Введём обозначения:

В этих обо­зна­че­ни­ях ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

Если некоторое число является решением этого уравнения, то и число также является его решением, поскольку функции и — чётные. Значит, если уравнение имеет единственное решение, то это решение

Решим уравнение относительно

значит, является решением уравнения при или

При уравнение принимает вид и имеет три различных решения:

Рассмотрим случай

Заметим, что при при

Если то то есть уравнение решений не имеет.

Если то причём равенство возможно только при

Значит, при уравнение имеет единственное решение.

Рассмотрим случай

Если то то есть уравнение решений не имеет.

Если то то есть уравнение решений не имеет.

Рассмотрим случай

В этом случае верны не­ра­вен­ства и так как и Значит, урав­не­ние имеет решения отличные от нуля, а значит решений больше одного.

Таким образом, урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние или не имеет ре­ше­ний при и то есть при и

Ответ:

Запишем урав­не­ние в виде

Если яв­ля­ет­ся кор­нем ис­ход­но­го уравнения, то и яв­ля­ет­ся его корнем. Значит, ис­ход­ное урав­не­ние имеет нечётное число корней, толь­ко если то есть . Под­ста­вим зна­че­ние в уравнение:

откуда либо либо или

При урав­не­ние при­ни­ма­ет вид Кор­ня­ми этого урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа и то есть урав­не­ние имеет ровно три корня.

При и при урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

При это урав­не­ние сво­дит­ся к урав­не­нию ко­то­рое не имеет корней.

При по­лу­ча­ем урав­не­ние ко­то­рое имеет един­ствен­ный корень.

При по­лу­ча­ем урав­не­ние ко­то­рое не имеет корней.

Таким образом, при и при ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный корень.

Ответ: и

Произведём за­ме­ну пе­ре­мен­ной получим:

Пусть теперь

При t ≥ 0 функция g(t) убы­ва­ет, принимая все значения от до При t < 0 функция g(t) − воз­рас­та­ет, принимая все значения от до . Значит,

Функция f(t) при­ни­ма­ет ми­ни­маль­ное зна­че­ние при причём на про­ме­жут­ке (0; +∞) — функ­ция возрастает, принимая все значения от до , а на про­ме­жут­ке (−∞; 0) — убы­ва­ет (функция чётная), принимая все значения от до .

Поскольку наибольшее значение функции и наименьшее значение функции достигается при одном и том же значении , уравнение будет иметь ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда то есть

1) При a ≥ 0 получаем

2) При a < 0 получаем

Ответ:

Разберем случаи раскрытия модулей.

1) , . Тогда уравнение примет вид , что невозможно поскольку

2) . Тогда уравнение примет вид . Поскольку левая часть - возрастающая функция от , необходимо и достаточно, чтобы , .

Первое условие дает . Второе — , что верно при всех неотрицательных .

3), . Тогда уравнение примет вид a, что невозможно поскольку

4) , . Тогда уравнение примет вид . Поскольку левая часть — убывающая функция от , причем , необходимо и достаточно, чтобы или , в зависимости от того, какое из чисел 0 или меньше.

Если и эти числа равны, получаем функцию , положительную на левой полуоси.

Если , то можно рассматривать любые и поэтому нужно чтобы, то есть . Однако такие a уже рассматривались и для них корень есть.

Если , то можно рассматривать только и поэтому нужно чтобы , то есть , что очевидно невозможно при отрицательных .

Ответ:

Преобразуем исходное уравнение:

Последнее уравнение имеет более двух корней или если a = −1, или если уравнение имеет два различных корня, отличных от 3:

откуда или

Исходное уравнение имеет более двух различных корней при при a = −1, при и при

Ответ:

Пусть Если то — два корня. Если тогда — единственный корень.

Обозначим Ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два корня тогда и толь­ко тогда, когда урав­не­ние имеет ровно один корень больший 1.

Уравнение имеет ровно один корень, если дис­кри­ми­нант равен нулю:

При урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень В этом слу­чае ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень

При урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень В этом слу­чае ис­ход­ное урав­не­ние имеет два корня.

Графиком функ­ции яв­ля­ет­ся парабола, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Для того чтобы урав­не­ние имело два корня, один из ко­то­рых боль­ше 1, а дру­гой мень­ше 1, не­об­хо­ди­мо и достаточно, чтобы вы­пол­ня­лось неравенство

Ответ:

Пусть Если тогда и Если тогда

Обозначим Ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два корня в двух случаях:

1) когда урав­не­ние имеет всего один корень и этот корень больше 1;

2) когда уравнение имеет ровно два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1.

Рассмотрим эти случаи:

1) Уравнение имеет ровно один корень, если дис­кри­ми­нант равен нулю:

При урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень В этом слу­чае ис­ход­ное урав­не­ние не имеет корней.

При урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень В этом слу­чае ис­ход­ное урав­не­ние имеет два корня.

2) Графиком функ­ции яв­ля­ет­ся парабола, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Для того чтобы урав­не­ние имело два корня, один из ко­то­рых боль­ше 1, а дру­гой мень­ше 1, не­об­хо­ди­мо и достаточно, чтобы вы­пол­ня­лось неравенство

Ответ:

Преобразуем уравнение

Рассмотрим функцию Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение равносильно уравнению Оно имеет более одного корня в тех случаях, когда дискриминант уравнения положителен. То есть когда

Ответ:

Преобразуем уравнение

Рассмотрим функцию Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение равносильно уравнению Оно не имеет корней в тех случаях, когда дискриминант уравнения отрицателен. То есть когда

Ответ:

Преобразуем уравнение

Рассмотрим функцию Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение равносильно уравнению Оно не имеет корней в тех случаях, когда дискриминант уравнения отрицателен. То есть когда

Ответ:

Сделаем замену . Поскольку , то и каждому такому соответствует единственное .

Получаем задачу — при каких уравнение имеет корень, больший чем ?

Построим график этого уравнения в плоскости tOa

Прямые и разбивают плоскость на четыре части (I, II, III и IV), в каждой из которых график уравнения представляет собой часть параболы.

В области I оба подмодульных выражения положительны и уравнение принимает вид

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

В области II выражение отрицательно, а выражение положительно и уравнение принимает вид

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Для области III получим

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Для области IV получим

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Задача свелась к ответу на вопрос: при каких значениях , горизонтальная прямая имеет пересечение с графиком функции правее вертикальной прямой (красная линия).

Получаем ответ: при

Поскольку то

Итак, осталось найти наибольшее значение выражения Поэтому наибольшая разность корней равна и достигается при

Ответ: При этом модуль разности корней равен 2.

Решение предложенное Вадимом Веселовским.

Преобразуем уравнение:

 

На координатной плоскости Oxa это уравнение окружности с центром (3, 2) и радиусом 1. Корнями уравнения будут точки пересечения этой окружности с горизонтальной прямой Очевидно, что максимальная разность между корнями достигается в случае диаметра окружности при пересечении с прямой a = 2.

Заметим, что сумма корней уравнения равна а их произведение равно Поэтому корни — суть числа и Тогда для ис­ход­но­го уравнения имеем:

 

Каждое из урав­не­ний совокупности может иметь не более двух корней.

Для того, чтобы ис­ход­ное уравнение имело че­ты­ре корня, каж­дое из урав­не­ний совокупности долж­но иметь по два корня и при этом урав­не­ния не долж­ны совпадать. Ис­поль­зуя свойство суммы двух вза­им­но обратных чисел, получаем, что че­ты­ре корня ис­ход­ное уравнение будет иметь при

 

 

Ответ:

Пусть тогда .Чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, уравнение должно иметь единственное решение.

Если , то уравнение не имеет решений.

Если , то уравнение имеет единственное решение (см. рис.).

Если уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямая касается графика функции (см. рис.), что задаётся системой соотношений:

Заметим, что найденное значение параметра, действительно, положительно.

Ответ: , .

1. При функ­ция имеет вид:

а её гра­фик пред­став­ля­ет собой часть па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз.

При функ­ция имеет вид:

а ее гра­фик со­сто­ит из двух ча­стей па­ра­бо­лы с ветвями, на­прав­лен­ны­ми вверх и осью сим­мет­рии

2. Если при­над­ле­жит от­рез­ку то наи­мень­шее зна­че­ние функ­ция может при­ни­мать толь­ко в точ­ках и Если — то еще и в точке

3. Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции боль­ше тогда и толь­ко тогда, когда либо

Решим первую систему:

Решим вто­рую систему:

Ответ:

Разность выражений, сто­я­щих под зна­ка­ми модуля, сов­па­да­ет с пра­вой ча­стью уравнения:

Сделаем замену: Тогда урав­не­ние имеет вид:

Это рав­но­силь­но усло­вию Получаем

Уравнение имеет корни, ни один из ко­то­рых не при­над­ле­жит ин­тер­ва­лу (4; 19) , толь­ко если пра­вая гра­ни­ца от­рез­ка ре­ше­ний не боль­ше 4 или левая гра­ни­ца не мень­ше 19. Получаем

Ответ:

Разность выражений, сто­я­щих под зна­ка­ми модуля, сов­па­да­ет с пра­вой ча­стью уравнения:

 

Сделаем замену:

Тогда урав­не­ние при­мет вид:

Это рав­но­силь­но усло­вию . Получаем:

Уравнение имеет хотя бы один ко­рень на от­рез­ке [5; 23], толь­ко если пра­вая гра­ни­ца от­рез­ка ре­ше­ний не мень­ше 5, а левая не боль­ше 23. Получаем

Таким образом, дан­ное уравнение имеет хотя бы один ко­рень на от­рез­ке [5; 23] при принадлежащем множеству [4; 7].

Ответ: [4; 7].

Пусть тогда и урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

Заметим, что урав­не­ние имеет вид для Про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при всех по­это­му функ­ция воз­рас­та­ет на всей чис­ло­вой прямой. Тогда урав­не­ние рав­но­силь­но урав­не­нию

Вернемся к ис­ход­ной переменной:

Полученное уравнение, а вме­сте с них и исходное, не имеет дей­стви­тель­ных решений, если его дис­кри­ми­нант отрицателен, от­ку­да

Ответ:

Пусть Тогда и урав­не­ние принимает вид

Синус — нечётная функция, по­это­му Рас­смот­рим функцию Тогда урав­не­ние принимает вид Эта функ­ция определена при всех и её про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при всех Следовательно, функ­ция мо­но­тон­но возрастает на всей чис­ло­вой прямой. Тогда урав­не­ние рав­но­силь­но уравнению

Сделаем об­рат­ную замену:

Уравнение не имеет дей­стви­тель­ных решений, если его дис­кри­ми­нант отрицателен: от­ку­да

Ответ:

Решение 1. По­ло­жим где так как

Тогда, ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид Най­дем мно­же­ство зна­че­ний функ­ции на от­рез­ке [0; 2]. Так как на про­ме­жут­ке [0; 2), то функ­ция убы­ва­ет на от­рез­ке [0; 2], и, следовательно, мно­же­ство ее зна­че­ний на от­рез­ке [0; 2] ― от­ре­зок [f (2); f (0)], т.е. от­ре­зок Таким образом, урав­не­ние имеет ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда вы­пол­ня­ют­ся усло­вия

Решение 2. По­ло­жим где так как и рас­смот­рим функ­цию Так как ее про­из­вод­ная на про­ме­жут­ке [0; 2), то функ­ция убы­ва­ет на от­рез­ке [0; 2], и, значит, имеет на нем не более од­но­го корня. Этот ко­рень есть тогда и толь­ко тогда, когда од­но­вре­мен­но вы­пол­ня­ют­ся два усло­вия и Таким образом, при­хо­дим к си­сте­ме

Решение 3 (Указание). По­стро­ить эскиз гра­фи­ка функ­ции на от­рез­ке [0; 2] (см. ре­ше­ние 1) и ис­сле­до­вать вза­им­ное рас­по­ло­же­ние гра­фи­ка этой функ­ции и пря­мой

Ответ:

Решение 1. Пе­ре­пи­шем дан­ное урав­не­ние в виде и по­ло­жим где Тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

Найдем мно­же­ство зна­че­ний функ­ции на от­рез­ке [0; 2].

Так как то на про­ме­жут­ке [0; 1) и про­ме­жут­ке (1; 2]. Значит, функ­ция убы­ва­ет на от­рез­ке [0; 1] и воз­рас­та­ет на от­рез­ке [1; 2]. По­сколь­ку то мно­же­ство зна­че­ний функ­ции на от­рез­ке [0; 2] ― от­ре­зок [f (1); f (2)], т. е. от­ре­зок Таким образом, урав­не­ние не имеет ре­ше­ний на от­рез­ке [0; 2] тогда и толь­ко тогда, когда вы­пол­ня­ют­ся усло­вия или

Решение 2. По­ло­жим где и рас­смот­рим функ­цию Так как ее про­из­вод­ная то на про­ме­жут­ке [0; 1) и про­ме­жут­ке (1; 2]. Значит, на про­ме­жут­ке [0; 2) функ­ция имеет един­ствен­ный экс­тре­мум ― ми­ни­мум Так как урав­не­ние не имеет ре­ше­ний на от­рез­ке [0; 2] тогда и толь­ко тогда, когда вы­пол­ня­ют­ся усло­вия или Таким образом, при­хо­дим к совокупности

Решение 3. По­стро­ить эскиз гра­фи­ка функ­ции на от­рез­ке [0; 2] (см. ре­ше­ние 1) и ис­сле­до­вать вза­им­ное рас­по­ло­же­ния гра­фи­ка этой функ­ции и пря­мой

Ответ:

Если 2a +5 < 0, то урав­не­ние ре­ше­ний не имеет.

Пусть a = −2,5. Тогда урав­не­ние имеет вид

и ни одно число от­рез­ка [2, 3] не яв­ля­ет­ся его решением.

Пусть a > −2,5. Будем ис­поль­зо­вать гео­мет­ри­че­ский под­ход и за­пи­шем урав­не­ние в виде

Заметим, что при a > −2,5 верно не­ра­вен­ство −a − 3 < a + 2. По­это­му ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся любое число из от­рез­ка [−a − 3, a +2]: ведь длина от­рез­ка равна (a + 2) − (−a − 3) = 2a + 5 и не­ра­вен­ству удо­вле­тво­ря­ют те и толь­ко те точки x, сумма рас­сто­я­ний от каж­дой из ко­то­рых до точек x = a + 2; x = −a − 3 равна 2a + 5. Оста­лось вы­брать те зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых от­ре­зок [−a − 3, a + 2] со­дер­жит от­ре­зок [2, 3]. Это вы­пол­не­но тогда и толь­ко тогда, когда:

Ответ: a ≥ 1.

Введём обозначения: В этих обозначениях исходное уравнение принимает вид

Заметим, что при при

Пусть покажем, что в этом случае уравнение либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Действительно, если то

Если то причём равенство достигается только при и

При верны неравенства и так как и Значит, уравнение имеет решение.

Если некоторое число является решением этого уравнения, то и число также является его решением, поскольку функции и — чётные. Значит, если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет единственное решение, то это решение

Решим уравнение относительно значит, является решением уравнения при или

Случай, когда уже был разобран.

При уравнение принимает вид и имеет три различных решения:

Таким образом, уравнение имеет единственное решение или не имеет решений при и то есть при и

Ответ:

Запишем урав­не­ние в виде Рас­смот­рим две функции: и Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся по­лу­окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром в точке ле­жа­щая в верх­ней полуплоскости. При каж­дом зна­че­нии гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся пря­мая с уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том про­хо­дя­щая через точку

Уравнение имеет един­ствен­ный корень, если гра­фи­ки функ­ций и имеют един­ствен­ную общую точку: либо пря­мая ка­са­ет­ся полуокружности, либо пе­ре­се­ка­ет её в един­ствен­ной точке.

Касательная проведённая из точки к полуокружности, имеет уг­ло­вой коэффициент, рав­ный нулю, то есть при ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный корень. При пря­мая не имеет общих точек с полуокружностью.

Прямая за­дан­ная урав­не­ни­ем про­хо­дит через точки и следовательно, её уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент При прямая, за­дан­ная урав­не­ни­ем имеет уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент не больше, чем у пря­мой и пе­ре­се­ка­ет по­лу­окруж­ность в двух точках. При прямая, за­дан­ная урав­не­ни­ем имеет уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент больше, чем у пря­мой и не больше, чем у пря­мой и пе­ре­се­ка­ет по­лу­окруж­ность в един­ствен­ной точке. Получаем, что при ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный корень. При  пря­мая не имеет общих точек с полуокружностью.

Ответ:

Запишем урав­не­ние в виде Рас­смот­рим две функции: и Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся по­лу­окруж­ность ра­ди­у­са 4 с цен­тром в точке (3;0). ле­жа­щая в верх­ней по­лу­плос­ко­сти (см. рис.). При каж­дом зна­че­нии гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся пря­мая с уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том про­хо­дя­щая через точку

Уравнение имеет един­ствен­ный корень, если гра­фи­ки функ­ций и имеют един­ствен­ную общую точку: либо пря­мая ка­са­ет­ся полуокружности, либо пе­ре­се­ка­ет её в един­ствен­ной точке.

Касательная проведённая из точки к полуокружности, имеет уг­ло­вой коэффициент, рав­ный нулю, то есть при ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный корень. При пря­мая не имеет общих точек с полуокружностью.

Прямая за­дан­ная урав­не­ни­ем про­хо­дит через точки и следовательно, её уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент При прямая, за­дан­ная урав­не­ни­ем имеет две общие точки с полуокружностью. Пря­мая за­дан­ная урав­не­ни­ем про­хо­дит через точки и следовательно, её уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент При прямая, за­дан­ная урав­не­ни­ем имеет уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент больше, чем у пря­мой и не больше, чем у пря­мой и пе­ре­се­ка­ет по­лу­окруж­ность в един­ствен­ной точке. Получаем, что при ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный корень. При пря­мая не имеет общих точек с полуокружностью.

Ответ:

Сделаем за­ме­ну по­это­му За­да­чу можно сфор­му­ли­ро­вать так: най­ди­те зна­че­ния при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет хотя бы одно решение, удо­вл­те­во­ря­ю­щее усло­вию

Перейдем к системе:

Заметим, что ни при одном зна­че­нии число не яв­ля­ет­ся кор­нем уравнения.

Рассмотрим функ­цию Её гра­фик — парабола, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Следовательно, усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но тогда и толь­ко тогда, когда вы­пол­ня­ет­ся одно из трех условий:

1) Трёхчлен имеет два раз­лич­ных корня, и толь­ко боль­ший из них лежит на про­ме­жут­ке , то есть

2) Трёхчлен имеет два раз­лич­ных корня, и толь­ко мень­ший из них лежит на про­ме­жут­ке

, то есть

3) Трёхчлен имеет два корня, возможно, совпадающих, и оба, а также вершина, лежат на про­ме­жут­ке , то есть

где — абс­цис­са вер­ши­ны параболы. Эти усло­вия со­от­вет­ству­ют сле­ду­ю­щим спо­со­бам рас­по­ло­же­ния гра­фи­ка функ­ции

Решим первую систему:

Решим вто­рую систему:

Решим тре­тью систему:

Ответ:

Поделим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби на

Сделаем за­ме­ну

.

, по­это­му

Задачу можно сфор­му­ли­ро­вать так: най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых уравнение

имеет хотя бы одно решение, удо­вле­тво­ря­ю­щее условию

Перейдем к системе:

Заметим, что ни при одном зна­че­нии число не яв­ля­ет­ся кор­нем уравнения.

Рассмотрим функ­цию Её гра­фик — парабола, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Следовательно, усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но тогда и толь­ко тогда, когда вы­пол­ня­ет­ся одно из трех условий:

1) Трёхчлен имеет два раз­лич­ных корня, и толь­ко боль­ший из них лежит на про­ме­жут­ке (0; 1])(см.рис. 1), то есть

2) Трёхчлен имеет два раз­лич­ных корня, и толь­ко мень­ший из них лежит на про­ме­жут­ке (0; 1])(см.рис. 2), то есть

3) Трёхчлен имеет два корня,возможно, совпадающих, и оба лежат на про­ме­жут­ке (0; 1])(см.рис. 3), то есть

Эти усло­вия со­от­вет­ству­ют сле­ду­ю­щим спо­со­бам рас­по­ло­же­ния гра­фи­ка функ­ции :

Решим систему:

Решим систему:

Решим систему: от­ку­да

Ответ:

Возведем в квадрат:

Неравенство задает на координатной плоскости «верхнюю» полуплоскость с границей а уравнение при ― окружность с центром и радиусом (см. рисунок).

Окружность и полуплоскость не имеют общих точек тогда и только тогда, когда радиус окружности меньше половины диагонали PO квадрата APBO, то есть, откуда

При уравнение, а, следовательно, и вся система решений не имеют, а при решением уравнения является пара которая не удовлетворяет неравенству

Ответ:

Если x₀ яв­ля­ет­ся корнем ис­ход­но­го уравнения, то и −x₀ яв­ля­ет­ся его корнем. Значит, ис­ход­ное уравнение имеет един­ствен­ный корень, толь­ко если x₀ = −x₀, то есть x₀ = 0. Под­ста­вим значение x = 0 в ис­ход­ное уравнение:

откуда либо |a − 3| = 0 ⇔ a = 3, либо |a − 3| = 2 ⇔ a = 1, или a = 5.

При a = 3 ис­ход­ное уравнение при­ни­ма­ет вид: x² = 2|x|. Кор­ня­ми этого урав­не­ния являются числа −2; 0 и 2, то есть ис­ход­ное уравнение имеет более од­но­го корня.

При a = 1 и при a = 5 урав­не­ние принимает вид: x² + 4 = |x − 2| + |x + 2|.

При x < − 2 это урав­не­ние сводится к урав­не­нию x² + 2x + 4 = 0, ко­то­рое не имеет корней.

При −2 ≤ x ≤ 2 по­лу­ча­ем уравнение x² = 0, ко­то­рое имеет един­ствен­ный корень.

При x > 2 по­лу­ча­ем уравнение x² − 2x + 4 = 0, ко­то­рое не имеет корней. При a = 1 и при a = 5 ис­ход­ное уравнение имеет един­ствен­ный корень.

Ответ: 1; 5.

Рассмотрим две функции: и По­сколь­ку получаем:

Функция яв­ля­ет­ся кусочно-линейной, причём при уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен либо 3, либо 9, а при уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен либо –3, либо –9. Значит, функ­ция воз­рас­та­ет при и убы­ва­ет при по­это­му

Исходное урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень тогда и толь­ко тогда, когда

Значит, либо

либо

Исходное урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень при и при и не имеет кор­ней при дру­гих зна­че­ни­ях

Ответ:

Рассмотрим два случая. Пер­вый случай: Ис­ход­ное урав­не­ние при­мет вид

Последнее урав­не­ние имеет на про­ме­жут­ке един­ствен­ный ко­рень при от­ку­да Под­ста­вив в не­ра­вен­ство получим: от­ку­да

В этом слу­чае урав­не­ние при усло­вии имеет на про­ме­жут­ке един­ствен­ный ко­рень при и не имеет на про­ме­жут­ке кор­ней при и при

Второй случай: Ис­ход­ное урав­не­ние при­мет вид

Последнее урав­не­ние имеет на про­ме­жут­ке един­ствен­ный ко­рень Под­ста­вив в не­ра­вен­ство получим: от­ку­да

В этом слу­чае урав­не­ние при усло­вии имеет на про­ме­жут­ке един­ствен­ный ко­рень при и не имеет на про­ме­жут­ке кор­ней при

Уравнение на про­ме­жут­ке

 • при не имеет корней;

 • при имеет един­ствен­ный ко­рень

 • при имеет два раз­лич­ных корня и

 • при имеет един­ствен­ный ко­рень

Ответ:

Уравнение рав­но­силь­но си­сте­ме

Эта си­сте­ма имеет хотя бы один корень, при­над­ле­жа­щий про­ме­жут­ку если урав­не­ние имеет хотя бы один корень, при­над­ле­жа­щий либо про­ме­жут­ку либо про­ме­жут­ку

Поскольку гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся парабола, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, а вер­ши­на на­хо­дит­ся в точке урав­не­ние имеет хотя бы один корень, при­над­ле­жа­щий про­ме­жут­ку при усло­вии

Уравнение имеет хотя бы один корень, при­над­ле­жа­щий про­ме­жут­ку при условии

Уравнение имеет хотя бы один корень, при­над­ле­жа­щий про­ме­жут­ку при и при

Ответ:

Запишем урав­не­ние в виде

Если яв­ля­ет­ся кор­нем ис­ход­но­го уравнения, то и яв­ля­ет­ся его корнем. Значит, ис­ход­ное урав­не­ние имеет нечётное число корней, толь­ко если то есть Под­ста­вим зна­че­ние в уравнение:

откуда либо либо или

При урав­не­ние при­ни­ма­ет вид Кор­ня­ми этого урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа и то есть урав­не­ние имеет ровно три корня.

При и при урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

При это урав­не­ние сво­дит­ся к урав­не­нию ко­то­рое не имеет корней.

При по­лу­ча­ем урав­не­ние ко­то­рое имеет един­ствен­ный корень.

При по­лу­ча­ем урав­не­ние ко­то­рое не имеет корней.

Таким образом, при и при ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный корень x = 0.

Ответ: и

Пусть число — ре­ше­ние дан­но­го урав­не­ния при не­ко­то­ром зна­че­нии па­ра­мет­ра Тогда число есть его ре­ше­ние при том же зна­че­нии Если ре­ше­ние единственно, то ре­ше­ния и совпадают, то есть

Подставив это ре­ше­ние в ис­ход­ное уравнение, получим:

откуда

Пусть Тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­мет вид

Отсюда следует, что следовательно,

Исходное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид и оно имеет един­ствен­ное ре­ше­ние удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию Следовательно, удо­вле­тво­ря­ет усло­вию задачи.

Ответ: при един­ствен­ное ре­ше­ние

Рассмотрим функ­цию Она опре­де­ле­на при воз­рас­та­ет на об­ла­сти определения и при­ни­ма­ет все зна­че­ния от до Значит, урав­не­ние имеет един­ствен­ное решение. Это ре­ше­ние принадлежит от­рез­ку тогда и толь­ко тогда, когда и По­лу­ча­ем систему неравенств:

Ответ:

Пусть тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид:

Значит, ре­ше­ние ис­ход­но­го урав­не­ния — это ре­ше­ние урав­не­ний или Ис­сле­ду­ем сколь­ко ре­ше­ний имеет урав­не­ние в за­ви­си­мо­сти от и Заметим, что слева стоит сумма модулей, то есть при ре­ше­ний нет. За­пи­шем урав­не­ние в виде Левая часть этого урав­не­ния — гра­фик мо­ду­ля с вер­ши­ной в точке гра­фик левой части — график модуля, отражённый от­но­си­тель­но оси с вер­ши­ной в точке Это урав­не­ние будет иметь два решения, если од­но­вре­мен­но пря­мая лежит пра­вее (выше) пря­мой и пря­мая лежит левее (выше) пря­мой Это до­сти­га­ет­ся усло­ви­я­ми и Таким об­ра­зом урав­не­ние со­во­куп­но­сти имеет два ре­ше­ния при условии:

Если вер­ши­на на­хо­дит­ся внут­ри части плос­ко­сти от­се­ка­е­мой гра­фи­ком то урав­не­ние имеет два решения, если пря­мые и сов­па­да­ют или пря­мые и совпадают, то урав­не­ние имеет бес­ко­неч­но много решений, если вер­ши­на сов­па­да­ет с точ­кой то урав­не­ние имеет одно решение.

Таким образом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два решения, если одно из урав­не­ний со­во­куп­но­сти имеет два решения, а вто­рое не имеет решений, либо если каж­дое из урав­не­ний со­во­куп­но­сти имеет два решения, но эти ре­ше­ния совпадают. Разберём каж­дый из этих случаев.

Первый случай. При или , или урав­не­ние со­во­куп­но­сти ре­ше­ний не имеет. Таким об­ра­зом ис­ход­ное урав­не­ние имеет два решения, если пер­вое урав­не­ние имеет два решения, а вто­рое — не имеет, либо наоборот. В случае, когда пер­вое урав­не­ние верно си­сте­ма усло­вий имеет вид:

В случае, когда вто­рое урав­не­ние верно си­сте­ма усло­вий имеет вид:

Второй случай. Ре­ше­ния совпадут, если сов­па­да­ют уравнения, то есть, если от­ку­да При дан­ном зна­че­нии оба урав­не­ния пр­ни­ма­ют вид:

Данное урав­не­ние не имеет решений.

То есть ис­ход­ное урав­не­ние не имеет ре­ше­ний при рав­ном

Таким образом, урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния при

Ответ:

Рассмотрим функ­ции и Ис­сле­ду­ем уравнение

На про­ме­жут­ке функ­ция возрастает. Функ­ция убы­ва­ет на этом промежутке, по­это­му уравнение имеет не более од­но­го решения на про­ме­жут­ке при­чем решение будет су­ще­ство­вать тогда и толь­ко тогда, когда, то есть при

При урав­не­ние при­ни­ма­ет вид При левая часть этого урав­не­ния отрицательна, следовательно, ре­ше­ний нет. При это урав­не­ние сводится к квад­рат­но­му уравнению дис­кри­ми­нант которого по­это­му при это урав­не­ние не имеет корней, при — урав­не­ние имеет един­ствен­ный корень, рав­ный при — урав­не­ние имеет два корня.

Пусть урав­не­ние имеет два корня, и

Тогда мень­ший корень а боль­ший корень не пре­вос­хо­дит если то есть при

По тео­ре­ме Виета поэтому знаки кор­ней и за­ви­сят от зна­ков выражений и Значит, при оба корня отрицательны, при один из кор­ней отрицательный, а дру­гой неотрицательный, при оба корня неотрицательны.

Таким образом, при урав­не­ние не имеет кор­ней при и имеет один ко­рень при и имеет два корня при

Таким образом, урав­не­ние имеет сле­ду­ю­щее количество корней:

— нет кор­ней при

— один ко­рень при и

— два корня при и

— три корня при

Ответ:

Запишем ис­ход­ное урав­не­ние в виде

Пусть t = cosx, тогда ис­ход­ное урав­не­ние имеет хотя бы один корень, если урав­не­ние имеет хотя бы один корень, при­над­ле­жа­щий от­рез­ку [−1; 1]. Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся парабола, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх,

следовательно, урав­не­ние имеет хотя бы один корень, при­над­ле­жа­щий от­рез­ку [−1; 1], либо при усло­вии (рис. 1) от­ку­да либо при усло­вии (рис. 2) от­ку­да

Ответ:

Запишем уравнение в виде и рассмотрим графики функций и .

График первой функции — парабола, график второй функции — угол с вершиной в точке а.

Уравнение будет иметь три различных решения в следующих случаях.

1. Вершина параболы совпадает с вершиной угла (рис. 1).

2. Одна из сторон угла касается параболы (рис. 2).

В первом случае , и уравнение имеет три корня: 2, 4, 6. Рассмотрим второй случай. Пусть правая сторона угла касается параболы. Уравнение , а должно иметь единственное решение.

Приведём уравнение к стандартному виду:

.

Из равенства нулю дискриминанта получаем

,

откуда .

Если параболы касается левая сторона угла, получаем уравнение

; .

Оно имеет единственное решение, только если .

Ответ: 3,5; 4; 4,5.

Запишем урав­не­ние в виде:

Рассмотрим функ­цию . Она яв­ля­ет­ся сум­мой двух воз­рас­та­ю­щих функ­ций и по­это­му возрастает. Ис­ход­ное урав­не­ние имеет ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда от­ку­да получаем

Функция при­ни­ма­ет зна­че­ния от до а функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет на от­рез­ке и при­ни­ма­ет на нём зна­че­ния от до Значит, урав­не­ние а с ним и ис­ход­ное урав­не­ние имеют ре­ше­ние при

Ответ:

Запишем уравнение в виде

Построим графики левой и правой частей уравнения и Первая из них парабола с отраженной отрицательной частью, а вторая график модуля с вершиной в точке (см. рис.). Ясно, что вершина второго графика перемещается в зависимости от по прямой Из рисунка видно, что подходящих значений ровно два — при одном из них график правой части проходит через точку при другом — касается отраженного участка параболы.

Первое происходит при , а второе — когда уравнение

имеет единственный корень, то есть в случае, когда дискриминант равен нулю.

Ответ:

Пусть тогда, используя теорему, обратную теореме Виета, получим:

Значит, ис­ход­ное уравнение имеет два раз­лич­ных корня тогда и толь­ко тогда, когда гра­фик функции имеет с го­ри­зон­таль­ны­ми прямыми и ровно две общие точки. Эти пря­мые совпадают, если

При урав­не­ние не имеет решений. Если то при а если то при имеем:

При не­огра­ни­чен­ном увеличении зна­че­ния функции стре­мят­ся к нулю; причём для функ­ция яв­ля­ет­ся убывающей, а при — возрастающей. Эс­ки­зы графиков изоб­ра­же­ны на рисунке.

Тем самым, при долж­ны быть вы­пол­не­ны неравенства от­ку­да при долж­ны быть вы­пол­не­ны неравенства от­ку­да

Ответ:

Приведём ав­тор­ское решение.

Пусть тогда получим:

Значит, ре­ше­ние ис­ход­но­го урав­не­ния — это ре­ше­ние урав­не­ний или

Исследуем сколь­ко ре­ше­ний имеет урав­не­ние в за­ви­си­мо­сти от и При и , и то есть при левая часть опре­де­ле­на и при­ни­ма­ет вид

При вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет по од­но­му все зна­че­ния из про­ме­жут­ка для и при­ни­ма­ет по од­но­му разу все зна­че­ния из про­ме­жут­ка для Значит, при вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет по од­но­му разу все зна­че­ния из про­ме­жут­ка при и при­ни­ма­ет по од­но­му разу все зна­че­ния из про­ме­жут­ка при Таким образом, урав­не­ние имеет одно ре­ше­ние при и не имеет ре­ше­ний при и При и урав­не­ние при­ни­ма­ет вид и либо имеет бес­ко­неч­но много решений, либо не имеет решений.

Уравнение и могут иметь общие ре­ше­ния при то есть при При оба урав­не­ния при­ни­ма­ют вид и имеют одно решение.

При дру­гих зна­че­ни­ях ис­ход­ное урав­не­ние имеет два решения, если оба урав­не­ния имеют по од­но­му решению. По­лу­ча­ем си­сте­му неравенств:

Таким образом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния при при­над­ле­жа­щем мно­же­ству

Отметим, что при уравнение не имеет положительных корней, так как его левая часть неположительна, а правая положительна. Определим, для каких положительных a графики функции и имеют ровно две точки пересечения на области x > 0. График функции ― гипербола, её горизонтальная асимптота y = 0, вертикальная ― x = −1. При всех положительных значениях параметра уравнение имеет положительный корень больший числа 4 (см. рис.). Чтобы уравнение имело ровно два положительных решения, значения параметра должны обеспечивать существование ровно одного второго корня на промежутке (0; 4). Заметим, что на этом промежутке

Определим вначале значение параметра, соответствующие касанию прямой y = a(4 − x) и гиперболы:

Заметим, что касанию прямой и гиперболы соответствует нуль дискриминанта полученного квадратного уравнения:

Дискриминант равен нулю при единственном положительном значении параметра Итак, касанию соответствует при этом абсцисса точки касания положительна:

Определим далее значение параметра, при котором прямая проходит через точку (0; 5).

Имеем: 

Итак, при и при уравнение имеет ровно два положительных решения.

Ответ: при и при

Приведём авторское решение.

Рассмотрим функ­ции и Ис­сле­ду­ем на про­ме­жут­ке

При все зна­че­ния функции на про­ме­жут­ке неположительны, а все зна­че­ния функции  — положительны, по­это­му при урав­не­ние не имеет ре­ше­ний на про­ме­жут­ке

При функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке Функ­ция убы­ва­ет на этом промежутке, по­это­му уравнение все­гда имеет ровно одно ре­ше­ние на про­ме­жут­ке по­сколь­ку и

На про­ме­жут­ке урав­не­ние при­ни­ма­ет вид Это урав­не­ние сводится к урав­не­нию Будем считать, что по­сколь­ку случай был рас­смот­рен ранее. Дис­кри­ми­нант квадратного урав­не­ния по­это­му при это урав­не­ние не имеет корней, при урав­не­ние имеет един­ствен­ный корень, рав­ный при урав­не­ние имеет два корня.

