Введём обозначения:

В этих обозначениях исходное уравнение принимает вид

Если некоторое число является решением этого уравнения, то и число также является его решением, поскольку функции и — чётные. Значит, если уравнение имеет единственное решение, то это решение

Решим уравнение относительно

значит, является решением уравнения при или

При уравнение принимает вид и имеет три различных решения:

Рассмотрим случай

Заметим, что при при

Если то то есть уравнение решений не имеет.

Если то причём равенство возможно только при

Значит, при уравнение имеет единственное решение.

Рассмотрим случай

Если то то есть уравнение решений не имеет.

Если то то есть уравнение решений не имеет.

Рассмотрим случай

В этом случае верны неравенства и так как и Значит, уравнение имеет решения отличные от нуля, а значит решений больше одного.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение или не имеет решений при и то есть при и

Ответ:

Обозначим в исходном уравнении

Имеем:

Отметим далее, что в силу введённых обозначений Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением , имеют с единичной окружностью точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти () и отличные от точек прямой

В системе координат, изображённой на рисунке, уравнение задаёт пучок прямых (отмечены красным цветом), проходящих через точку

Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через (0; 1): У прямой, проходящей через точку угловой коэффициент

Таким образом, условие задачи выполняется, если

Ответ:

Запишем уравнение в виде

Если является корнем исходного уравнения, то и является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только если то есть Подставим значение в уравнение:

откуда либо либо или

При уравнение принимает вид Корнями этого уравнения являются числа и то есть уравнение имеет ровно три корня.

При и при уравнение принимает вид

При это уравнение сводится к уравнению которое не имеет корней.

При получаем уравнение которое имеет единственный корень.

При получаем уравнение которое не имеет корней.

Таким образом, при и при исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: и

Произведём замену переменной получим:

Пусть теперь

При t ≥ 0 функция g(t) убывает, принимая все значения от до При t < 0 функция g(t) − возрастает, принимая все значения от до Значит,

Функция f(t) принимает минимальное значение при причём на промежутке (0; +∞) — функция возрастает, принимая все значения от до , а на промежутке (−∞; 0) — убывает (функция чётная), принимая все значения от до

Поскольку наибольшее значение функции и наименьшее значение функции достигается при одном и том же значении , уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда то есть

1) При a ≥ 0 получаем

2) При a < 0 получаем

Ответ:

Разберем случаи раскрытия модулей.

1) , Тогда уравнение примет вид , что невозможно поскольку

2) Тогда уравнение примет вид Поскольку левая часть - возрастающая функция от , необходимо и достаточно, чтобы ,

Первое условие дает Второе — , что верно при всех неотрицательных

3), Тогда уравнение примет вид a, что невозможно поскольку

4) , Тогда уравнение примет вид Поскольку левая часть — убывающая функция от , причем , необходимо и достаточно, чтобы или , в зависимости от того, какое из чисел 0 или меньше.

Если и эти числа равны, получаем функцию , положительную на левой полуоси.

Если , то можно рассматривать любые и поэтому нужно чтобы, то есть Однако такие a уже рассматривались и для них корень есть.

Если , то можно рассматривать только и поэтому нужно чтобы , то есть , что очевидно невозможно при отрицательных

Ответ:

Преобразуем исходное уравнение:

Последнее уравнение имеет более двух корней или если a = −1, или если уравнение имеет два различных корня, отличных от 3:

откуда или

Исходное уравнение имеет более двух различных корней при при a = −1, при и при

Ответ:

Пусть Если то — два корня. Если тогда — единственный корень.

Обозначим Исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда уравнение имеет ровно один корень больший 1.

Уравнение имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю:

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение имеет единственный корень

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение имеет два корня.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы уравнение имело два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Ответ:

Пусть Если тогда и Если тогда

Обозначим Исходное уравнение имеет ровно два корня в двух случаях:

1) когда уравнение имеет всего один корень и этот корень больше 1;

2) когда уравнение имеет ровно два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1.

Рассмотрим эти случаи:

1) Уравнение имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю:

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение не имеет корней.

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение имеет два корня.

2) Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы уравнение имело два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Ответ:

Преобразуем уравнение

Рассмотрим функцию Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение равносильно уравнению Оно имеет более одного корня в тех случаях, когда дискриминант уравнения положителен. То есть когда

Ответ:

Преобразуем уравнение

Рассмотрим функцию Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение равносильно уравнению Оно не имеет корней в тех случаях, когда дискриминант уравнения отрицателен. То есть когда

Ответ:

Преобразуем уравнение

Рассмотрим функцию Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение равносильно уравнению Оно не имеет корней в тех случаях, когда дискриминант уравнения отрицателен. То есть когда

Ответ:

Сделаем замену Поскольку , то и каждому такому соответствует единственное

Получаем задачу — при каких уравнение имеет корень, больший чем ?

Построим график этого уравнения в плоскости tOa

Прямые и разбивают плоскость на четыре части (I, II, III и IV), в каждой из которых график уравнения представляет собой часть параболы.

В области I оба подмодульных выражения положительны и уравнение принимает вид

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

В области II выражение отрицательно, а выражение положительно и уравнение принимает вид

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Для области III получим

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Для области IV получим

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Задача свелась к ответу на вопрос: при каких значениях , горизонтальная прямая имеет пересечение с графиком функции правее вертикальной прямой (красная линия).

Получаем ответ: при

Поскольку то

Итак, осталось найти наибольшее значение выражения Поэтому наибольшая разность корней равна и достигается при

Ответ: При этом модуль разности корней равен 2.

Решение предложенное Вадимом Веселовским.

Преобразуем уравнение:

На координатной плоскости Oxa это уравнение окружности с центром (3, 2) и радиусом 1. Корнями уравнения будут точки пересечения этой окружности с горизонтальной прямой Очевидно, что максимальная разность между корнями достигается в случае диаметра окружности при пересечении с прямой a = 2.

