СДАМ ГИА






Каталог заданий. Задача на доказательство и вычисление
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задание 14 № 505566

В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5.

а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.

б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.


Аналоги к заданию № 505566: 511411

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Пред­эк­за­ме­на­ци­он­ная ра­бо­та 2014 по математике.
Решение ·

2
Задание 14 № 507887

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 лежит тре­уголь­ник со сто­ро­ной 6. Вы­со­та приз­мы равна 4. Точка N — се­ре­ди­на ребра A1C1.

а) По­строй­те се­че­ние приз­мы плос­ко­стью BAN.

б) Най­ди­те пе­ри­метр этого сечения.


Аналоги к заданию № 507887: 510460

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 21.01.2015 ва­ри­ант МА10109.

3
Задание 14 № 507910

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1лежит тре­уголь­ник со сто­ро­ной 8. Вы­со­та приз­мы равна 3. Точка N — се­ре­ди­на ребра A1C1.

а) По­строй­те се­че­ние приз­мы плос­ко­стью BAN.

б) Най­ди­те пло­щадь этого сечения.

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 21.01.2015 ва­ри­ант МА10110.

4
Задание 14 № 508233

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD, все ребра ко­то­рой равны 4, точка K ― се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра AP.

а) По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плоскостью, про­хо­дя­щей через точку K и па­рал­лель­ной пря­мым PB и BC.

б) Най­ди­те пло­щадь сечения.


Аналоги к заданию № 508233: 511582

Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург 2015. Вариант 1.

5
Задание 14 № 508254

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD, все ребра ко­то­рой равны 6, точка K ― се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра AP.

а) По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плоскостью, про­хо­дя­щей через точку K и па­рал­лель­ной плос­ко­сти BCP.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния пирамиды.

Источник: Проб­ный эк­за­мен Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 2.
Решение ·

6
Задание 14 № 509022

На ребре пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E = 6EA. Точка T — се­ре­ди­на ребра B1C1. Известно, что AD = 12, AA1 = 14.

а) Докажите, что плос­кость ETD1 делит ребро BB1 в от­но­ше­нии 4 : 3.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью ETD1.


Аналоги к заданию № 509022: 509159

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.02.2015 ва­ри­ант МА00409.

7
Задание 14 № 509202

В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 от­ме­че­на точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 построена плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой BD1.

а) Докажите, что A1P : PB1 = 2 : 1, где P — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с реб­ром A1B1.

б) Най­ди­те угол на­кло­на плос­ко­сти α к плос­ко­сти грани BB1C1C.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2015. До­сроч­ная волна, Запад.

8
Задание 14 № 509580

На ребре AA1 пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 5 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 5 : 11, а точка T − се­ре­ди­на ребра B1C1. Известно, что AD = 10, AA1 = 16.

а) Докажите, что плос­кость EFT про­хо­дит через вер­ши­ну D1.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью EFT.

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10409.

9
Задание 14 № 509821

Основанием пря­мой че­ты­рех­уголь­ной приз­мы ABCDA'B'C'D' яв­ля­ет­ся квад­рат ABCD со сто­ро­ной , вы­со­та приз­мы равна . Точка K — се­ре­ди­на ребра BB'. Через точки K и С' про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой BD'.

а) Докажите, что се­че­ние приз­мы плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным треугольником.

б) Най­ди­те пе­ри­метр треугольника, яв­ля­ю­ще­го­ся се­че­ни­ем приз­мы плоско­стью α.


Аналоги к заданию № 509821: 514244

Источник: ЕГЭ по математике — 2015. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день (часть С).

10
Задание 14 № 509927

На ребре AA1 пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 6 : 1, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 3 : 4, а точка T — се­ре­ди­на ребра B1C1. Известно, что AD = 30, AA1 = 35.

а) Докажите, что плос­кость EFT про­хо­дит через вер­ши­ну D1.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью EFT.

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10410.

11
Задание 14 № 509948

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 12, а бо­ко­вое ребро SA равно 13. Точки M и N — се­ре­ди­ны рёбер SA и SB соответственно. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую MN и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пирамиды.

а) Докажите, что плос­кость α делит ме­ди­а­ну CE ос­но­ва­ния в от­но­ше­нии 5 : 1, счи­тая от точки C.

