Тригонометрические уравнения
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
, б) 
и формулу синуса двойного угла 
, получаем: 
б) 
с помощью тригонометрической окружности. Получаем 
и 
б) 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
б) 
с помощью неравенств может быть получен так:
является корнем, а число 
не является?
Из неё следует, что 
Поэтому из исходного уравнения получаем:
б) 
б) 
б) 
б) 
либо 
что невозможно.
б) 
а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Получим 
б) 
это не корень, а корни. 
эти корни соответствуют верхней точке на тригонометрической окружности 
а при нечётных значениях 
− нижней точке 
а) Решите уравнение: 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Из неё следует, что 
Поэтому уравнение можно преобразовать так:
б) 
б) 
б) а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
то 
то 
При 
решений нет. Разделим обе части уравнения на 
Получаем 
принадлежат корни 
и 
б) 
При 
разделим обе части уравнения на 
принадлежат корни 
и 
б) 
, предварительно проверив, что в этом (втором) случае 
не является решением. Если бы мы не сделали такой проверки, то при делении на 
в исходное уравнение и убедитесь, что это корень.
найдём, пользуясь единичной окружностью. Получаем: 
б) 
имеем: 
принадлежат корни 
б) 
найдём, пользуясь единичной окружностью. Получаем: 
б) 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
принадлежат корни 
и 
б) 
корни отберём с помощью единичной окружности. Получаем 
и 
б) 
Получим точку 
.
б) 
корни отберём с помощью единичной окружности.
и 
б) 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
б) 
а в вашей формуле не та периодичность, и, следовательно, один лишний корень в выборе корней на промежутке.
засчитают?
на 
Из уравнения с синусом ответ получился 
впрочем, как и 
не являются периодическими функциями.
входит в серию 
,
входит в серию 
, где 
Имеем:
(см. рис.), получим число 
б) 
Получим число 
б) а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
б) 
, где 
б) 
Находим: 
б) 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку 
, получим квадратное уравнение 
корнями которого являются числа 
и 
Уравнение 
не имеет решений, а из уравнения 
находим корни 
или 
Решим неравенства:
откуда 
или 
и 
б) 
б) 
, где 
является полным однородным уравнением второй степени и не имеет корней 
. Поэтому его свободно можно делить на 
, не боясь при этом потерять корни. И такой способ является стандартным для решения подобных уравнений.
заменим выражение в скобках на 
получаем однородное тригонометрическое уравнение первой степени:
, что невозможно в силу основного тригонометрического тождества. Значит, на множестве корней уравнения 
Разделим обе части уравнения на 
откуда 
Следовательно, 
Поэтому на данном отрезке получаем единственный корень 
б) 
не имеет корней. Имеем 
то 
это невозможно. Это однородное уравнение первой степени, разделим обе его части на 
принадлежат корни 
и 
(см. рис.)
б) 
не имеет корней. Уравнение 
является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Разделим обе части уравнения на 
Получаем:
принадлежит только корень 
б) 
Значит, 
или 
где 
В первом случае 
во втором случае 
где 
б) 
и не объединить в одну серию как указано в решении, будет ли снижен балл?
а не 
? Ведь так получается если 
перенести.
a 
аккуратнее. 
б)
то 
разве тогда 
, почему вы прибавляете 
а не 
У 
получим 
раскрывать, как 
а в каких 
— уравнение не имеет корней, или 
, откуда 
или 
б) 
— уравнение не имеет корней, или 
, откуда 
б) 
Получим числа 
б) 
и 
получаем 
задает бесконечно корней. В зависимости от конкретного номера k мы будем получать конкретный корень.
Получим числа 
б) 
б) 
принадлежит заданному отрезку, НО не является корнем
можно обе части поделить на 
Поэтому уравнение можно переписать в виде 
откуда 
Значит, либо 
либо 
откуда 
б) 
откуда 
или 
откуда 
или 
б) 
а значит должно быть 4 корня, так как один корень даёт, например, 
даёт как 
так и 
Значит с каждым знаком по 2 корня.
Получим числа: 
б) 
Это числа 
и 
б) 
, откуда 
или 
откуда 
или 
б) 
то из уравнения следует, что 
что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому 
и 
б) 
и 
, имеем: 
и 
, а корни уравнения 
— точками 
и 
, промежуток 
изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: 
и 
б) 
а) Решите уравнение 
б) Найдите решения уравнения, принадлежащие отрезку [3; 5].
то 
поэтому при таких k решений на отрезке [3; 5] нет.
то 
Заметим, что 
поэтому корень 
лежит на отрезке [3; 5].
то 
поэтому при таких k решений на отрезке [3; 5] нет.
?
, то 
в первой и второй четверти, и мы оставили корень 
на границе между первой и второй.
в первой и третьей четверти.а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
тогда уравнение запишется в виде:
и 
б) 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку 
б) 
б) 
, отберём с помощью единичной окружности. Получим числа: 
б) 
б) 
что невозможно, или 
откуда 
или 
б) 
корней не имеет. Значит, 
откуда 
или 
б) 
б) 
б) 
б) 
, а не 
Ведь второй корень мы находим , вычитая первый из 
б) 
и 
б) 
б) 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
и 
б) 
с помощью тригонометрической окружности. Получим числа: 
б) 
и 
и для них записываем общий ответ 
. Аналогично и для второй строки
Из неё следует, что 
Поэтому уравнение можно преобразовать так:
Получим
или 
получаем
и 
б) 
и введем обозначение 
Имеем: 
б) 
принадлежат корни 
и 
(см. рис.).
б) 
получим число 
б) 
принадлежащие отрезку 
б) 
б) 
б) 
.
удовлетворяют числа 
и 
.
; 
.а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
тогда 
откуда 
или 
б)
тогда 
б) а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Получаем 
или 
откуда 
или 
где 
корни отберем с помощью единичной окружности. Получаем 
и 
б) 
а) Решите уравнение: 
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
.
б) а) Решите уравнение: 
б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку 
и 
б) 
а) Решите уравнение: 
б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку 
б) а) Решите уравнение: 
б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку 
Получим числа: 
б) 
.
.
б) а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Воспользуемся следствием из формулы косинуса двойного угла: 
Решим его.
Получим числа 
б) 
.
.
б) 
а 
то исходное уравнение примет вид 
Получим числа 
б) 
.
.
.
б) 
.
б) 
.
б) 
а) Решите уравнение: 
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Перенесем слагаемые из правой части уравнения в левую:
б) 
или 
где 
откуда 
или 
где 
б) 
где 
откуда 
где 
б) 
где 
где 
где а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
где а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
откуда 
где 
где 
б) 
Тогда получаем:
Получим числа 
б) 
Далее имеем: 
. Получим число 
б) 
б) 
б) 
б) 
б) 
По формуле синуса двойного угла: 
Тогда исходное уравнение примет вид 
Выносим 
Получим числа 
б) 
Далее имеем:
Получим корни (см. рис.): 
б) Пройти тестирование по этим заданиям
Подскажите, почему x=п/4+2пk и x=3п/4+2пk, а не x=(-1)^k*(п/4)+пk
это одно и то же