Системы с параметром
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Заметим, что
Поэтому исходная система равносильна смешанной системе
Полученная смешанная система имеет ровно два решения в том и только в том случае, когда прямые 
имеет с графиком системы
ровно две общие точки. Прямые, соответствующие границам этих случаев, пронумерованы на рисунке числами от 1 до 5. Искомыми значениями параметра являются 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| Найдено множество значений a, корни, соответствующие единственному значению параметра не определены ИЛИ Найдены корни, но в множество значений a не включены одна или две граничные точки | 3 |
| Найдено множество значений a, но не включены одна или две граничные точки. Корни, соответствующие единственному значению параметра не найдены | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Заметим, что
Тогда исходная система равносильна следующей смешанной системе:
Построим её график и определим, при каких значения параметра пучок прямых 
имеет единственную общую точку с объединением двух лучей 
и 
при условиях 
(см. рис.).
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система
имеет ровно два различных решения.
Решим первое уравнение:
Рассмотрим случай (1): y = −7. При любом a получаем одно решение x = a + 7, для которого неравенство x ≥ −3 верно только при a ≥ −10.
Рассмотрим случай (2):
поэтому при 
корней нет, при 
получаем один корень 
при 
получаем два различных корня. У параболы 
— ветви вверх, абсцисса вершины равна 
Значит, оба корня не меньше −3 при 
то есть при 
а при 
один корень меньше −3, а другой — больше −3.
Соберем сведения о числе решений в случаях (1) и (2) в таблице
| a | a < −10 | −10 ≤ a < −3 | −3 ≤ a < 9,25 | a = 9,25 | a > 9,25 |
| Число решений (1) | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| Число решений (2) | 1 | 1 | 2 | 1 | 0 |
Остаётся учесть те значения a, при которых решение из случая (1) совпадает с одним из решений случая (2). Тогда 
с учётом 
из 
получаем, что x = 4, a = −3.
Ответ: 
Примечание.
Для решения задачи можно использовать графо-аналитический метод.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но в ответ включены также и одно-два неверных значения | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию совокупности трёх квадратных уравнений относительно a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Преобразуем исходную систему:
Уравнение 
задает пару пересекающихся прямых 
и 
Система
задает части этих прямых, расположенные правее прямой 
то есть лучи BD и CE (без точек B и C), см. рис.
Уравнение 
задает прямую m с угловым коэффициентом a, проходящую через точку 
Следует найти все значения a, при каждом из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и 
а) Прямая AB задается уравнением 
Поэтому при 
прямая m не пересечет ни луч BD, ни луч
б) Прямая AC задается уравнением 
Поэтому при 
прямая m пересечет луч BD, но не пересечет луч
в) При 
прямая m пресечет и луч BD, и луч
г) Наконец, при 
прямая m пересечет только луч CE, а при 
она не пересечет ни луч BD, ни луч
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений 
имеет ровно два решения.
Система не изменяется при одновременной замене x на y, а y на x, при одновременной замене x на –x, а y на –y, при одновременной замене x на –y, а y на –x. Следовательно, есть система имеет решение 
то она имеет и решения 
и 
Чтобы система имела ровно два решения, какие-то из пар должны совпадать.
Пары 
и совпадать не могут, поскольку в этом случае первое уравнение системы принимает вид 
а второе принимает вид 
что невозможно одновременно.
Если 
то первое уравнение системы принимает вид 
а второе принимает вид 
что также невозможно.
Остается случай 
Теперь первое уравнение системы принимает вид а второе принимает вид 
В этом случае 
откуда получаем единственное возможное значение 
При найденном значении параметра система действительно имеет ровно два решения:
Ответ: 
Приведем другое решение.
Заменим первое уравнение разностью, а второе — суммой исходных уравнений:
При 
второе уравнение системы, а значит, и вся система решений не имеет. При 
уравнения системы задают прямые:
Ясно (см. рис.), что при 
система имеет четыре решения (координаты точек A, B, C и D), а при 
— два решения (координаты точек M и N).
Ответ:
Приведём аналитическое решение.
Из второго уравнения системы находим, что число 
является решением системы, если 
При этом значении параметра система принимает вид
и имеет 4 решения: 
или 
Такое значение параметра не подходит по условию. Следовательно, чтобы система имела ровно два решения, необходимо, чтобы 
а потому 
и можно разделить обе части второго уравнения на х. Находим:
Из второго уравнения полученной системы по каждому значению х можно найти единственное значение y. Значит, система имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда ровно два решения имеет первое уравнение. Сделаем замену 
получим уравнение
Исходная задача равносильна требованию найти все значения параметра, при которых полученное уравнение при 
имеет ровно один положительный корень. Если полученное уравнение имеет два корня, то эти корни одного знака, так как по теореме Виета 
значит, этот случай не подходит. Найдем четверть дискриминанта: 
Полученное выражение обращается в нуль при При этом значении параметра уравнение имеет корень 
Это решение положительное, поэтому найденное значение параметра искомое.
Ответ:
Приведем идею еще одного решения.
Заменим второе уравнение разностью первого и второго уравнений, получим равносильную систему:
При 
полученная система несовместна. При 
первое уравнение задает окружность, которая должна иметь ровно две общие точки с прямыми
Построив графики, убеждаемся, что искомый случай соответствует касанию окружности с найденными прямыми.
Ответ:
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх