РЕШУ ЕГЭ

Задание 18 № 500004. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система $\text{[math]}$ имеет ровно два решения.

Аналоги к заданию № 500004: 500010

Показать решение

Комментарии (1) Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 507483. Найти все значения a, при каждом из которых система

$\text{[math]}$

не имеет решений.

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике, ноябрь 2009 года вариант 3. (Часть С)

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 507636. Найдите все значения параметра $\text{[math]}$ при каждом из которых система

$\text{[math]}$

имеет единственное решение.

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 03.03.2011 вариант 1. (Часть С)

Показать решение

Комментарии (2) Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 507648. Найдите все значения параметра $\text{[math]}$ при каждом из которых система

$\text{[math]}$

имеет единственное решение.

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 03.03.2011 вариант 2. (Часть С)

Показать решение

Комментарии (2) Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 509026. Найдите все значения параметра $\text{[math]}$ при каждом из которых система

$\text{[math]}$

имеет единственное решение.

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 509206. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет ровно два различных решения.

Аналоги к заданию № 509206: 511597

Источник: ЕГЭ по математике — 2015. Досрочная волна, Запад.

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 509584. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет ровно два решения.

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 22.04.2015 вариант МА10409.

Показать решение

Комментарии (1) Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 509825. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

$\text{[math]}$

имеет единственное решение.

Источник: ЕГЭ по математике — 2015. Досрочная волна, резервный день (часть С).

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 509931. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет ровно два решения.

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 22.04.2015 вариант МА10410.

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 509973. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет более двух решений.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если x + 2y − 5 ≥ 0, то получаем уравнение

$\text{[math]}$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O₁(2; 4) и радиусом $\text{[math]}$

2) Если x + 2y − 5 ≤ 0, то получаем уравнение

$\text{[math]}$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O₂(0; 0) и радиусом $\text{[math]}$

Полученные окружности пересекаются в двух точках A(−1; 3) и B(3; 1), лежащих на прямой x + 2y − 5 = 0, поэтому в первом случае получаем дугу ω₁ с концами в точках A и B, во втором — дугу ω₂ с концами в тех же точках (см. рис.).

Заметим, что точка $\text{[math]}$ лежит на дуге ω₂ и прямая O₂C перпендикулярна прямой O₁O₂.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой O₁O₂ или совпадающую с ней.

При a = −5 прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

Аналогично, при a = 5 прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.

При $\text{[math]}$ прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг ω₂ и ω₁, то есть исходная система имеет два решения.

Аналогично, при $\text{[math]}$ прямая m касается дуг ω₂ и ω₁, то есть исходная система имеет два решения.

При $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.

При −5 < a < 5 прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ прямая m не пересекает дуги ω₁ и ω₂, то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более двух решений при $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 510076. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет единственное решение.

Источник: ЕГЭ по математике 26.03.2015. Досрочная волна, Восток.

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 510104. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет более двух решений.

Решение.

Преобразуем первое уравнение системы:

$\text{[math]}$

Тем самым, первое уравнение задаёт объединение дуг $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ окружностей радиуса $\text{[math]}$ с центрами в точках $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ лежащих ниже и выше прямой $\text{[math]}$ соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ Заметим, что точка касания $\text{[math]}$ лежит на дуге $\text{[math]}$ и прямая $\text{[math]}$ перпендикулярна прямой $\text{[math]}$

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую $\text{[math]}$ параллельную прямой $\text{[math]}$ или совпадающую с ней.

При $\text{[math]}$ прямая $\text{[math]}$ пересекает каждую из дуг $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ в точке $\text{[math]}$ и ещё в одной точке, отличной от точки $\text{[math]}$ то есть исходная система имеет три решения.

Аналогично, при $\text{[math]}$ прямая $\text{[math]}$ проходит через точку $\text{[math]}$ и исходная система имеет три решения.

При $\text{[math]}$ прямая $\text{[math]}$ проходит через точку $\text{[math]}$ значит, прямая $\text{[math]}$ касается дуг $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ то есть исходная система имеет два решения.

Аналогично, при $\text{[math]}$ прямая $\text{[math]}$ касается дуг $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ то есть исходная система имеет два решения.

При $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ прямая $\text{[math]}$ пересекает каждую из дуг $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ в двух точках, отличных от точек $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ то есть исходная система имеет четыре решения.

При $\text{[math]}$ прямая $\text{[math]}$ пересекает каждую из дуг $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ в точке, отличной от точек $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ то есть исходная система имеет два решения.

