Всего: 819 … 521–540 | 541–560 | 561–580 | 581–600 | 601–620 | 621–640 | 641–660 | 661–680 …
Добавить в вариант
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
б) В правильной треугольной призме ABCA1B1С1 стороны основания равны 5, боковые ребра равны 15, точка D — середина ребра CC1.
а) Пусть прямые BD и B1C1 пересекаются в точке E. Докажите, что угол EA1B1 — прямой.
б) Найдите угол между плоскостями A1B1С1 и BDA1.
На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что 
В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
то есть 
Из свойства биссектрисы следует, что 
откуда 
Основание пирамиды DABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В. Точки М и N — середины рёбер АD и BC соответственно.
а) Докажите, что MN является биссектрисой угла ВМС.
б) Найдите угол между прямыми BD и MN, если 
AC = 16.
и отрезок ME параллелен отрезку DB. DB — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, поэтому отрезок ME также является перпендикуляром к этой плоскости.
Поскольку отрезок ME параллелен отрезку DB, угол между скрещивающимися прямыми DB и MN равен углу между пересекающимися прямыми МЕ и MN, то есть углу EMN. Из треугольника MNE находим, что
Основание пирамиды DABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В. Точки М и N — середины рёбер АD и BC соответственно.
а) Докажите, что MN является биссектрисой угла ВМС.
б) Найдите угол между прямыми BD и MN, если 
AC = 12.
и отрезок ME параллелен отрезку DB. Так как DB — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, отрезок ME также является перпендикуляром к этой плоскости.
Поскольку отрезок ME параллелен отрезку DB, угол между скрещивающимися прямыми DB и MN равен углу между пересекающимися прямыми МЕ и MN, то есть углу EMN. Из треугольника MNE находим, что
В четырехугольнике АВСD, вписанном в окружность, биссектрисы углов А и В пересекаются в точке Е, лежащей на стороне CD. Известно, что CD : BC = 3 : 1.
А) Докажите, что точка Е равноудалена от прямых AD и АВ.
Б) Найдите отношение площадей треугольников ADE и ВСЕ.
В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. Окружность, описанная около треугольника ACD пересекает сторону AB в точке E.
а) Докажите, что треугольник CDE равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника CDE, если AB = 8, BC = 7, AC = 6.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 4. На ребрах BB1 и BC выбраны точки D и E соответственно так, что B1D = BE = 1.
а) Докажите, что прямые A1D и DE перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями A1DE и BCC1.
значит,
К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую BC в точке P. В каком отношении делит сторону AB (считая от точки B) прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AN : ND = 1 : 2.
Следовательно,
Следовательно,
В прямоугольнике ABCD, в котором 
а AB = 6, расположены две окружности. Окружность с центром в точке K, радиус которой равен 2, касается сторон AB и AD. Окружность с центром в точке L, радиус которой равен 1, касается стороны CD и первой окружности.
а) Докажите, что точки A, K, L лежат на одной прямой.
б) Найдите площадь треугольника CLM, если M — основание перпендикуляра, опущенного из вершины B на прямую, проходящую через точки K и L.
Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырехугольника ABCD, AB = BM, MC = CD. Биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AD.
а) Докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм или трапеция.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что BM : CM = 1 : 3 и площадь четырехугольника, ограниченного прямыми AM, DM, BP и CP, равна 18.
угол CMD равен 
Поэтому угол 
Но одновременно с этим он прямой. Таким образом, 
и прямые AB и CD параллельны.
Точки D и E — середины сторон AC и BC треугольника ABC соответственно. На отрезке DE как на диаметре построена окружность, пересекающая продолжения сторон AC и BC в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что биссектрисы углов MEN и NDM пересекаются на этой окружности.
б) Найдите MN, если известно, что AB = 14, BC = 10, AC = 6.
то есть 
Тогда 
а значит, 
Следовательно, треугольник MCN подобен треугольнику BCA с коэффициентом 
откуда 
Точка E лежит на высоте SO, а точка F — на боковом ребре SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, причём SE : EO = SF : FC = 2 : 1.
а) Докажите, что плоскость BEF пересекает ребро SD в его середине.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью BEF, если AB = 8, SO = 14.
следовательно, E — точка пересечения медиан, а BE также медиана, G — середина SD.
на отрезке 
на отрезке 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведена секущая плоскость, содержащая диагональ AC1 и пересекающая ребра BB1 и DD1 в точках
а) Докажите, что сечение AFC1E — параллелограмм.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что AFC1E — ромб и AB = 3, BC = 2, AA1 = 5.
