Всего: 819 … 721–740 | 741–760 | 761–780 | 781–800 | 801–819
Добавить в вариант
Правильная треугольная призма ABCA1B1C1 описана около шара радиуса R. Точки M и N — середины рёбер BB1 и CC1. В шар вписан цилиндр так, что его основание лежит в плоскости AMN. Найдите объём цилиндра
Прямая p, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает прямые AB, AC, BD и CD в точках E, F, G и H соответственно, причём EF = FG.
а) Докажите, что точки пересечения прямой p с диагоналями AC и BD делят отрезок EН на три равных части;
б) Найдите EF, если BC = 3, AD = 4.
= 3.6, EF = 
EH = 1.2.В последовательности 2, 0, 0, 0, 2, 2, 4, … каждый член, начиная с пятого, равен последней цифре суммы предшествующих четырёх членов.
а) Встретятся ли в этой последовательности еще раз подряд 4 цифры 2, 0, 0, 0?
б) Встретятся ли в ней четыре подряд цифры 0, 0, 8, 2?
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 
боковое ребро составляет с высотой угол 
Плоскость 
проходящая через вершину основания пирамиды, перпендикулярна противолежащему боковому ребру и разбивает пирамиду на две части.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью 
б) Определите объем прилегающей к вершине части пирамиды.
Из перпендикулярности SO и (ABC) следует 
SO и AC — две пересекающиеся прямые плоскости ASC. Значит, 
В таком случае прямая BD перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости ASC, в том числе и к прямой SC. Но KE || BD по построению. Отсюда: 
— равносторонний, так как 
Следовательно, SO — высота, медиана и биссектриса 
AT — его медиана, т. е. 
так как KE || BD, то 
— равносторонний, причем SP — его биссектриса, следовательно, и медиана KP = PE; P — точка пересечения медиан 
а из параллельности PK и OD по теореме Фалеса следует: 
по теореме косинусов будем иметь: 
т. е. 
по этой же теореме: 
В таком случае KT = ET как проекции равных наклонных SK и SE к (ETK), 
т. е. 
В пирамиде SAETK с основанием AETK отрезок ST — высота пирамиды. 
В кубе ABCDA1B1C1D1 точки P, K, L — середины ребер АА1, A1D1, B1C1 соответственно, точка Q — центр грани CC1D1D. Отрезок MN c концами на прямых AD и KL соответственно пересекает прямую PQ и перпендикулярен ей.
а) Докажите, что AM : MD = 5 : 1.
б) Найдите длину отрезка MN, если сторона куба равна 3.
где 
откуда
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС точка М — середина бокового ребра SC, на ребрах AS и BS отмечены точки K и L соответственно так, что SK : KA = SL : LB = 3 : 1. Сторона основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна 7.
а) Докажите, что угол между плоскостью АВС и плоскостью KML равен 30°.
б) Найдите расстояние от точки S до плоскости KML.
Находим FS по теореме Пифагора:
Найдем синус угла β:
Далее, из доказанного в пункте а) следует, что в прямоугольном треугольнике MHO1 катет MO1 лежит против угла в 30°, то есть равен половине гипотенузы. Следовательно, 
Основанием треугольной пирамиды SABC является равносторонний треугольник АВС со 
а) Докажите, что угол между SE и CD равен 45°.
б) Найдите расстояние между прямыми SE и CD.
Медиана равностороннего треугольника 
поэтому 
По теореме Пифагора в треугольнике SCE:
и 
Следовательно, прямая CD перпендикулярна плоскости SCH, а потому искомое расстояние равно расстоянию от точки C до прямой SH. По построению 
по теореме Пифагора в треугольнике SCH:
В треугольнике АВС BC = 8, AC = 7 проведена биссектриса ВЕ, которая пересекает сторону АС в точке E, причем известно, что центр О вписанной в треугольник АВС окружности делит ВE в отношении BO : OE = 2 : 1.
а) Докажите, что сторона АВ делится точкой касания вписанной окружности в отношении 5 : 7, считая от точки А.
б) Найдите площадь треугольника АВС.
Аналогично из треугольника ABE находим:
тогда
откуда 
Дана трапеция АВСD с основаниями ВС и АD. Точки М и N — середины сторон АВ и СD соответственно. Окружность, проходящая через вершины А и D, пересекает отрезок ВМ в точке L, а отрезок CN – в точке K (L и K отличны от концов отрезков ВМ и CN).
а) Докажите, что точки В, С, K, L лежат на одной окружности.
б) Найдите KN, если известно, что АK и ВK перпендикулярны, AB = 25, BC = 6, CD = 22, AD = 19.
а потому 
В трапеции градусные меры углов, прилежащих к одной стороне, в сумме дают 180°, поэтому 
Значит, 
Таким образом, четырехугольник BCKL — вписанный по свойству, и все его вершины лежат на одной окружности.
Отрезок MN является средней линией трапеции, тогда 
По теореме косинусов для треугольника CED получаем:
Треугольник MNK — равнобедренный по определению, следовательно,
В выпуклом четырехугольнике ABCD точки P и Q — середины сторон AB и CD соответственно, точки E и F — середины AC и BD соответственно.
а) Докажите, что отрезок PQ делит точкой пересечения отрезок EF пополам.
б) Найдите EF, если BC = 12, AD = 14, а PQ = 8.
Аналогично получаем, что отрезок FQ — средняя линия треугольника BCD, то есть прямые FQ и BC параллельны и 
Следовательно, четырехугольник PEQF — параллелограмм по определению, его диагонали PQ и EF точкой пересечения делятся пополам.
и 
По теореме косинусов для треугольников KLN и KMN соответственно получаем:
Аналогично получаем, что 
Следовательно,
В окружности радиусом R проведены хорды KL и MN, перпендикулярные друг другу и пересекающиеся в точке F.
а) Докажите, что при этих условиях выполняется равенство 
б) Найдите радиус окружности R, если KF = 3, FM = 8, FN = 6.
Отрезок FN — высота трапеции, поэтому 
Хорда ME стягивает дугу MLE, на которую опирается прямой угол, то есть хорда ME — диаметр. Следовательно, угол MLE — прямой, а потому
откуда
Окружность, вписанная в квадрат ABCD, касается его стороны AB в точке K, а стороны AD в точке E. Отрезки CK и CE пересекают окружность в точках M и P соответственно.
а) Докажите, что прямые EK и MP параллельны.
б) Найдите ME, если сторона квадрата равна 10.
Следовательно, прямые EK и MP параллельны.
Вписанный угол KME и центральный угол KOE опираются на одну и ту же дугу, поэтому 
Из условия 
следовательно, из прямоугольного треугольника CBK находим 
Применим теорему синусов для треугольника EMK, получим:
На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки K и М по одну сторону от диаметра основания АВ так, что плоскости ASK и BSM наклонены к плоскости основания конуса 
и 
а) Докажите, что плоскость KMS наклонена к плоскости основания конуса под углом 60°.
б) Найдите площадь треугольника SKM, если радиус основания конуса равен 2.
тогда 
и 
Из прямоугольного треугольника AOD находим 
а потому
Следовательно, треугольники KOM и BOM равны по двум сторонам и углу между ними, а потому равны и их медианы: 
Значит, равны прямоугольные треугольники SOE и SOF, откуда 
Угол SEO — линейный угол двугранного угла между плоскостью KMS и плоскостью основания, поэтому
Окружность, вписанная в квадрат ABCD, касается его стороны AB в точке K, а стороны AD в точке E. Отрезки CK и CE пересекают окружность в точках M и P соответственно.
а) Докажите, что прямые EK и MP параллельны.
б) Найдите ME, если сторона квадрата равна 30.
следовательно, из прямоугольного треугольника CBK находим 
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P.
а) Докажите, что прямая, проходящая через точку P и середину стороны AD, перпендикулярная стороне BC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника ABCD, если известно, что отрезки диагоналей равны: AP = 3, BP = 4, CP = 8.
Пусть 
тогда из равнобедренного треугольника AMP получаем, что 
Следовательно, 
а углы MPD и BPN равны как вертикальные. Углы DAC и DBC — вписанные и опираются на одну дугу, а потому равные, то есть 
Для углов треугольника BPN получаем:
откуда
Площадь параллелограмма ABCD равна 63. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
Площадь трапеции равна полусумме длин оснований, умноженной на длину высоты. Выразим площадь трапеции через площадь параллелограмма:
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE.
а) Докажите, что AL · BC = AB · AC.
б) Найдите EL, если AC = 10, 
Пусть площадь параллелограмма ABCD равна 
Треугольник ALD имеет общие с параллелограммом ABCD высоту и основание, следовательно, 
Таким образом,
Таким образом, треугольник ALC — равнобедренный, прямые LO и AC перпендикулярны, следовательно, прямая EL проходит через точку O. Получаем:
Площадь параллелограмма ABCD равна 142. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE.
а) Докажите, что AL · BC = AB · AC.
б) Найдите EL, если AC = 24, 