б) Най­ди­те пло­щадь многоугольника, яв­ля­ю­ще­го­ся се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.


Аналоги к заданию № 509948: 511602 510107

Источник: ЕГЭ — 2015 по математике. Ос­нов­ная волна 04.06.2015. Ва­ри­ант 1 (Часть С).

12
Задание 14 № 510019

Все рёбра пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— се­ре­ди­ны рёбер AA1 и A1C1 соответственно.

а) Докажите, что пря­мые BM и MN перпендикулярны.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми BMN и ABB1.


Аналоги к заданию № 510019: 511603

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2016 по математике. Про­филь­ный уровень.
Решение ·

13
Задание 14 № 510051

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит квад­рат со сто­ро­ной а вы­со­та приз­мы равна Точка  лежит на диа­го­на­ли причём

а) По­строй­те се­че­ние приз­мы плос­ко­стью

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью

Источник: Демонстрационная вер­сия ЕГЭ—2015 по математике. Профильный уровень.

14
Задание 14 № 510107

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 24, а бо­ко­вое ребро SA равно 19. Точки M и N — се­ре­ди­ны рёбер SA и SB соответственно. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую MN и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пирамиды.

а) Докажите, что плос­кость α делит ме­ди­а­ну CE ос­но­ва­ния в от­но­ше­нии 5 : 1, счи­тая от точки C.

б) Най­ди­те пло­щадь многоугольника, яв­ля­ю­ще­го­ся се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.


15
Задание 14 № 512357

Все рёбра пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SBCD с вер­ши­ной S равны 9.

Основание O вы­со­ты SO этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка SS1, M — се­ре­ди­на ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.

а) Докажите, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SBCD плос­ко­стью S1LM — рав­нобедренная трапеция.

б) Вы­чис­ли­те длину сред­ней линии этой трапеции.

Источник: СтатГрад: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10211.
Решение ·

16
Задание 14 № 512399

Все рёбра пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SBCD с вер­ши­ной S равны 18.

Основание O вы­со­ты SO этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка SS1, M — се­ре­ди­на ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.

а) Докажите, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SBCD плос­ко­стью S1LM — рав­но­бо­кая трапеция.

б) Вы­чис­ли­те длину сред­ней линии этой трапеции.

Источник: СтатГрад: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10212.

17
Задание 14 № 512993

В пря­моу­голь­ном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 из­вест­ны рёбра AB = 35, AD = 12, CC1 = 21.

а) Докажите, что вы­со­ты треугольников ABD и A1BD, проведённые к сто­ро­не BD, имеют общее основание.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и A1DB.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

18
Задание 14 № 512997

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 7, точка D — середина ребра BB1.

а) Пусть прямые C1D и BC пересекаются в точке E. Докажите, что угол EAC — прямой.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADC1.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

19
Задание 14 № 512998

Дана правильная призма ABCA1B1C1, у которой стороны основания AB = 4, а боковое ребро AA1 = 9. Точка M — середина ребра AC, а на ребре AA1 взята точка T так, что AT = 5.

а) Докажите, что плоскость BB1M делит отрезок C1T пополам.

б) Плоскость BTC1 делит отрезок MB1 на две части. Найдите длину меньшей из них.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Решение ·

20
Задание 14 № 513094

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 12, а бо­ко­вое ребро SA равно 8. Точки M и N — се­ре­ди­ны рёбер SA и SB соответственно. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую MN и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пирамиды.

а) Докажите, что плос­кость α делит ме­ди­а­ну CE ос­но­ва­ния в от­но­ше­нии 5 : 1, счи­тая от точки C.

б) Най­ди­те объём пирамиды, вер­ши­ной ко­то­рой яв­ля­ет­ся точка C, а ос­но­ва­ни­ем — се­че­ние пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016

21
Задание 14 № 513095

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро SA равно Точки M и N — се­ре­ди­ны рёбер SA и SB соответственно. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую MN и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пирамиды.

а) Докажите, что плос­кость α делит ме­ди­а­ну CL ос­но­ва­ния в от­но­ше­нии 5 : 1, счи­тая от точки C.

б) Най­ди­те площадь многоугольника, яв­ля­ю­ще­го­ся сечением пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016

22
Задание 14 № 513096

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро SA равно 4. Точки M и N — се­ре­ди­ны рёбер SA и SB соответственно. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую MN и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пирамиды.