При $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ прямая $\text{[math]}$ не пересекает дуги $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более двух решений при $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

Источник: ЕГЭ — 2015 по математике. Основная волна 04.06.2015. Вариант 1 (Часть С).

Показать решение

Комментарии (2) Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 510132. Найдите все значения $\text{[math]}$ при каждом из которых система

$\text{[math]}$

имеет единственное решение.

Источник: СтатГрад: Диагностическая работа по математике 05.03.2015 вариант МА10309.

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 510153. Найдите все значения $\text{[math]}$ при каждом из которых система $\text{[math]}$

имеет единственное решение.

Источник: СтатГрад: Диагностическая работа по математике 05.03.2015 вариант МА10310.

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 510517. Найдите все значения параметра $\text{[math]}$ при каждом из которых система

$\text{[math]}$

имеет единственное решение.

Источник: СтатГрад: Диагностическая работа по математике 13.02.2015 вариант МА00410.

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 510565. Найдите все значения параметра $\text{[math]}$ при каждом из которых система $\text{[math]}$ имеет единственное решение.

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 09.12.2010 вариант 1. (Часть С)

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 510571. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система $\text{[math]}$ имеет единственное решение.

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 09.12.2010 вариант 2. (Часть С)

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 510583. Найдите все значения параметра $\text{[math]}$ при каждом из которых система

$\text{[math]}$

имеет единственное решение.

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 03.03.2011 вариант 2. (Часть С)

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 512340. Найдите все целочисленные значения параметра а, при каждом из которых система

$\text{[math]}$

имеет единственное решение.

Решение.

Пусть (x, y) — решение системы. Тогда при любом значении параметра a левая часть первого уравнения системы есть сумма расстояний от точки (x, y) до точек (1, a) и (5, a), лежащих на прямой y = a , параллельной оси абсцисс. Но расстояние между точками (1, a) и (5, a) равно 4, и поэтому решение первого уравнения — множество точек (x, y), причём 1 ≤ x ≤ 5, y = a, поскольку иначе

$\text{[math]}$

Следовательно, данная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда второе уравнение системы имеет единственное решение на отрезке 1 ≤ x ≤ 5.

Рассмотрим квадратичную функцию

$\text{[math]}$

Её график — парабола, направленная ветвями вверх. Поскольку свободный $\text{[math]}$ при любом a, то корни этой функции имеют разные знаки. Известно, что в этом случае единственный положительный корень функции $\text{[math]}$ лежит на отрезке 1 ≤ x ≤ 5 тогда и только тогда, когда $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ Получаем систему

$\text{[math]}$

Поскольку любое решение полученного неравенства должно удовлетворять условию $\text{[math]}$ то есть $\text{[math]}$ и по условию a — целое число, то решениями неравенства могут быть только $\text{[math]}$ Из этих условий проверкой получаем все решения: −2, ±1, 0.

Ответ: −2, ±1, 0.

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 24.09.2015 вариант МА10107.

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 512361. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

$\text{[math]}$

имеет единственное решение.

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 18.12.2015 вариант МА10211.

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 512382. Найдите все целочисленные значения параметра а, при каждом из которых система

$\text{[math]}$

имеет единственное решение.

Решение.

Пусть (x, y) — решение системы. Тогда при любом значении параметра a левая часть первого уравнения системы есть сумма расстояний от точки (x, y) до точек (2, a) и (5, a), лежащих на прямой y = a , параллельной оси абсцисс. Но расстояние между точками (2, a) и (5, a) равно 3, и поэтому решение первого уравнения — множество точек (x, y), причём 2 ≤ x ≤ 5, y = a, поскольку иначе

$\text{[math]}$

Следовательно, данная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда второе уравнение системы имеет единственное решение на отрезке 2 ≤ x ≤ 5.

Рассмотрим квадратичную функцию

$\text{[math]}$

Её график — парабола, направленная ветвями вверх. Поскольку свободный $\text{[math]}$ при любом a, то корни этой функции имеют разные знаки. Известно, что в этом случае единственный положительный корень функции $\text{[math]}$ лежит на отрезке 2 ≤ x ≤ 5 тогда и только тогда, когда $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ Получаем систему

$\text{[math]}$

Поскольку любое решение полученного неравенства должно удовлетворять условию $\text{[math]}$ то есть $\text{[math]}$ и по условию a — целое число, то решениями неравенства могут быть только $\text{[math]}$ Из этих условий проверкой получаем все решения: −2, ±1, 0.

Ответ: −2, ±1, 0.

