Решим первое уравнение:

Рассмотрим случай (1): y = −7. При любом a получаем одно решение x = a + 7, для которого неравенство x ≥ −3 верно только при a ≥ −10.

Рассмотрим случай (2):

Так как то при корней нет, при получаем один корень при получаем два различных корня. У параболы — ветви вверх, абсцисса вершины равна

Значит, оба корня не меньше -3 при то есть при а при один корень меньше −3, а другой — больше −3.

Соберем сведения о числе решений в случаях (1) и (2) в таблице

Остаётся учесть те значения a, при которых решение из случая (1) совпадает с одним из решений случая (2). Тогда с учётом из получаем, что x = 4, a = −3.

Ответ:

Примечание: для решения задачи можно использовать графо-аналитический метод.

Преобразуем систему, получим:

Первое уравнение задает части двух парабол (см. рисунок):

Второе уравнение задает окружность радиусом с центром На рисунке видно, что шесть решений системы получаются, только если окружность проходит через точки и пересекая параболу еще в четырех точках.

При этом радиус окружности равен откуда или

Ответ:

Перепишем исходную систему в виде

Исходная система имеет решения, тогда и только тогда, когда относительно имеет решения система:

Решая уравнение этой системы, находим, что Требование задачи будет выполнено, если последняя смешанная система имеет хотя бы одно решение. Искомые значения находятся из совокупности неравенств

Иррациональные неравенства можно решить, используя теоремы о равносильности:

Получим: или что дает

Другой путь решения неравенств — ввести замену В этом случае Тогда:

Тем самым, Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

Ответ:

Графическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

При левая часть не имеет смысла. При уравнение задаёт прямую и гиперболу (см. рис.). При каждом значении a уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы с прямой при условии

Прямая пересекает прямую при и при пересекает правую ветвь гиперболы при пересекает левую ветвь гиперболы при проходит через точку пересечения прямой и гиперболы при

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при и при

Аналитическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

Тогда исходная система равносильна следующей:

При a = 0 система решений не имеет. В противном случае, первое уравнение имеет корень который удовлетворяет системе при Второе уравнение имеет два различных корня только при a > 0, причем, x₂ является корнем системы при любом положительном a, а x₃ при Таким образом система будет иметь два различных решения при Кроме того, положительные корни x₁ и x₂ могут совпасть это происходит при a = 1.

Ответ:

Примечание.

Полезно сравнить это задание с аналогичной задачей досрочного ЕГЭ 2015 года: найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

Графическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

При левая часть не имеет смысла. При уравнение задаёт прямую и гиперболу (см. рис.). При каждом значении a уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.

При такая прямая пересекает прямую при и пересекает правую ветвь гиперболы при пересекает левую ветвь гиперболы при При этом прямая проходит через точку пересечения прямой и гиперболы при

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы с прямой при условии

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при и при

Аналитическое решение. Запишем первое уравнение системы в виде

Тогда исходная система равносильна следующей:

При a = 0 система решений не имеет. В противном случае, первое уравнение имеет корень который удовлетворяет системе при Второе уравнение имеет два различных корня только при a > 0, причем, x₂ является корнем системы при любом положительном a, а x₃ при Таким образом система будет иметь два различных решения при Кроме того, положительные корни x₁ и x₂ могут совпасть это происходит при a = 3.

Ответ:

Примечание.

Полезно сравнить это задание с аналогичной задачей досрочного ЕГЭ 2015 года: найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.