед­рен­ный с ос­но­ва­ни­ем АЕ и вы­со­той BD. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABE, если из­вест­но, что ∠ABE = ∠CBD  =  α и

Дан тре­уголь­ник АВС. Точка Е на пря­мой АС вы­бра­на так, что тре­уголь­ник АВЕ, пло­щадь ко­то­ро­го равна 14, ― рав­но­бед­рен­ный с ос­но­ва­ни­ем АЕ и вы­со­той BD. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если из­вест­но, что ∠ABE = ∠CBD  =  α и

В пря­мо­уголь­ни­ке ABCD со сто­ро­на­ми AB  =  4 и BC  =  10 на сто­ро­не AD рас­по­ло­же­ны точки M и N таким об­ра­зом, что DM  =  4, при этом P  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых BN и CM. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка MNP равна 1. Най­ди­те длину от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки M и N.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD бис­сек­три­сы углов при сто­ро­не AD делят сто­ро­ну BC точ­ка­ми M и N так, что BM : MN  =  1 : 2. Най­ди­те BC если AB  =  12.

Ос­но­ва­ние рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равно 40, ко­си­нус угла при вер­ши­не равен Две вер­ши­ны пря­мо­уголь­ни­ка лежат на ос­но­ва­нии тре­уголь­ни­ка, а две дру­гие  — на бо­ко­вых сто­ро­нах. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если из­вест­но, что одна из его сто­рон вдвое боль­ше дру­гой.

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 810. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. От­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ну P ос­но­ва­ния AD с вер­ши­на­ми B и C, пе­ре­се­ка­ют­ся с диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции в точ­ках M и N. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка MON, если одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции вдвое боль­ше дру­го­го.

На пря­мой, со­дер­жа­щей ме­ди­а­ну AD пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с пря­мым углом C, взята точка E, уда­лен­ная от вер­ши­ны A на рас­сто­я­ние, рав­ное 4. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCE, если BC  =  6, AC  =  4.

Рас­сто­я­ния от точки M, рас­по­ло­жен­ной внут­ри пря­мо­го угла, до сто­рон угла равны 3 и 6. Через точку M про­ве­де­на пря­мая, от­се­ка­ю­щая от угла тре­уголь­ник, пло­щадь ко­то­ро­го равна 48. Най­ди­те длину от­рез­ка этой пря­мой, за­клю­чен­но­го внут­ри угла.

Из вер­шин ост­рых углов B и C тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­де­ны две его вы­со­ты ― BM и CN, при­чем пря­мые BM и CN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H. Най­ди­те угол BHC, если из­вест­но, что

Ме­ди­а­ны AA₁, BB₁ и CC₁ тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M.

Из­вест­но, что AC = 3MB.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те сумму квад­ра­тов ме­ди­ан AA₁ и CC₁, если из­вест­но, что AC = 12.

Бис­сек­три­са остро­го угла A тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вую сто­ро­ну CD в точке T, а про­дол­же­ние ос­но­ва­ния BC тра­пе­ции в точке K так, что ABKD  — па­рал­ле­ло­грамм и TD : TC = 4 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AK и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABCD, если ее сто­ро­на AB = 8 и

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­ны бис­сек­три­са AD и ме­ди­а­на ВЕ. Точки M и N яв­ля­ют­ся ор­то­го­наль­ны­ми про­ек­ци­я­ми на сто­ро­ну АВ точек D и Е со­от­вет­ствен­но, при­чем

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние

В тра­пе­ции ABCD с ниж­ним ос­но­ва­ни­ем AD пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ABD и BDC равны со­от­вет­ствен­но 12 и 4, а точка G яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной BD. Ниже пря­мой AD вы­бра­на точка Е, АЕ  =  BD, а на от­рез­ке ЕС вы­бра­на точка F такая, что CF в 4 раза ко­ро­че СЕ.

а)  До­ка­жи­те, что угол BFG равен 90°.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка BD, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что а

Диа­го­на­ли вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Е. Из­вест­но, что пло­щадь каж­до­го из тре­уголь­ни­ков АВЕ и DCE равна 1.

а)  До­ка­жи­те, что ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм или тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те ВС, если пло­щадь всего че­ты­рех­уголь­ни­ка не пре­вос­хо­дит 4, а AD  =  3.

Бис­сек­три­сы углов С и D че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке К. Диа­го­наль BD раз­би­ва­ет от­ре­зок КС в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны С. При этом пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACD в два раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AKD.

а)  До­ка­жи­те, что угол CKD пря­мой.

б)  Най­ди­те ВК, если ВС  =  6.

На от­рез­ке BD взята точка C. Бис­сек­три­са BL рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с ос­но­ва­ни­ем BC яв­ля­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ной рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка BLD с ос­но­ва­ни­ем BD.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник DCL рав­но­бед­рен­ный.

б)  Из­вест­но, что В каком от­но­ше­нии пря­мая DL делит сто­ро­ну AB?

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­нах AB и BC за­да­ны со­от­вет­ствен­но точки M и N такие, что AM  =  MB, BN : NC  =  1 : 2. От­рез­ки CM и AN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние от точки O до пря­мой AC равно где BH вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC.

б)   Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки O до пря­мой AC, если ∠BAC  =  30°, ∠BCA  =  45°, AC  =  8.

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны BK  — ме­ди­а­на, BE  — бис­сек­три­са, AD  — вы­со­та. Из­вест­но, что пря­мые BK и BE делят от­ре­зок AD на три рав­ные части.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC  — ту­по­уголь­ный.

б)  Найти длину сто­ро­ны AC, если AB  =  4.