а) В силу нечетности и периодичности синуса имеем:

б) При помощи числовой прямой или тригонометрической окружности (см. рис.) для каждой из задающих решения серий отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку

Находим три решения:

Ответ:

а)

б)

а) Преобразуем уравнение:

б) Ограничим каждое полученное решение из пункта "а" и решим эти неравенства:

1)

2)

3)

Ответ: а) , б)

Используя формулу приведения и формулу синуса двойного угла , получаем:

Заданный промежуток имеет длину π, поэтому ему принадлежит не больше двух корней из первой серии, не больше одного корня из второй серии и не больше одного корня из третьей серии. Во второй серии решений из отрезка нет, из первой и третьей серии это числа

Ответ: а) б)

а) По формуле приведения поэтому исходное уравнение преобразуется к виду:

б) Данному условию принадлежат корни

Ответ: а) б)

Имеем:

б) На указанном промежутке лежат точки

Ответ: а) б)

а) Имеем:

б) С помощью числовой окружности (см. рис.) отберём корни, принадлежащие отрезку Получим точку

Ответ: а) б)

а) Имеем:

б) На указанном промежутке лежат точки

Ответ: а) б)

Имеем:

Либо либо что невозможно.

б) На указанном промежутке лежат точки

Ответ: а) б)

а) Воспользуемся формулой Из неё следует, что Поэтому уравнение можно преобразовать так:

Сделаем замену Получим

Вернемся к исходной переменной:

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку. Получим

Ответ: а) б)

Левая часть уравнения имеет смысл при Выражение положительно при всех допустимых

Значит,

Так как только во второй и третьей четвертях, числа не являются решениями уравнения.

Ответ:

а) Воспользуемся формулой Из неё следует, что Поэтому уравнение можно преобразовать так:

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку.

Получим:

Ответ: а) б)

а) Преобразуем уравнение:

Значит, либо откуда либо откуда

б) Отберём с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку

Ответ: а) б)

а) Преобразуем исходное уравнение:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

а) Перенесём все члены в левую часть, преобразуем и разложим левую часть на множители:

1 случай. Если то

2 случай. Если то При решений нет. Разделим обе части уравнения на Получаем

Тогда

б) Отрезку принадлежат корни и

Ответ: а) б) и

а) Перенесём все члены в левую часть, преобразуем и разложим левую часть на множители:

1 случай. Если то

2 случай. Если то При решений нет. Разделим обе части уравнения на Получаем

Тогда

Отрезку принадлежат корни и

Ответ: а) б)

а) Преобразуем уравнение:

б) Корни, принадлежащие отрезку найдём, пользуясь единичной окружностью. Получаем:

Ответ: а) б)

а) По формуле приведения имеем:

б) Отрезку принадлежат корни

Ответ: а) б)

а) Преобразуем уравнение:

б) Корни, принадлежащие отрезку найдём, пользуясь единичной окружностью. Получаем:

Ответ: а) б)

а) Используем формулу синуса двойного угла, выносим за скобки:

б) Изображая корни на единичной окружности, находим, что отрезку принадлежат корни и

Ответ:а) б)

а) Преобразуем уравнение:

Получаем или откуда или где

б) На отрезке корни отберём с помощью единичной окружности.

Получаем и

Ответ: а) б)

Решим уравнение:

б) Укажем корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Получим точку .

Ответ: а) б)

а) Преобразуем уравнение:

Получаем или откуда или  где

б) На отрезке корни отберём с помощью единичной окружности.

Получаем и

Ответ: а) б)

a) Преобразуем уравнение:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Находим числа:

Ответ: а) б)

Сведём уравнение к квадратному относительно синуса, используя формулу Имеем:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку (см. рис.), получим число

Ответ:а) б)

а) Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, откуда или

Уравнение корней не имеет.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим число

Ответ:а) б)

а) Выделим полный квадрат:

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим

Ответ: а) б)

а) Преобразуем исходное уравнение:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

Используем формулу приведения и синуса двойного угла:

Тогда или , откуда или

б) С помощью единичной окружности отберём корни на отрезке Находим:

Ответ: а) б)

Примечание.

Уравнение может быть так же решено при помощи следующей теоремы:

а) Сделаем замену , получим квадратное уравнение корнями которого являются числа и Уравнение не имеет решений, а из уравнения находим корни или

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку Решим неравенства:

Соответствующие найденным значениям параметров корни: и

Ответ: а) б)

а) Сведем уравнение к квадратному относительно тангенса:

Отсюда или Если , то Если , то

б) С помощью числовой окружности находим, что из найденных решений промежутку принадлежат числа

Ответ: а) б)

а) Используя формулу заменим выражение в скобках на получаем однородное тригонометрическое уравнение первой степени:

Если , то из уравнения следует , что невозможно в силу основного тригонометрического тождества. Значит, на множестве корней уравнения Разделим обе части уравнения на

б) Составим двойное неравенство: откуда Следовательно, Поэтому на данном отрезке получаем единственный корень

Ответ: а) б)

а) Разложим левую часть на множители:

Уравнение не имеет корней. Имеем

Если то это невозможно. Это однородное уравнение первой степени, разделим обе его части на Получаем:

б) Отрезку принадлежат корни и (см. рис.)

Ответ: а) б)

а) Преобразуем уравнение и разложим левую часть на множители:

Уравнение не имеет корней. Уравнение является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Разделим обе части уравнения на Получаем:

б) Отрезку принадлежит только корень

Ответ: а) б)

а) Преобразуем уравнение, получаем Значит, или где В первом случае во втором случае где Первая серия решений входит во вторую.

