СДАМ ГИА






Каталог заданий. Окружности и треугольники
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1

В треугольнике ABC, AB = 15, BC = 7, CA = 9. Точка D лежит на прямой BC причем BD : DC = 5 : 7. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Задание 16 № 484610

Аналоги к заданию № 484610: 507177 507178 507179 507180 507181 507182 507183 511299

2

Прямые, со­дер­жа­щие ка­те­ты AC и CB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АСВ, яв­ля­ют­ся об­щи­ми внут­рен­ни­ми ка­са­тель­ны­ми к окруж­но­стям ра­ди­у­сов 2 и 4. Прямая, со­дер­жа­щая гипотенузу АВ, яв­ля­ет­ся их общей внеш­ней касательной.

а) Докажите, что длина от­рез­ка внут­рен­ней касательной, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны остро­го угла тре­уголь­ни­ка до одной из окружностей, равна по­ло­ви­не пе­ри­мет­ра тре­уголь­ни­ка АСВ.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АСВ.

Задание 16 № 505568
3

Расстояние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, при­чем тре­уголь­ник ABC — рав­но­бед­рен­ный и его бо­ко­вая сто­ро­на равна 5. Най­дите ра­ди­ус окружности, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Задание 16 № 507176
Решение

4

Расстояние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на дру­гой — точки A и B, при­чем тре­уголь­ник ABC — ост­ро­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный и его бо­ко­вая сто­ро­на равна 13. Най­ди­те ра­ди­ус окружности, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Задание 16 № 507494


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 09.12.2010 ва­ри­ант 1. (Часть С)
5

Расстояние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на дру­гой — точки A и B, при­чем тре­уголь­ник ABC — ост­ро­уголь­ный равнобедренный, и его бо­ко­вая сто­ро­на равна 5. Най­ди­те ра­ди­ус окружности, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Задание 16 № 507498


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 09.12.2010 ва­ри­ант 2. (Часть С)
6

Окружность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, пло­щадь ко­то­ро­го равна 114, ка­са­ет­ся сред­ней линии, па­рал­лель­ной сто­ро­не BC. Известно, что BC = 19. Най­ди­те сто­ро­ну AB.

Задание 16 № 507598

Аналоги к заданию № 507598: 511448



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.01.2013 с решениями: ва­ри­ант 2 (Часть С).
7

Дан тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AB = 25, AC = 7 и BC = 24. На сто­ро­не BC взята точка D, а на от­рез­ке AD — точка O, при­чем CD = 8 и AO = 3OD. Окруж­ность с цен­тром O про­хо­дит через точку C. Най­ди­те расстояние от точки C до точки пе­ре­се­че­ния этой окруж­но­сти с пря­мой AB.

Задание 16 № 507632


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 25.01.2012 ва­ри­ант 2. (Часть С)
8

Радиус окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, равен 13, высота, проведённая к сто­ро­не BC, равна 5. Най­ди­те длину той хорды AM опи­сан­ной окружности, ко­то­рая де­лит­ся по­по­лам сто­ро­ной BC.

Задание 16 № 507771

Аналоги к заданию № 507771: 511488



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 15.04.2010 ва­ри­ант 1. (Часть С)
9

Точки D и E — ос­но­ва­ния высот не­пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, проведённых из вер­шин A и C соответсвенно. Известно, что BC = a и AB = b. Най­ди­те сто­ро­ну AC, если известно, что: а) треугольник остроугольный, б) угол B тупой.

Задание 16 № 507818


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке, но­ябрь 2009 года ва­ри­ант 1. (Часть С)
10

Точка B лежит на от­рез­ке AC. Прямая, про­хо­дя­щая через точку A, ка­са­ет­ся окружности с диа­мет­ром BC в точке M и вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет окружность с диа­мет­ром AB в точке K. Про­дол­же­ние отрезка MB пе­ре­се­ка­ет окружность с диа­мет­ром AB в точке D.

а) Докажите, что пря­мые AD и MC параллельны.

б) Най­ди­те площадь тре­уголь­ни­ка DBC, если AK = 3 и MK = 12.

Задание 16 № 513103

Аналоги к заданию № 513103: 513104 513105



Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016
11

В треугольнике ABC, AB = 7, BC = 9, CA = 4. Точка D лежит на прямой BC причем BD : DC = 1 : 5. Окружности, вписанные в треугольники ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Задание 16 № 484611

Аналоги к заданию № 484611: 511300

12

Расстояние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 12. На одной из них лежит вер­ши­на C, на дру­гой — ос­но­ва­ние AB рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Известно, что AB = 10. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окружностей, одна из ко­то­рых впи­са­на в тре­уголь­ник ABC, а вто­рая ка­са­ет­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC.

