СДАМ ГИА






Каталог заданий. Окружности и четырёхугольники
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1

Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в окружность. Прямые AB и DC пересекаются в точке M. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что ∠AMD = α и радиусы окружностей, вписанных в треугольники BCM и AMD равны соответственно r и R.

Задание 16 № 484617
2

Окружность S ра­ди­у­са 24 впи­са­на в рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию с ос­но­ва­ни­я­ми 36 и 64. Най­ди­те ра­ди­ус окружности, ко­то­рая ка­са­ет­ся основания, бо­ко­вой сто­ро­ны и окруж­но­сти S.

Задание 16 № 507492

Аналоги к заданию № 507492: 511433



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 20.10.2010 ва­ри­ант 3. (Часть С)
3

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD, AB = 3, BC = 5, ∠A = 60°. Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бис­сек­три­сы угла D и двух сто­рон параллелограмма, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны од­но­го его остро­го угла. Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника ABOD.

Задание 16 № 507617


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 19.11.2009 с решениями: ва­ри­ант 2. (Часть С)
Решение

4

В треугольнике ABC AB = 13, BC = 10, CA = 7. Точка D лежит на прямой BC так, что BD : DC = 1 : 4. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Задание 16 № 507623


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 20.10.2010 ва­ри­ант 4. (Часть С)
5

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 72, а одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции вдвое боль­ше другого. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O; отрезки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ну P ос­но­ва­ния AD с вер­ши­на­ми B и C, пе­ре­се­ка­ют­ся с диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции в точ­ках M и N соответственно. Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника OMPN.

Задание 16 № 507647

Аналоги к заданию № 507647: 511460



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 03.03.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)
6

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD, AB = 3, BC = 7, ∠A = 60°. Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бис­сек­три­сы угла D и двух сто­рон параллелограмма, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны од­но­го его остро­го угла. Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника ABOD.

Задание 16 № 507662


Источник: МИОО: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 09.11.2010 ва­ри­ант 2. (Часть С)
7

Дан пря­мо­уголь­ный треугольник ABC с ка­те­та­ми AC = 12 и BC = 5. С цен­тром в вер­ши­не B про­ве­де­на окружность S ра­ди­у­са 8. Най­ди­те радиус окружности, впи­сан­ной в угол BAC и ка­са­ю­щей­ся окружности S.

Задание 16 № 507677


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 2010 год ва­ри­ант 502. (Часть С)
Решение

8

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD, AB = 3, BC = 5, ∠A = 60°. Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бис­сек­три­сы угла D и двух сто­рон параллелограмма, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны од­но­го его остро­го угла. Най­ди­те пло­щадь четырёхугольника ABOD.

Задание 16 № 507812


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке, но­ябрь 2009 года ва­ри­ант 4. (Часть С)
Решение

9

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD из­вест­ны сто­ро­ны AB = a, BC = b и ∠BAD = α. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окружностей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков BCD и DAB.

Задание 16 № 507824

Аналоги к заданию № 507824: 511499



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке, но­ябрь 2009 года ва­ри­ант 2. (Часть С)
10

Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке С. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника, вершинами которого являются точки O1, O2, B и C, если ∠ABO1 = 15°.

Задание 16 № 512873


Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна.
11

В па­рал­ле­ло­грамм вписана окружность.

а) Докажите, что этот па­рал­ле­ло­грамм — ромб.

б) Окружность, ка­са­ю­ща­я­ся стороны ромба, делит её на отрезки, рав­ные 5 и 3. Най­ди­те площадь четырёхугольника с вер­ши­на­ми в точ­ках касания окруж­но­сти со сто­ро­на­ми ромба.

Задание 16 № 513255


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
12

Сторона CD пря­мо­уголь­ни­ка ABCD ка­са­ет­ся некоторой окруж­но­сти в точке M. Про­дол­же­ние стороны AD пе­ре­се­ка­ет окружность в точ­ках P и Q, причём точка P лежит между точ­ка­ми D и Q. Пря­мая BC ка­са­ет­ся окружности, а точка Q лежит на пря­мой BM.

а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.

б) Известно, что CM = 17 и CD = 32. Най­ди­те сторону AD.

Задание 16 № 513261


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
13

Четырехугольник KLMN опи­сан около окруж­но­сти и впи­сан в окружность. Пря­мые KL и NM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KPN, если известно, что ∠KPN = φ и ра­ди­у­сы окружностей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки KPN и LMP равны со­от­вет­ствен­но r и R.

