Каталог заданий.
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
2
, б) 
3
и формулу синуса двойного угла 
, получаем: 
б) 
4
или 
или 
где 
с помощью тригонометрической окружности.
и 
где 
5
Задание 13 № 509120
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
б) 
с помощью неравенств может быть получен так:
является корнем, а число 
не является?6
Из неё следует, что 
Поэтому из исходного уравнения получаем:
б) 
через 
а, наоборот, избавиться от косинуса двойного угла, используя формулу 
Затем получить биквадратное относительно синуса уравнение и решить его.7
б) 8
б) 9
б) 
10
либо 
что невозможно.
б) 
11
Задание 13 № 507292
а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Получим 
б) 
это не корень, а корни. 
эти корни соответствуют верхней точке на тригонометрической окружности 
а при нечётных значениях 
− нижней точке 
12
Из неё следует, что 
Поэтому уравнение можно преобразовать так:
б) 
13
б) 
14
б) 15
то 
то 
При 
решений нет. Разделим обе части уравнения на 
Получаем 
принадлежат корни 
и 
б) 16
При 
разделим обе части уравнения на 
принадлежат корни 
и 
б) 
, предварительно проверив, что в этом (втором) случае 
не является решением. Если бы мы не сделали такой проверки, то при делении на 
в исходное уравнение и убедитесь, что это корень.17
найдём, пользуясь единичной окружностью. Получаем: 
б) 
18
имеем: 
принадлежат корни 
б) 19
найдём, пользуясь единичной окружностью. Получаем: 
б) 
20
принадлежат корни 
и 
б) 
21
корни отберём с помощью единичной окружности. Получаем 
и 
б) 
22
Получим точку 
.
б) 
23
корни отберём с помощью единичной окружности.
и 
б) 
24
Задание 13 № 500587
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
б) 
а в вашей формуле не та периодичность, и, следовательно, один лишний корень в выборе корней на промежутке.
засчитают?
на 
Из уравнения с синусом ответ получился 
впрочем, как и 
не являются периодическими функциями.
входит в серию 
,
входит в серию 
, где 
25
Имеем:
(см. рис.), получим число 
б) 26
Получим число 
б) 27
б) 
, где 
28
б) 29
Находим: 
б) 
30
, получим квадратное уравнение 
корнями которого являются числа 
и 
Уравнение 
не имеет решений, а из уравнения 
находим корни 
или 
Решим неравенства:
откуда 
или 
и 
б) 
31
б) 
, где 
является полным однородным уравнением второй степени и не имеет корней 
. Поэтому его свободно можно делить на 
, не боясь при этом потерять корни. И такой способ является стандартным для решения подобных уравнений.32
заменим выражение в скобках на 
получаем однородное тригонометрическое уравнение первой степени:
, что невозможно в силу основного тригонометрического тождества. Значит, на множестве корней уравнения 
Разделим обе части уравнения на 
откуда 
Следовательно, 
Поэтому на данном отрезке получаем единственный корень 
б) 
33
не имеет корней. Имеем 
то 
это невозможно. Это однородное уравнение первой степени, разделим обе его части на 
принадлежат корни 
и 
(см. рис.)
б) 
34
не имеет корней. Уравнение 
является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Разделим обе части уравнения на 
Получаем:
принадлежит только корень 
б) 35
Значит, 
или 
где 
В первом случае 
во втором случае 
где 
б) 
и не объединить в одну серию как указано в решении, будет ли снижен балл?
а не 
? Ведь так получается если 
перенести.
a 
аккуратнее. 36
б)
то 
разве тогда 
, почему вы прибавляете 
а не 
У 
получим 
раскрывать, как 
а в каких 
37
— уравнение не имеет корней, или 
, откуда 
или 
б) 
38
— уравнение не имеет корней, или 
, откуда 
б) 39
Получим числа 
б) 
и 
получаем 
задает бесконечно корней. В зависимости от конкретного номера k мы будем получать конкретный корень.40
Получим числа 
б) 
41
б) 
принадлежит заданному отрезку, НО не является корнем
можно обе части поделить на 42
Поэтому уравнение можно переписать в виде 
откуда 
Значит, либо 
либо 
откуда 
б) 
43
откуда 
или 
откуда 
или 
б) 
а значит должно быть 4 корня, так как один корень даёт, например, 
даёт как 
так и 
Значит с каждым знаком по 2 корня.
44
Получим числа: 
б) 
45
Это числа 
и 
б) 
46
, откуда 
или 
откуда 
или 
б) 
47
то из уравнения следует, что 
что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому 
и 
б) 
48
и 
, имеем: 
и 
, а корни уравнения 
— точками 
и 
, промежуток 
изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: 
и 
б) 
49
Задание 13 № 484545
Решите уравнение 
?
, то 
в первой и второй четверти, и мы оставили корень 
на границе между первой и второй.
в первой и третьей четверти.50
тогда уравнение запишется в виде:
и 
б) 
51
б) 
52
б) 
53
, отберём с помощью единичной окружности. Получим числа: 
б) 
54
б) 
55
что невозможно, или 
откуда 
или 
б) 
56
корней не имеет. Значит, 
откуда 
или 
б) 
57
б) 58
б) 
59
б) 
, а не 
Ведь второй корень мы находим , вычитая первый из 
60
б) 
61
и 
б) 
62
б) 
63
и 
б) 
64
с помощью тригонометрической окружности. Получим числа: 
65
б) 
и 
и для них записываем общий ответ 
. Аналогично и для второй строки66
Из неё следует, что 
Поэтому уравнение можно преобразовать так:
Получим
или 
получаем
и 
б) 
67
и введем обозначение 
Имеем: 
б) 
68
принадлежат корни 
и 
(см. рис.).
б) 
69
получим число 
б) 70
принадлежащие отрезку 
б) 
71
тогда 
откуда 
или 
б)
72
Получаем 
или 
откуда 
или 
где 
корни отберем с помощью единичной окружности. Получаем 
и 
б) 
73
б) 74
.
б) 75
.
б) 
76
или 
где 
откуда 
или 
где 
б) 77
где 
откуда 
где 
б) 
78
где 
где 
где 79
или 
где 80
или 
б) 81
откуда 
где 
где 
б) 82
, тогда уравнение примет вид 
б) 83
где 
а из второй — две точки: 
и 
б) 
Пройти тестирование по этим заданиям
Подскажите, почему x=п/4+2пk и x=3п/4+2пk, а не x=(-1)^k*(п/4)+пk
это одно и то же
Почему x=п/4+2пK ,входит в ответ,ведь он не принадлежит этому отрезку
В задании два пункта... отрезок дан во втором пункте