В тре­уголь­ни­ке АВС угол С равен 90°, CH  — вы­со­та, Най­ди­те АН.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки изоб­ра­жен тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD вы­со­та SO равна 13, диа­го­наль ос­но­ва­ния BD равна 8. Точки K и М  — се­ре­ди­ны ребер CD и ВС со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те тан­генс угла между плос­ко­стью SMK и плос­ко­стью ос­но­ва­ния AВС.

Кон­курс ис­пол­ни­те­лей про­во­дит­ся в 5 дней. Всего за­яв­ле­но 80 вы­ступ­ле­ний  — по од­но­му от каж­дой стра­ны, участ­ву­ю­щей в кон­кур­се. Ис­пол­ни­тель из Рос­сии участ­ву­ет в кон­кур­се. В пер­вый день за­пла­ни­ро­ва­но 8 вы­ступ­ле­ний, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между остав­ши­ми­ся днями. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что вы­ступ­ле­ние ис­пол­ни­те­ля из Рос­сии со­сто­ит­ся в тре­тий день кон­кур­са?

По от­зы­вам по­ку­па­те­лей Иван Ива­но­вич оце­нил надёжность двух ин­тер­нет-⁠ма­га­зи­нов. Ве­ро­ят­ность того, что нуж­ный товар до­ста­вят из ма­га­зи­на А, равна 0,8. Ве­ро­ят­ность того, что этот товар до­ста­вят из ма­га­зи­на Б, равна 0,9. Иван Ива­но­вич за­ка­зал товар сразу в обоих ма­га­зи­нах. Счи­тая, что ин­тер­нет-⁠ма­га­зи­ны ра­бо­та­ют не­за­ви­си­мо друг от друга, най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ни один ма­га­зин не до­ста­вит товар.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те если и

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 14). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−6; 9].

В ходе рас­па­да ра­дио­ак­тив­но­го изо­то­па его масса умень­ша­ет­ся по за­ко­ну где   — на­чаль­ная масса изо­то­па, t  — время, про­шед­шее от на­чаль­но­го мо­мен­та, T  — пе­ри­од по­лу­рас­па­да. В на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни масса изо­то­па 40 мг. Пе­ри­од его по­лу­рас­па­да со­став­ля­ет 10 мин. Най­ди­те, через сколь­ко минут масса изо­то­па будет равна 5 мг.

Первую треть трас­сы ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 60 км/⁠ч, вто­рую треть  — со ско­ро­стью 120 км/⁠ч, а по­след­нюю  — со ско­ро­стью 110 км/⁠ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути. Ответ дайте в км/⁠ч.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те a.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB  =  12 и Длины бо­ко­вых рёбер пи­ра­ми­ды SA  =  5, SB  =  13, SD  =  10.

а)  До­ка­жи­те, что SA  — вы­со­та пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до плос­ко­сти SBC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В двух шах­тах до­бы­ва­ют алю­ми­ний и ни­кель. В пер­вой шахте име­ет­ся 20 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся 5 часов в день. При этом один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 1 кг алю­ми­ния или 2 кг ни­ке­ля. Во вто­рой шахте име­ет­ся 100 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся 5 часов в день. При этом один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 2 кг алю­ми­ния или 1 кг ни­ке­ля.

Обе шахты по­став­ля­ют до­бы­тый ме­талл на завод, где для нужд про­мыш­лен­но­сти про­из­во­дит­ся сплав алю­ми­ния и ни­ке­ля, в ко­то­ром на 2 кг алю­ми­ния при­хо­дит­ся 1 кг ни­ке­ля. При этом шахты до­го­ва­ри­ва­ют­ся между собой вести до­бы­чу ме­тал­лов так, чтобы завод мог про­из­ве­сти наи­боль­шее ко­ли­че­ство спла­ва. Сколь­ко ки­ло­грам­мов спла­ва при таких усло­ви­ях еже­днев­но смо­жет про­из­ве­сти завод?

В тре­уголь­ни­ке ABC точки A₁, B₁ и C₁  — се­ре­ди­ны сто­рон BC, AC и AB со­от­вет­ствен­но, AH  — вы­со­та,

а)  До­ка­жи­те, что A_1, B₁, C₁ и H лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те A₁H, если

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет более двух кор­ней.

Че­ты­ре на­ту­раль­ных числа a, b, c, d та­ко­вы, что

а)  Могут ли все числа быть по­пар­но раз­лич­ны?

б)  Может ли одно из этих чисел рав­нять­ся 9?

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные на­бо­ры чисел (без учета их по­ряд­ка в на­бо­ре), среди ко­то­рых ровно два числа равны.