а) Докажите, что плос­кость α делит ме­ди­а­ну CE ос­но­ва­ния в от­но­ше­нии 5 : 1, счи­тая от точки C.

б) Най­ди­те пе­ри­метр многоугольника, яв­ля­ю­ще­го­ся се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016

23
Задание 14 № 513097

В ос­но­ва­нии четырёхугольной пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB = 12 и Длины бо­ко­вых рёбер пи­ра­ми­ды SA = 5, SB = 13, SD = 10.

а) Докажите, что SA — вы­со­та пирамиды.

б) Най­ди­те расстояние от вер­ши­ны A до плос­ко­сти SBC.


Аналоги к заданию № 513097: 509977

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016

24
Задание 14 № 513098

В ос­но­ва­нии четырёхугольной пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB = 4 и BC = 3. Длины бо­ко­вых рёбер пи­ра­ми­ды

а) Докажите, что SA — вы­со­та пирамиды.

б) Най­ди­те угол между пря­мой SC и плос­ко­стью ASB.

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016
Решение ·

25
Задание 14 № 513253

В пи­ра­ми­де SABC в ос­но­ва­нии лежит пра­виль­ный треугольник ABC со сто­ро­ной Точка O — ос­но­ва­ние высоты пирамиды, проведённой из вер­ши­ны S.

а) Докажите, что точка O лежит вне тре­уголь­ни­ка ABC.

б) Най­ди­те объём четырёхугольной пи­ра­ми­ды SABCO.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

26
Задание 14 № 513256

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.

а) Докажите, что плоскости AA1D1 и DB1F1 перпендикулярны.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и DB1F1.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

27
Задание 14 № 513259

Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между этими хордами равно

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

28
Задание 14 № 513264

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

а) Докажите, что прямая BD1 перпендикулярна плоскости ACB1.

б) Найдите угол между плоскостями AD1C1 и A1D1C.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

29
Задание 14 № 513266

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину C, делит апофему грани ASB в отношении 2 : 1, считая от вершины S.

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Решение ·

30
Задание 14 № 513270

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания а боковое ребро AA1 = 5.

а) Найдите длину отрезка A1K, где K — середина ребра BC.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями BCA1 и BB1C1.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

31
Задание 14 № 513273

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

а) Докажите, что прямая B1D перпендикулярна плоскости A1BC1.

б) Найдите угол между плоскостями AB1C1 и A1B1C.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

32
Задание 14 № 513276

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен

а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

33
Задание 14 № 509092

В пи­ра­ми­де DABC прямые, со­дер­жа­щие ребра DC и AB, перпендикулярны.

а) По­строй­те се­че­ние плоскостью, про­хо­дя­щей через точку E — се­ре­ди­ну ребра DB, и па­рал­лель­но DC и AB. Докажите, что по­лу­чив­ше­е­ся се­че­ние яв­ля­ет­ся прямоугольником.

б) Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми этого прямоугольника, если DC = 24, AB =10.


Аналоги к заданию № 509092: 509121 511590

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Ва­ри­ант 1.

34
Задание 14 № 508972

На ребре AA1 пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 4 . Точка T — се­ре­ди­на ребра B1C1. Известно, что AB = 9, AD = 6 , AA1 = 14 .

а) В каком от­но­ше­нии плос­кость ETD1 делит ребро BB1?

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью ETD1 и плос­ко­стью AA1B1.


Аналоги к заданию № 508972: 509001 510149 512336 512378

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10309.
Решение ·

35
Задание 14 № 511106

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S, все рёбра ко­то­рой равны 4, точка N — се­ре­ди­на ребра AC, точка O центр ос­но­ва­ния пирамиды, точка P делит от­ре­зок SO в от­но­ше­нии 3 : 1, счи­тая от вер­ши­ны пирамиды.

а) Докажите, что пря­мая NP пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BS.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до пря­мой NP.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.

36
Задание 14 № 507202

Площадь ос­но­ва­ния пра­виль­ной четырёхугольной пи­ра­ми­ды SABCD равна 64.

а) По­строй­те пря­мую пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти SAC и плоскости, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну S этой пирамиды, се­ре­ди­ну сто­ро­ны АВ и центр основания.

б) Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти этой пирамиды, если пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью SAC равна 64.


37
Задание 14 № 513347

Все рёбра пра­виль­ной четырёхугольной пи­ра­ми­ды SABCD с вер­ши­ной S равны 6. Ос­но­ва­ние вы­со­ты SO этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка SS1, M — се­ре­ди­на ребра AS, точка L лежит на ребре BC так, что BL : LC = 1 : 2.

а) Докажите, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью S1LM — рав­но­бо­кая трапеция.

б) Вы­чис­ли­те длину сред­ней линии этой трапеции.


Аналоги к заданию № 513347: 513366

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 20.01.2016 ва­ри­ант МА10309

38
Задание 14 № 513428

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма АВСА1В1С1, все рёбра ко­то­рой равны 4. Через точки A, С1 и се­ре­ди­ну T ребра А1В1 про­ве­де­на плоскость.

а) Докажите, что се­че­ние приз­мы ука­зан­ной плос­ко­стью яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным треугольником.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ABC.


Аналоги к заданию № 513428: 513447 514187 513625

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 03.03.2016 ва­ри­ант МА10409

39
Задание 14 № 513606

В пра­виль­ной четырёхугольной приз­ме ABCDA1B1C1D1 сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 3, а бо­ко­вое ребро AA1 равно  На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 от­ме­че­ны точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.

а) Пусть L — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти MNK с реб­ром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью MNK.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 28.03.2016. До­сроч­ная волна, ва­ри­ант 101

40
Задание 14 № 513625

В пра­виль­ной четырёхугольной приз­ме ABCDA1B1C1D1 сто­ро­на ос­но­ва­ния AB=6, а бо­ко­вое ребро На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 от­ме­че­ны точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.

а) Пусть L — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти MNK с реб­ром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью MNK.

Решение ·

41
Задание 14 № 513684

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA1B1C1D1 точка K делит бо­ко­вое ребро AA1 в от­но­ше­нии AK : KA1 = 1 : 2. Через точки B и K про­ве­де­на плос­кость па­рал­лель­ная пря­мой AC и пе­ре­се­ка­ю­щая ребро DD1 в точке M.

а) Докажите, что плос­кость делит ребро DD1 в от­но­ше­нии DM : MD1 = 2 : 1.

б) Най­ди­те пло­щадь сечения, если известно, что AB = 4, AA1 = 6.

Источник: Пробный эк­за­мен по про­филь­ной математике Санкт-Петербург 05.04.2016. Ва­ри­ант 1.
Решение ·

42
Задание 14 № 513714

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме KLMNK1L1M1N1 точка E делит бо­ко­вое ребро KK1 в от­но­ше­нии KE : EK1 = 1 : 3. Через точки L и E про­ве­де­на плос­кость па­рал­лель­ная пря­мой KM и пе­ре­се­ка­ю­щая ребро NN1 в точке F.

а) Докажите, что плос­кость делит ребро NN1 пополам.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью и плос­ко­стью грани KLMN, если известно, что KL = 6 , KK1 = 4 .

Источник: Проб­ный эк­за­мен по про­филь­ной ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 05.04.2016. Ва­ри­ант 2.

43
Задание 14 № 513920

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ABCD дву­гран­ные углы при рёбрах AD и BC равны AB = BD = DC = AC = 5.

а) Докажите, что AD = BC.

б) Най­ди­те объем пирамиды, если дву­гран­ные углы при AD и BC равны 60°.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2016. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).

44
Задание 14 № 514026

В одном ос­но­ва­нии пря­мо­го кру­го­во­го ци­лин­дра с вы­со­той 12 и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния 6 про­ве­де­на хорда AB, рав­ная ра­ди­у­су основания, а в дру­гом его ос­но­ва­нии проведён диа­метр CD, пер­пен­ди­ку­ляр­ный AB. По­стро­е­но се­че­ние ABNM, про­хо­дя­щее через пря­мую AB пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой CD так, что точка C и центр ос­но­ва­ния цилиндра, в ко­то­ром проведён диа­метр CD, лежат с одной сто­ро­ны от сечения.

а) Докажите, что диа­го­на­ли этого се­че­ния равны между собой.

б) Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды CABNM.


