Объёмы многогранников
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно 
а ребро основания равно 1. Точка D — середина ребра BB1.
а) Докажите, что расстояние между прямыми 
и 
равно расстоянию между точкой A и плоскостью 
б) Найдите объём пятигранника ABCA1D.
то есть высоте CM треугольника ABC. Расстояние же между точкой A и плоскостью 
равно высоте того же треугольника ABC, проведенной из вершины A. Осталось заметить, что треугольник ABC равносторонний, поэтому его высоты равны.
Тогда 
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, поскольку в правильной призме 
и, значит, 
Пятигранник 
— четырехугольная пирамида с вершиной в точке C и основанием 
— прямоугольной трапецией. Высота пирамиды 
Площадь основания равна
Правильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях, 
Точка P — середина AM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 3 : 1.
а) Докажите, что плоскость CPT делит высоту MD треугольника AMB в отношении 1 : 2, считая от точки M.
б) Вычислите объём пирамиды MPTC.
высоты правильного треугольника PMF. Отсюда ME составляет 
высоты правильного треугольника AMB. А это и требовалось доказать.
и 
откуда
Следовательно,
Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, BC = 8. Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 1 : 3.
а) Докажите, что 
б) Вычислите объём пирамиды MPTA.
Тогда, записывая теорему косинусов для сторон CT и BP этих треугольников, получаем искомое неравенство.
Следовательно,
где D — середина 
кроме того, 
(поскольку по условию 
). Таким образом, 
то есть является высотой пирамиды MPTA. Находим площадь треугольника MPT:
следовательно,
тогда 
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.
тогда 
или в соотношении 5 : 1, начиная от точки C. Что и требовалось доказать.
Медиану СЕ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCE:
отрезок 
(поскольку это средняя линия треугольника ABS), высота трапеции 
Найдем высоту SO из прямоугольного треугольника SOC:
В пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник ABC со стороной 
Точка O — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.
а) Докажите, что точка O лежит вне треугольника ABC.
б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO.
Следовательно, 
и 
При этом 
поэтому точка O лежит вне треугольника. Более того, поскольку AO < BO, она лежит на продолжении BM за точку M.
Теперь из треугольника SMO находим 
Тогда из треугольника BOS имеем:
и
По теореме Пифагора 
Напишем теорему косинусов для треугольника BMS: 
тупой и высота SO лежит вне треугольника.
Пройти тестирование по этим заданиям