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 24.09.2015 вариант МА10108.

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 512403. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

$\text{[math]}$

не имеет решений.

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 18.12.2015 вариант МА10212.

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 513110. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет ровно два решения.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если $\text{[math]}$ то получаем уравнение

$\text{[math]}$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке $\text{[math]}$ и радиусом $\text{[math]}$

2) Если $\text{[math]}$ то получаем уравнение

$\text{[math]}$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке $\text{[math]}$ и радиусом $\text{[math]}$

Полученные окружности пересекаются в двух точках $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ лежащих на прямой $\text{[math]}$ поэтому в первом случае получаем дугу $\text{[math]}$ с концами в точках A и B, во втором — дугу $\text{[math]}$ с концами в тех же точках (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, которая проходит через точку B и угловой коэффициент которой равен a.

При $\text{[math]}$ прямая m проходит через точки A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При $\text{[math]}$ прямая m перпендикулярна прямой O₁B, угловой коэффициент которой равен $\text{[math]}$ значит, прямая m касается дуги $\text{[math]}$ в точке B и пересекает дугу $\text{[math]}$ в двух точках (одна из которых — точка B), то есть исходная система имеет два решения.

При a = 8 прямая m перпендикулярна прямой O₂B, угловой коэффициент которой равен $\text{[math]}$ значит, прямая m касается дуги $\text{[math]}$ в точке B и пересекает дугу $\text{[math]}$ в двух точках (одна из которых — точка B), то есть исходная система имеет два решения.

При $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ прямая m пересекает каждую из дуг $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ в точке B и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

При $\text{[math]}$ прямая m пересекает дугу $\text{[math]}$ в двух точках (одна из которых — точка B) и не пересекает дугу $\text{[math]}$ в точках, отличных от точки B, то есть исходная система имеет два решения.

Значит, исходная система имеет ровно два решения при $\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 513111. Найдите все значения a, при каждом из которых система

$\text{[math]}$

имеет ровно два различных решения.

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 513275. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет единственное решение.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484650. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система $\text{[math]}$ имеет единственное решение.

Решение.

Если $\text{[math]}$ , то уравнение $\text{[math]}$ задаёт окружность $\text{[math]}$ , с центром в точке $\text{[math]}$ радиуса 2, а если $\text{[math]}$ , то оно задаёт окружность $\text{[math]}$ с центром в точке $\text{[math]}$ того же радиуса (см. рис.).

При положительных значениях параметра а уравнение $\text{[math]}$ задает окружность $\text{[math]}$ с центром в точке $\text{[math]}$ радиуса а. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра а, при каждом из которых окружность $\text{[math]}$ имеет единственную общую точку с объединением окружностей $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ .

Из точки С проведём луч $\text{[math]}$ и обозначим $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ точки его пересечения с окружностью $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ лежит между С и $\text{[math]}$ .

Так как $\text{[math]}$ , то

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

При $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ окружности $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ не пересекаются. При $\text{[math]}$ окружности $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ имеют две общие точки. При $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ окружности $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ касаются.

Из точки С проведём луч $\text{[math]}$ и обозначим $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ точки его пересечения с окружностью $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ лежит между С и $\text{[math]}$ .

Так как $\text{[math]}$ , то

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

При $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ окружности $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ не пересекаются. При $\text{[math]}$ окружности $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ имеют две общие точки. При $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ окружности $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность $\text{[math]}$ касается ровно одной из двух окружностей $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , и не пересекается с другой. Так как $\text{[math]}$ , то условию задачи удовлетворяют только числа $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ .

Ответ: 3; $\text{[math]}$ .

Аналоги к заданию № 484650: 485952 507190

Показать решение

Комментарии (1) Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484649. Найдите все положительные значения $\text{[math]}$ при каждом из которых система $\text{[math]}$ имеет единственное решение.

Решение.

Если $\text{[math]}$ то уравнение $\text{[math]}$ задает окружность $\text{[math]}$ с центром в точке $\text{[math]}$ радиуса $\text{[math]}$ а если $\text{[math]}$ то оно задаёт окружность $\text{[math]}$ с центром в точке $\text{[math]}$ того же радиуса (см. рис.).

При положительных значениях параметра $\text{[math]}$ уравнение $\text{[math]}$ задаст окружность $\text{[math]}$ с центром в точке $\text{[math]}$ радиуса $\text{[math]}$ Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $\text{[math]}$ при каждом из которых окружность $\text{[math]}$ имеет единственную общую точку с объединением окружностей $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$

Из точки $\text{[math]}$ проведём луч $\text{[math]}$ и обозначим $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ точки его пересечения с окружностью $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ лежит между $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$

Так как $\text{[math]}$ то $\text{[math]}$

При $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ окружности $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ не пересекаются. При $\text{[math]}$ окружности $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ имеют две общие точки. При $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ окружности $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ касаются.