Заметим, что сумма корней уравнения равна а их произведение равно Поэтому корни — суть числа и Тогда для исходного уравнения имеем:

Каждое из уравнений совокупности может иметь не более двух корней.

Для того, чтобы исходное уравнение имело четыре корня, каждое из уравнений совокупности должно иметь по два корня и при этом уравнения не должны совпадать. Используя свойство суммы двух взаимно обратных чисел, получаем, что четыре корня исходное уравнение будет иметь при

 

Ответ:

Пусть тогда Чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, уравнение должно иметь единственное решение.

Если , то уравнение не имеет решений.

Если , то уравнение имеет единственное решение (см. рис.).

Если уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямая касается графика функции (см. рис.), что задаётся системой соотношений:

Заметим, что найденное значение параметра, действительно, положительно.

Ответ: ,

1. При функция имеет вид:

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.

При функция имеет вид:

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии

2. Если принадлежит отрезку то наименьшее значение функция может принимать только в точках и Если — то еще и в точке

3. Наименьшее значение функции больше тогда и только тогда, когда либо

Решим первую систему:

Решим вторую систему:

Ответ:

Разность выражений, стоящих под знаками модуля, совпадает с правой частью уравнения:

Сделаем замену: Тогда уравнение имеет вид:

Это равносильно условию Получаем

Уравнение имеет корни, ни один из которых не принадлежит интервалу (4; 19) , только если правая граница отрезка решений не больше 4 или левая граница не меньше 19. Получаем

Ответ:

Разность выражений, стоящих под знаками модуля, совпадает с правой частью уравнения:

Сделаем замену:

Тогда уравнение примет вид:

Это равносильно условию Получаем:

Уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23], только если правая граница отрезка решений не меньше 5, а левая не больше 23. Получаем

Таким образом, данное уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23] при принадлежащем множеству [4; 7].

Ответ: [4; 7].

Пусть тогда и уравнение принимает вид

Заметим, что уравнение имеет вид для Производная положительна при всех поэтому функция возрастает на всей числовой прямой. Тогда уравнение равносильно уравнению

Вернемся к исходной переменной:

Полученное уравнение, а вместе с них и исходное, не имеет действительных решений, если его дискриминант отрицателен, откуда

Ответ:

Пусть Тогда и уравнение принимает вид

Синус — нечётная функция, поэтому Рассмотрим функцию Тогда уравнение принимает вид Эта функция определена при всех и её производная положительна при всех Следовательно, функция монотонно возрастает на всей числовой прямой. Тогда уравнение равносильно уравнению

Сделаем обратную замену:

Уравнение не имеет действительных решений, если его дискриминант отрицателен: откуда

Ответ:

Решение 1. Положим где так как

Тогда, исходное уравнение принимает вид Найдем множество значений функции на отрезке [0; 2]. Так как на промежутке [0; 2), то функция убывает на отрезке [0; 2], и, следовательно, множество ее значений на отрезке [0; 2] ― отрезок [f (2); f (0)], т.е. отрезок Таким образом, уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда выполняются условия

Решение 2. Положим где так как и рассмотрим функцию Так как ее производная на промежутке [0; 2), то функция убывает на отрезке [0; 2], и, значит, имеет на нем не более одного корня. Этот корень есть тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два условия и Таким образом, приходим к системе

Решение 3 (Указание). Построить эскиз графика функции на отрезке [0; 2] (см. решение 1) и исследовать взаимное расположение графика этой функции и прямой

Ответ:

Решение 1. Перепишем данное уравнение в виде и положим где Тогда исходное уравнение принимает вид

Найдем множество значений функции на отрезке [0; 2].

Так как то на промежутке [0; 1) и промежутке (1; 2]. Значит, функция убывает на отрезке [0; 1] и возрастает на отрезке [1; 2]. Поскольку то множество значений функции на отрезке [0; 2] ― отрезок [f (1); f (2)], т. е. отрезок Таким образом, уравнение не имеет решений на отрезке [0; 2] тогда и только тогда, когда выполняются условия или

Решение 2. Положим где и рассмотрим функцию Так как ее производная то на промежутке [0; 1) и промежутке (1; 2]. Значит, на промежутке [0; 2) функция имеет единственный экстремум ― минимум Так как уравнение не имеет решений на отрезке [0; 2] тогда и только тогда, когда выполняются условия или Таким образом, приходим к совокупности

Решение 3. Построить эскиз графика функции на отрезке [0; 2] (см. решение 1) и исследовать взаимное расположения графика этой функции и прямой

Ответ:

Если 2a +5 < 0, то уравнение решений не имеет.

Пусть a = −2,5. Тогда уравнение имеет вид

и ни одно число отрезка [2, 3] не является его решением.

Пусть a > −2,5. Будем использовать геометрический подход и запишем уравнение в виде

Заметим, что при a > −2,5 верно неравенство −a − 3 < a + 2. Поэтому решением неравенства является любое число из отрезка [−a − 3, a +2]: ведь длина отрезка равна (a + 2) − (−a − 3) = 2a + 5 и неравенству удовлетворяют те и только те точки x, сумма расстояний от каждой из которых до точек x = a + 2; x = −a − 3 равна 2a + 5. Осталось выбрать те значения a, при каждом из которых отрезок [−a − 3, a + 2] содержит отрезок [2, 3]. Это выполнено тогда и только тогда, когда:

Ответ: a ≥ 1.

Введём обозначения: В этих обозначениях исходное уравнение принимает вид

Заметим, что при при

Пусть покажем, что в этом случае уравнение либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Действительно, если то

Если то причём равенство достигается только при и

При верны неравенства и так как и Значит, уравнение имеет решение.

Если некоторое число является решением этого уравнения, то и число также является его решением, поскольку функции и — чётные. Значит, если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет единственное решение, то это решение

Решим уравнение относительно значит, является решением уравнения при или

Случай, когда уже был разобран.

