Уравнения с параметром
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
ОДЗ данного уравнения: 
Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
хотя бы одно решение, не равное 
Преобразуем уравнение:
Функция в правой части уравнения на отрезке монотонно возрастает от 0 до 2. Функция в левой части монотонно убывает от 9k до 6k при 
Таким образом, уравнение на отрезке будет иметь единственный корень в случае если 
и 
то есть при 
При 
функция в левой части уравнения отрицательна, и уравнение корней не имеет.
Осталось только выкинуть случай, когда единственный корень попадает в точку 
В этом случае получим:
откуда получаем ответ.
Приведём другое решение.
Областью определения заданного уравнения являются все числа отрезка 
кроме точки, в которой 
то есть кроме точки На этой области имеем:
Найдём множество значений левой части. Пусть 
тогда
Найденная производная положительна на области определения уравнения, функция f (t) возрастает на ней, принимая все значения из отрезка 
кроме значения 
Таким образом, 
Следовательно, искомыми значениями параметра являются все числа из отрезка 
кроме 
Приведем третье решение.
ОДЗ данного уравнения:
Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
хотя бы одно решение, не равное Преобразуем уравнение:
Обозначим 
тогда последнее уравнение примет вид 
В системе координат, изображённой на рисунке, оно задаёт пучок прямых (отмечены оранжевым цветом), проходящих через точку 
Точки пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью представляют собой решения уравнения. Чтобы на промежутке были решения, прямая должна пересекать дугу окружности, выделенную зелёным цветом, и не проходить через точку
Угловой коэффициент горизонтальной прямой 
У прямой, проходящей через верхнюю точку дуги, угловой коэффициент 
У прямой, проходящей через точку 
угловой коэффициент 
Таким образом, условие задачи выполняется при 
Вернувшись к параметру 
получаем:
или 
Комментарий.
Изложим идею решения иными словами.
Обозначим в исходном уравнении 
Далее заметим, что при условии 
можно избавиться от знаменателя, привести подобные члены и записать исходное уравнение в виде 
Отметим далее, что в силу введённых обозначений 
Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (*), имеют с единичной окружностью (**) точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти (
) и отличные от точек прямой 
Ответ: или
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
или Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−1; 1).
Выразим параметр a из заданного уравнения x:
Исходное уравнение имеет решения на полуинтервале [−1; 1) тогда и только тогда, когда прямые 
имеют общие точки с графиком функции 
при условиях 
Таким образом, (см. рис.), искомыми значениями параметра являются 
исключая 
Ответ: 
Приведём другое решение.
Уравнение 
равносильно системе
Эта система имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку 
если уравнение 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий либо промежутку 
либо промежутку 
Поскольку графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке 
уравнение 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку 
при условии
откуда 
(рис. 1).
Уравнение
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку при условии
откуда 
(рис. 2).
Уравнение 
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку при 
и при 
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет ровно два решения.
Пусть 
тогда, используя теорему, обратную теореме Виета, получим:
Значит, исходное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда график функции 
имеет с горизонтальными прямыми 
и 
ровно две общие точки. Эти прямые совпадают, если 
При 
уравнение не имеет решений. Если 
то при 
а если 
то при 
имеем:
При неограниченном увеличении x значения функции стремятся к нулю, причём, для 
функция f является возрастающей, а при 
— убывающей. Эскизы графиков изображены на рисунке.
Таким образом, при должны быть выполнены неравенства 
откуда 
при должны быть выполнены неравенства 
откуда 
Ответ: 
Приведём авторское решение.
Пусть тогда получим:
Значит, решение исходного уравнения — это решение уравнений 
или 
Исследуем сколько решений имеет уравнение 
в зависимости от a и 
При 
и и то есть при 
левая часть определена и принимает вид
При 
выражение 
принимает по одному все значения из промежутка 
для и принимает по одному разу все значения из промежутка 
для 
Значит, при выражение 
принимает по одному разу все значения из промежутка 
при и принимает по одному разу все значения из промежутка 
при Таким образом, уравнение имеет одно решение при 
и не имеет решений при 
и 
При и 
уравнение принимает вид 
и либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.
Уравнение 
и 
могут иметь общие решения при 
то есть при При 
оба уравнения принимают вид 
и имеют одно решение.
При других значениях a исходное уравнение имеет два решения, если оба уравнения 
имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при a принадлежащем множеству
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением точек  и/или  | 3 |
С помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества значений   или  ; возможно, с включением граничных точек и/или исключением точки | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна из граничных точек множества а: или ИЛИ Получено хотя бы одно из уравнений | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим корнями уравнения 
не меньше 9.
Данное уравнение равносильно совокупности уравнений 
или 
откуда:
Сравним полученные корни, чтобы понять, какой из них наименьший, а какой наибольший.
Следовательно, x2 — наибольший корень.
Следовательно, x3 — наименьший корень.
Осталось решить неравенство 
Заметим, что
Поэтому наш ответ — число 17.
Ответ: 17.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет единственное решение на отрезке [0; 2].
Преобразуем уравнение
Положим, 
Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке 
тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен 
имеет единственный корень и этот корень принадлежит интервалу 
либо имеет единственный корень на отрезке 
равный 0 или 2, либо квадратный трёхчлен принимает при 
и 
ненулевые значения разных знаков.
Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при 
или, что то же самое, при 
При таком значении a уравнение 
имеет единственный корень 
он принадлежит отрезку 
Рассмотрим второй случай. Имеем 
и 
Значит, 
при При таком значении a уравнение имеет два решения и 
на отрезке Аналогично 
при 
При таком значении a уравнение имеет единственное решение на отрезке
Рассмотрим третий случай. Значения и 
имеют разные знаки тогда и только тогда, когда 
или, что то же самое, при 
Следовательно, уравнение 
имеет единственное решение на отрезке тогда и только тогда, когда 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх