Всего: 819 … 561–580 | 581–600 | 601–620 | 621–640 | 641–660 | 661–680 | 681–700 | 701–720 …
Добавить в вариант
Сторона AB квадрата ABCD равна 1 и является хордой некоторой окружности, причем остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Длина касательной CK, проведенной из вершины C к этой окружности, равна 2.
а) Докажите, что длина отрезка, соединяющего центр квадрата и центр окружности равна длине отрезка CK.
б) Найдите диаметр окружности.
Отсюда CG = 4. Заметим теперь, что EF — средняя линия треугольника ACG, значит, 
Что и требовалось доказать.
Отсюда 
имеет ровно один корень.
и 
(выделены синим), расположенные внутри окружности 
справа от прямой 
(выделено зелёным), за исключением точек, принадлежащих окружности 
(выделено красным).
Получаем: 
Прямые 
и 
и при 
система решений не имеет, в остальных случаях система имеет два решения.)
Окружность радиуса 1 вписана в треугольник ABC, в котором 
Эта окружность касается средней линии треугольника ABC, параллельной стороне AC.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника ABC.
то есть 
Решая это уравнение как квадратное относительно AB, получаем, что 
или 
В первом случае получаем, что 
тогда 
Во втором случае получаем, что 
тогда 
В обоих случаях треугольник ABC прямоугольный. Что и требовалось доказать.
а с другой стороны, площадь равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр, то есть 
Приравнивая эти выражения получаем, что x = 1. Тогда площадь треугольника ABC равна 
получим AC = 3 и AB = 5. Либо AF = 2r = 2, AB = 2 · AF = 4 и, учитывая соотношение 
получим AC = 3 и BC = 5. В любом случае периметр треугольника ABC равен 3 + 4 + 5 = 12, а его площадь 
В правильной треугольной пирамиде MNPQ с вершиной M сторона основания равна 15, высота равна 
На ребрах NP, NQ и NM отмечены точки E, F, K соответственно, причем NE = NF = 3 и 
а) Докажите, что плоскости EFK и MPQ параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости MPQ.
следовательно, прямые EK и PM параллельны. Таким образом, плоскости EFK и MPQ содержат две пары пересекающихся параллельных прямых и, следовательно, параллельны.
следовательно,
В трапеции АВСD основания ВС и АD равны 3 и 9 соответственно. Из точки К, лежащей на стороне СD, опущен перпендикуляр КL, на сторону АВ. Известно, что L — середина стороны АВ, СL = 4 и что площадь четырёхугольника АLKD в 3 раза больше площади четырёхугольника ВСКL.
а) Докажите, что прямые ВK и DL параллельны.
б) Найдите длину отрезка DL.
а площадь треугольника KLD составляет 
Отсюда 
Треугольники BCK и LMD подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, значит, равны углы BKC и MDL. Отсюда следует параллельность прямых BK и DL. Что и требовалось доказать.
Значит, треугольники ECL и EAK подобны с коэффициентом 2 : 3, откуда AK = 6. KL — серединный перпендикуляр к AB, поэтому 
Наконец, треугольники BCK и LMD подобны с коэффициентом 1 : 2, поэтому 
В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы всех внутренних углов. Четырехугольник, образованный точками пересечения этих биссектрис, имеет площадь, равную двум третям площади параллелограмма ABCD.
а) Докажите, что четырехугольник, образованный точками пересечения биссектрис всех внутренних углов параллелограмма ABCD, является прямоугольником.
б) Найдите отношение длин большей и меньшей сторон параллелограмма ABCD.
Значит, угол AHB тоже равен 90°. Поэтому угол четырехугольника с вершиной H — прямой. Аналогично остальные углы этого четырехугольника прямые. Что и требовалось доказать. 
Тогда и вторая диагональ прямоугольника равна a − b. Прямые GH и EF параллельны сторонам ABCD, поэтому угол между ними равен α. Тогда площадь прямоугольника равна 
Из условия получаем равенство: 
Упрощая, получаем равенство 
откуда a = 3b.
Знаменатель определен при 
и отличен от нуля при 
то есть при 
и 
При таких значениях переменной знаменатель положительный, а значит, чтобы неравенство выполнялось, числитель дроби должен быть неположительным. Разложим на множители выражение: 
Левая часть полученного неравенства обращается в нуль при 
или при 
а значит, неравенство может выполняться при 
при 
или при 
Взяв пробные точки −13, −1 и 2,5, находим, что неравенство верно при 
или при при условии 
На окружности ω отмечены точки M, N, K таким образом, что MN — диаметр, а K — середина дуги MN. Точка E — середина хорды MK. Точка B — середина дуги KN, не содержащей точку M. Через точку E проведена хорда AB.
а) Докажите, что 
б) В окружность ω вписан прямоугольник ABCD. Найдите его площадь, если 
Далее, поскольку 
тогда 
Отсюда, по теореме Пифагора, 
Дана равнобедренная трапеция ABCD. На боковой стороне AB и большем основании AD взяты соответственно точки F и E так, что FE параллельно CD, а 
а) Докажите, что угол BCF равен углу AFE.
б) Найдите площадь трапеции ABCD , если 
и площадь трапеции FCDE равна 
и 
угол D равен β, тогда 
следовательно, 
Пусть EH — высота трапеции CFED, тогда 
следовательно, 
Аналогичным способом вычислим длину BC: 
В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что 
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается отрезка MN в точке K.
a) Докажите, что 
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если 
и 
MN = 3t, AC = 5t. По свойству описанного четырёхугольника, 
Что и требовалось доказать.
По теореме Пифагора 
тогда радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен 3.
тогда 
тогда:
Решая систему уравнений, получим AB = 17, BC = 15.
следовательно, он прямоугольный, и его площадь равна 
С другой стороны, 
тогда
В равнобедренной трапеции ABCD угол BCD — тупой. Через точку B проведена прямая, параллельная прямой CD и пересекающая прямую AD в точке E. На продолжении BE за точку E отмечена точка F такая, что DE = DF.
а) Докажите, что точки A, F, C и D лежат на одной окружности.
б) Найдите расстояние от точки C до прямой AF, если BD = 10 и 
Юра записывает на доске n-значное натуральное число, не используя цифру 0. Затем он записывает рядом ещё одно число, полученное из исходного перемещением первой цифры на последнее место. (Например, если n = 3 и исходное число равно 123, то второе число равно 231.) После этого Юра находит сумму этих двух чисел.
а) Может ли сумма чисел на доске равняться 2728, если n = 4?
б) Может ли сумма чисел на доске равняться 83 347, если n = 5?
в) При n = 6 оказалось, что сумма чисел делится на 99. Сколько натуральных чисел от 925 111 до 925 999, которые Юра мог использовать в качестве исходного числа?
Покажем, как найти этот пример. Пусть 
— исходное число (черта сверху показывает, что это не произведение, а десятичная запись числа цифрами). Первая цифра суммы 
равна 2, поэтому a = b = 1. Последняя цифра суммы равна 8, поэтому d = 7. Тогда c = 5.
— исходное число. Тогда
— исходное число. Тогда
делится на 9, то есть если трёхзначное число 
даёт остаток 2 при делении на 9.
Юра записывает на доске n-значное натуральное число, не используя цифру 0. Затем он записывает рядом ещё одно число, полученное из исходного перемещением первой цифры на последнее место. (Например, если n = 3 и исходное число равно 123, то второе число равно 231.) После этого Юра находит сумму этих двух чисел.
а) Может ли сумма чисел на доске равняться 2640, если n = 4?
б) Может ли сумма чисел на доске равняться 25 795, если n = 5?
в) При n = 6 оказалось, что сумма чисел делится на 33. Сколько натуральных чисел от 525 111 до 525 799, которые Юра мог выбрать в качестве исходного числа?
Покажем, как найти этот пример. Пусть 
— исходное число. Тогда
делится на 3, а значит, число 
или 
где r — остаток от деления числа a + b на 3. Таким образом, всего существует 
чисел.Точки A1, B1, C1 — середины сторон соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников A1CB1, A1BC1, и B1AC1, пересекаются в одной точке.
б) Известно, что АВ = AC = 13 и BC = 10. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого — центры окружностей, описанных около треугольников A1CB1, A1BC1, и В1AC1.
Отсюда 
вписанный. Что и требовалось доказать.
Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, по формуле S = pr. Имеем: 
p = 18, отсюда 
Значит, радиус окружности, вписанной в DFG равен 
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE.
а) Докажите, что AL · BC = AB · AC.
б) Найдите EL, если AC = 8, 
Пусть площадь параллелограмма ABCD равна 
Треугольник ALD имеет общие с параллелограммом ABCD высоту и основание, следовательно, 
Таким образом,
Таким образом, треугольник ALC — равнобедренный, прямые LO и AC перпендикулярны, следовательно, прямая EL проходит через точку O. Получаем:
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если 
а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
значит, 
значит, 
Отрезок MN как средняя линия трапеции строго больше половины основания AD, поэтому 
значит, сечение не параллелограмм, а трапеция. Что и требовалось доказать .
поэтому 
По формуле площади трапеции 
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE.
а) Докажите, что AL · BC = AB · AC.
б) Найдите EL, если AC = 12, 
В треугольнике ABC на стороне BC отметили точку D так, что AB = BD. Биссектриса BF пересекает AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK.
a) Докажите, что 
б) Найдите отношение площади ABE к площади CDEF, если 
По свойству биссектрисы треугольника 
Значит, 
что и требовалось доказать.
а 
тогда 
Треугольники BDE и CDK подобны по двум углам (
как вертикальные, 
), треугольники AEF и AKC подобны по двум углам (угол A — общий, 
). Пусть 
а 
тогда 
Тогда
В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Известно, что около четырехугольника AMNC можно описать окружность.
а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.
б) На стороне AС отмечена точка F, такая что 
Отрезок BF пересекает отрезок MN в точке E. Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AMNC, если 
и 
Поскольку окружность можно описать только около равнобедренной трапеции, 
то есть 
а значит, треугольник ABC равнобедренный.
Поскольку отрезок MN — средняя линия треугольника ABC, он делит высоту BH пополам, значит, 
Треугольник ABC равнобедренный, поэтому 
точка H лежит на прямой BO, а NO — радиус окружности, описанной около четырёхугольника AMNC.
В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и N являются серединами рёбер AB и AD соответственно.
а) Докажите, что прямые B1N и CM перпендикулярны.
б) Плоскость α проходит через точки N и B1 параллельно прямой CM. Найдите расстояние от точки C до 
на плоскость ABC. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах прямые B1N и CM перпендикулярны.
a значит, прямоугольные треугольники 
поскольку прямая B1N перпендикулярна прямой NL, параллельной прямой CM. Пусть ребро куба равно a. Получаем: 
получаем: 
и 
поэтому 
откуда 
то есть 
к плоскости α, уравнение которой запишем в виде 
Нормаль перпендикулярна вектору 
а потому их скалярное произведение равно нулю: 
Подставим в уравнение плоскости координаты точек N, B1 и решим систему уравнений:
тогда 
