Угол ACB равен 42°. Гра­дус­ная ве­ли­чи­на дуги AB окруж­но­сти, не со­дер­жа­щей точек D и E, равна 124°. Най­ди­те угол DAE. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Век­тор  с на­ча­лом в точке A(3; 6) имеет ко­ор­ди­на­ты (9; 3). Най­ди­те сумму ко­ор­ди­нат точки B.

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, B, D, E, пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 2.

В фирме такси в дан­ный мо­мент сво­бод­но 20  машин: 10  чер­ных, 2  жел­тых и 8  зе­ле­ных. По вы­зо­ву вы­еха­ла одна из машин, слу­чай­но ока­зав­ша­я­ся ближе всего к за­каз­чи­це. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к ней при­е­дет зе­ле­ное такси.

Пра­виль­ный иг­раль­ный кубик бро­са­ли до тех пор, пока сумма вы­пав­ших при всех брос­ках очков не стала равна 3. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что был сде­лан ровно один бро­сок? Ответ округ­ли­те до сотых.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те боль­ший из кор­ней.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к этому гра­фи­ку, про­ведённая в точке x₀. Урав­не­ние ка­са­тель­ной по­ка­за­но на ри­сун­ке. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции в точке x₀.

Очень лeгкий за­ря­жен­ный ме­тал­ли­че­ский шарик за­ря­дом Кл ска­ты­ва­ет­ся по глад­кой на­клон­ной плос­ко­сти. В мо­мент, когда его ско­рость со­став­ля­ет м/с, на него на­чи­на­ет дей­ство­вать по­сто­ян­ное маг­нит­ное поле, век­тор ин­дук­ции B ко­то­ро­го лежит в той же плос­ко­сти и со­став­ля­ет угол с на­прав­ле­ни­ем дви­же­ния ша­ри­ка. Зна­че­ние ин­дук­ции поля Тл. При этом на шарик дей­ству­ет сила Ло­рен­ца, рав­ная (Н) и на­прав­лен­ная вверх пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти. При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла шарик оторвeтся от по­верх­но­сти, если для этого нужно, чтобы сила была не менее чем Н? Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ту­рист идет из од­но­го го­ро­да в дру­гой, каж­дый день про­хо­дя боль­ше, чем в преды­ду­щий день, на одно и то же рас­сто­я­ние. Из­вест­но, что за пер­вый день ту­рист про­шел 10 ки­ло­мет­ров. Опре­де­ли­те, сколь­ко ки­ло­мет­ров про­шел ту­рист за тре­тий день, если весь путь он про­шел за 6 дней, а рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми со­став­ля­ет 120 ки­ло­мет­ров.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AB₁ па­рал­лель­на пря­мой, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны от­рез­ков AC и BC₁.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми AB₁ и BC₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Са­до­вод при­вез на рынок 91 кг яблок, ко­то­рые после транс­пор­ти­ров­ки раз­де­лил на три сорта. Яб­ло­ки пер­во­го сорта он про­да­вал по 40 руб., вто­ро­го сорта  — по 30 руб., тре­тье­го сорта  — по 20 руб. за ки­ло­грамм. Вы­руч­ка от про­да­жи всех яблок со­ста­ви­ла 2170 руб. Из­вест­но, что масса яблок 2-⁠го сорта мень­ше массы яблок 3-⁠го сорта на столь­ко же про­цен­тов, на сколь­ко про­цен­тов масса яблок 1-⁠го сорта мень­ше массы яблок 2-⁠го сорта. Сколь­ко ки­ло­грам­мов яблок вто­ро­го сорта про­дал са­до­вод?

Точка Е  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BС квад­ра­та АВСD. Се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры к от­рез­кам АЕ и ЕС пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те BO : OD.

Найти все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно че­ты­ре раз­лич­ных ре­ше­ния.

Из пер­вых 22 на­ту­раль­ных чисел 1, 2, ..., 22 вы­бра­ли 2k раз­лич­ных чисел. Вы­бран­ные числа раз­би­ли на пары и по­счи­та­ли суммы чисел в каж­дой паре. Ока­за­лось, что все по­лу­чен­ные суммы раз­лич­ны и не пре­вос­хо­дят 27.

а)  Может ли по­лу­чить­ся так, что сумма всех 2k вы­бран­ных чисел рав­ня­ет­ся 170 и в каж­дой паре одно из чисел ровно в три раза боль­ше дру­го­го?

б)  Может ли число k быть рав­ным 11?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние числа k.