Из точки $\text{[math]}$ проведём луч $\text{[math]}$ и обозначим $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ точки его пересечения с окружностью $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ лежит между точками $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ Так как $\text{[math]}$ то $\text{[math]}$

При $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ окружности $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ не пересекаются. При $\text{[math]}$ окружности $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ имеют две общие точки. При $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ окружности $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность $\text{[math]}$ касается ровно одной из двух окружностей $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ и не пересекается с другой. Так как $\text{[math]}$ то условию задачи удовлетворяют только числа $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

Показать решение

Комментарии (1) Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484647. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система $\text{[math]}$ имеет ровно 4 решения.

Показать решение

Комментарии (1) Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484641. Найдите все значения параметра $\text{[math]}$ при каждом из которых система уравнений $\text{[math]}$ имеет ровно четыре решения.

Показать решение

Комментарии (1) Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484642. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений $\text{[math]}$ имеет

а) ровно четыре решения,

б) ровно 8 решений.

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484648. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система $\text{[math]}$ имеет ровно 8 решений.

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484646. Найдите все значения параметра $\text{[math]}$ при каждом из которых система

$\text{[math]}$

имеет ровно $\text{[math]}$ решений.

Аналоги к заданию № 484646: 511316

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484645. Найдите все значения параметра $\text{[math]}$ при каждом из которых система

$\text{[math]}$

имеет единственное решение.

Аналоги к заданию № 484645: 507500

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 09.12.2010 вариант 1. (Часть С)

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484630. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $\text{[math]}$ имеет ровно два решения.

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484632. При каких значениях параметра $\text{[math]}$ система $\text{[math]}$ имеет решения?

Аналоги к заданию № 484632: 511307

Показать решение

Комментарии (1) Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484635. При каких значениях параметра а система $\text{[math]}$ имеет четыре решения?

Аналоги к заданию № 484635: 511310

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484637. При каждом значении а решите систему $\text{[math]}$

Аналоги к заданию № 484637: 511312

Показать решение

Комментарии (2) Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484627. Найдите все значения а, при каждом из которых система

$\text{[math]}$

не имеет решений.

Аналоги к заданию № 484627: 484628 511431

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 19.11.2009 с решениями: вариант 2. (Часть С)

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484629. Известно, что значение параметра а таково, что система уравнений

$\text{[math]}$

имеет единственное решение. Найдите это значение параметра a и решите систему при найденном значении параметра.

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484631. При каких значениях параметра а система $\text{[math]}$ имеет единственное решение?

Аналоги к заданию № 484631: 507481

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484633. При каких значениях параметров а и b система $\text{[math]}$ имеет бесконечно много решений?

Аналоги к заданию № 484633: 511308

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484634. При каких значениях параметра $\text{[math]}$ хотя бы при одном значении параметра с система

$\text{[math]}$

имеет решения для любых значений параметра $\text{[math]}$ ?

Аналоги к заданию № 484634: 511309

Показать решение

Комментарии (1) Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 509096. Найдите все значения а, при каждом из которых система

$\text{[math]}$

имеет единственное решение.

Решение.

Преобразуем первое уравнение системы:

$\text{[math]}$

Эти условия задают «верхнюю» полуокружность с центром в точке (3; 3) радиуса 4. Преобразуем второе уравнение системы:

$\text{[math]}$

Эти условия задают «верхнюю» полуокружность с центром в точке (а; а) радиуса 4. Полуокружности, определяемые уравнениями системы, изображены на рисунке 1, обозначив полуокружности через F и Fa, а их центры — О и Оа.

Данная в условии система имеет единственное решение, если полуокружности F и Fa имеют единственную общую точку. Две «верхние» полуокружности одинакового радиуса либо не имеют общих точек, либо имеют ровно одну общую точку, либо совпадают.

При a = 3 полуокружности F и Fa совпадают, т. е. a = 3 не является искомым.

При a > 3, точка О расположена выше точки Оа. В этом случае полуокружности F и Fa имеют общую точку, если диаметр BC полуокружности Fa имеет общую точку с полуокружностью F. Крайнее положение диаметра BC, при котором он ещё имеет общую точку полуокружностью F является положение на нижнем рисунке, при этом точка Оа имеет координаты (7; 7)., т. е. a = 7. При a > 7 полуокружности F и Fa не имеют общих точек. Таким образом, все значения $\text{[math]}$ являются искомыми.