Задание 16 № 501438

Аналоги к заданию № 501438: 485970 501458 514708



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 09.04.2013 ва­ри­ант МА1601.
Решение

13

Расстояние между па­рал­лель­ны­ми прямыми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, при­чем треугольник ABC — рав­но­бед­рен­ный и его бо­ко­вая сторона равна 13. Най­дите радиус окружности, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Задание 16 № 484620
14

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­ны стороны: AB = 7, BC = 8, AC = 9. Окружность, про­хо­дя­щая через точки A и C, пе­ре­се­ка­ет прямые BA и BC со­от­вет­ствен­но в точ­ках K и L, от­лич­ных от вер­шин треугольника. От­ре­зок KL ка­са­ет­ся окружности, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину от­рез­ка KL.

Задание 16 № 500134

Аналоги к заданию № 500134: 500590 500593 501069 511338

15

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­ны стороны: AB = 5, BC = 6, AC = 7. Окружность, про­хо­дя­щая через точки A и C, пе­ре­се­ка­ет пря­мые AB и BC со­от­вет­ствен­но в точ­ках K и L, от­лич­ных от вер­шин треугольника. От­ре­зок KL ка­са­ет­ся окружности, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину от­рез­ка KL.

Задание 16 № 500369
16

Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключённый внутри треугольника, равен 6, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно .

Задание 16 № 484624

Аналоги к заданию № 484624: 511305

17

Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 12, а косинус острого угла равен .

Задание 16 № 484625
Решение

18

Прямая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная гипотенузе пря­мо­уголь­но­го треугольника, от­се­ка­ет от него четырёхугольник, в ко­то­рый можно впи­сать окружность. Най­ди­те радиус окружности, если от­ре­зок этой прямой, заключённый внут­ри треугольника, равен 14, а от­но­ше­ние катетов тре­уголь­ни­ка равно .

Задание 16 № 485949


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 27.09.2011 ва­ри­ант 1. (Часть С)
19

Прямая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная гипотенузе пря­мо­уголь­но­го треугольника, от­се­ка­ет от него четырёхугольник, в ко­то­рый можно впи­сать окружность. Най­ди­те радиус окружности, если от­ре­зок этой прямой, заключённый внут­ри треугольника, равен 40, а от­но­ше­ние катетов тре­уголь­ни­ка равно

Задание 16 № 485957


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 27.09.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)
20

Точка M лежит на отрезке AB. На окружности с диаметром AB взята точка C, удаленная от точек A, M и B на расстояния 20, 14 и 15 соответственно. Найдите площадь треугольника BMC.

Задание 16 № 485937

Аналоги к заданию № 485937: 511325

21

Точка M лежит на от­рез­ке AB. На окруж­но­сти с диа­мет­ром AB взята точка C, уда­лен­ная от точек A, M и B на рас­сто­я­ния 40, 29 и 30 соответственно. Най­ди­те площадь тре­уголь­ни­ка BMC.

Задание 16 № 485945


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 07.12.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)
22

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ка­те­та­ми AC = 15 и BC = 8. С цен­тром в вер­ши­не B про­ве­де­на окруж­ность S ра­ди­у­са 17. Най­ди­те ра­ди­ус окружности, впи­сан­ной в угол BAC и ка­са­ю­щей­ся окруж­но­сти S.

Задание 16 № 485985

Аналоги к заданию № 485985: 511328



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.11.2011 ва­ри­ант 1. (Часть С)
23

Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 5 и BC = 12. С центром в вершине B проведена окружность S радиуса 13. Найдите радиус окружности, вписанной в угол BAC и касающейся окружности S.

Задание 16 № 485999


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.11.2011 ва­ри­ант 1. (Часть С)
24

Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

Задание 16 № 500349
Решение

25

Дан треугольник со сторонами 26, 26 и 20. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

Задание 16 № 500066

Аналоги к заданию № 500066: 511334

Решение

26

Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников BOD, DOF и BOF.

Задание 16 № 500195

Аналоги к заданию № 500195: 511339 507356

27

Точка О — центр правильного шестиугольника ABCDEF, в котором AC = 10,5. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF.

Задание 16 № 500476
28

Продолжение бис­сек­три­сы CD не­рав­но­бед­рен­но­го треугольника ABC пе­ре­се­ка­ет окружность, опи­сан­ную около этого треугольника, в точке E. Окружность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка ADE, пе­ре­се­ка­ет прямую AC в точке F, от­лич­ной от A. Най­ди­те радиус окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если AC = 4, AF = 2, ∠BAC = 60°.

Задание 16 № 500215

Аналоги к заданию № 500215: 511341 507357



Раздел: Планиметрия
Решение

29

Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от A. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC = 6, AF = 3, угол BAC равен 45°.

Задание 16 № 500389
30

Угол C тре­уголь­ни­ка ABC равен 60°, D — от­лич­ная от A точка пе­ре­се­че­ния окружностей, по­стро­ен­ных на сто­ро­нах AB и AC как на диаметрах. Известно, что DB : DC = 1 : 3. Най­ди­те угол A.

Задание 16 № 500410

Аналоги к заданию № 500410: 502025 502056 503323 503363 511343

31

Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что DB : DC = 2 : 3. Найдите угол A.

Задание 16 № 500430
32

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.

Задание 16 № 500964

Аналоги к заданию № 500964: 511349



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2012 ва­ри­ант 5.
33

Стороны AB и BC тре­уголь­ни­ка ABC равны со­от­вет­ствен­но 26 и 14,5, а его вы­со­та BD равна 10. Най­ди­те расстояние между цен­тра­ми окружностей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ABD и BCD.

Задание 16 № 501398

Аналоги к заданию № 501398: 511356



Источник: Проб­ный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 1.
34

Стороны KM и MN треугольника KMN равны соответственно 30 и 25, а его высота MH равна 24. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники KMH и MNH.

Задание 16 № 501418


Источник: Проб­ный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 2.
35

Окружность ра­ди­у­са впи­са­на в пря­мой угол. Вто­рая окруж­ность также впи­са­на в этот угол и пе­ре­се­ка­ет­ся с пер­вой в точ­ках M и N. Известно, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 12. Най­ди­те MN.

Задание 16 № 502117

Аналоги к заданию № 502117: 511375



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 23.04.2013. До­сроч­ная волна. Ва­ри­ант 901.
36

Окружность ра­ди­у­са впи­са­на в пря­мой угол. Вто­рая окружность также впи­са­на в этот угол и пе­ре­се­ка­ет­ся с пер­вой в точ­ках M и N. Известно, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окружностей равно 16. Найдите MN.

Задание 16 № 502137


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 23.04.2013. До­сроч­ная волна. Ва­ри­ант 902.
37

Высота рав­но­бед­рен­но­го треугольника, опу­щен­ная на основание, равна 9, а ра­ди­ус впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти равен 4. Най­ди­те ра­ди­ус окружности, ка­са­ю­щей­ся сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка и про­дол­же­ний двух его сторон.

Задание 16 № 484614

Аналоги к заданию № 484614: 511303

Решение

38

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 15, AC = 9 и BC = 12. На стороне BC взята точка D, а на отрезке AD — точка O, причем CD = 4 и AO = 3OD. Окружность с центром O проходит через точку C. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения этой окружности с прямой AB.

Задание 16 № 485990

Аналоги к заданию № 485990: 507504 507683 511439 511472



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 25.01.2012 ва­ри­ант 1. (Часть С)
39

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BMC.

Задание 16 № 500450
40

На стороне BA угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и D и касающейся прямой BC.

Задание 16 № 500818


Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2013 по математике.
41

Окружность, вписанная в треугольник АВС, площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне ВС. Известно, что ВС = 11. Найдите сторону АВ.

Задание 16 № 500920


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.01.2013 ва­ри­ант 1.
42

Окружность ра­ди­у­са 6 впи­са­на в угол, рав­ный 60°. Вто­рая окруж­ность также впи­са­на в этот угол и пе­ре­се­ка­ет­ся с пер­вой в точ­ках M и N . Известно, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 4. Най­ди­те MN.

Задание 16 № 503255


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 23.04.2013. До­сроч­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 1.
43

Первая окруж­ность с цен­тром O, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник KLM, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны KL в точке B, а ос­но­ва­ния ML — в точке A. Вто­рая окруж­ность с цен­тром O1 ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния ML и про­дол­же­ний бо­ко­вых сторон.

а) Докажите, что тре­уголь­ник OLO1 прямоугольный.

б) Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окружности, если известно, что ра­ди­ус пер­вой равен 6 и AK = 16.

Задание 16 № 513349

Аналоги к заданию № 513349: 513368



Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 20.01.2016 ва­ри­ант МА10309
Решение

44

Окружность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся сто­рон AB, BC и CA в точ­ках K, M и N соответственно.

а) Докажите, что

б) Най­ди­те от­но­ше­ние AK : KB, если известно, что AN : NC = 4 : 3 и

Задание 16 № 513716


Источник: Проб­ный эк­за­мен по про­филь­ной ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 05.04.2016. Ва­ри­ант 2.
45

Точки A1, B1 и C1 — середины сторон соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC.

а) Докажите, что отличная от A1 точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A1CB1 и A1BC1, лежит на окружности, описанной около треугольника B1AC1.

б) Известно, что AB = AC = 10 и BC = 12. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры окружностей, описанных около треугольников A1CB1, A1BC1 и B1AC1.

Задание 16 № 514508

Аналоги к заданию № 514508: 514515



Источник: ЕГЭ — 2016. Досрочная волна. Ва­ри­ант 201. Юг
46

Окружность касается стороны AC остроугольного треугольника ABC и делит каждую из сторон AB и BC на три равные части.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону BC.

Задание 16 № 514731


Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2016

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!
общее/сайт/предмет


Рейтинг@Mail.ru
Яндекс.Метрика