б) Отметим решения на тригонометрической окружности. Отрезку принадлежат корни и

Ответ: а) б)

а) Запишем уравнение в виде

Значит, , откуда

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

а) Запишем уравнение в виде

 

Значит, или  — уравнение не имеет корней, или , откуда или

б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку Получим число

Ответ: а) б)

а) Запишем уравнение в виде

Значит, или  — уравнение не имеет корней, или , откуда

б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку Получим число

Ответ: а) б)

а) Запишем уравнение в виде:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа

Замечание. Отбор корней может быть обоснован и любым другим способом: с помощью графика, решения двойных неравенств и т.п.

Ответ: а) б)

а) Запишем уравнение в виде:

Значит, или откуда или откуда

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа

Замечание. Отбор корней может быть обоснован и любым другим способом: с помощью графика, решения двойных неравенств и т.п.

Ответ: а) б)

а) Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, либо откуда либо откуда

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

а) Заметим, что Поэтому уравнение можно переписать в виде откуда Значит, либо откуда либо откуда

б) Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку

Ответ: а) б)

а) Запишем уравнение в виде

Значит, или откуда или откуда или

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

Примечание.

Внимательный читатель, конечно, узнал формулу синуса тройного угла:

а) Запишем уравнение в виде

Значит, или откуда или откуда или

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

а) Преобразуем уравнение:

Получаем: или Отсюда или

б) С помощью числовой окружности отберем корни на отрезке Это числа и

Ответ: а) б)

а) Разложим левую часть на множители:

Значит, или , откуда или откуда или

б) С помощью числовой окружности (см. рис.) отберём корни, принадлежащие отрезку Получаем числа:

Ответ: а) б)

а) Если то из уравнения следует, что что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому отличен от 0, на него можно поделить обе части уравнения:

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку Получим числа: и

Ответ: а) б)

а) Так как и , имеем:

Корни уравнения:

б) Корни уравнения изображаются точками и , а корни уравнения — точками и , промежуток изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: и

Ответ:а) б)

Имеем:

Ответ:

а) Пусть тогда уравнение запишется в виде:

Вернемся к исходной переменной:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа: и

Ответ: а) б)

а) Преобразуем уравнение:

Получаем: или

Откуда или

б) С помощью числовой окружности отберем корни на отрезке Получим числа:

Ответ: а) б)

а) Последовательно получаем:

б) Корни, принадлежащие заданному промежутку, отбираем на тригонометрической окружности (см. рис.). Находим:

Ответ: а) б)

а) Имеем

откуда или

б) Корни, принадлежащие отрезку , отберём с помощью единичной окружности. Получим числа: и

Ответ: а) б)

а) Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, или откуда или откуда или

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа

Ответ: а) б)

а) Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, или что невозможно, или откуда или

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

а) Запишем исходное уравнение в виде:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим число

Ответ: а) б)

а) Используем формулу приведения и основное тригонометрическое тождество

б) Отберём корни, лежащие на заданном отрезке (см. рис.).

Искомый корень:

Ответ: а) б)

а) Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, или откуда или или откуда или где

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: a) б)

а) Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, откуда или

Уравнение корней не имеет.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим число

Ответ: а) б)

а) Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, , откуда или откуда или

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку

Получим числа: и

Ответ: а) б)

а) Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, или , откуда или откуда

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа: и

Ответ: а) б)

а) Преобразуем уравнение

Значит, либо откуда либо откуда

б) С помощью единичной окружности отберём корни, которые лежат на указанном промежутке:

Ответ: а) б)

а) Решим уравнение:

б) Среди представленных корней отберем те, которые принадлежат отрезку

Это числа и

Ответ: а) б)

а) Решим уравнение

б) Отберём корни принадлежащие отрезку с помощью тригонометрической окружности. Получим числа:

Ответ: а)

б)

а) Решим уравнение:

б) Среди представленных корней отберем те, которые принадлежат отрезку

Это числа

Ответ: а) б)

а) Воспользуемся формулой Из неё следует, что Поэтому уравнение можно преобразовать так:

Сделаем замену Получим

Откуда или

Уравнение не имеет решений. Из уравнения получаем

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку. Получим числа: и

Ответ: а) б)

a) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: и введем обозначение Имеем:

Вернемся к исходной переменной:

б) С помощью числовой окружности (см. рис.) отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

а) Используя формулы приведения, получим уравнение, квадратное относительно косинуса:

б) Отрезку принадлежат корни и (см. рис.).

Ответ: а) б)

а) Имеем:

б) При помощи числовой оси отберем корни, принадлежащие отрезку получим число

Ответ: а) б)

а) Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, или , или откуда

б) Заметим, что

С помощью числовой окружности отберем числа вида принадлежащие отрезку

Получим число

Ответ: а) б)

а) Пусть тогда откуда или

Имеем два уравнения:

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке Получим числа:

Ответ: a) б)

а) Преобразуем уравнение : Получаем или откуда или где

б) На отрезке корни отберем с помощью единичной окружности. Получаем и

Ответ: а) б)

а) Выполним преобразования:

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

а) Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, откуда или откуда или

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку

Получим числа: .

Ответ: а) б) .

а) Запишем исходное уравнение в виде:

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку

Получим числа: .

Ответ: а) б)