СДАМ ГИА






Каталог заданий. Окружности и четырёхугольники
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD опи­сан около окруж­но­сти и впи­сан в окруж­ность. Пря­мые AB и DC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, если из­вест­но, что ∠AMD = α и ра­ди­у­сы окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки BCM и AMD равны со­от­вет­ствен­но r и R.

За­да­ние 16 № 484617
2

Окруж­ность S ра­ди­у­са 24 впи­са­на в рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию с ос­но­ва­ни­я­ми 36 и 64. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ко­то­рая ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния, бо­ко­вой сто­ро­ны и окруж­но­сти S.

За­да­ние 16 № 507492

Аналоги к заданию № 507492: 511433



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 20.10.2010 ва­ри­ант 3. (Часть С)
3

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD, AB = 3, BC = 5, ∠A = 60°. Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бис­сек­три­сы угла D и двух сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны од­но­го его остро­го угла. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABOD.

За­да­ние 16 № 507617


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 19.11.2009 с решениями: ва­ри­ант 2. (Часть С)
Показать решение

4

В тре­уголь­ни­ке ABC AB = 13, BC = 10, CA = 7. Точка D лежит на пря­мой BC так, что BD : DC = 1 : 4. Окруж­но­сти, впи­сан­ные в каж­дый из тре­уголь­ни­ков ADC и ADB, ка­са­ют­ся сто­ро­ны AD в точ­ках E и F. Най­ди­те длину от­рез­ка EF.

За­да­ние 16 № 507623


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 20.10.2010 ва­ри­ант 4. (Часть С)
5

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 72, а одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции вдвое боль­ше дру­го­го. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O; от­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ну P ос­но­ва­ния AD с вер­ши­на­ми B и C, пе­ре­се­ка­ют­ся с диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка OMPN.

За­да­ние 16 № 507647

Аналоги к заданию № 507647: 511460



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 03.03.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)
6

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD, AB = 3, BC = 7, ∠A = 60°. Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бис­сек­три­сы угла D и двух сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны од­но­го его остро­го угла. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABOD.

За­да­ние 16 № 507662


Источник: МИОО: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 09.11.2010 ва­ри­ант 2. (Часть С)
Показать решение

7

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ка­те­та­ми AC = 12 и BC = 5. С цен­тром в вер­ши­не B про­ве­де­на окруж­ность S ра­ди­у­са 8. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол BAC и ка­са­ю­щей­ся окруж­но­сти S.

За­да­ние 16 № 507677


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 2010 год ва­ри­ант 502. (Часть С)
Показать решение

8

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD, AB = 3, BC = 5, ∠A = 60°. Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бис­сек­три­сы угла D и двух сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны од­но­го его остро­го угла. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABOD.

За­да­ние 16 № 507812


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке, но­ябрь 2009 года ва­ри­ант 4. (Часть С)
Показать решение

9

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD из­вест­ны сто­ро­ны AB = a, BC = b и ∠BAD = α. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков BCD и DAB.

За­да­ние 16 № 507824

Аналоги к заданию № 507824: 511499



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке, но­ябрь 2009 года ва­ри­ант 2. (Часть С)
10

Окруж­но­сти ра­ди­у­сов 3 и 5 с цен­тра­ми O1 и O2 со­от­вет­ствен­но ка­са­ют­ся в точке A. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A, вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке B, а боль­шую — в точке С. Най­ди­те пло­щадь вы­пук­ло­го четырёхуголь­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки O1, O2, B и C, если ∠ABO1 = 15°.

За­да­ние 16 № 512873


Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна.
11

В па­рал­ле­ло­грамм впи­са­на окруж­ность.

а) До­ка­жи­те, что этот па­рал­ле­ло­грамм — ромб.

б) Окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны ромба, делит её на от­рез­ки, рав­ные 5 и 3. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми ромба.

За­да­ние 16 № 513255


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
12

Сто­ро­на CD пря­мо­уголь­ни­ка ABCD ка­са­ет­ся не­ко­то­рой окруж­но­сти в точке M. Про­дол­же­ние сто­ро­ны AD пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точ­ках P и Q, причём точка P лежит между точ­ка­ми D и Q. Пря­мая BC ка­са­ет­ся окруж­но­сти, а точка Q лежит на пря­мой BM.

а) До­ка­жи­те, что ∠DMP = ∠CBM.

б) Из­вест­но, что CM = 17 и CD = 32. Най­ди­те сто­ро­ну AD.

За­да­ние 16 № 513261


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
13

Че­ты­рех­уголь­ник KLMN опи­сан около окруж­но­сти и впи­сан в окруж­ность. Пря­мые KL и NM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KPN, если из­вест­но, что ∠KPN = φ и ра­ди­у­сы окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки KPN и LMP равны со­от­вет­ствен­но r и R.

За­да­ние 16 № 484618
14

Бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD тра­пе­ции ABCD равны 6 и 8 со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей, равен 5, сред­няя линия тра­пе­ции равна 25. Пря­мые AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке М. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ВМС.

За­да­ние 16 № 500015

Аналоги к заданию № 500015: 500470 501551 501557 505243 511332

15

Бо­ко­вые сто­ро­ны KL и MN тра­пе­ции KLMN равны 8 и 17 со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей, равен 7,5, сред­няя линия тра­пе­ции равна 17,5. Пря­мые KL и MN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке A. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ALM.