При уравнение принимает вид и имеет три различных решения:

Таким образом, уравнение имеет единственное решение или не имеет решений при и то есть при и

Ответ:

Запишем уравнение в виде Рассмотрим две функции: и Графиком функции является полуокружность радиуса с центром в точке лежащая в верхней полуплоскости. При каждом значении графиком функции является прямая с угловым коэффициентом проходящая через точку

Уравнение имеет единственный корень, если графики функций и имеют единственную общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.

Касательная проведённая из точки к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный нулю, то есть при исходное уравнение имеет единственный корень. При прямая не имеет общих точек с полуокружностью.

Прямая заданная уравнением проходит через точки и следовательно, её угловой коэффициент При прямая, заданная уравнением имеет угловой коэффициент не больше, чем у прямой и пересекает полуокружность в двух точках. При прямая, заданная уравнением имеет угловой коэффициент больше, чем у прямой и не больше, чем у прямой и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что при исходное уравнение имеет единственный корень. При  прямая не имеет общих точек с полуокружностью.

Ответ:

Запишем уравнение в виде Рассмотрим две функции: и Графиком функции является полуокружность радиуса 4 с центром в точке (3;0). лежащая в верхней полуплоскости (см. рис.). При каждом значении графиком функции является прямая с угловым коэффициентом проходящая через точку

Уравнение имеет единственный корень, если графики функций и имеют единственную общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.

Касательная проведённая из точки к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный нулю, то есть при исходное уравнение имеет единственный корень. При прямая не имеет общих точек с полуокружностью.

Прямая заданная уравнением проходит через точки и следовательно, её угловой коэффициент При прямая, заданная уравнением имеет две общие точки с полуокружностью. Прямая заданная уравнением проходит через точки и следовательно, её угловой коэффициент При прямая, заданная уравнением имеет угловой коэффициент больше, чем у прямой и не больше, чем у прямой и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что при исходное уравнение имеет единственный корень. При прямая не имеет общих точек с полуокружностью.

Ответ:

Сделаем замену поэтому Задачу можно сформулировать так: найдите значения при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение, удовлтеворяющее условию

Перейдем к системе:

Заметим, что ни при одном значении число не является корнем уравнения.

Рассмотрим функцию Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий:

1) Трёхчлен имеет два различных корня, и только больший из них лежит на промежутке , то есть

2) Трёхчлен имеет два различных корня, и только меньший из них лежит на промежутке

, то есть

3) Трёхчлен имеет два корня, возможно, совпадающих, и оба, а также вершина, лежат на промежутке , то есть

где — абсцисса вершины параболы. Эти условия соответствуют следующим способам расположения графика функции

Решим первую систему:

Решим вторую систему:

Решим третью систему:

Ответ:

Поделим числитель и знаменатель дроби на

Сделаем замену

, поэтому

Задачу можно сформулировать так: найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию

Перейдем к системе:

Заметим, что ни при одном значении число не является корнем уравнения.

Рассмотрим функцию Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий:

1) Трёхчлен имеет два различных корня, и только больший из них лежит на промежутке (0; 1])(см.рис. 1), то есть

2) Трёхчлен имеет два различных корня, и только меньший из них лежит на промежутке (0; 1])(см.рис. 2), то есть

3) Трёхчлен имеет два корня,возможно, совпадающих, и оба лежат на промежутке (0; 1])(см.рис. 3), то есть

Эти условия соответствуют следующим способам расположения графика функции :

Решим систему:

Решим систему:

Решим систему: откуда

Ответ:

Возведем в квадрат:

Неравенство задает на координатной плоскости «верхнюю» полуплоскость с границей а уравнение при ― окружность с центром и радиусом (см. рисунок).

Окружность и полуплоскость не имеют общих точек тогда и только тогда, когда радиус окружности меньше половины диагонали PO квадрата APBO, то есть, откуда

При уравнение, а, следовательно, и вся система решений не имеют, а при решением уравнения является пара которая не удовлетворяет неравенству

Ответ:

Если x₀ является корнем исходного уравнения, то и −x₀ является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если x₀ = −x₀, то есть x₀ = 0. Подставим значение x = 0 в исходное уравнение:

откуда либо |a − 3| = 0 ⇔ a = 3, либо |a − 3| = 2 ⇔ a = 1, или a = 5.

При a = 3 исходное уравнение принимает вид: x² = 2|x|. Корнями этого уравнения являются числа −2; 0 и 2, то есть исходное уравнение имеет более одного корня.

При a = 1 и при a = 5 уравнение принимает вид: x² + 4 = |x − 2| + |x + 2|.

При x < − 2 это уравнение сводится к уравнению x² + 2x + 4 = 0, которое не имеет корней.

При −2 ≤ x ≤ 2 получаем уравнение x² = 0, которое имеет единственный корень.

При x > 2 получаем уравнение x² − 2x + 4 = 0, которое не имеет корней. При a = 1 и при a = 5 исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 1; 5.

Рассмотрим две функции: и Поскольку получаем:

Функция является кусочно-линейной, причём при угловой коэффициент равен либо 3, либо 9, а при угловой коэффициент равен либо –3, либо –9. Значит, функция возрастает при и убывает при поэтому

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда

Значит, либо

либо

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень при и при и не имеет корней при других значениях

Ответ:

Рассмотрим два случая. Первый случай: Исходное уравнение примет вид

Последнее уравнение имеет на промежутке единственный корень при откуда Подставив в неравенство получим: откуда

В этом случае уравнение при условии имеет на промежутке единственный корень при и не имеет на промежутке корней при и при

Второй случай: Исходное уравнение примет вид

Последнее уравнение имеет на промежутке единственный корень Подставив в неравенство получим: откуда

В этом случае уравнение при условии имеет на промежутке единственный корень при и не имеет на промежутке корней при

Уравнение на промежутке

 • при не имеет корней;

 • при имеет единственный корень

 • при имеет два различных корня и

 • при имеет единственный корень

Ответ:

Уравнение равносильно системе

Эта система имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку если уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий либо промежутку либо промежутку

Поскольку графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку при условии

Уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку при условии

Уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку при и при

Ответ:

Запишем уравнение в виде

Если является корнем исходного уравнения, то и является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только если то есть Подставим значение в уравнение:

откуда либо либо или

При уравнение принимает вид Корнями этого уравнения являются числа и то есть уравнение имеет ровно три корня.

При и при уравнение принимает вид

При это уравнение сводится к уравнению которое не имеет корней.

При получаем уравнение которое имеет единственный корень.

При получаем уравнение которое не имеет корней.

Таким образом, при и при исходное уравнение имеет единственный корень x = 0.

Ответ: и

Пусть число — решение данного уравнения при некотором значении параметра Тогда число есть его решение при том же значении Если решение единственно, то решения и совпадают, то есть

Подставив это решение в исходное уравнение, получим:

откуда

Пусть Тогда исходное уравнение примет вид

Отсюда следует, что следовательно,

Исходное уравнение принимает вид и оно имеет единственное решение удовлетворяющее условию Следовательно, удовлетворяет условию задачи.

Ответ: при единственное решение

Рассмотрим функцию Она определена при возрастает на области определения и принимает все значения от до Значит, уравнение имеет единственное решение. Это решение принадлежит отрезку тогда и только тогда, когда и Получаем систему неравенств:

Ответ:

Пусть тогда исходное уравнение принимает вид:

Значит, решение исходного уравнения — это решение уравнений или Исследуем сколько решений имеет уравнение в зависимости от и Заметим, что слева стоит сумма модулей, то есть при решений нет. Запишем уравнение в виде Левая часть этого уравнения — график модуля с вершиной в точке график левой части — график модуля, отражённый относительно оси с вершиной в точке Это уравнение будет иметь два решения, если одновременно прямая лежит правее (выше) прямой и прямая лежит левее (выше) прямой Это достигается условиями и Таким образом уравнение совокупности имеет два решения при условии:

Если вершина находится внутри части плоскости отсекаемой графиком то уравнение имеет два решения, если прямые и совпадают или прямые и совпадают, то уравнение имеет бесконечно много решений, если вершина совпадает с точкой то уравнение имеет одно решение.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения, если одно из уравнений совокупности имеет два решения, а второе не имеет решений, либо если каждое из уравнений совокупности имеет два решения, но эти решения совпадают. Разберём каждый из этих случаев.

Первый случай. При или , или уравнение совокупности решений не имеет. Таким образом исходное уравнение имеет два решения, если первое уравнение имеет два решения, а второе — не имеет, либо наоборот. В случае, когда первое уравнение верно система условий имеет вид:

В случае, когда второе уравнение верно система условий имеет вид:

Второй случай. Решения совпадут, если совпадают уравнения, то есть, если откуда При данном значении оба уравнения прнимают вид:

Данное уравнение не имеет решений.

То есть исходное уравнение не имеет решений при равном

Таким образом, уравнение имеет ровно два решения при

Ответ:

Определим, что при a < 0 уравнение не имеет решений, так как левая часть не меньше нуля, а правая меньше нуля. Определим, для каких a ≥ 0 графики функции и имеют более двух общих точек на области

Заметим, что при всех a ≥ 1 уравнение имеет хотя бы один корень, не превосходящий нуль. При уравнение имеет два решения. При где m — значение a, которому соответствует точка касания графика функции и графика функции Найдём m:

Таким образом, при уравнение имеет два решения, а при больших a — только одно решение. Значит, — единственный промежуток, на котором уравнение имеет больше двух решений (то есть три).

Ответ:

Приведём ещё одно решение:

Рассмотрим функции и Исследуем уравнение

На промежутке функция возрастает. Функция убывает на этом промежутке, поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, то есть при

При уравнение принимает вид При левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При это уравнение сводится к квадратному уравнению дискриминант которого поэтому при это уравнение не имеет корней, при — уравнение имеет единственный корень, равный при — уравнение имеет два корня.

Пусть уравнение имеет два корня, и

Тогда меньший корень а больший корень не превосходит если то есть при

По теореме Виета поэтому знаки корней и зависят от знаков выражений и Значит, при оба корня отрицательны, при один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при оба корня неотрицательны.

Таким образом, при уравнение не имеет корней при и имеет один корень при и имеет два корня при

Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней:

— нет корней при

— один корень при и

— два корня при и

— три корня при

Ответ:

Запишем исходное уравнение в виде

Пусть t = cosx, тогда исходное уравнение имеет хотя бы один корень, если уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1]. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх,

следовательно, уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1], либо при условии (рис. 1) откуда либо при условии (рис. 2) откуда

Ответ:

Запишем уравнение в виде и рассмотрим графики функций и

График первой функции — парабола, график второй функции — угол с вершиной в точке а.

Уравнение будет иметь три различных решения в следующих случаях.

1. Вершина параболы совпадает с вершиной угла (рис. 1).

2. Одна из сторон угла касается параболы (рис. 2).

В первом случае , и уравнение имеет три корня: 2, 4, 6. Рассмотрим второй случай. Пусть правая сторона угла касается параболы. Уравнение , а должно иметь единственное решение.

Приведём уравнение к стандартному виду:

Из равенства нулю дискриминанта получаем

,

откуда

Если параболы касается левая сторона угла, получаем уравнение

;

Оно имеет единственное решение, только если

Ответ: 3,5; 4; 4,5.

Запишем уравнение в виде:

Рассмотрим функцию Она является суммой двух возрастающих функций и поэтому возрастает. Исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда откуда получаем

Функция принимает значения от до а функция монотонно возрастает на отрезке и принимает на нём значения от до Значит, уравнение а с ним и исходное уравнение имеют решение при

Ответ:

Запишем уравнение в виде

Построим графики левой и правой частей уравнения и Первая из них парабола с отраженной отрицательной частью, а вторая график модуля с вершиной в точке (см. рис.). Ясно, что вершина второго графика перемещается в зависимости от по прямой Из рисунка видно, что подходящих значений ровно два — при одном из них график правой части проходит через точку при другом — касается отраженного участка параболы.

Первое происходит при , а второе — когда уравнение

имеет единственный корень, то есть в случае, когда дискриминант равен нулю.

Ответ:

Пусть тогда, используя теорему, обратную теореме Виета, получим:

Значит, исходное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда график функции имеет с горизонтальными прямыми и ровно две общие точки. Эти прямые совпадают, если

При уравнение не имеет решений. Если то при а если то при имеем:

При неограниченном увеличении значения функции стремятся к нулю; причём для функция является убывающей, а при — возрастающей. Эскизы графиков изображены на рисунке.

Тем самым, при должны быть выполнены неравенства откуда при должны быть выполнены неравенства откуда

Ответ:

Приведём авторское решение.

Пусть тогда получим:

Значит, решение исходного уравнения — это решение уравнений или

Исследуем сколько решений имеет уравнение в зависимости от и При и , и то есть при левая часть определена и принимает вид

При выражение принимает по одному все значения из промежутка для и принимает по одному разу все значения из промежутка для Значит, при выражение принимает по одному разу все значения из промежутка при и принимает по одному разу все значения из промежутка при Таким образом, уравнение имеет одно решение при и не имеет решений при и При и уравнение принимает вид и либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.

Уравнение и могут иметь общие решения при то есть при При оба уравнения принимают вид и имеют одно решение.

При других значениях исходное уравнение имеет два решения, если оба уравнения имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при принадлежащем множеству

Отметим, что при уравнение не имеет положительных корней, так как его левая часть неположительна, а правая положительна. Определим, для каких положительных a графики функции и имеют ровно две точки пересечения на области x > 0. График функции ― гипербола, её горизонтальная асимптота y = 0, вертикальная ― x = −1. При всех положительных значениях параметра уравнение имеет положительный корень больший числа 4 (см. рис.). Чтобы уравнение имело ровно два положительных решения, значения параметра должны обеспечивать существование ровно одного второго корня на промежутке (0; 4). Заметим, что на этом промежутке

Определим вначале значение параметра, соответствующее касанию прямой y = a(4 − x) и гиперболы:

Заметим, что касанию прямой и гиперболы соответствует нуль дискриминанта полученного квадратного уравнения:

Дискриминант равен нулю при единственном положительном значении параметра Итак, касанию соответствует при этом абсцисса точки касания положительна:

Определим далее значение параметра, при котором прямая проходит через точку (0; 5).

Имеем: 

Итак, при и при уравнение имеет ровно два положительных решения.

Ответ: при и при

Приведём авторское решение.

Рассмотрим функции и Исследуем на промежутке

При все значения функции на промежутке неположительны, а все значения функции  — положительны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке

При функция возрастает на промежутке Функция убывает на этом промежутке, поэтому уравнение всегда имеет ровно одно решение на промежутке поскольку и

На промежутке уравнение принимает вид Это уравнение сводится к уравнению Будем считать, что поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения поэтому при это уравнение не имеет корней, при уравнение имеет единственный корень, равный при уравнение имеет два корня.

Пусть уравнение имеет два корня, то есть Тогда оба корня меньше поскольку при значения функции неположительны, а значения функции положительны. По теореме Виета сумма корней равна а произведение равно Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда

Таким образом, исходное уравнение имеет следующее количество корней на промежутке

1) Нет корней при

2) Один корень при

3) Два корня при и

4) Три корня при

Ответ:

Отметим, что при уравнение не имеет положительных корней, так как его левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Определим, для каких положительных a графики функций имеют более двух точек пересечения на области x > 0.

Уравнение y = ax − 1 задаёт семейство прямых, проходящих через точку Если их угловой коэффициент меньше чем у прямой р или больше чем у прямой m (см. рис.), то на промежутке графики будут иметь ровно одну общую точку. Если прямая совпадает с прямой р или с прямой m, то графики будут иметь ровно две общие точки. Графики имеют три общие точки, а исходное уравнение имеет три положительных решения, если прямые y = ax − 1 лежат внутри острого угла, образованного прямыми p и m.

Найдём граничные значения параметров, соответствующие этим прямым.

Для прямой p:

Найдём значение параметра, соответствующее касанию. Имеем:

Касательная к гиперболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому дискриминант полученного квадратного уравнения должно быть равен нулю:

Итак, касанию соответствует значение параметра

При найденных значениях параметров прямая m пересекается с графиком функции в точках и а прямая р касается графика в точке Заметим, что точка С действительно лежит левее точки В, в силу того, что график выпукл вверх, и что ордината точки С положительна, иначе оказалось бы, что наш рисунок неверен и потребовалось рассмотреть соответствующую конфигурацию.

Тем самым, искомыми значениями параметра являются

Ответ:

Приведём авторское решение.

Рассмотрим функции и Исследуем уравнение на промежутке

При все значения функции на промежутке отрицательны, а все значения функции  — неотрицательны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке

При функция возрастает. Функция убывает на промежутке поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, откуда получаем то есть

На промежутке уравнение принимает вид Это уравнение сводится к уравнению Будем считать, что поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения поэтому при это уравнение не имеет корней, при уравнение имеет единственный корень, равный при уравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет два корня и то есть то больший корень поэтому он принадлежит промежутку Меньший корень принадлежит промежутку тогда и только тогда, когда

Таким образом, исходное уравнение имеет следующее количество корней на промежутке

— нет корней при

— один корень при и

— два корня при и

— три корня при

Ответ:

Пусть Рассмотрим уравнение Число x = 0 не является корнем этого уравнения ни при каком значении параметра а. Поэтому это уравнение равносильно уравнению

Рассмотрим функцию

и для уравнения определим число корней и их расположение для каждого значения параметра а.

Найдём производную

Отсюда следует, что на промежутках функция убывает, а на промежутке — возрастает. Следовательно, точка x = 1 — точка минимума, а минимум равен 7.

Из полученных свойств функции следует, что при любом значении a данное уравнение имеет ровно один отрицательный корень, и поскольку то при уравнение имеет ровно один корень на отрезке при уравнение не имеет корней на

При a = 7 уравнение имеет единственный корень x = 1 на отрезке

Поскольку то при на отрезке уравнение имеет ровно два корня. При a > 10 уравнение также имеет единственный корень на отрезке

Решим два неравенства и уравнение:

Получим:

Ответ:

Запишем первое уравнение системы в виде

При левая часть не имеет смысла. При уравнение задаёт прямую и гиперболу (см. рис.). При каждом значении a уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.

При такая прямая пересекает прямую при и пересекает правую ветвь гиперболы при пересекает левую ветвь гиперболы при При этом прямая проходит через точку пересечения прямой и гиперболы при

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы с прямой при условии

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при и при

Ответ:

Пусть тогда уравнение запишется в виде откуда или Значит, решения исходного уравнения — это решения уравнений или

Исследуем, сколько решений имеет уравнение в зависимости от a и b. При уравнение принимает вид Это квадратное уравнение, дискриминант которого равен Таким образом, уравнение имеет два решения при одно решение при и не имеет решений при При уравнение принимает вид и имеет одно решение.

Уравнение и могут иметь общие решения при то есть при При оба уравнения принимают вид и имеет два решения.

При других значениях a исходное уравнения имеет ровно два решения, если либо оба уравнения и имеют по одному решению, либо одно из них не имеет решений, а другое имеет два решение. При каждое из этих уравнений имеет единственное решение и эти решения различны. При других значениях a выполнено неравенство поэтому уравнение имеет два решения. Уравнение не имеет решений при то есть при и при

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при

Ответ:

Пусть тогда уравнение запишется в виде откуда или Значит, решения исходного уравнения — это решения уравнений или

Исследуем, сколько решений на отрезке имеет уравнение в зависимости от b. На промежутке функция принимает каждое неотрицательное значение один раз, на промежутке функция принимает каждое значение один раз. Таким образом, уравнение имеет на отрезке два решения при и одно решение при

Уравнения и могут иметь общие решения при то есть при и При оба уравнения принимают вид и имеют два решения на отрезке При оба уравнения принимают вид и имеют одно решение на отрезке

При других значениях a исходное уравнение имеет ровно два решения на отрезке если оба уравнения и имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:

то есть

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения на отрезке при

Ответ:

Заметим, что если число является решением уравнения, то и число также является решением этого уравнения. Значит, если уравнение имеет единственное решение, то это решение

При уравнение принимает вид

откуда

При и исходное уравнение принимает вид При правая часть уравнения При правая часть уравнения равна 4, а левая часть уравнения не меньше 4, причём равенство достигается только при При правая часть уравнения Значит, исходное уравнение имеет единственное решение

При исходное уравнение принимает вид Числа −2, 0 и 2 являются корнями этого уравнения.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение при и

Ответ: 3; 7.

Имеем:

Уравнение имеет три решения тогда и только тогда, когда и уравнение имеет два различных отличных от нуля решения, удовлетворяющих условию

Заметим, что сумма корней уравнения равна и произведение равно значит, его корни и причём Найденные корни удовлетворяют условию (*), если:

1) a — любое число.

2)

3)

Итак,

Ответ:

Пусть

Имеем:

Так как получаем если a = 0, то t > 0; если то Поскольку при a = 0 решением являются все положительные значения t, уравнение имеет единственное решение, если

Ответ:

Преобразуем исходное уравнение:

Корнями этого уравнения являются корни уравнения

не совпадающие с числами a и −2.

Если является корнем уравнения

то откуда или

Если является корнем уравнения

то откуда или

Имеем:

— при исходное уравнение имеет единственный корень

— при исходное уравнение имеет единственный корень

— при исходное уравнение имеет единственный корень

Кроме этого, уравнение имеет единственный корень, не равный a и –2, если его дискриминант равен 0.

Значит, уравнение

— имеет ровно два различных корня при

— имеет ровно один корень при или

— не имеет корней при или

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень при:

Ответ:

Возводя в квадрат, получаем

то есть

Его корни Осталось узнать, не посторонние ли это корни, и все ли они различны (их как раз три).

При изначальное уравнение примет вид что верно при

При изначальное уравнение примет вид что верно при

При изначальное уравнение примет вид что верно при при всех a.

Совпадение корней происходит при или

Ответ:

Рассмотрим функцию Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение равносильно уравнению Оно не имеет корней в тех случаях, когда дискриминант уравнения отрицателен. То есть когда

Ответ:

Сделаем замену Получим уравнение При выполненной замене количество корней не изменяется (каждому значению переменной t соответствует ровно одно значение переменной x). Поэтому новое уравнение также должно иметь ровно 4 решения.

Построим график этого уравнения в плоскости tOa

Прямые и разбивают плоскость на четыре части (I, II, III и IV), в каждой из которых график уравнения представляет собой часть параболы.

В области I оба подмодульных выражения положительны и уравнение принимает вид

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

В области II выражение отрицательно, а выражение положительно и уравнение принимает вид

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Для области III получим

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Для области IV получим

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Количество корней определяется количеством точек пересечения графика уравнения с горизонтальной прямой.

