СДАМ ГИА






Каталог заданий. Окружности и треугольники
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1

В тре­уголь­ни­ке ABC, AB = 15, BC = 7, CA = 9. Точка D лежит на пря­мой BC при­чем BD : DC = 5 : 7. Окруж­но­сти, впи­сан­ные в каж­дый из тре­уголь­ни­ков ADC и ADB ка­са­ют­ся сто­ро­ны AD в точ­ках E и F. Най­ди­те длину от­рез­ка EF.

За­да­ние 16 № 484610

Аналоги к заданию № 484610: 507177 507178 507179 507180 507181 507182 507183 511299

2

Пря­мые, со­дер­жа­щие ка­те­ты AC и CB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АСВ, яв­ля­ют­ся об­щи­ми внут­рен­ни­ми ка­са­тель­ны­ми к окруж­но­стям ра­ди­у­сов 2 и 4. Пря­мая, со­дер­жа­щая ги­по­те­ну­зу АВ, яв­ля­ет­ся их общей внеш­ней ка­са­тель­ной.

а) До­ка­жи­те, что длина от­рез­ка внут­рен­ней ка­са­тель­ной, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны остро­го угла тре­уголь­ни­ка до одной из окруж­но­стей, равна по­ло­ви­не пе­ри­мет­ра тре­уголь­ни­ка АСВ.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АСВ.

За­да­ние 16 № 505568
3

Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на дру­гой — точки A и B, при­чем тре­уголь­ник ABC — рав­но­бед­рен­ный и его бо­ко­вая сто­ро­на равна 5. Най­дите ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

За­да­ние 16 № 507176
Показать решение

4

Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на дру­гой — точки A и B, при­чем тре­уголь­ник ABC — ост­ро­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный и его бо­ко­вая сто­ро­на равна 13. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

За­да­ние 16 № 507494


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 09.12.2010 ва­ри­ант 1. (Часть С)
5

Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на дру­гой — точки A и B, при­чем тре­уголь­ник ABC — ост­ро­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный, и его бо­ко­вая сто­ро­на равна 5. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

За­да­ние 16 № 507498


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 09.12.2010 ва­ри­ант 2. (Часть С)
6

Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, пло­щадь ко­то­ро­го равна 114, ка­са­ет­ся сред­ней линии, па­рал­лель­ной сто­ро­не BC. Из­вест­но, что BC = 19. Най­ди­те сто­ро­ну AB.

За­да­ние 16 № 507598

Аналоги к заданию № 507598: 511448



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.01.2013 с решениями: ва­ри­ант 2 (Часть С).
7

Дан тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AB = 25, AC = 7 и BC = 24. На сто­ро­не BC взята точка D, а на от­рез­ке AD — точка O, при­чем CD = 8 и AO = 3OD. Окруж­ность с цен­тром O про­хо­дит через точку C. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до точки пе­ре­се­че­ния этой окруж­но­сти с пря­мой AB.

За­да­ние 16 № 507632


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 25.01.2012 ва­ри­ант 2. (Часть С)
8

Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, равен 13, вы­со­та, про­ведённая к сто­ро­не BC, равна 5. Най­ди­те длину той хорды AM опи­сан­ной окруж­но­сти, ко­то­рая де­лит­ся по­по­лам сто­ро­ной BC.

За­да­ние 16 № 507771

Аналоги к заданию № 507771: 511488



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 15.04.2010 ва­ри­ант 1. (Часть С)
9

Точки D и E — ос­но­ва­ния высот не­пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, про­ведённых из вер­шин A и C со­от­ветс­вен­но. Из­вест­но, что BC = a и AB = b. Най­ди­те сто­ро­ну AC.

За­да­ние 16 № 507818


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке, но­ябрь 2009 года ва­ри­ант 1. (Часть С)
10

Точка B лежит на от­рез­ке AC. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A, ка­са­ет­ся окруж­но­сти с диа­мет­ром BC в точке M и вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром AB в точке K. Про­дол­же­ние от­рез­ка MB пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром AB в точке D.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AD и MC па­рал­лель­ны.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка DBC, если AK = 3 и MK = 12.

За­да­ние 16 № 513103

Аналоги к заданию № 513103: 513104 513105



Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016
11

В тре­уголь­ни­ке ABC, AB = 7, BC = 9, CA = 4. Точка D лежит на пря­мой BC при­чем BD : DC = 1 : 5. Окруж­но­сти, впи­сан­ные в тре­уголь­ни­ки ADC и ADB ка­са­ют­ся сто­ро­ны AD в точ­ках E и F. Най­ди­те длину от­рез­ка EF.

За­да­ние 16 № 484611

Аналоги к заданию № 484611: 511300

12

Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 12. На одной из них лежит вер­ши­на C, на дру­гой — ос­но­ва­ние AB рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Из­вест­но, что AB = 10. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, одна из ко­то­рых впи­са­на в тре­уголь­ник ABC, а вто­рая ка­са­ет­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC.

За­да­ние 16 № 501438

Аналоги к заданию № 501438: 485970 501458 514708



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 09.04.2013 ва­ри­ант МА1601.
Показать решение

13

Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на дру­гой — точки A и B, при­чем тре­уголь­ник ABC — рав­но­бед­рен­ный и его бо­ко­вая сто­ро­на равна 13. Най­дите ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

За­да­ние 16 № 484620
14

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­ны сто­ро­ны: AB = 7, BC = 8, AC = 9. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки A и C, пе­ре­се­ка­ет пря­мые BA и BC со­от­вет­ствен­но в точ­ках K и L, от­лич­ных от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­ре­зок KL ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину от­рез­ка KL.

За­да­ние 16 № 500134

Аналоги к заданию № 500134: 500590 500593 501069 511338

15

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­ны сто­ро­ны: AB = 5, BC = 6, AC = 7. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки A и C, пе­ре­се­ка­ет пря­мые AB и BC со­от­вет­ствен­но в точ­ках K и L, от­лич­ных от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­ре­зок KL ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину от­рез­ка KL.

За­да­ние 16 № 500369
16

Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная бо­ко­вой сто­ро­не рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, от­се­ка­ет от него четырёхуголь­ник, в ко­то­рый можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если от­ре­зок пря­мой, за­ключённый внут­ри тре­уголь­ни­ка, равен 6, а от­но­ше­ние бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка к его ос­но­ва­нию равно .

За­да­ние 16 № 484624

Аналоги к заданию № 484624: 511305

17

Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная ги­по­те­ну­зе пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, от­се­ка­ет от него че­ты­рех­уголь­ник, в ко­то­рый можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если от­ре­зок этой пря­мой, за­ключённый внут­ри тре­уголь­ни­ка, равен 12, а ко­си­нус остро­го угла равен .

За­да­ние 16 № 484625
Показать решение

18

Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная ги­по­те­ну­зе пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, от­се­ка­ет от него четырёхуголь­ник, в ко­то­рый можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если от­ре­зок этой пря­мой, за­ключённый внут­ри тре­уголь­ни­ка, равен 14, а от­но­ше­ние ка­те­тов тре­уголь­ни­ка равно .

За­да­ние 16 № 485949


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 27.09.2011 ва­ри­ант 1. (Часть С)
19

Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная ги­по­те­ну­зе пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, от­се­ка­ет от него четырёхуголь­ник, в ко­то­рый можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если от­ре­зок этой пря­мой, за­ключённый внут­ри тре­уголь­ни­ка, равен 40, а от­но­ше­ние ка­те­тов тре­уголь­ни­ка равно

За­да­ние 16 № 485957


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 27.09.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)
20

Точка M лежит на от­рез­ке AB. На окруж­но­сти с диа­мет­ром AB взята точка C, уда­лен­ная от точек A, M и B на рас­сто­я­ния 20, 14 и 15 со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMC.

За­да­ние 16 № 485937

Аналоги к заданию № 485937: 511325

21

Точка M лежит на от­рез­ке AB. На окруж­но­сти с диа­мет­ром AB взята точка C, уда­лен­ная от точек A, M и B на рас­сто­я­ния 40, 29 и 30 со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMC.

За­да­ние 16 № 485945


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 07.12.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)
22

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ка­те­та­ми AC = 15 и BC = 8. С цен­тром в вер­ши­не B про­ве­де­на окруж­ность S ра­ди­у­са 17. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол BAC и ка­са­ю­щей­ся окруж­но­сти S.

За­да­ние 16 № 485985

Аналоги к заданию № 485985: 511328



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.11.2011 ва­ри­ант 1. (Часть С)
23

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ка­те­та­ми AC = 5 и BC = 12. С цен­тром в вер­ши­не B про­ве­де­на окруж­ность S ра­ди­у­са 13. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол BAC и ка­са­ю­щей­ся окруж­но­сти S.

За­да­ние 16 № 485999


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.11.2011 ва­ри­ант 1. (Часть С)
24

Дан тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 115, 115 и 184. Внут­ри него рас­по­ло­же­ны две рав­ные ка­са­ю­щи­е­ся окруж­но­сти, каж­дая из ко­то­рых ка­са­ет­ся двух сто­рон тре­уголь­ни­ка. Най­ди­те ра­ди­у­сы окруж­но­стей.

За­да­ние 16 № 500349
Показать решение

25

Дан тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 26, 26 и 20. Внут­ри него рас­по­ло­же­ны две рав­ные ка­са­ю­щи­е­ся окруж­но­сти, каж­дая из ко­то­рых ка­са­ет­ся двух сто­рон тре­уголь­ни­ка. Най­ди­те ра­ди­у­сы окруж­но­стей.

За­да­ние 16 № 500066

Аналоги к заданию № 500066: 511334

Показать решение

26

Точка O — центр пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF со сто­ро­ной 7. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков BOD, DOF и BOF.

За­да­ние 16 № 500195

Аналоги к заданию № 500195: 511339 507356

27

Точка О — центр пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF, в ко­то­ром AC = 10,5. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков AOB, COD и EOF.

За­да­ние 16 № 500476
28

Про­дол­же­ние бис­сек­три­сы CD не­рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около этого тре­уголь­ни­ка, в точке E. Окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка ADE, пе­ре­се­ка­ет пря­мую AC в точке F, от­лич­ной от A. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если AC = 4, AF = 2, ∠BAC = 60°.

За­да­ние 16 № 500215

Аналоги к заданию № 500215: 511341 507357



Раздел: Планиметрия
Показать решение

29

Про­дол­же­ние бис­сек­три­сы CD не­рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около этого тре­уголь­ни­ка, в точке E. Окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка ADE, пе­ре­се­ка­ет пря­мую AC в точке F, от­лич­ной от A. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если AC = 6, AF = 3, угол BAC равен 45°.

За­да­ние 16 № 500389
30

Угол C тре­уголь­ни­ка ABC равен 60°, D — от­лич­ная от A точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, по­стро­ен­ных на сто­ро­нах AB и AC как на диа­мет­рах. Из­вест­но, что DB : DC = 1 : 3. Най­ди­те угол A.

За­да­ние 16 № 500410

Аналоги к заданию № 500410: 502025 502056 503323 503363 511343

31

Угол C тре­уголь­ни­ка ABC равен 60°, D — от­лич­ная от A точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, по­стро­ен­ных на сто­ро­нах AB и AC как на диа­мет­рах. Из­вест­но, что DB : DC = 2 : 3. Най­ди­те угол A.

За­да­ние 16 № 500430
32

Внев­пи­сан­ной окруж­но­стью тре­уголь­ни­ка на­зы­ва­ет­ся окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся одной сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка и про­дол­же­ний двух дру­гих его сто­рон. Ра­ди­у­сы двух внев­пи­сан­ных окруж­но­стей пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 7 и 17. Най­ди­те рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми.

За­да­ние 16 № 500964

Аналоги к заданию № 500964: 511349



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2012 ва­ри­ант 5.
33

Сто­ро­ны AB и BC тре­уголь­ни­ка ABC равны со­от­вет­ствен­но 26 и 14,5, а его вы­со­та BD равна 10. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ABD и BCD.

За­да­ние 16 № 501398

Аналоги к заданию № 501398: 511356



Источник: Проб­ный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 1.
34

Сто­ро­ны KM и MN тре­уголь­ни­ка KMN равны со­от­вет­ствен­но 30 и 25, а его вы­со­та MH равна 24. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки KMH и MNH.

За­да­ние 16 № 501418


Источник: Проб­ный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 2.
35

Окруж­ность ра­ди­у­са впи­са­на в пря­мой угол. Вто­рая окруж­ность также впи­са­на в этот угол и пе­ре­се­ка­ет­ся с пер­вой в точ­ках M и N. Из­вест­но, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 12. Най­ди­те MN.

За­да­ние 16 № 502117

Аналоги к заданию № 502117: 511375



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 23.04.2013. До­сроч­ная волна. Ва­ри­ант 901.
36

Окруж­ность ра­ди­у­са впи­са­на в пря­мой угол. Вто­рая окруж­ность также впи­са­на в этот угол и пе­ре­се­ка­ет­ся с пер­вой в точ­ках M и N. Из­вест­но, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 16. Най­ди­те MN.

За­да­ние 16 № 502137


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 23.04.2013. До­сроч­ная волна. Ва­ри­ант 902.
37

Вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, опу­щен­ная на ос­но­ва­ние, равна 9, а ра­ди­ус впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти равен 4. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка и про­дол­же­ний двух его сто­рон.

За­да­ние 16 № 484614

Аналоги к заданию № 484614: 511303

Показать решение

38

Дан тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AB = 15, AC = 9 и BC = 12. На сто­ро­не BC взята точка D, а на от­рез­ке AD — точка O, при­чем CD = 4 и AO = 3OD. Окруж­ность с цен­тром O про­хо­дит через точку C. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до точки пе­ре­се­че­ния этой окруж­но­сти с пря­мой AB.

За­да­ние 16 № 485990

Аналоги к заданию № 485990: 507504 507683 511439 511472



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 25.01.2012 ва­ри­ант 1. (Часть С)
39

Бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD тра­пе­ции ABCD равны 6 и 8 со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей, равен 5, сред­няя линия тра­пе­ции равна 25. Пря­мые AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник BMC.

За­да­ние 16 № 500450
40

На сто­ро­не BA угла ABC, рав­но­го 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через точки A и D и ка­са­ю­щей­ся пря­мой BC.

За­да­ние 16 № 500818


Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2013 по математике.
41

Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник АВС, пло­щадь ко­то­ро­го равна 66, ка­са­ет­ся сред­ней линии, па­рал­лель­ной сто­ро­не ВС. Из­вест­но, что ВС = 11. Най­ди­те сто­ро­ну АВ.

За­да­ние 16 № 500920


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.01.2013 ва­ри­ант 1.
42

Окруж­ность ра­ди­у­са 6 впи­са­на в угол, рав­ный 60°. Вто­рая окруж­ность также впи­са­на в этот угол и пе­ре­се­ка­ет­ся с пер­вой в точ­ках M и N . Из­вест­но, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 4. Най­ди­те MN.

За­да­ние 16 № 503255


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 23.04.2013. До­сроч­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 1.
43

Пер­вая окруж­ность с цен­тром O, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник KLM, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны KL в точке B, а ос­но­ва­ния ML — в точке A. Вто­рая окруж­ность с цен­тром O1 ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния ML и про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник OLO1 пря­мо­уголь­ный.

б) Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти, если из­вест­но, что ра­ди­ус пер­вой равен 6 и AK = 16.

За­да­ние 16 № 513349

Аналоги к заданию № 513349: 513368



Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 20.01.2016 ва­ри­ант МА10309
44

Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся сто­рон AB, BC и CA в точ­ках K, M и N со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те от­но­ше­ние AK : KB, если из­вест­но, что AN : NC = 4 : 3 и

За­да­ние 16 № 513716


Источник: Проб­ный эк­за­мен по про­филь­ной ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 05.04.2016. Ва­ри­ант 2.
45

Точки A1, B1 и C1 — се­ре­ди­ны сто­рон со­от­вет­ствен­но BC, AC и AB ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC.

а) До­ка­жи­те, что от­лич­ная от A1 точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков A1CB1 и A1BC1, лежат на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка B1AC1.

б) Из­вест­но, что AB = AC = 10 и BC = 12. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся цен­тры окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков A1CB1, A1BC1 и B1AC1.

За­да­ние 16 № 514508

Аналоги к заданию № 514508: 514515



Источник: ЕГЭ — 2016. Досрочная волна. Ва­ри­ант 201. Юг
46

Окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC и делит каж­дую из сто­рон AB и BC на три рав­ные части.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б) Най­ди­те, в каком от­но­ше­нии вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка делит сто­ро­ну BC.

За­да­ние 16 № 514731


Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2016

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!
общее/сайт/предмет


Рейтинг@Mail.ru
Яндекс.Метрика