Произведём замену переменной получим:

Пусть теперь

При t ≥ 0 функция g(t) убывает, принимая все значения от до При t < 0 функция g(t) − возрастает, принимая все значения от до Значит,

Функция f(t) принимает минимальное значение при причём на промежутке (0; +∞) — функция возрастает, принимая все значения от до , а на промежутке (−∞; 0) — убывает (функция чётная), принимая все значения от до

Поскольку наибольшее значение функции и наименьшее значение функции достигается при одном и том же значении , уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда то есть

1) При a ≥ 0 получаем

2) При a < 0 получаем

Ответ:

Разберем случаи раскрытия модулей.

1) , Тогда уравнение примет вид , что невозможно поскольку

2) Тогда уравнение примет вид Заметим, что левая часть — возрастающая функция необходимо и достаточно, чтобы ,

Первое условие дает Второе — , что верно при всех неотрицательных

3), Тогда уравнение примет вид , что невозможно поскольку

4) , Тогда уравнение примет вид Заметим, что левая часть — убывающая функция причем , необходимо и достаточно, чтобы или в зависимости от того, какое из чисел 0 или меньше.

Если и эти числа равны, получаем функцию , положительную на левой полуоси.

Если , то можно рассматривать любые и поэтому нужно чтобы, то есть Однако такие a уже рассматривались и для них корень есть.

Если , то можно рассматривать только и поэтому нужно чтобы то есть что очевидно невозможно при отрицательных a.

Ответ:

Преобразуем уравнение:

Рассмотрим функцию Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение равносильно уравнению Оно имеет более одного корня в тех случаях, когда дискриминант уравнения положителен. То есть когда

Ответ:

Преобразуем уравнение

Рассмотрим функцию Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение равносильно уравнению Оно не имеет корней в тех случаях, когда дискриминант уравнения отрицателен. То есть когда

Ответ:

Преобразуем уравнение

Рассмотрим функцию Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение равносильно уравнению Оно не имеет корней в тех случаях, когда дискриминант уравнения отрицателен. То есть когда

Ответ:

Рассмотрим две функции: и

Функция является кусочно-линейной, причём при угловой коэффициент равен либо −2, либо −8, а при угловой коэффициент равен либо 2, либо 8. Значит, функция f(x) убывает при и возрастает при поэтому

Поскольку получаем:

Если то поэтому неравенство не имеет решений.

Если то пара чисел удовлетворяет неравенству Получаем:

Ответ: [−5; 1].

Рассмотрим функцию Эта функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке

Исходное неравенство имеет вид значит, график функции на отрезке должен находиться в пределах горизонтальной полосы:

Отрезок не должен лежать на участке монотонности функции иначе приращение на отрезке длины будет не меньше поэтому ее график не поместится в полосе ширины следовательно, откуда

Наибольшее значение функции на отрезке достигается либо при , либо при

Наименьшее значение функции на отрезке достигается при Получаем систему:

откуда

Ответ:

Пусть тогда и уравнение принимает вид

Заметим, что уравнение имеет вид для Производная положительна при всех поэтому функция возрастает на всей числовой прямой. Тогда уравнение равносильно уравнению

Вернемся к исходной переменной:

Полученное уравнение, а вместе с них и исходное, не имеет действительных решений, если его дискриминант отрицателен, откуда

Ответ:

Пусть Тогда и уравнение принимает вид

Синус — нечётная функция, поэтому Рассмотрим функцию Тогда уравнение принимает вид Эта функция определена при всех и её производная положительна при всех Следовательно, функция монотонно возрастает на всей числовой прямой. Тогда уравнение равносильно уравнению

Сделаем обратную замену:

Уравнение не имеет действительных решений, если его дискриминант отрицателен: откуда

Ответ:

Решение 1. Положим где так как

Тогда, исходное уравнение принимает вид Найдем множество значений функции на отрезке [0; 2]. Так как на промежутке [0; 2), то функция убывает на отрезке [0; 2], и, следовательно, множество ее значений на отрезке [0; 2] ― отрезок [f (2); f (0)], т.е. отрезок Таким образом, уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда выполняются условия

Решение 2. Положим где так как и рассмотрим функцию Так как ее производная на промежутке [0; 2), то функция убывает на отрезке [0; 2], и, значит, имеет на нем не более одного корня. Этот корень есть тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два условия и Таким образом, приходим к системе

Решение 3 (Указание). Построить эскиз графика функции на отрезке [0; 2] (см. решение 1) и исследовать взаимное расположение графика этой функции и прямой

Ответ:

Решение 1. Перепишем данное уравнение в виде и положим где Тогда исходное уравнение принимает вид

Найдем множество значений функции на отрезке [0; 2].

Так как то на промежутке [0; 1) и промежутке (1; 2]. Значит, функция убывает на отрезке [0; 1] и возрастает на отрезке [1; 2]. Поскольку то множество значений функции на отрезке [0; 2] ― отрезок [f (1); f (2)], т. е. отрезок Таким образом, уравнение не имеет решений на отрезке [0; 2] тогда и только тогда, когда выполняются условия или

Решение 2. Положим где и рассмотрим функцию Так как ее производная то на промежутке [0; 1) и промежутке (1; 2]. Значит, на промежутке [0; 2) функция имеет единственный экстремум ― минимум Так как уравнение не имеет решений на отрезке [0; 2] тогда и только тогда, когда выполняются условия или Таким образом, приходим к совокупности

Решение 3. Построить эскиз графика функции на отрезке [0; 2] (см. решение 1) и исследовать взаимное расположения графика этой функции и прямой

Ответ:

Поскольку и и, значит, левая часть второго уравнения системы не меньше, чем Так как его правая часть не больше оно равносильно системе

из которой находим, что

Первое уравнение имеет целые коэффициенты и, чтобы исходная система имела решение, должна иметь целый корень Так как  — тоже целое число и из равенства получаем, что — нечетный делитель числа 2. Таким образом, он равен 1 или –1.

При находим при находим

Ответ: система имеет решения при

Рассмотрим две функции: и Поскольку получаем:

Функция является кусочно-линейной, причём при угловой коэффициент равен либо 3, либо 9, а при угловой коэффициент равен либо –3, либо –9. Значит, функция возрастает при и убывает при поэтому

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда

Значит, либо

либо

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень при и при и не имеет корней при других значениях

Ответ:

Рассмотрим функцию Она определена при возрастает на области определения и принимает все значения от до Значит, уравнение имеет единственное решение. Это решение принадлежит отрезку тогда и только тогда, когда и Получаем систему неравенств:

Ответ:

Запишем уравнение в виде:

Рассмотрим функцию тогда исходное уравнение записывается в виде Функция f возрастает, так как является суммой двух возрастающих функций. Монотонная функция принимает все свои значения единожды, поэтому получаем:

Функция принимает значения от до а функция монотонно возрастает на отрезке и принимает на нём значения от до Значит, уравнение а с ним и исходное уравнение имеют решение при

Ответ:

Заметим, что

Пусть Ввиду того, что множеством значений выражения при является промежуток Значит, неравенство выполняется для всех действительных значений тогда и только тогда, когда на промежутке выполняется неравенство

Далее имеем:

1) если то неравенство не имеет решений на промежутке так как на этом промежутке оба слагаемых левой части неравенства отрицательны;

2) если , то неравенство равносильно неравенству

Функция должна быть положительна на промежутке значит, ее график должен быть расположен выше интервала оси абсцисс, то есть, должно выполняться условие (см.рисунок). Решая неравенство с учетом условия окончательно получаем

Ответ:

Замечание.

Пункт 2) можно выполнить иначе с помощью следующих рассуждений:

Поскольку вершина параболы имеет координаты функция возрастает на промежутке и, значит, множеством ее значений на этом промежутке является промежуток то есть промежуток Таким образом, неравенство верно для всех из промежутка в том и только в том случае, когда выполняется условие откуда с учетом условия окончательно получаем

Пусть Рассмотрим уравнение Число x = 0 не является корнем этого уравнения ни при каком значении параметра а. Поэтому это уравнение равносильно уравнению

Рассмотрим функцию

и для уравнения определим число корней и их расположение для каждого значения параметра а.

Найдём производную

Отсюда следует, что на промежутках функция убывает, а на промежутке — возрастает. Следовательно, точка x = 1 — точка минимума, а минимум равен 7.

Из полученных свойств функции следует, что при любом значении a данное уравнение имеет ровно один отрицательный корень, и поскольку то при уравнение имеет ровно один корень на отрезке при уравнение не имеет корней на

При a = 7 уравнение имеет единственный корень x = 1 на отрезке

Поскольку то при на отрезке уравнение имеет ровно два корня. При a > 10 уравнение также имеет единственный корень на отрезке

Решим два неравенства и уравнение:

Получим:

Ответ:

Пусть тогда неравенство запишется в виде

Поскольку нам требуется найти все значения a, при которых неравенство выполнено при

Рассмотрим функции и Функция — кусочно-линейная. Угловой коэффициент её звеньев не превосходит 10. Функция — линейная функция с угловым коэффициентом 11. Значит, функция возрастающая. Таким образом, если неравенство выполнено при то оно выполнено при

При неравенство принимает вид

Выражение равно нулю при и больше нуля при других значениях a. Выражение при равно 0, при принимает вид при равно −2. Таким образом, неравенство выполнено при

Ответ:

Заметим, что исходное уравнение можно записать в виде

Рассмотрим функцию

Её производная , значит, функция является возрастающей и каждое свое значение принимает ровно один раз.

