Пусть AD  =  d, BD  =  x, DC  =  y. Ис­поль­зуя свой­ства ка­са­тель­ных, под­счи­та­ем раз­ны­ми спо­со­ба­ми пе­ри­мет­ры тре­уголь­ни­ков

От­ку­да по­лу­ча­ем: Ана­ло­гич­но,

Тогда

Воз­мож­ны два слу­чая:

1.  Точка D лежит на от­рез­ке BC. Тогда зна­чит,

2.  Точка D лежит вне от­рез­ка BC. Тогда зна­чит,

Ответ: или

За­ме­тим, что либо AC  =  BC, либо AB  =  BC (или AB  =  AC).

Пер­вый слу­чай (рис. 1). AC  =  BC  =  5. Пусть H  — точка ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC с ос­но­ва­ни­ем АB, r₁  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Тогда CH  — вы­со­та и ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AHC на­хо­дим, что

Тогда

Из ра­вен­ства 8r₁  =  12 на­хо­дим, что r₁  =  1,5.

Вто­рой слу­чай. (рис. 2) Пусть AB  =  BC  =  5, CH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC, r₂  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Тогда

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ACH на­хо­дим, что

Из ра­вен­ства по­лу­ча­ем, что

Рас­смот­рим тре­тий слу­чай.

Тре­тий слу­чай со­сто­ит в том, что BC  =  AB и эти сто­ро­ны об­ра­зу­ют ост­рый угол. Тогда вы­со­та CH будет ле­жать внут­ри тре­уголь­ни­ка ABC и В этом слу­ча­ем ра­ди­ус будет равен

Ответ:

За­ме­тим, что либо AC  =  BC, либо AB  =  BC (или AB  =  AC).

Пер­вый слу­чай (рис. 1). AC  =  BC  =  13. Пусть Н  — точка ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC с ос­но­ва­ни­ем АB, r₁  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Тогда CH  — вы­со­та и ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AHC на­хо­дим, что

Тогда

Из ра­вен­ства 18r₁  =  60 на­хо­дим, что

Вто­рой слу­чай. Вер­ши­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка  — одна из точек A или B. Пусть, для опре­делённо­сти, вер­ши­на в точке B. Про­ведём вы­со­ту CH. Если H на­хо­дит­ся на про­дол­же­нии сто­ро­ны AB, то тре­уголь­ник ABC  — ту­по­уголь­ный. Этот слу­чай про­ти­во­ре­чит усло­вию. Если H лежит на сто­ро­не AB, то из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BHC на­хо­дим:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ACH на­хо­дим:

Тогда

Ответ: или

За­ме­тим, что либо AC  =  BC, либо AB  =  BC (или AB  =  AC).

Пер­вый слу­чай. AC  =  BC  =  5. Пусть H  — точка ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC с ос­но­ва­ни­ем AB, r₁  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Тогда CH  — вы­со­та и ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AHC на­хо­дим, что

Тогда

Из ра­вен­ства 8r₁  =  12 на­хо­дим, что

Вто­рой слу­чай. Вер­ши­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка  — одна из точек A или B. Пусть, для опре­делённо­сти, вер­ши­на в точке B. Про­ведём вы­со­ту CH. Если H на­хо­дит­ся на про­дол­же­нии сто­ро­ны AB, то тре­уголь­ник ABC  — ту­по­уголь­ный. Этот слу­чай про­ти­во­ре­чит усло­вию. Если H лежит на сто­ро­не AB, то из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BHC на­хо­дим:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ACH на­хо­дим:

Тогда

Ответ: или

Обо­зна­чим AB = x, AC = y, p  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC. Пусть M и N  — се­ре­ди­ны сто­рон AB и AC со­от­вет­ствен­но. Тогда

В тра­пе­цию BMNC впи­са­на окруж­ность по­это­му

Зна­чит,

По фор­му­ле Ге­ро­на

От­сю­да на­хо­дим, что x = 20 или x = 37.