При a < 3 полуокружность Fa может быть получена параллельным переносом полуокружности F на вектор $\text{[math]}$ где b = a − 3. Если при параллельном переносе полуокружности F на вектор $\text{[math]}$ полученная полуокружность имеет общую точку с F, то это же справедливо и при параллельном переносе полуокружности F на вектор $\text{[math]}$ Поэтому искомое множество значений параметра а симметрично относительно точки a = 3, поэтому $\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

Аналоги к заданию № 509096: 510949

Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 1.

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484636. При каких значениях а системы уравнении $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ равносильны?

Аналоги к заданию № 484636: 511311

Показать решение

Комментарии (1) Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484638. При каждом а решите систему уравнении $\text{[math]}$

Аналоги к заданию № 484638: 511313

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484639. При каких $\text{[math]}$ данная система имеет решения: $\text{[math]}$

Аналоги к заданию № 484639: 511314

Показать решение

Комментарии (1) Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 484640. При каждом а решите систему уравнений

$\text{[math]}$

Показать решение

Комментарии (1) Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 513351. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет более одного решения.

Аналоги к заданию № 513351: 513370

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 20.01.2016 вариант МА10309

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 513610. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна, вариант 101

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 513629. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет ровно два различных решения.

Показать решение

Комментарии (1) Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 513917. При каком значении параметра a система имеет ровно три решения?

$\text{[math]}$

Источник: ЕГЭ по математике — 2016. Досрочная волна, резервный день (часть С).

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 513924. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет ровно три различных решения.

Источник: ЕГЭ по математике — 2016. Досрочная волна, резервный день, вариант А. Ларина (часть С).

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 514030. Найдите все неотрицательные значения a , при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет единственное решение.

Аналоги к заданию № 514030: 514049

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 27.04.2016 вариант МА10509

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 514386. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет более двух решений.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы. Рассмотрим два случая:

1) Если $\text{[math]}$ то получаем уравнение

$\text{[math]}$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке $\text{[math]}$ и радиусом 1.

2) Если $\text{[math]}$ то получаем уравнение

$\text{[math]}$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке $\text{[math]}$ и радиусом $\text{[math]}$ Полученные окружности пересекаются в двух точках $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ лежащих на окружности $\text{[math]}$ поэтому в первом случае получаем дугу $\text{[math]}$ с концами в точках A и B, во втором — дугу $\text{[math]}$ с концами в тех же точках (см. рис.)

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, которая проходит через точку A и угловой коэффициент который равен a.

При $\text{[math]}$ прямая m проходит через точки A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При $\text{[math]}$ прямая m перпендикулярна прямая O₂A, угловой коэффициент который равен $\text{[math]}$ значит, прямая m касается дуги $\text{[math]}$ в точке A и пересекает дугу $\text{[math]}$ в двух точках (одна из которых — точка A), то есть исходная система имеет два решений.

При $\text{[math]}$ прямая m пересекает каждую из дуг $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки B, то есть исходная система имеет три решения.

При $\text{[math]}$ прямая m не пересекает дуги $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ в точках, отличных от точки A, то есть исходная система имеет одно решение.

При $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ прямая m пересекает дугу $\text{[math]}$ в двух точках и не пересекает дугу $\text{[math]}$ в точках, отличных от точки A, то есть исходящая система имеет два решения.

Значит, исходная система имеет более двух решений при $\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2015

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 514387. Найдите все значений a, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет ровно два различных решения.

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2015

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 514388. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет более двух решений.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим четыре случая:

1) Если $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ то получаем уравнение

$\text{[math]}$

Полученное уравнение задаёт пару прямых $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$

2) Если $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ то получаем уравнение

$\text{[math]}$

Полученное уравнение задаёт параболу $\text{[math]}$

3) Если $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ то получаем уравнение

$\text{[math]}$

Полученное уравнение задаёт параболу $\text{[math]}$

4) Если $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ то получаем уравнение

$\text{[math]}$

Полученное уравнение задаёт прямую $\text{[math]}$

Точки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых $\text{[math]}$ и/или $\text{[math]}$ поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением $\text{[math]}$ отрезка AB прямой $\text{[math]}$ дуги $\text{[math]}$ параболы $\text{[math]}$ с концами в точках B и C и дуги $\text{[math]}$ параболы $\text{[math]}$ с концами в точках A и C (см. рис.)

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямую AB или совпадающую с ней.

Заметим, что при a = 0 прямая m касается парабол $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ в точке C.

При a = 1 прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При a = 0 прямая m касается дуг $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ в точке C, пересекает прямую l в точке C и не пересекает отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

При $\text{[math]}$ прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет три решения.

При $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ и отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

Значит, исходная система имеет более двух решений при $\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2015

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 514510. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет ровно два различных решения.

Аналоги к заданию № 514510: 514517

Источник: ЕГЭ — 2016. Досрочная волна. Вариант 201. Юг

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 514524. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет ровно три различных решения.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим три случая.

1) Если $\text{[math]}$ то получаем уравнение

$\text{[math]}$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Q(0; 1) и радиусом 1.

2) Если $\text{[math]}$ то координаты любой точки прямой $\text{[math]}$ удовлетворяют уравнению.

3) Если $\text{[math]}$ то получаем уравнение

$\text{[math]}$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 2.

Таким образом, в первом случае получаем дугу $\text{[math]}$ окружности $\text{[math]}$ с концами в точках O и A(0; 2), во втором — прямую l, задаваемую уравнением x = 0, в третьем — дугу $\text{[math]}$ окружности $\text{[math]}$ с концами в точках A и B(0; −2) (см. рисунок).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении a оно задаёт прямую m, параллельно прямой y = x или совпадающую с ней.

Прямые m проходят через точки B, O и A при $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ соответственно.

При $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ прямые m касаются дуг $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ соответственно.

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении a, имеет одну общую точку с дугой $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ имеет две общие точки с дугой $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ имеет одну общую точку с дугой $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ имеет две общие точки с дугой $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$

Число решений исходной системы равно числу точек пересечений прямой l и дуг $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2016

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 514607. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет ровно четыре различных решения.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим три случая.

1) Если $\text{[math]}$ то получаем уравнение

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Полученное уравнение задаёт параболу $\text{[math]}$

2) Если $\text{[math]}$ то координаты любой точки прямой $\text{[math]}$ удовлетворяют уравнению

3) Если $\text{[math]}$ то получаем уравнение

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Полученное уравнение задаёт параболу $\text{[math]}$

Таким образом, в первом случае мы получаем дугу $\text{[math]}$ параболы $\text{[math]}$ c концом в точке $\text{[math]}$ во втором — прямую l, задаваемую уравнением х = 2, в третьем — дугу $\text{[math]}$ параболы $\text{[math]}$ с концом в точке А (см. рисунок).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении а оно задаёт прямую m, параллельную прямой $\text{[math]}$ или совпадающую с ней. Прямая m проходит через точку А при a = −2.

При $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ прямые m касаются дуг $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ соответственно.

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении а, имеет одну общую точку с дугой $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ имеет две общие точки с дугой $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ имеет одну общую точку с дугой $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ имеет две общие точки с дугой $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ .

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой l и дуг $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно четыре решения при

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Аналоги к заданию № 514607: 514614

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 601 (C часть).

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 514621. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет ровно четыре различных решения.

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 610 (C часть).

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 514628. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет ровно три различных решения.

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2016

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 514635. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет ровно четыре различных решения.

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 608 (C часть).

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке

Задание 18 № 514740. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$\text{[math]}$

имеет ровно три различных решения.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим три случая.

1) Если $\text{[math]}$ то получаем уравнение

$\text{[math]}$

Полученное уравнение задаёт прямую $\text{[math]}$

2) Если $\text{[math]}$ то координаты любой точки прямой $\text{[math]}$ удовлетворяют уравнению.

3) Если $\text{[math]}$ то получаем уравнение

$\text{[math]}$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке $\text{[math]}$ и радиусом 1.

Таким образом, в первом случае мы получаем луч r с началом в точке $\text{[math]}$ во втором — прямую l, задаваемую уравнением $\text{[math]}$ в третьем — дугу $\text{[math]}$ окружности $\text{[math]}$ с концами в точках $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ (см. рисунок).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении a оно задаёт прямую m, которая проходит через точку (−2; 0) и угловой коэффициент которой равен a.

Прямые m проходят через точки B и A при $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ соответственно.

При $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ прямые m касаются дуги $\text{[math]}$

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении a, пересекает луч r при $\text{[math]}$ имеет одну общую точку с дугой $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ имеет две общие точки с дугой $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой l, луча r и дуги ω с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2016

Показать решение

Помощь по заданию Сообщить об ошибке