Аналоги к заданию № 514026: 514045 517181 517219

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 27.04.2016 ва­ри­ант МА10509

45
Задание 14 № 514243

В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 7. На его ребре BB1 от­ме­че­на точка K так. что KB = 4. Через точки K и C1 про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой BD1.

а) Докажите, что A1P : PB1 = 1 : 3, где P — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с реб­ром A1B1.

б) Най­ди­те объём боль­шей из двух ча­стей куба, на ко­то­рые он де­лит­ся плос­ко­стью α.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2015

46
Задание 14 № 514245

В пра­виль­ной четырёхугольной пи­ра­ми­де SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R со­от­вет­ств­енно так, что PA = AQ = RC = 2.

а) Докажите, что плос­кость PQR пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру SD.

б) Най­ди­те расстояние от вер­ши­ны D до плос­ко­сти PQR.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2015
Решение ·

47
Задание 14 № 514447

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК = 1. Точки М и L — середины рёбер А1С1 и В1С1 соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ;

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости γ.


Аналоги к заданию № 514447: 514541

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016

48
Задание 14 № 514474

В правильной четырёхугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно . На ребрах BC и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C1L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости γ;

б) Найдите расстояние от точки B1 до плоскости γ.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016

49
Задание 14 № 514480

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 4 и AK = 3.

а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.

б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016

50
Задание 14 № 514506

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1.

а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.


Аналоги к заданию № 514506: 514513

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016

51
Задание 14 № 514520

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT — высота пирамиды NSCD с вершиной N и основанием SCD.

а) Докажите, что точка T является серединой SM.

б) Найдите расстояние между NT и SC.


Аналоги к заданию № 514520: 514555

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016

52
Задание 14 № 514527

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 12, а боковое ребро AA1 равно На рёбрах AB и B1C1 отмечены точки K и L, соответственно, причём AK = 2, а B1L = 4. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость γ параллельна ребру AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016

53
Задание 14 № 514534

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 12, а боковое ребро AA1 равно На рёбрах AB и B1C1 отмечены точки K и L, соответственно, причём AK = B1L = 3. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость γ параллельна ребру AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.

Источник: ЕГЭ — 2016 по математике. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Вариант 3 (C часть)

54
Задание 14 № 514561

Есть правильная треугольная призма ABCA1B1C1 со стороной основания 12 и высотой 3. Точка K — середина BC, точка L лежит на стороне A1B1 так, что В1L = 5. Точка М — середина A1C1.

Через точки K и L проведена плоскость таким образом, что она параллельна прямой AC.

а) Доказать, что указанная выше плоскость перпендикулярна прямой MB.

б) Найти объем пирамиды с вершиной в точке В и у которой основанием является сечение призмы плоскостью.

Источник: ЕГЭ — 2016. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Центр

55
Задание 14 № 514603

На рёбрах CD и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 12 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP = 4, а B1Q = 3. Плоскость APQ пересекает ребро CC1 в точке М.

а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC1.

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016
Решение ·

56
Задание 14 № 514617

На рёбрах DD1 и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 8 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP = 7, а B1Q = 3. Плоскость A1PQ пересекает ребро CC1 в точке М.

а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC1.

б) Найдите расстояние от точки С1 до плоскости A1PQ.


Аналоги к заданию № 514617: 514631

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016

57
Задание 14 № 514624

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах B1C1 и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём PC1 = 3, а AQ = 4. Плоскость A1PQ пересекает ребро BC в точке M.

а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости A1PQ.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016

58
Задание 14 № 514653

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA1 равно На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C1L = 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016
Решение ·

59
Задание 14 № 514654

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 4, BC = 3, AA1 = 2. Точки P и Q — середины рёбер A1B1 и CC1 соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B1C1 в точке U.

а) Докажите, что B1U : UC1 = 2 : 1.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью APQ.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016

60
Задание 14 № 514655

В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AC = 4, BC = 16, Точка Q — середина ребра A1B1, а точка P делит ребро B1C1 в отношении 1 : 2, считая от вершины C1. Плоскость APQ пересекает ребро CC1 в точке M.

а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC1.

б) Найдите расстояние от точки A1 до плоскости APQ.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016
Решение ·

61
Задание 14 № 514721

Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.

б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

62
Задание 14 № 514722

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания а боковое ребро AA1 = 8.

