а)  Да, может. Числа 2, 3, 4, 5 со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, их сумма равна 14.

б)  Пусть a  — пер­вый член, d  — раз­ность, n  — число чле­нов про­грес­сии, тогда их сумма равна Чтобы ко­ли­че­ство чле­нов было наи­боль­шим, пер­вый член и раз­ность долж­ны быть наи­мень­ши­ми. Пусть они равны 1, тогда по усло­вию Наи­боль­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние этого не­ра­вен­ства n  =  41. Такой ре­зуль­тат по­лу­ча­ет­ся при про­грес­сии

в)  Для суммы чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии имеем:

Таким об­ра­зом, число чле­нов про­грес­сии n яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа 246. Если то левая часть боль­ше 246: сле­до­ва­тель­но, По­сколь­ку по­лу­ча­ем, что или Про­грес­сии из трёх и шести чле­нов с сум­мой 123 су­ще­ству­ют: на­при­мер, 40, 41, 42 и 3, 10, 17, 24, 31, 38.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

а)  

б)   По­сколь­ку число n не может быть равно или быть боль­ше. Число удо­вле­тво­ря­ет усло­вию.

в)    — не удо­вле­тво­ря­ет.

по­это­му имеем   — много есть таких про­грес­сий. Имеем   — есть такая про­грес­сия.

Ответ: а)  да; б)  41; в)  3, 6.

Пусть ко­ли­че­ства еди­ниц, двоек, троек и четвёрок среди a₁, a₂, ..., a₃₅₀ равны m₁, m₂, m₃, m₄ со­от­вет­ствен­но. Тогда

а)  По усло­вию

Зная, что и решая си­сте­му ли­ней­ных, на­хо­дим: m₁  =  282, m₂  =  7, m₃  =  27, m₄  =  34. Зна­чит,

б)  Если где то В по­след­нем ра­вен­стве левая часть крат­на 5, а пра­вая  — нет, по­это­му S₄ не может быть рав­ным 4547.

в)  Если где то Кроме того, по­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Вы­чтем из пер­во­го по­лу­чен­но­го ра­вен­ства вто­рое:

Зна­чит, m₄ де­лит­ся на 5 и может рав­нять­ся толь­ко 0 или 5. При m₄  =  0 по­лу­ча­ем:

от­ку­да

При m₄  =  5 по­лу­ча­ем:

от­ку­да

Ответ: а)  11 285; б)  нет; в)  905 или 917.

а)  Оче­вид­но, что на­чи­ная со вто­рой строч­ки, все числа в таб­ли­це не боль­ше 1000. Кроме того, каж­дое число не боль­ше на­пи­сан­но­го под ним. По­это­му сумма чисел в тре­тьей строч­ке не мень­ше, чем во вто­рой и т. д., и каж­дая из этих сумм не боль­ше мил­ли­о­на. Сле­до­ва­тель­но, по­сколь­ку все время суммы воз­рас­тать не могут, в каких-⁠то со­сед­них строч­ках суммы сов­па­дут, и тогда сов­па­дут и сами строч­ки.

б)  До­ка­жем, что если в m-⁠й строч­ке при число от­лич­но от на­пи­сан­но­го над ним, то оно не мень­ше, чем Дей­стви­тель­но, для это оче­вид­но, по­сколь­ку все числа вто­рой стро­ки на­ту­раль­ные. Пусть это уже про­ве­ре­но для всех строк с но­ме­ра­ми, мень­ши­ми Пусть в -⁠й строч­ке на­пи­са­но число а под ним на­пи­са­но число b, боль­шее Тогда в -⁠й строч­ке на­пи­са­но b чисел, рав­ных Ясно, что в -⁠й строч­ке будет на­пи­са­но не­сколь­ко групп оди­на­ко­вых чисел, по в каж­дой груп­пе, при­чем числа из раз­ных групп раз­лич­ны. От­сю­да вы­те­ка­ет, что b де­лит­ся на то есть Кроме того, по край­ней мере одно из чисел в этих груп­пах от­ли­ча­ет­ся от а зна­чит, по пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции Итак, Наше утвер­жде­ние до­ка­за­но по ин­дук­ции для всех Если пред­по­ло­жить, что 11-⁠я строч­ка от­лич­на от 12-⁠й, то какое-⁠то число в 12-⁠й строч­ке будет боль­ше, чем что не­воз­мож­но.

