В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ бо­ко­вое ребро равно а ребро ос­но­ва­ния равно 1. Точка  D  — се­ре­ди­на ребра  BB₁.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между пря­мы­ми и равно рас­сто­я­нию между точ­кой A и плос­ко­стью

б)  Най­ди­те объём пя­ти­гран­ни­ка ABCA₁D.

Пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки ABC и ABM лежат в пер­пен­ди­ку­ляр­ных плос­ко­стях, Точка P  — се­ре­ди­на AM, а точка T делит от­ре­зок BM так, что BT : TM  =  3 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CPT делит вы­со­ту MD тре­уголь­ни­ка AMB в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от точки M.

б)  Вы­чис­ли­те объём пи­ра­ми­ды MPTC.

Пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки ABC и MBC лежат в пер­пен­ди­ку­ляр­ных плос­ко­стях, BC  =  8. Точка P  — се­ре­ди­на CM, а точка T делит от­ре­зок BM так, что BT : TM  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Вы­чис­ли­те объём пи­ра­ми­ды MPTA.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 12, а бо­ко­вое ребро SA равно 8. Точки M и N  — се­ре­ди­ны рёбер SA и SB со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую MN и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ме­ди­а­ну CE ос­но­ва­ния в от­но­ше­нии 5 : 1, счи­тая от точки C.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды, вер­ши­ной ко­то­рой яв­ля­ет­ся точка C, а ос­но­ва­ни­ем  — се­че­ние пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.

В пи­ра­ми­де SABC в ос­но­ва­нии лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC со сто­ро­ной Точка O  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды, про­ведённой из вер­ши­ны S.

а)  До­ка­жи­те, что точка O лежит вне тре­уголь­ни­ка ABC.

б)  Най­ди­те объём четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCO.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ за­да­ны длины ребер AD  =  12, AB  =  5, AA₁  =  8.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость делит объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да в от­но­ше­нии 1 : 5.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды MB₁C₁D, если M  — точка на ребре AA₁, при­чем AM  =  5.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ABCD дву­гран­ные углы при рёбрах AD и BC равны. AB  =  BD  =  DC  =  AC  =  5.

а)  До­ка­жи­те, что AD  =  BC.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, если дву­гран­ные углы при AD и BC равны 60°.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 6. На рёбрах AA₁ и CC₁ от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  2, CN  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MNB₁ раз­би­ва­ет приз­му на два мно­го­гран­ни­ка, объёмы ко­то­рых равны.

б)  Най­ди­те объём тет­ра­эд­ра MNBB₁.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁ со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 12 и вы­со­той 3. Точка K  — се­ре­ди­на BC, точка  L лежит на сто­ро­не A₁B₁ так, что В₁L  =  5. Точка М  — се­ре­ди­на A₁C₁. Через точки K и L про­ве­де­на плос­кость таким об­ра­зом, что она па­рал­лель­на пря­мой  AC.

а)  До­ка­жи­те, что ука­зан­ная выше плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой MB.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной в точке В, у ко­то­рой ос­но­ва­ни­ем яв­ля­ет­ся се­че­ние приз­мы плос­ко­стью.

На рёбрах AB и BC тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCD от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM : BM  =  CN : NB  =  1 : 2. Точки P и Q  — се­ре­ди­ны ребер DA и DC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что P, Q, M и N лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Найти от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость PQM раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC из­вест­ны бо­ко­вые рёбра: SA = SB =13, Ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­на ме­ди­а­ны CM тре­уголь­ни­ка ABC. Эта вы­со­та равна 12.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды SABC.

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 6. Точки K, L и M  — цен­тры гра­ней ABCD, AA₁D₁D и CC₁D₁D со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что B₁KLM  — пра­виль­ная пи­ра­ми­да.

б)  Най­ди­те объём B₁KLM.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Диа­го­на­ли бо­ко­вых гра­ней и равны 15 и 9 со­от­вет­ствен­но,

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды

Дана пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да SABCD с вер­ши­ной S. Точка M рас­по­ло­же­на на SD так, что SM : SD  =  2 : 3. P  — се­ре­ди­на ребра AD, а Q  — се­ре­ди­на ребра BC.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью MQP  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость MQP раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

Дана пи­ра­ми­да PABCD, в ос­но­ва­нии  — тра­пе­ция ABCD с боль­шим ос­но­ва­ни­ем AD. Из­вест­но, что сумма углов BAD и ADC равна 90°, а плос­ко­сти PAB и PCD пер­пен­ди­ку­ляр­ны ос­но­ва­нию, пря­мые AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K.

а)  До­ка­зать, что плос­кость PAB пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти PCD.

б)  Най­ди­те объём PKBC, если AB  =  BC  =  CD  =  2, а PK  =  12.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де PABC с ос­но­ва­ни­ем ABC из­вест­но, что AB  =  13, PB  =  15, Ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся точка C. Пря­мые PA и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды PABC.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой че­ты­рех­уголь­ной приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ яв­ля­ет­ся ромб ABCD, AB  =  AA₁.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые A₁C и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те объем приз­мы, если A₁C  =  BD  =  2.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна бо­ко­во­му ребру SA. Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка  SBC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Точка N  — се­ре­ди­на AM. Най­ди­те SN, если

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро SA равно 5. На рёбрах AB и SC от­ме­че­ны точки K и M со­от­вет­ствен­но, причём AK : KB  =  SM : MC  =  5 : 1. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую KM и па­рал­лель­на SA.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α   — пря­мо­уголь­ник.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды, вер­ши­ной ко­то­рой яв­ля­ет­ся точка A, а ос­но­ва­ни­ем  — се­че­ние пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF бо­ко­вое ребро SA  =  14, а сто­ро­на AB  =  8. Точка М се­ре­ди­на сто­ро­ны AB Плос­кость α про­хо­дит через точки M и D и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC. Пря­мая SC пе­ре­се­ка­ет плос­кость α в точке K.

a) До­ка­жи­те, что MK  =  KD.

б) Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды MCDK.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  4, а бо­ко­вое ребро SA  =  7. На рёбрах AB и SB от­ме­че­ны точки M и K со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  SK  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CKM пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды BCKM.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да SABC, M  — се­ре­ди­на AB, N  — се­ре­ди­на CS.

а)  До­ка­жи­те, что про­ек­ции от­рез­ков MN и AS на плос­кость ABC равны.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды SABC, если AS  =  8, MN  =  5.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  4, а бо­ко­вое ребро SA  =  7. Точка  M лежит на ребре BC, при­чем BM  =  1, точка K лежит на ребре SC, при­чем SK  =  4.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MKD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды CDKM.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  7, а бо­ко­вое ребро SA  =  10. Точка  M лежит на ребре BC, при­чем BM  =  4, точка K лежит на ребре SC, при­чем SK  =  7.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MKD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды CDKM.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁ в ко­то­рой AB  =  6 и AA₁  =  3. Точки O и O₁ яв­ля­ют­ся цен­тра­ми окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков ABC и A₁B₁C₁ cот­вет­ствен­но. На ребре CC₁ от­ме­че­на точка M такая, что CM  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая OO₁ со­дер­жит точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABM.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды ABMC₁.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  8, а бо­ко­вое ребро SA  =  7. На рёбрах AB и SB от­ме­че­ны точки M и K со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  2, SK  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CKM пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды BCKM.

Две бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит ромб, пер­пен­ди­ку­ляр­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния.

а)  До­ка­жи­те, что две дру­гие бо­ко­вые грани об­ра­зу­ют рав­ные дву­гран­ные углы с плос­ко­стью ос­но­ва­ния.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, если бо­ко­вые грани, пер­пен­ди­ку­ляр­ные к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, об­ра­зу­ют дву­гран­ный угол 120°, а бо­ко­вая грань, со­став­ля­ю­щая с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол в 30°, имеет пло­щадь 36 см².

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да SABC, сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  16, вы­со­та SH  =  10, точка K  — се­ре­ди­на AS. Плос­кость, про­хо­дя­щая через точку K и па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды, пе­ре­се­ка­ет ребра SB и SC в точ­ках Q и P со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь PQBС от­но­сит­ся к пло­ща­ди как 3 : 4.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды KBQPC.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы PQRP₁Q₁R₁ яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник PQR с пря­мым углом R. Диа­го­на­ли бо­ко­вых гра­ней PP₁Q₁Q и PP₁R₁R равны 17 и 15 со­от­вет­ствен­но, PQ  =  10.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник P₁QR пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды P₁QRR₁.

Дана тре­уголь­ная пи­ра­ми­да SABC. Ос­но­ва­ние вы­со­ты SO этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка CH  — вы­со­ты тре­уголь­ни­ка  ABC.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды SABC, если

Раз­лич­ные точки A, B и C лежат на окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S так, что от­ре­зок AB яв­ля­ет­ся её диа­мет­ром. Угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен 60°.

a) До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те объем тет­ра­эд­ра SABC, если и

В ос­но­ва­нии че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды PABCD лежит тра­пе­ция ABCD c боль­шим ос­но­ва­ни­ем AD. Из­вест­но, что сумма углов BAD и ADC равна 90°, плос­ко­сти PAB и PCD пер­пен­ди­ку­ляр­ны ос­но­ва­нию, пря­мые AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость PAB пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти PDC.

б)  Най­ди­те объем PKBC, если AB  =  3, BC  =  5, CD  =  4, а вы­со­та пи­ра­ми­ды PABCD равна 7.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD из точки B опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр BH на плос­кость  SAD.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды, если и HC  =  4.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁, сто­ро­на AB ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 32, а бо­ко­вое ребро BB₁ равно На рёбрах AB и В₁C₁ от­ме­че­ны точки K и L со­от­вет­ствен­но, причём AK  =  2, B₁L  =  28. Точка М  — се­ре­ди­на ребра A₁C₁. Плос­кость γ про­хо­дит через точки K и L и па­рал­лель­на пря­мой AC.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость γ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой MB.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды, вер­ши­ной ко­то­рой яв­ля­ет­ся точка M, а ос­но­ва­ни­ем  — се­че­ние дан­ной приз­мы плос­ко­стью γ.

Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем угол 45°, сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 4. Через сред­нюю линию тре­уголь­ни­ка АВD, не пе­ре­се­ка­ю­щую BD, и се­ре­ди­ну вы­со­ты пи­ра­ми­ды про­ве­де­на плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру SC.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды SKLM, где K, L и M  — точки пе­ре­се­че­ния α со­от­вет­ствен­но с реб­ра­ми SB, SD и SC.

Точка М  — се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра SC пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD, точка N лежит на сто­ро­не ос­но­ва­ния ВС. Плос­кость α про­хо­дит через точки М и N па­рал­лель­но бо­ко­во­му ребру SA.

а)  Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребро DS в точке L. До­ка­жи­те, что

б)  Пусть Най­ди­те от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость α раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ на диа­го­на­ли BD₁ от­ме­че­на точка N так, что Точка O  — се­ре­ди­на от­рез­ка CB₁.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая NO про­хо­дит через точку A.

б)  Най­ди­те объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁, если длина от­рез­ка NO равна рас­сто­я­нию между пря­мы­ми BD₁ и CB₁ и равна

На сфере α вы­бра­ли пять точек: A, B, C, D и S. Из­вест­но, что AB  =  BC  =  CD  =  DA  =  4, SA  =  SB  =  SC  =  SD  =  7.

а)  До­ка­жи­те, что мно­го­гран­ник SABCD  — пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да.

б)  Най­ди­те объём мно­го­гран­ни­ка SABCD.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  4, а бо­ко­вое ребро SA  =  7. Точка M лежит на ребре BC, при­чем BM  =  1, точка K лежит на ребре SC, при­чем SK  =  4.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MKD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды CDKM.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де МАВС дву­гран­ный угол при ос­но­ва­нии paвeн Через точку К ребра МС и вер­ши­ны А и В про­хо­дит плос­кость α так, что пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α от­но­сит­ся к пло­ща­ди ос­но­ва­ния как

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая МС пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды МАВК, если объем пи­ра­ми­ды МАВС равен

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 16, вы­со­та SH равна 10. Точка K  — се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра SA. Плос­кость, па­рал­лель­ная плос­ко­сти ABC, про­хо­дит через точку K и пе­ре­се­ка­ет ребра SB и SC в точ­ках Q и P со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ВСРQ со­став­ля­ет пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка SBC.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды КBCPQ.

Точка F  — се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра SA пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD, точка М лежит на сто­ро­не ос­но­ва­ния AB. Плос­кость β про­хо­дит через точки F и М па­рал­лель­но бо­ко­во­му ребру SC.

а)  Плос­кость β пе­ре­се­ка­ет ребро SD в точке К. До­ка­жи­те, что

б)  Пусть Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость β раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро AA₁ равно На ребре DD₁ от­ме­че­на точка M так, что Плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой A₁F₁ и про­хо­дит через точки M и B.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ плос­ко­стью α   — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды, вер­ши­ной ко­то­рой яв­ля­ет­ся точка A₁, а ос­но­ва­ни­ем  — се­че­ние приз­мы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ плос­ко­стью α.

Дан тет­ра­эдр ABCD. Точки K, L, M и N лежат на реб­рах AC, AD, DB и BC со­от­вет­ствен­но, так, что че­ты­рех­уголь­ник KLMN  — квад­рат, и AK : KC  =  3 : 7.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды CKLMN, если объём тет­ра­эд­ра ABCD равен 100.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит па­рал­ле­ло­грамм ABCD. На бо­ко­вых рёбрах SA, SC и SD от­ме­че­ны точки K, L и M со­от­вет­ствен­но так, что SK : KA  =  SL : LC  =  2 : 1 и SM  =  MD.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KML со­дер­жит точку B.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды BAKMD, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 18, а вы­со­та пи­ра­ми­ды SABCD равна 7.

В ос­но­ва­нии че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD, в ко­то­рой а ос­но­ва­ние AD вдвое боль­ше ос­но­ва­ния BC. Точки P, T, M  — се­ре­ди­ны ребер SB, BC, AB со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что ребро SA пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, SA  =  AB.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые PT и CD вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды DMPT, если AB  =  4.

В n-уголь­ной пи­ра­ми­де SA₁A₂...A_n с вер­ши­ной S тан­генс дву­гран­но­го угла при каж­дом ребре ос­но­ва­ния равен 0,75.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды от­но­сит­ся к пло­ща­ди ос­но­ва­ния как 9 : 4.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды, если в ос­но­ва­нии лежит ромб, диа­го­на­ли ко­то­ро­го от­но­сят­ся как 2 : 3, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна 20.

Грани ABD и ACD тет­ра­эд­ра ABCD яв­ля­ют­ся пра­виль­ны­ми тре­уголь­ни­ка­ми со сто­ро­ной 4 и пер­пен­ди­ку­ляр­ны друг другу. Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру CD и пе­ре­се­ка­ет рёбра AB и CD в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но, причём

а)  До­ка­жи­те, что K  — се­ре­ди­на ребра AB.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра плос­ко­стью α.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды SABC  — пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом при вер­ши­не C. Ребро SA яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды. Точки E и F лежат на рёбрах AC и BS со­от­вет­ствен­но так, что Плос­кость α про­хо­дит через точки E и F пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой AC и пе­ре­се­ка­ет рёбра AB и CS в точ­ках H и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те объём мно­го­гран­ни­ка BCMEHF, если объём пи­ра­ми­ды SABC равен 216.

В пра­виль­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S на сто­ро­не ос­но­ва­ния AC и бо­ко­вом ребре SB от­ме­ти­ли со­от­вет­ствен­но точки E и N такие, что AE : EC  =  SN : NB  =  1 : 2. Через точки E и N па­рал­лель­но пря­мой AB про­ве­ли плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Плос­кость α раз­де­ли­ла пи­ра­ми­ду SABC на два мно­го­гран­ни­ка. Най­ди­те объем того из них, в ко­то­ром одной из вер­шин яв­ля­ет­ся точка А, если AB  =  6,

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ ос­но­ва­ние ABCD яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком со сто­ро­на­ми 6 и 8, диа­го­на­ли ко­то­ро­го пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Плос­кость, со­дер­жа­щая диа­го­наль AC и па­рал­лель­ная пря­мой B₁D, пе­ре­се­ка­ет ребро BB₁ в точке K. Угол между плос­ко­стя­ми ABC и ACK равен 45°.

а)  До­ка­жи­те, что угол KOB мень­ше 45°.

б)  Най­ди­те объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ на реб­рах BB₁ и CC₁ от­ме­че­ны точки M, N со­от­вет­ствен­но такие, что BM : MB₁  =  2 : 5, BM : NC₁  =  2 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что BD па­рал­лель­на плос­ко­сти АМN.

б)  Най­ди­те мень­ший из объёмов, на ко­то­рые плос­кость ABN делит объем приз­мы, если AA₁  =  14, AD  =  3.

Плос­кость α, со­дер­жа­щая диа­го­наль BD грани куба ABCDA₁B₁C₁D₁, пе­ре­се­ка­ет ребро B₁C₁ и делит пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти куба в от­но­ше­нии 2 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро B₁C₁ в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны B₁.

б)  В каком от­но­ше­нии плос­кость α делит объем куба?

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ребра АВ, АС и AD вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, причём АВ  =  АС. Точки L, F, Q и T  — се­ре­ди­ны ребер BD, DC, AC и AB со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что плос­ко­сти DTQ и ALF пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­жи­те, что AD : AB  =  1 : 2.

б)  Пусть S и Е  — точки пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ков ABD и ACD со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те объём мно­го­гран­ни­ка TLFQES, если AD  =  3.

Дана пра­виль­ная приз­ма ABCDA₁B₁C₁D₁. На реб­рах CD, CC₁ и A₁B₁ от­ме­ти­ли точки K, L и M со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что A₁M  =  MB₁, DK  =  2KC, а четырёхуголь­ник AKLM  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

а)  До­ка­жи­те, что CL  =  2LC₁.

б)  Най­ди­те объём приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁, если AA₁  =  7.

На реб­рах АВ и ВС тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды DABC от­ме­че­ны точки M и N так, что АМ : МВ  =  СN : NB  =  1 : 3. Точки P и Q  — се­ре­ди­ны ребер DA и DC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что точки Р, Q, M и N лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость PQM делит пи­ра­ми­ду.

Диа­го­наль пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна d и об­ра­зу­ет с его двумя гра­ня­ми углы, рав­ные α, а с тре­тьей  — угол, рав­ный β.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да, если

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точки М и K  — се­ре­ди­ны сто­рон SB и DC со­от­вет­ствен­но. Через центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды па­рал­лель­но пря­мым АМ и SK про­ве­де­на плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что α делит ребро BC в от­но­ше­нии 1 : 5, счи­тая от точки C.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α, а вер­ши­ной  — точка A, если в пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния равна  вы­со­та равна 12,