За­да­ние 16 № 500021
16

Дан пря­мо­уголь­ник KLMN со сто­ро­на­ми: KN = 11, MN = 8. Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну М, ка­са­ет­ся окруж­но­сти с цен­тром К ра­ди­у­са 4 и пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой KN в точке Q. Най­ди­те QK.

За­да­ние 16 № 500644
17

Дан пря­мо­уголь­ник KLMN со сто­ро­на­ми: KN = 13, MN = 6. Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну М, ка­са­ет­ся окруж­но­сти с цен­тром К ра­ди­у­са 3 и пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой KN в точке Q. Най­ди­те QK.

За­да­ние 16 № 500642

Аналоги к заданию № 500642: 511346



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.11.2012 с решениями: ва­ри­ант 2 (Часть C).
18

Дан пря­мо­уголь­ник KLMN со сто­ро­на­ми: KN = 11, MN = 8. Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну M, ка­са­ет­ся окруж­но­сти с цен­тром K ра­ди­у­са 4 и пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой KN в точке Q. Най­ди­те QK.

За­да­ние 16 № 500900
19

Дан ромб ABCD с диа­го­на­ля­ми AC = 24 и BD = 10. Про­ве­де­на окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром в точке пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба. Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну B ка­са­ет­ся этой окруж­но­сти и пе­ре­се­ка­ет пря­мую CD в точке M. Най­ди­те CM.

За­да­ние 16 № 484615
Показать решение

20

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD опи­сан около окруж­но­сти и впи­сан в дру­гую окруж­ность. Пря­мые AD и BC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Най­ди­те пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABM, если из­вест­но, что AB = a и CD = b.

За­да­ние 16 № 484606
Показать решение

21

Сто­ро­ны KN и LM тра­пе­ции KLMN па­рал­лель­ны, пря­мые LM и MN — ка­са­тель­ные к окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLN.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки LMN и KLN по­доб­ны.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLN, если из­вест­но, что KN = 3, а ∠LMN = 120°.

За­да­ние 16 № 513430

Аналоги к заданию № 513430: 513449 514189 513627



Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 03.03.2016 ва­ри­ант МА10409
22

Точка O — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, I — центр впи­сан­ной в него окруж­но­сти, H — точка пе­ре­се­че­ния высот. Из­вест­но, что

а) До­ка­жи­те, что точка I лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BOC.

б) Най­ди­те угол OIH, если

За­да­ние 16 № 513627
Показать решение

23

Окруж­ность, про­хо­дя­щая через вер­ши­ны A, C и D пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC, пе­ре­се­ка­ет мень­шую бо­ко­вую сто­ро­ну AB в точке P и ка­са­ет­ся пря­мой BC. Из­вест­но, что AD = CD.

а) До­ка­жи­те, что CP — бис­сек­три­са угла ACB.

б) В каком от­но­ше­нии пря­мая DP делит пло­щадь тра­пе­ции?

За­да­ние 16 № 514028

Аналоги к заданию № 514028: 514047



Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 27.04.2016 ва­ри­ант МА10509
24

В пря­мо­уголь­ной траеп­ции ABCD с пря­мым углом при вер­ши­не A рас­по­ло­же­ны две окруж­но­сти. Одна из них ка­са­ет­ся бо­ко­вых сто­рон и боль­ше­го ос­но­ва­ния AD, вто­рая — бо­ко­вых сто­рон, мень­ше­го ос­но­ва­ния BC и пер­вой окруж­но­сти.

а) Пря­мая, про­хо­дя­щая через цен­тры окруж­но­стей, пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­неи AD в точке P. До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 3 и 1.

За­да­ние 16 № 514373


Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2015
25

Диа­го­на­ли AC и BD четырёхуголь­ни­ка ABCD, впи­сан­но­го в окруж­ность, пе­ре­се­ка­ет­ся в точке P, причём BC = CD.

а) До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка COD, где O — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABD, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что BD — диа­метр опи­сан­ной около четырёхуголь­ни­ка ABCD окруж­но­сти, AB = 6, а

За­да­ние 16 № 514374


Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2015
26

Квад­рат ABCD впи­сан в окруж­ность. Хорда CE пе­ре­се­ка­ет его диа­го­наль BD в точке K.

а) До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те от­но­ше­ние CK и KE, если

За­да­ние 16 № 514522

Аналоги к заданию № 514522: 514557



Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2016
27

На ка­те­тах AC и BC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC как на диа­мет­рах по­стро­е­ны окруж­но­сти, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке M. Точка Q лежит на мень­шей дуге MB окруж­но­сти с диа­мет­ром BC. Пря­мая CQ вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром AC в точке P.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые PM и QM пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Най­ди­те PQ, если AM = 1, BM = 3, а Q — се­ре­ди­на дуги MB.

За­да­ние 16 № 514626

Аналоги к заданию № 514626: 514640



Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2016
28

В па­рал­ле­ло­грамм впи­са­на окруж­ность.

а) До­ка­жи­те, что этот па­рал­ле­ло­грамм — ромб.

б) Окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны ромба, делит её на от­рез­ки, рав­ные 3 и 2. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми ромба.

За­да­ние 16 № 514720


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!
общее/сайт/предмет


Рейтинг@Mail.ru
Яндекс.Метрика