При	уравнение не имеет корней,
при	уравнение имеет один корень,
при	уравнение имеет два корня,
при	уравнение имеет три корня,
при	уравнение имеет четыре корня,
при	уравнение имеет три корня,
при	уравнение имеет четыре корня,
при	уравнение имеет три корня,
при	уравнение имеет два корня,
при	уравнение имеет один корень,
при	уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение имеет четыре корня при и при

Левая часть исходного уравнения неотрицательна при любом допустимом значении x, поэтому при корней нет.

Пусть тогда исходное уравнение принимает вид:

Левая часть полученного уравнения неотрицательна при любом допустимом значении x, поэтому при корней нет.

При уравнение имеет единственный корень

При получаем:

Дискриминант квадратного уравнения равен

значит, это уравнение имеет два корня при В этом случае корни квадратного уравнения равны

и всегда принадлежат отрезку поскольку

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при

Ответ:

Заметим, что исходное уравнение можно записать в виде

Рассмотрим функцию

Её производная , значит, функция является возрастающей и каждое свое значение принимает ровно один раз.

Тогда исходное уравнение равносильно квадратному уравнению

которое не имеет корней при

Ответ:

Заметим, что исходное уравнение можно записать в виде

Рассмотрим функцию

Её производная , значит, функция является возрастающей и каждое свое значение принимает ровно один раз.

Тогда исходное уравнение равносильно квадратному уравнению

которое не имеет корней при

Ответ:

ОДЗ данного уравнения:

Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

Преобразуем уравнение:

Обозначим тогда последнее уравнение примет вид В системе координат, изображённой на рисунке, оно задаёт пучок прямых (отмечены красным цветом), проходящих через точку

Точки пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью представляют собой решения уравнения. Чтобы на промежутке были решения, прямая должна пересекать дугу окружности, выделенную синим цветом, и не проходить через точку

Угловой коэффициент горизонтальной прямой

У прямой, проходящей через верхнюю точку дуги, угловой коэффициент

У прямой, проходящей через точку , угловой коэффициент

Таким образом, условие задачи выполняется при

Вернувшись к параметру , получаем:

Ответ: или

Изложим идею решения иными словами.

Обозначим в исходном уравнении Далее заметим, что при условии можно избавиться от знаменателя, привести подобные члены и записать исходное уравнение в виде Отметим далее, что в силу введённых обозначений Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (*), имеют с единичной окружностью (**) точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти () и отличные от точек прямой

Приведём другое решение.

Областью определения заданного уравнения являются все числа отрезка кроме точки, в которой то есть кроме точки На этой области имеем:

Найдём множество значений левой части. Пусть тогда

Найденная производная положительна на области определения уравнения, функция f возрастает на ней, принимая все значения из отрезка кроме значения Тем самым,

Следовательно, искомыми значениями параметра являются все числа из отрезка кроме

Пусть x — неотрицательное, поэтому нужно, чтобы уравнение имело два решения, которые не меньше 1. Решим уравнение

1) Раскроем оба модуля со знаком плюс: Вершина параболы в точке что означает, что оба корня не могут быть больше 1.

2) Раскроем оба модуля со знаком минус: Вершина параболы в точке Оба корня не могут быть больше 1.

3) Раскроем первый модуль с минусом, второй с плюсом: Вершина в точке оба корня не могут одновременно быть больше 1.

4) Раскроем первый модуль с плюсом, второй с минусом: Чтобы два решения были больше 1 необходимо выполнение следующих условий:

Теперь убедимся, что для найденных значений a модуль раскрывается именно так

Чтобы корни находились в этом промежутке:

Найденные нами ранее a удовлетворяют условию.

Ответ:

График функции — парабола, отраженная относительно оси Ox. Вершина — это точка (a; 3a − 1), она перемещается по прямой

Ясно, что три решения будет при и в случае касания прямой и

Ответ:

Пусть тогда уравнение примет вид: Пусть При t > 0 функция убывает от до При t < 0 функция возрастает от до Поэтому максимальное значение функции

Функция принимает минимальное значение при Причем возрастает на промежутке и убывает на промежутке , принимая значения от до

Чтобы было решение необходимо, чтобы то есть При получаем При решений нет.

Ответ:

Пусть тогда уравнение примет вид:

При левая часть уравнения принимает наименьшее значение

При правая часть уравнения убывает и принимает значения от 12|a| до а при — возрастает, принимая значения от до 12|a| (не включая), то есть наибольшее значение правой части уравнения достигается при и равно 12|a|.

Чтобы уравнение имело решение, наибольшее значение правой части должно быть не меньше наименьшего значения левой части:

Ответ:

Разность выражений, стоящих под знаком модуля, совпадает с правой частью уравнения:

Сделаем замену:

Тогда уравнение примет вид:

Это равносильно условию Получаем

Уравнение имеет корни, ни один из которых не принадлежит интервалу (4; 19) только если правая граница отрезка решений не больше 4 или левая граница не меньше 19.

Получаем

Ответ:

Перейдём к системе

Уравнение имеет корни и при любых значениях и ещё один корень , который не должен совпадать с двумя другими. Значит, и При этом должно выполняться неравенство

Получаем:

Откуда получаем ответ.

Ответ:

Заметим, что

Преобразуем уравнение:

Рассмотрим два случая.

Пусть , тогда из неравенства:

Отрезку принадлежат два числа и

Пусть , тогда имеем:

В первой серии не содержится корней, лежащих на отрезке Среди корней, содержащихся во второй серии, отрезку принадлежит одно число Подставляя его в неравенство, получаем: откуда

Ответ: ,

Заметим, что

Преобразуем уравнение (1):

Рассмотрим два случая. Пусть , тогда из (2):

Отрезку принадлежат два числа и

Пусть , тогда имеем:

В первой серии не содержится корней, лежащих на отрезке Среди корней, содержащихся во второй серии, отрезку принадлежит одно число Подставляя его в неравенство (2), имеем: откуда

Ответ: ,

Преобразуем уравнение:

Число принадлежит отрезку при k = −1 и k = 0.

Уравнение имеет на отрезке единственный корень Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение на отрезке , только если число или находится вне отрезка , или совпадает с или совпадает с , то есть откуда или

Ответ:

Запишем уравнение в виде откуда или

Построим решения уравнения на координатной плоскости xOa.

На чертеже видно, что система имеет единственное решение при Найдем

Из системы получаем , откуда

Из системы получаем , откуда

Ответ:

Запишем уравнение в виде и рассмотрим два случая.

Первый случай: при при выполнении условий

Имеем:

Для первого случая получаем:

Второй случай: при условии

Имеем:

Объединяя оба случая, получаем, что исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при

Ответ:

Запишем уравнение в виде и рассмотрим два случая.

Первый случай: при при выполнении условий

то есть если

Второй случай:

Корень лежит на отрезке [0; 1] при Для второго случая получаем

Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке [0; 1] при

Ответ:

Запишем уравнение в виде и рассмотрим два случая.

Первый случай: при выполнении условий

То есть, если

Второй случай:

Корень лежит на отрезке [0; 1] при Тогда для второго случая полулучаем

Корни уравнения и совпадают при

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при и

Ответы:

Имеем уравнение вида откуда на ОДЗ либо либо Рассмотрим эти случаи.

Первый случай: при условиях:

Имеем:

Число лежит на отрезке [0; 2], если Тогда для первого случая получаем:

Второй случай: при условии

Число лежит на отрезке [0; 2], если Тогда для второго случая получаем:

Корень равен если

Итак, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 2] при

Ответ:

Исходное уравнение равносильно уравнению Рассмотрим два случая.

Первый случай: при условии тогда

Условие принимает вид откуда То есть в этом случае при

Второй случай: Получаем

Значит, это уравнение может имеет корень на отрезке [0; 1], только если при

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при и

Ответ:

Исходное уравнение равносильно уравнению Рассмотрим два случая.

Первый случай: при условии Получаем

Условие принимает вид откуда То есть в этом случае при

Второй случай: Получаем

Значит, это уравнение имеет корень на отрезке [0; 1], только если при

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при и

Ответ:

Изобразим множество точек, заданное системой неравенств

Искомое множество является пересечением части плоскости, лежащей внутри параболы, заданной уравнением и двух тупых углов, ограниченных прямыми и (см. рис., выделено жирным контуром).

Найдём абсциссы их точек пересечения:

Решим уравнение

Решим уравнение

Из рисунка следует, что система имеет решения для всех а, лежащих выше ординаты вершины параболы, но ниже точки пересечения параболы с прямой то есть для всех a из отрезка и для

Приведём другое решение.

Заметим, что при и при Поэтому первое неравенство системы равносильно двойному неравенству при и равносильно двойному неравенству при При получаем:

откуда При исходная система принимает вид:

откуда

При любом выполнено неравенство поскольку Поэтому при исходная система равносильна системе

Из этой системы следует, что откуда Заметим, что максимальное значение функции на отрезке равно 4, а минимальное значение функции равно Значит, выполнено неравенство Кроме того при больший корень уравнения удовлетворяет системе неравенств, поскольку функция принимает на отрезке все значения от до 4, и её значения в точке отрезка не превосходят значений функции Таким образом, исходная система неравенств имеет хотя бы одной решение при и

Ответ:

Имеем уравнение вида откуда на ОДЗ либо либо Рассмотрим эти случаи.

Первый случай: при условиях:

Имеем:

Число лежит на отрезке [0; 2], если Тогда для первого случая получаем:

Второй случай: при условии

Число лежит на отрезке [0; 2], если Тогда для второго случая получаем:

Корень равен если

Итак, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 2] при

Ответ:

Исходное уравнение равносильно уравнению Рассмотрим два случая.

Первый случай:

Второй случай: при условии

Это уравнение имеет на отрезке единственный корень Условие принимает вид

То есть в этом случае при

Корень уравнения принадлежит отрезку при

Корни уравнения и совпадают при

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке при и

Ответ:

Имеем уравнение вида откуда на ОДЗ либо либо Рассмотрим эти случаи.

Первый случай: при условии

Имеем:

Число лежит на отрезке [0; 1], для первого случая получаем:

Второй случай:

Корень лежит на отрезке [0; 1] при , учитывая , получаем

Корень лежит на отрезке [0; 1] при , учитывая , получаем

Корни уравнения и совпадают при

Корни уравнения и совпадают при

Корни уравнения и совпадают при

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при и

Ответ: и

Имеем уравнение вида откуда на ОДЗ либо либо Рассмотрим эти случаи.

Первый случай: при при выполнении условия то есть если

Число лежит на отрезке [0; 1], для первого случая получаем:

Второй случай:

Корень лежит на отрезке [0; 1] при , учитывая , получаем

Корень лежит на отрезке [0; 1] при , учитывая , получаем

Корни уравнения и совпадают при

Корни уравнения и совпадают при

Корни уравнения и совпадают при

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при и

Ответ: и

Имеем уравнение вида откуда на ОДЗ либо либо Рассмотрим эти случаи.

Первый случай: при условиях:

Имеем:

Число лежит на отрезке [0; 1], для первого случая получаем:

Второй случай:

Число лежит на отрезке [0; 1], если Тогда для второго случая получаем:

Корень равен если

Итак, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при

Ответ:

Запишем уравнение в виде и рассмотрим два случая.

Первый случай: при при выполнении условий

то есть если

Второй случай:

Корень лежит на отрезке [0; 1] при

Корни уравнения и совпадают при

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при и

Ответ:

Имеем уравнение вида откуда на ОДЗ либо либо Рассмотрим эти случаи.

Первый случай: при условиях:

Имеем:

Число лежит на отрезке [0; 1], для первого случая получаем:

Второй случай: при условии

Имеем:

Число лежит на отрезке [0; 1], если Тогда для второго случая получаем:

Корень равен если

Итак, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при

Ответ: