СДАМ ГИА






Каталог заданий. Последовательности и прогрессии
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1

Даны n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию

а) Может ли сумма всех дан­ных чисел быть рав­ной 14?

б) Ка­ко­во наи­боль­шее зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел мень­ше 900?

в) Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния n, если сумма всех дан­ных чисел равна 123.

Задание 19 № 501512
2

Каждое из чисел a1, a2, …, a350 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

 

S1 = a1+a2+...+a350,

S2 = a12+a22+...+a3502,

S3 = a13+a23+...+a3503,

S4 = a14+a24+...+a3504.

 

Известно, что S1 = 513.

 

а) Най­ди­те S4, если еще известно, что S2 = 1097, S3 = 3243.

б) Может ли S4 = 4547 ?

в) Пусть S4 = 4745. Най­ди­те все значения, ко­то­рые может при­ни­мать S2.

Задание 19 № 502079

Аналоги к заданию № 502079: 502099



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 19.06.2013. Ос­нов­ная волна, ре­зерв­ный день. Центр. Ва­ри­ант 501.
3

Возрастающая ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия со­сто­ит из раз­лич­ных целых не­от­ри­ца­тель­ных чисел. Ма­те­ма­тик вы­чис­лил раз­ность между квадра- том суммы всех чле­нов про­грес­сии и сум­мой их квадратов. Затем ма­те­ма­тик до­ба­вил к этой про­грес­сии сле­ду­ю­щий её член и снова вы­чис­лил такую же разность.

а) При­ве­ди­те при­мер такой прогрессии, если во вто­рой раз раз­ность ока­за­лась на 48 больше, чем в пер­вый раз.

б) Во вто­рой раз раз­ность ока­за­лась на 1440 больше, чем в пер­вый раз. Могла ли про­грес­сия сна­ча­ла со­сто­ять из 12 членов?

в) Во вто­рой раз раз­ность ока­за­лась на 1440 больше, чем в пер­вый раз. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов могло быть в про­грес­сии сначала?

Задание 19 № 507513


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 12.12.2013 с решениями: ва­ри­ант МА10301 (Часть С).
4

Возрастающая ко­неч­ная арифметическая про­грес­сия состоит из раз­лич­ных целых не­от­ри­ца­тель­ных чисел. Ма­те­ма­тик вычислил раз­ность между квад­ра­том суммы всех чле­нов прогрессии и сум­мой их квадратов. Затем ма­те­ма­тик добавил к этой про­грес­сии следующий её член и снова вы­чис­лил такую же разность.

а) При­ве­ди­те пример такой прогрессии, если во вто­рой раз раз­ность оказалась на 40 больше, чем в пер­вый раз.

б) Во вто­рой раз раз­ность оказалась на 1768 больше, чем в пер­вый раз. Могла ли про­грес­сия сначала со­сто­ять из 13 членов?

в) Во вто­рой раз раз­ность оказалась на 1768 больше, чем в пер­вый раз. Какое наи­боль­шее количество чле­нов могло быть в про­грес­сии сначала?

Задание 19 № 507588


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 12.12.2013 с решениями: ва­ри­ант МА10302 (Часть С).
5

Можно ли при­ве­сти при­мер пяти раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, про­из­ве­де­ние ко­то­рых равно 1008 и

а) пять;

б) четыре;

в) три

из них об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую прогрессию?

Задание 19 № 507626


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 27.09.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)
Решение

6

Все члены гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии — раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа, за­клю­чен­ные между чис­ла­ми 510 и 740.

а) может ли такая про­грес­сия со­сто­ять из че­ты­рех членов?

б) может ли такая про­грес­сия со­сто­ять из пяти членов?

Задание 19 № 507630


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 07.12.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)
7

Натуральные числа об­ра­зу­ют возрастающую ариф­ме­ти­че­скую прогрессию, причём все они боль­ше 500 и яв­ля­ют­ся квадратами на­ту­раль­ных чисел. Най­ди­те наименьшее возможное, при ука­зан­ных условиях, зна­че­ние

Задание 19 № 507744


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 2010 год ва­ри­ант 501. (Часть С)
8

Последние члены двух ко­неч­ных ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий a1 = 5, a2 = 8, ..., aN и b1 = 9, b2 = 14, ..., bM совпадают, а сумма всех сов­па­да­ю­щих (взятых по од­но­му разу) чле­нов этих про­грес­сий равна 815. Най­ди­те число чле­нов в каж­дой прогрессии.