в)  При­ве­дем такой при­мер:

0, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

1, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

…………………………………………………………….

256, ……………………………., 256, 488, …, 488

1 512, ……………………………., 512, 488, …, 488

В пер­вой строч­ке 0 и 1 встре­ча­ют­ся по од­но­му разу, 2  — два раза, 4  — че­ты­ре раза, 8  — во­семь раз, …, 256  — 256 раз, 488  — встре­ча­ет­ся 488 раз, в 11 строч­ке встре­ча­ет­ся 512 раз число 512 и 488 раз число 488.

а)  На­при­мер, го­дит­ся такая про­грес­сия:

б)  На­при­мер, го­дит­ся такая про­грес­сия:

в)  Ясно, что по­сле­до­ва­тель­ность яв­ля­ет­ся ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей с раз­но­стью Кроме того, каж­дый член такой по­сле­до­ва­тель­но­сти можно со­кра­тить так, чтобы в чис­ли­те­ле была еди­ни­ца. Зна­чит, все они яв­ля­ют­ся чле­на­ми ис­ход­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти.

а)  Закон можно уга­дать, за­ме­тив, на­при­мер, что пока число од­но­знач­ное, оно удва­и­ва­ет­ся, а потом  — нет. А то, что 10 пе­ре­хо­дит в 2, на­во­дит на мысль, что удва­и­ва­ет­ся не само число, а сумма его цифр. Итак, ис­ко­мый закон об­на­ру­жен: «Удво­ен­ная сумма цифр».

б)  Легко за­ме­тить, что од­но­знач­ных чисел, боль­ших нуля, с тре­бу­е­мым свой­ством нет. По­про­бу­ем найти ре­ше­ние среди дву­знач­ных чисел. Если пер­вая цифра дву­знач­но­го числа равна a, а вто­рая равна b, то само число равно 10a + b. Имеем 10a + b  =  2(a + b). От­сю­да 8a  =  b, то есть a  =  1, b  =  8.

Можно по­ка­зать, что дру­гих ре­ше­ний нет: самое ма­лень­кое трёхзнач­ное число  — 100, а самая боль­шая сумма трёх цифр 9 + 9 + 9  =  27, по­это­му удво­ен­ная сумма цифр все­гда мень­ше са­мо­го числа. Так же с че­ты­рех­знач­ны­ми, пя­ти­знач­ны­ми и так далее.

в)  За­ме­тим, что если число не мень­ше, чем трёхзнач­ное, то его сумма цифр мень­ше са­мо­го числа. Зна­чит, число будет умень­шать­ся, пока не ста­нет дву­знач­ным или од­но­знач­ным. Остаётся един­ствен­ная опас­ность: по­пасть в «не­по­движ­ную точку»  — 18. Но это в нашем слу­чае не­воз­мож­но, по­сколь­ку ис­ход­ное число не де­ли­лось на 9, а при дан­ном пре­об­ра­зо­ва­нии числа, не крат­ные 9, не могут пе­рей­ти в числа, крат­ные 9.

Ответ: а)  удво­ен­ная сумма цифр; б)  18.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та в) Кон­стан­ти­на Жит­ни­ко­ва.

В пунк­те а) был най­ден закон пре­об­ра­зо­ва­ния чисел: «Сле­ду­ю­щее число яв­ля­ет­ся удво­ен­ной сум­мой цифр преды­ду­ще­го». Сле­до­ва­тель­но, число 21991 по этому за­ко­ну будет пре­об­ра­зо­ва­но в число 2 · (2 + 1 + 9 + 9 + 1)  =  44, ко­то­рое, в свою оче­редь, будет пре­об­ра­зо­ва­но в число 2 · (4 + 4)  =  16. Число  16 будет пре­об­ра­зо­ва­но в 2 · (1 + 6)  =  14, ко­то­рое будет пре­об­ра­зо­ва­но в 2 · (1 + 4)  =  10, и на­ко­нец по­лу­чим 2 · (1 + 0)  =  2.