Тогда исходное уравнение равносильно квадратному уравнению

которое не имеет корней при

Ответ:

Заметим, что исходное уравнение можно записать в виде

Рассмотрим функцию Её производная , значит, функция является возрастающей и каждое свое значение принимает ровно один раз. Тогда исходное уравнение равносильно квадратному уравнению или , которое не имеет корней при то есть при

Ответ:

Пусть тогда уравнение примет вид: Пусть При t > 0 функция убывает от до При t < 0 функция возрастает от до Поэтому максимальное значение функции

Функция принимает минимальное значение при Причем возрастает на промежутке и убывает на промежутке , принимая значения от до

Чтобы было решение необходимо, чтобы то есть При получаем При решений нет.

Ответ:

Пусть тогда уравнение примет вид:

При левая часть уравнения принимает наименьшее значение

При правая часть уравнения убывает и принимает значения от 12|a| до а при — возрастает, принимая значения от до 12|a| (не включая), то есть наибольшее значение правой части уравнения достигается при и равно 12|a|.

Чтобы уравнение имело решение, наибольшее значение правой части должно быть не меньше наименьшего значения левой части:

Ответ:

Решим вспомогательную противоположную задачу: найдём все , при каждом из которых неравенство

выполнено при любом Заметим далее, что данное неравенство равносильно неравенству

причём функция строго монотонно возрастает на множестве действительных чисел и, следовательно, первоначальное неравенство выполняется для всех тогда и только тогда, когда то есть

Отметим, что при полученное неравенство верно. Если то неравенство равносильно неравенству

Таким образом, существует только одно целое отрицательное значение при котором условие вспомогательной задачи не выполнено. Следовательно, при значении существует такое что неравенство не выполнено.

Ответ: −1.

Решим вспомогательную противоположную задачу: найдём все , при каждом из которых неравенство

выполнено при любом Заметим далее, что данное неравенство равносильно неравенству

причём функция строго монотонно возрастает на множестве действительных чисел и, следовательно, первоначальное неравенство выполняется для всех тогда и только тогда, когда то есть

Отметим, что при полученное неравенство верно. Если то неравенство равносильно неравенству

Таким образом, существует только одно целое отрицательное значение при котором условие вспомогательной задачи не выполнено. Следовательно, при значении существует такое что неравенство не выполнено.

Ответ: −1.

Искомые значения x должны быть среди решений данного уравнения при a = 1, т. е. среди решений уравнения

Пусть некоторое — решение данного уравнения. Тогда равенство при всех a из отрезка выполняется. Следовательно, все значения условию задачи удовлетворяют.

Пусть некоторое — решение данного уравнения. Тогда равенство из отрезка выполняется. Следовательно, все значения условию задачи удовлетворяют.

Ответ:

Уравнение имеет решения при любом a из множества значений функции определённой на отрезке Найдём множество значений функции на данном отрезке.

Вычислим производную: Решим уравнение

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Найдем значение функции на концах отрезка и в точке максимума:

Для вычисления значений синуса и косинуса величины обратимся к рисунку: тангенс отмеченного острого угла прямоугольного треугольника равен 2, синус и косинус этого угла находим как отношение катетов к гипотенузе.

Итак, функция на отрезке возрастает, принимая значения из отрезка а на отрезке убывает, принимая значения из отрезка Поэтому уравнение имеет единственное решение при и

Ответ:

Приведем другое решение.

Преобразуем выражение, задающее функцию путем введения вспомогательного угла:

Заметим, что и так как функция достигает своего максимального значения 1 в нуле, то функция достигает максимума равного в точке Остается найти значения функции на концах отрезка:

Таким образом, функция на отрезке возрастает, принимая значения из отрезка а на отрезке убывает, принимая значения из отрезка Поэтому уравнение имеет единственное решение при и

Приведём ещё одно решение.

Пусть Тогда а уравнение записывается в виде

Введём систему координат zOy и отметим на окружности ω, задаваемой уравнением точки и соответствующие повороту точки с координатами (1; 0) на угол и соответственно (см. рис.). Исходное уравнение имеет единственное решение на отрезке тогда и только тогда, когда прямая l, задаваемая уравнением имеет с меньшей дугой АВ окружности ω единственную общую точку.

Пусть прямая l проходит через точку А при проходит через точку В при и касается окружности ω при Тогда искомыми являются все значения параметра из полуинтервала и

Подставляя координаты точек A и B в уравнение прямой l, находим:

Значение определим следующим образом: касанию прямой и окружности соответствует единственное решение системы уравнений и то есть единственное решение уравнения Приведем его к виду и найдем дискриминант который обращается в нуль при Касанию прямой и окружности в I четверти соответствует положительное значение параметра, тем самым,

Итак: и

Преобразуем данное уравнение:

Так как функция на отрезке принимает каждое свое значение ровно один раз, а только в точке то полученная система имеет на этом отрезке единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение имеет ровно одно решение на промежутке т.е. при или при (см. рисунок).

Ответ: или