Задание 19 № 507808


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке, но­ябрь 2009 года ва­ри­ант 3. (Часть С)
9

Дана по­сле­до­ва­тель­ность из нескольких на­ту­раль­ных чисел, причём каж­дый сле­ду­ю­щий член от­ли­ча­ет­ся от преды­ду­ще­го либо на 12, либо в 8 раз. Сумма всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти равна 437.

а) Какое наи­мень­шее число чле­нов может быть в этой последовательности?

б) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов может быть в этой последовательности?

Задание 19 № 507829


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 06.03.2013 с решениями: ва­ри­ант 1502 (Часть C).
10

Последовательность a1, a2,..., an,... со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел, причём an + 2 = an + 1 + an при всех на­ту­раль­ных n.

а) Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство 5a5 = 9a4?

б) Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство 5a5 = 7a4?

в) При каком наи­боль­шем на­ту­раль­ном n может вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

Задание 19 № 509932

Аналоги к заданию № 509932: 509585



Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10410.
11

Даны n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию

 

а) Может ли сумма всех дан­ных чисел быть рав­ной 10?

б) Ка­ко­во наи­боль­шее зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел мень­ше 1000?

в) Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния n, если сумма всех дан­ных чисел равна 129.

Задание 19 № 502119

Аналоги к заданию № 502119: 502139 501512



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 23.04.2013. До­сроч­ная волна. Ва­ри­ант 901.
12

Целое число S яв­ля­ет­ся суммой не менее трех по­сле­до­ва­тель­ных членов не­по­сто­ян­ной арифметической прогрессии, со­сто­я­щей из целых чисел.

а) Может ли S рав­нять­ся 8?

б) Может ли S рав­нять­ся 1?

в) Най­ди­те все значения, ко­то­рые может при­ни­мать S.

Задание 19 № 505245

Аналоги к заданию № 505245: 505251



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 08.05.2014. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день. Ва­ри­ант 1.
13

Перед каж­дым из чисел 14, 15, . . ., 20 и 4, 5, . . ., 8 прозволь­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего от каж­до­го из об­ра­зо­вав­ших­ся чисел пер­во­го на­бо­ра от­ни­ма­ют каж­дое из об­ра­зо­вав­ших­ся чисел вто­ро­го набора, а затем все 35 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­тов складывают. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

Задание 19 № 484654

Аналоги к заданию № 484654: 484661 507489

Решение

14

Каждое из чисел 5, 6, . . ., 9 умножают на каждое из чисел 12, 13, . . ., 17 и перед каждым произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 30 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Задание 19 № 484662

Аналоги к заданию № 484662: 484666

15

В воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел каж­дые три по­сле­до­ва­тель­ных члена об­ра­зу­ют либо арифметическую, либо гео­мет­ри­че­скую прогрессию. Пер­вый член по­сле­до­ва­тель­но­сти равен 1, а по­след­ний 2076.

а) может ли в по­сле­до­ва­тель­но­сти быть три члена?

б) может ли в по­сле­до­ва­тель­но­сти быть че­ты­ре члена?

в) может ли в по­сле­до­ва­тель­но­сти быть мень­ше 2076 членов?

Задание 19 № 485960

Аналоги к заданию № 485960: 507487



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 01.03.2012 ва­ри­ант 2. (Часть С)
Решение

16

Рассматриваются ко­неч­ные непостоянные ариф­ме­ти­че­ские прогрессии, со­сто­я­щие из на­ту­раль­ных чисел, ко­то­рые не имеют про­стых делителей, от­лич­ных от 2 и 3.

а) Может ли в этой про­грес­сии быть три числа?

б) Какое наи­боль­шее количество чле­нов может быть в этой прогрессии?

Задание 19 № 500116
17

Число таково, что для лю­бо­го представления в виде суммы по­ло­жи­тель­ных слагаемых, каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит эти сла­га­е­мые можно раз­де­лить на две груп­пы так, что каж­дое слагаемое по­па­да­ет только в одну груп­пу и сумма сла­га­е­мых в каж­дой группе не пре­вос­хо­дит

а) Может ли число быть рав­ным

б) Может ли число быть боль­ше

в) Най­ди­те максимально воз­мож­ное значение

Задание 19 № 500217

Аналоги к заданию № 500217: 500391

18

В ряд вы­пи­са­ны числа: Между ними про­из­воль­ным образом рас­став­ля­ют знаки «» и «» и на­хо­дят получившуюся сумму.