Задание 16 № 484618
14

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке М. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ВМС.

Задание 16 № 500015

Аналоги к заданию № 500015: 500470 501551 501557 505243 511332

15

Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 8 и 17 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5. Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.

Задание 16 № 500021
16

Дан пря­мо­уголь­ник KLMN со сторонами: KN = 11, MN = 8. Прямая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну М, ка­са­ет­ся окруж­но­сти с цен­тром К ра­ди­у­са 4 и пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой KN в точке Q. Най­ди­те QK.

Задание 16 № 500644
17

Дан пря­мо­уголь­ник KLMN со сторонами: KN = 13, MN = 6. Прямая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну М, ка­са­ет­ся окруж­но­сти с цен­тром К ра­ди­у­са 3 и пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой KN в точке Q. Най­ди­те QK.

Задание 16 № 500642

Аналоги к заданию № 500642: 511346



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.11.2012 с решениями: ва­ри­ант 2 (Часть C).
18

Дан прямоугольник KLMN со сторонами: KN = 11, MN = 8. Прямая, проходящая через вершину M, касается окружности с центром K радиуса 4 и пересекается с прямой KN в точке Q. Найдите QK.

Задание 16 № 500900
19

Дан ромб ABCD с диа­го­на­ля­ми AC = 24 и BD = 10. Про­ве­де­на окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром в точке пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба. Прямая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну B ка­са­ет­ся этой окруж­но­сти и пе­ре­се­ка­ет пря­мую CD в точке M. Най­ди­те CM.

Задание 16 № 484615
Решение

20

Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в другую окружность. Прямые AD и BC пересекаются в точке M. Найдите периметр треугольника ABM, если известно, что AB = a и CD = b.

Задание 16 № 484606
Решение

21

Стороны KN и LM тра­пе­ции KLMN параллельны, пря­мые LM и MN — ка­са­тель­ные к окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLN.

а) Докажите, что тре­уголь­ни­ки LMN и KLN подобны.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLN, если известно, что KN = 3, а ∠LMN = 120°.

Задание 16 № 513430

Аналоги к заданию № 513430: 513449 514189 513627



Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 03.03.2016 ва­ри­ант МА10409
22

Точка O — центр окружности, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, I — центр впи­сан­ной в него окружности, H — точка пе­ре­се­че­ния высот. Известно, что

а) Докажите, что точка I лежит на окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BOC.

б) Най­ди­те угол OIH, если

Задание 16 № 513627
Решение

23

Окружность, про­хо­дя­щая через вер­ши­ны A, C и D пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC, пе­ре­се­ка­ет мень­шую бо­ко­вую сто­ро­ну AB в точке P и ка­са­ет­ся пря­мой BC. Известно, что AD = CD.

а) Докажите, что CP — бис­сек­три­са угла ACB.

б) В каком от­но­ше­нии пря­мая DP делит пло­щадь трапеции?

Задание 16 № 514028

Аналоги к заданию № 514028: 514047



Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 27.04.2016 ва­ри­ант МА10509
24

В прямоугольной траепции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основанеи AD в точке P. Докажите, что

б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1.

Задание 16 № 514373


Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2015
25

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекается в точке P, причём BC = CD.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, а

Задание 16 № 514374


Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2015
26

Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K.

а) Докажите, что

б) Найдите отношение CK и KE, если

Задание 16 № 514522

Аналоги к заданию № 514522: 514557



Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2016
27

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M. Точка Q лежит на меньшей дуге MB окружности с диаметром BC. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P.

а) Докажите, что прямые PM и QM перпендикулярны.

б) Найдите PQ, если AM = 1, BM = 3, а Q — середина дуги MB.

Задание 16 № 514626

Аналоги к заданию № 514626: 514640



Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2016
28

В па­рал­ле­ло­грамм вписана окружность.

а) Докажите, что этот па­рал­ле­ло­грамм — ромб.

б) Окружность, ка­са­ю­ща­я­ся стороны ромба, делит её на отрезки, рав­ные 3 и 2. Най­ди­те площадь четырёхугольника с вер­ши­на­ми в точ­ках касания окруж­но­сти со сто­ро­на­ми ромба.

Задание 16 № 514720


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Решение


Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!