а) Докажите, что плоскость BCA1 перпендикулярна плоскости проходящей через ребро AA1 и середину ребра B1C1.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями BCA1 и BB1C1.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

63
Задание 14 № 514723

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен

а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

64
Задание 14 № 515826

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды 144.

а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45°.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 10. (Часть C).

65
Задание 14 № 515920

В ос­но­ва­нии четырёхугольной пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB = 8 и BC = 6. Длины бо­ко­вых рёбер пи­ра­ми­ды

а) Докажите, что SA — вы­со­та пирамиды.

б) Най­ди­те угол между пря­мыми SC и BD.

Источник: Задания для школы экспертов. Математика. 2016 год.
Решение ·

66
Задание 14 № 516761

В параллелепипеде точка M середина ребра C1D1, а точка K делит ребро AA1 в отношении Через точки K и M проведена плоскость α, параллельная прямой BD и пересекающая диагональ A1C в точке O.

а) Докажите, что плоскость α делит диагональ A1C в отношении

б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (АВС), если дополнительно известно, что ― куб.

Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1.

67
Задание 14 № 516780

В параллелепипеде точка F середина ребра AB, а точка E делит ребро DD1 в отношении Через точки F и E проведена плоскость параллельная прямой AC и пересекающая диагональ B1D в точке О.

а) Докажите, что плоскость делит диагональ DB1 в отношении

б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью (АВС), если дополнительно известно, что ― правильная четырехугольная призма, сторона основания которой равна 4, а высота равна 7.

Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2.

68
Задание 14 № 516799

Сечением прямоугольного параллелепипеда плоскостью содержащей прямую и параллельной прямой AC, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями и если

Источник: ЕГЭ по математике 31.03.2017. Досрочная волна.

69
Задание 14 № 517200

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB =  4 и диагональю BD =  7 .Все боковые рёбра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF =  BE = 3.

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB .

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.


Аналоги к заданию № 517200: 517238

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа 21.04.2017 вариант МА10709

70
Задание 14 № 517263

Длина диагонали куба ABCDA1B1C1D1 равна 3. На луче A1C отмечена точка P так, что A1P = 4.

а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.

б) Найдите длину отрезка AP.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2017. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).

71
Задание 14 № 517446

На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.

а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в плоскости.

б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.


Аналоги к заданию № 517446: 517439 517453 517551

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

72
Задание 14 № 517460

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые и перпендикулярны.

а) Докажите, что

б) Найдите расстояние между прямыми и если


Аналоги к заданию № 517460: 517467

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

73
Задание 14 № 517477

В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 12.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите объём пирамиды SABC.

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

74
Задание 14 № 517484

В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 4.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите объём пирамиды SABC.

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

75
Задание 14 № 517500

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA1D1D и CC1D1D соответственно.

а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.

б) Найдите объём B1KLM.

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

76
Задание 14 № 517514

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней и равны 15 и 9 соответственно,

а) Докажите, что треугольник прямоугольный.

б) Найдите объём пирамиды

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

77
Задание 14 № 517541

SABCD — правильная пирамида с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q середина ребра BC.

а) Доказать, что сечение пирамиды плоскостью MQP — равнобедренная трапеция.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

78
Задание 14 № 517544

Дана пирамида PABCD, в основании — трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.

а) Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PCD.

б) Найдите объём PKBC, если AB = BC = CD = 2, а высота равна 12.


Аналоги к заданию № 517544: 517542

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

79
Задание 14 № 517558

Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна Выста пирамиды проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.

а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.

б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8.

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

80
Задание 14 № 517561

Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна , а BC равна 6. Выста пирамиды проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.

а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.

б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 9.

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

81
Задание 14 № 517563

Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC1A1 является квадратом.

а) Докажите, что прямые CA1 и AB1 перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 4, BC = 7.

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

82
Задание 14 № 517738

В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 13, PB = 15, Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды PABC.


Аналоги к заданию № 517738: 517748

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Вариант 501 (C часть).

83
Задание 14 № 517752

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 5. На ребрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что

а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.

б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Вариант 992 (C часть).

84
Задание 14 № 517830

Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, AB = AA1.

а) Докажите, что прямые A1C и BD перпендикулярны.

б) Найдите объем призмы, если A1C = BD = 2.

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Восток (C часть).

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте · Редакция

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!