Пя­ти­уголь­ник ABCDE впи­сан в окруж­ность. Из вер­ши­ны A опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры AF, AH, AP и AQ на пря­мые DE, BE, CD и BC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те AH, если и

Точки E и K  — со­от­вет­ствен­но се­ре­ди­ны сто­рон CD и AD квад­ра­та ABCD. Пря­мая BE пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой CK в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что во­круг четырёхуголь­ни­ка ABOK можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те AO, если сто­ро­на квад­ра­та равна 1.

В тре­уголь­ни­ке АВС из­вест­но, что АВ  =  АС  =  10, ВС  =  12. На сто­ро­не АВ от­ме­ти­ли точки М₁ и М₂ так, что AM₁ < AM₂. Через точки М₁ и М₂ про­ве­ли пря­мые, пер­пен­ди­ку­ляр­ные сто­ро­не АВ и от­се­ка­ю­щие от тре­уголь­ни­ка АВС пя­ти­уголь­ник, в ко­то­рый можно впи­сать окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что AM₁ : BM₂  =  1 : 3.

б)  Най­ди­те пло­щадь дан­но­го пя­ти­уголь­ни­ка.

Окруж­ность, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну B тре­уголь­ни­ка ABC, ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC в точке D, такой, что BD  — бис­сек­три­са угла B, и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и BC в точ­ках E и F со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что AE : CF  =  AB : BC.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AED и DFC, если из­вест­но, что AE : CF  =  2 : 3.

Внут­ри окруж­но­сти с цен­тром О по­стро­ен пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник KOFPDL так, что его вер­ши­на D лежит на окруж­но­сти. Из точки В, диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ной точке D, про­ве­де­ны две хорды AB и ВС, про­хо­дя­щие через вер­ши­ны К и F ше­сти­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 14.

В пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC впи­сан квад­рат KCMN так, что вер­ши­ны K и M рас­по­ло­же­ны на ка­те­тах AC и BC со­от­вет­ствен­но, a на ги­по­те­ну­зе AB  — вер­ши­на N. Вер­ши­ны квад­ра­та TPQR рас­по­ло­же­ны на сто­ро­нах тре­уголь­ни­ка ABC, причём вер­ши­ны P и Q на­хо­дят­ся на ка­те­тах AC и BC со­от­вет­ствен­но, а вер­ши­ны R и T  — на ги­по­те­ну­зе AB.

а)  До­ка­жи­те, что точка C и цен­тры квад­ра­тов KCMN и TPQR лежат на одной пря­мой.

6)  Най­ди­те длину сто­ро­ны квад­ра­та TPQR, если AC  =  5 и BC  =  12.

Пя­ти­уголь­ник ABCDE  — впи­сан­ный, точка M  — пе­ре­се­че­ние диа­го­на­лей BE и AD. Из­вест­но, что BCDM  — па­рал­ле­ло­грамм.

а)  До­ка­жи­те, что две сто­ро­ны пя­ти­уголь­ни­ка равны.

б)  Най­ди­те AB, если из­вест­но, что

Пя­ти­уголь­ник ABCDE впи­сан в окруж­ность. Диа­го­на­ли AD и BE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Из­вест­но, что BCDM  — па­рал­ле­ло­грамм.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину сто­ро­ны AB, если из­вест­но, что и

Точка O  — центр пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF. Через точку B и се­ре­ди­ну от­рез­ка OD про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ну ED в точке T.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая BT делит пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка в от­но­ше­нии 5 : 13.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми ка­са­ния окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки BET и BCT с пря­мой BT, если сто­ро­на ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF равна

В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке ABCDEF через вер­ши­ну A про­ве­де­на пря­мая, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок CF в точке K и делит пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF в от­но­ше­нии 1 : 11.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AK делит диа­го­наль FC в от­но­ше­нии 1 : 5.

б)  Пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF окруж­ность в точке T. Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром пря­мая BT делит от­ре­зок AC.