Может ли такая сумма равняться:

а) 12, если ?

б) 0, если ?

в) 0, если ?

г) 5, если ?

Задание 19 № 500412

Аналоги к заданию № 500412: 500432



Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год
19

Найдите все целые зна­че­ния и такие, что

Задание 19 № 484652
Решение

20

Дана последовательность натуральных чисел, причём каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 10, либо в 6 раз. Сумма всех членов последовательности равна 257.

а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности?

б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой последовательности?

Задание 19 № 501049

Аналоги к заданию № 501049: 507486



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 06.03.2013 ва­ри­ант МА1501.
21

Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отлично от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.

 

а) Может ли в такой прогрессии быть десять членов?

 

б) Докажите, что число её членов меньше 100.

 

в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.

 

г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами

Задание 19 № 500971
22

Все члены гео­мет­ри­че­ской прогрессии — раз­лич­ные натуральные числа, за­клю­чен­ные между чис­ла­ми 210 и 350.

а) может ли такая про­грес­сия состоять из че­ты­рех членов?

б) может ли такая про­грес­сия состоять из пяти членов?

Задание 19 № 485939


Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2011 год
23

Можно ли при­ве­сти пример пяти раз­лич­ных натуральных чисел, про­из­ве­де­ние которых равно 1512 и

а) пять;

б) четыре;

в) три

из них об­ра­зу­ют геометрическую прогрессию?

Задание 19 № 485958

Аналоги к заданию № 485958: 507226



Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2011 год
Решение

24

Все члены ко­неч­ной последовательности яв­ля­ют­ся натуральными числами. Каж­дый член этой последовательности, на­чи­ная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз мень­ше предыдущего. Сумма всех чле­нов последовательности равна 3024.

а) Может ли по­сле­до­ва­тель­ность состоять из двух членов?

б) Может ли по­сле­до­ва­тель­ность состоять из трёх членов?

в) Какое наи­боль­шее количество чле­нов может быть в последовательности?

Задание 19 № 505539
Решение

25

Найдите все трой­ки на­ту­раль­ных чисел и удо­вле­тво­ря­ю­щие урав­не­нию где

Задание 19 № 484667
26

Бесконечная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия a1, a2, ..., an, ... со­сто­ит из раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел.

а) Су­ще­ству­ет ли такая прогрессия, в ко­то­рой среди чисел a1, a2, ..., a7 ровно три числа де­лят­ся на 100?

б) Су­ще­ству­ет ли такая прогрессия, в ко­то­рой среди чисел a1, a2, ..., a49 ровно 11 чисел де­лят­ся на 100?

в) Для ка­ко­го наи­боль­ше­го на­ту­раль­но­го n могло ока­зать­ся так, что среди чисел a1, a2, ..., a2n боль­ше крат­ных 100, чем среди чисел a2n + 1, a2n + 2, ..., a5n?

Задание 19 № 513433

Аналоги к заданию № 513433: 513452



Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 03.03.2016 ва­ри­ант МА10409
27

Последовательность состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.

а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.

б) Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 10?

Задание 19 № 514525


Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2016
28

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше .

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно .

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения .

Задание 19 № 514608

Аналоги к заданию № 514608: 514560



Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2016
29

На доске написано 24 числа: восемь «5», восемь «4» и восемь «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше .

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно .

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения .

Задание 19 № 514615


Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Ос­нов­ная волна. Вариант 605 (C часть).
30

Последовательность состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. известно. что M1 = 1, M2 = 2.

а) приведите пример такой последовательности, для которой M3 = 1,5.

б) существует ли такая последовательность, для которой M3 = 3?

в) Найдите наибольшее возможное значение M3.

Задание 19 № 514629

Аналоги к заданию № 514629: 514643



Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Ос­нов­ная волна. Вариант 701 (C часть).
31

Бесконечная арифметическая прогрессия, состоящая из различных натуральных чисел, первый член которой меньше 10, не содержит ни одного числа вида Какое наименьшее значение может принимать сумма первых 10 членов этой прогрессии?

Задание 19 № 514898


Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2011 год
32

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.

а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.

б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?

в) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Задание 19 № 515831


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 10. (Часть C).

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!
общее/сайт/предмет


Рейтинг@Mail.ru
Яндекс.Метрика