Заметим, что

Поэтому исходная система равносильна смешанной системе

Полученная смешанная система имеет ровно два решения в том и только в том случае, когда семейство прямых имеет с графиком системы

ровно две общие точки. Прямые соответствующие границам этих случаев пронумерованы на рисунке числами от 1 до 5. Нетрудно видеть, что этому соответствует следующий результат:

Ответ:

Заметим, что

Тогда исходная система равносильна следующей смешанной системе:

Построим её график и определим, при каких значения параметра пучок прямых имеет единственную общую точку с объединением двух лучей и при условиях (см. рис.)

Ответ:

Решим первое уравнение:

Рассмотрим случай (1): y = −7. При любом a получаем одно решение x = a + 7, для которого неравенство x ≥ −3 верно только при a ≥ −10.

Рассмотрим случай (2):

Так как то при корней нет, при получаем один корень при получаем два различных корня. У параболы — ветви вверх, абсцисса вершины равна

Значит, оба корня не меньше -3 при то есть при а при один корень меньше −3, а другой — больше −3.

Соберем сведения о числе решений в случаях (1) и (2) в таблице

Остаётся учесть те значения a, при которых решение из случая (1) совпадает с одним из решений случая (2). Тогда с учётом из получаем, что x = 4, a = −3.

Ответ:

Примечание: для решения задачи можно использовать графо-аналитический метод.

Преобразуем систему, получим:

Первое уравнение задает части двух парабол (см. рисунок):

Второе уравнение задает окружность радиусом с центром На рисунке видно, что шесть решений системы получаются, только если окружность проходит через точки и пересекая параболу еще в четырех точках.

При этом радиус окружности равен откуда или

Ответ:

Преобразуем исходную систему:

Уравнение задает пару пересекающихся прямых и

Система

задает части этих прямых, расположенные правее прямой то есть лучи и (без точек и ), см. рис.

Уравнение задает прямую с угловым коэффициентом проходящую через точку Следует найти все значения при каждом из которых прямая имеет единственную общую точку с объединением лучей и

а) Прямая задается уравнением Поэтому при прямая не пересечет ни луч ни луч

б) Прямая задается уравнением Поэтому при прямая пересечет луч но не пересечет луч

в) При прямая пресечет и луч и луч

г) Наконец, при прямая пересечет только луч а при она не пересечет ни луч ни луч

Ответ: