Обозначим в исходном уравнении

Имеем:

Отметим далее, что в силу введённых обозначений Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением , имеют с единичной окружностью точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти () и отличные от точек прямой

В системе координат, изображённой на рисунке, уравнение задаёт пучок прямых (отмечены красным цветом), проходящих через точку

Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через (1; 0): У прямой, проходящей через точку угловой коэффициент

Таким образом, условие задачи выполняется, если

Ответ:

ОДЗ данного уравнения:

Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

Преобразуем уравнение:

Функция в левой части уравнения на отрезке монотонно убывает от 9k до 6k. Функция в правой части монотонно возрастает от 0 до 2. Таким образом, уравнение на отрезке будет иметь единственный корень в случае если и то есть при

Осталось только выкинуть случай, когда единственный корень попадает в точку . В этом случае получим:

откуда получаем ответ.

Приведём другое решение.

Областью определения заданного уравнения являются все числа отрезка кроме точки, в которой то есть кроме точки На этой области имеем:

Найдём множество значений левой части. Пусть тогда

Найденная производная положительна на области определения уравнения, функция f (t) возрастает на ней, принимая все значения из отрезка кроме значения Тем самым,

Следовательно, искомыми значениями параметра являются все числа из отрезка кроме

Приведем третье решение.

ОДЗ данного уравнения:

Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

Преобразуем уравнение:

Обозначим тогда последнее уравнение примет вид В системе координат, изображённой на рисунке, оно задаёт пучок прямых (отмечены красным цветом), проходящих через точку

Точки пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью представляют собой решения уравнения. Чтобы на промежутке были решения, прямая должна пересекать дугу окружности, выделенную синим цветом, и не проходить через точку

Угловой коэффициент горизонтальной прямой

У прямой, проходящей через верхнюю точку дуги, угловой коэффициент

У прямой, проходящей через точку , угловой коэффициент

Таким образом, условие задачи выполняется при

Вернувшись к параметру , получаем:

Комментарий.

Изложим идею решения иными словами.

Обозначим в исходном уравнении Далее заметим, что при условии можно избавиться от знаменателя, привести подобные члены и записать исходное уравнение в виде Отметим далее, что в силу введённых обозначений Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (*), имеют с единичной окружностью (**) точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти () и отличные от точек прямой

Ответ: или

Пусть тогда уравнение принимает вид

где Чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, уравнение (⁎) должно иметь единственное решение.

Если , то уравнение не имеет решений.

Если , то уравнение имеет единственное решение (см. рис.).

Если уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямая касается графика функции (см. рис.), что задаётся системой соотношений:

Заметим, что найденное значение параметра, действительно, положительно.

Ответ: ,

Разность выражений, стоящих под знаками модуля, совпадает с правой частью уравнения:

Сделаем замену: Тогда уравнение имеет вид:

Это равносильно условию Получаем

Уравнение имеет корни, ни один из которых не принадлежит интервалу (4; 19) , только если правая граница отрезка решений не больше 4 или левая граница не меньше 19. Получаем

Ответ:

Разность выражений, стоящих под знаками модуля, совпадает с правой частью уравнения:

Сделаем замену:

Тогда уравнение примет вид:

Это равносильно условию Получаем:

Уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23], только если правая граница отрезка решений не меньше 5, а левая не больше 23. Получаем

Таким образом, данное уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23] при принадлежащем множеству [4; 7].

Ответ: [4; 7].