Пер­вый слу­чай.

Цен­тры O₁ и O окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки BMC и AMD со­от­вет­ствен­но, лежат на бис­сек­три­се MO угла AMD. Окруж­ность, впи­сан­ная в че­ты­рех­уголь­ник ABCD, яв­ля­ет­ся также окруж­но­стью, впи­сан­ной в тре­уголь­ник AMD и внев­пи­сан­ной окруж­но­стью тре­уголь­ни­ка BMC. Будем ис­кать пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, как раз­ность пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AMD и BMC.

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность, сле­до­ва­тель­но, ∠BAD + ∠BCD  =  180°, но ∠BCM + ∠BCD  =  180°, от­ку­да ∠BCM = ∠BAD. Так как тре­уголь­ни­ки BCM и AMD имеют еще общий угол AMD, они по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен от­но­ше­нию ра­ди­у­сов окруж­но­стей, впи­сан­ных в эти тре­уголь­ни­ки.

Далее имеем:

1)  

2)   где p  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка BCM, рав­ный по свой­ству внев­пи­сан­ной окруж­но­сти длине от­рез­ка KM.

3)  Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OKM, на­хо­дим от­ку­да

Под­став­ляя най­ден­ное зна­че­ние S_ΔBCM в фор­му­лу S_ABCD, окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем

Вто­рой слу­чай.

От­ли­ча­ет­ся от пер­во­го по­ло­же­ни­ем точки M левее точек D и A. В этом слу­чае R < r и в рас­суж­де­нии они и тре­уголь­ни­ки BCM и ADM долж­ны быть по­ме­ня­ны ме­ста­ми. Таким об­ра­зом, в этом слу­чае

Ответ: или

Окруж­но­стей две: каж­дая из них впи­сан­ная в пра­виль­ный тре­уголь­ник. Эти тре­уголь­ни­ки имеют сто­ро­ны рав­ные 3 и 2 со­от­вет­ствен­но. Для тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной 3 ра­ди­ус равен

Най­дем пло­щадь не­вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка как сумму пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AOB и

Для тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной 2 ра­ди­ус равен

Чтобы найти пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABOD, вы­чтем из пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков BOC и

Ответ: или

Пусть ABCD  — тра­пе­ция с бо­ко­вы­ми сто­ро­на­ми AB и CD, а окруж­ность S с цен­тром O, впи­сан­ная в тра­пе­цию, ка­са­ет­ся ос­но­ва­ний BC  =  36 и AD  =  64 в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

Точки K и M  — се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний, по­это­му CK  =  18 и DM  =  32. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ODM и OCK на­хо­дим, что

Рас­смот­рим слу­чай, когда окруж­ность ра­ди­у­са r с цен­тром O₁ впи­са­на в угол ADC, ка­са­ет­ся окруж­но­сти S в точке T, а сто­ро­ны AD  — в точке P. Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку их ка­са­ния, по­это­му:

а так как точки D, O₁ и O лежат на одной пря­мой (бис­сек­три­се угла CDA), то

Тре­уголь­ни­ки O₁PD и OMD по­доб­ны, по­это­му или от­ку­да на­хо­дим, что r  =  6.

Если же окруж­ность ра­ди­у­са r₁ с цен­тром O₂ впи­са­на в угол BCD и ка­са­ет­ся окруж­но­сти S, то ана­ло­гич­но по­лу­чим урав­не­ние из ко­то­ро­го найдём, что

Ответ: 6 или

Окруж­но­стей две: каж­дая из них впи­сан­ная в пра­виль­ный тре­уголь­ник. Эти тре­уголь­ни­ки имеют сто­ро­ны рав­ные 5 и 3  — со­от­вет­ствен­но. По­это­му ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны тре­тьей части вы­со­ты пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка.

Для тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной 5 ра­ди­ус равен

Най­дем пло­щадь не­вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка как сумму пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AOB и AOD:

Для тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной 3 ра­ди­ус равен

Чтобы найти пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABOD, вы­чтем из пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков BOC и DOC:

Ответ: или

Пусть AD  =  d, BD  =  x, DC  =  y. Воз­мож­ны два слу­чая.

Пер­вый слу­чай. Точка D лежит на от­рез­ке BC (верх­ний ри­су­нок):

Зна­чит,

Вто­рой слу­чай. Точка D лежит вне от­рез­ка BC (ниж­ний ри­су­нок):

Зна­чит,

Ответ: 6 или 8.