Пусть урав­не­ние имеет два корня, то есть Тогда оба корня мень­ше по­сколь­ку при зна­че­ния функции неположительны, а зна­че­ния функции положительны. По тео­ре­ме Виета сумма кор­ней равна а про­из­ве­де­ние равно Значит, боль­ший корень все­гда принадлежит про­ме­жут­ку а мень­ший принадлежит этому про­ме­жут­ку тогда и толь­ко тогда, когда

Таким образом, исходное урав­не­ние имеет сле­ду­ю­щее количество кор­ней на про­ме­жут­ке

1) Нет кор­ней при

2) Один ко­рень при

3) Два корня при и

4) Три корня при

Ответ:

Отметим, что при уравнение не имеет положительных корней, так как его левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Определим, для каких положительных a графики функций имеют более двух точек пересечения на области x > 0.

Уравнение y = ax − 1 задаёт семейство прямых, проходящих через точку Если их угловой коэффициент меньше чем у прямой р или больше чем у прямой m (см. рис.), то на промежутке графики будут иметь ровно одну общую точку. Если прямая совпадает с прямой р или с прямой m, то графики будут иметь ровно две общие точки. Графики имеют три общие точки, а исходное уравнение имеет три положительных решения, если прямые y = ax − 1 лежат внутри острого угла, образованного прямыми p и m.

Найдём граничные значения параметров, соответствующие этим прямым.

Для прямой p:

Найдём значение параметра, соответствующее касанию. Имеем:

Касательная к гиперболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому дискриминант полученного квадратного уравнения должно быть равен нулю:

Итак, касанию соответствует значение параметра

При найденных значениях параметров прямая m пересекается с графиком функции в точках и а прямая р касается графика в точке Заметим, что точка С действительно лежит левее точки В, в силу того, что график выпукл вверх, и что ордината точки С положительна, иначе оказалось бы, что наш рисунок неверен и потребовалось рассмотреть соответствующую конфигурацию.

Тем самым, искомыми значениями параметра являются

Ответ:

Приведём авторское решение.

Рассмотрим функ­ции и Ис­сле­ду­ем урав­не­ние на про­ме­жут­ке

При все зна­че­ния функ­ции на про­ме­жут­ке отрицательны, а все зна­че­ния функ­ции  — неотрицательны, по­это­му при урав­не­ние не имеет ре­ше­ний на про­ме­жут­ке

При функ­ция возрастает. Функ­ция убы­ва­ет на про­ме­жут­ке по­это­му урав­не­ние имеет не более од­но­го ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при­чем ре­ше­ние будет су­ще­ство­вать тогда и толь­ко тогда, когда, от­ку­да по­лу­ча­ем то есть

На про­ме­жут­ке урав­не­ние при­ни­ма­ет вид Это урав­не­ние сво­дит­ся к урав­не­нию Будем считать, что по­сколь­ку слу­чай был рас­смот­рен ранее. Дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го урав­не­ния по­это­му при это урав­не­ние не имеет корней, при урав­не­ние имеет един­ствен­ный корень, рав­ный при урав­не­ние имеет два корня.

Если урав­не­ние имеет два корня и то есть то боль­ший ко­рень по­это­му он при­над­ле­жит про­ме­жут­ку Мень­ший ко­рень при­над­ле­жит про­ме­жут­ку тогда и толь­ко тогда, когда

Таким образом, исходное урав­не­ние имеет сле­ду­ю­щее ко­ли­че­ство кор­ней на про­ме­жут­ке

— нет кор­ней при

— один ко­рень при и

— два корня при и

— три корня при

Ответ:

Пусть Рас­смот­рим урав­не­ние Число x = 0 не яв­ля­ет­ся кор­нем этого урав­не­ния ни при каком зна­че­нии па­ра­мет­ра а. По­это­му это урав­не­ние рав­но­силь­но уравнению

Рассмотрим функцию

и для уравнения опре­де­лим число кор­ней и их рас­по­ло­же­ние для каж­до­го зна­че­ния па­ра­мет­ра а.

Найдём производную

Отсюда следует, что на про­ме­жут­ках функ­ция убывает, а на про­ме­жут­ке — возрастает. Следовательно, точка x = 1 — точка минимума, а ми­ни­мум равен 7.

Из по­лу­чен­ных свойств функ­ции следует, что при любом зна­че­нии a дан­ное урав­не­ние имеет ровно один от­ри­ца­тель­ный корень, и по­сколь­ку то при урав­не­ние имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке при урав­не­ние не имеет кор­ней на

При a = 7 урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень x = 1 на от­рез­ке

По­сколь­ку то при на от­рез­ке урав­не­ние имеет ровно два корня. При a > 10 урав­не­ние также имеет един­ствен­ный ко­рень на от­рез­ке

Решим два не­ра­вен­ства и уравнение:

Получим:

Ответ:

Запишем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы в виде

При левая часть не имеет смысла. При урав­не­ние задаёт пря­мую и ги­пер­бо­лу (см. рис.). При каж­дом зна­че­нии a урав­не­ние задаёт пря­мую с уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том a, про­хо­дя­щую через на­ча­ло координат.

При такая пря­мая пе­ре­се­ка­ет пря­мую при и пе­ре­се­ка­ет пра­вую ветвь ги­пер­бо­лы при пе­ре­се­ка­ет левую ветвь ги­пер­бо­лы при При этом пря­мая про­хл­дит через точку пе­ре­се­че­ния пря­мой и ги­пер­бо­лы при

Число ре­ше­ний ис­ход­ной си­сте­мы равно числу точек пе­ре­се­че­ния пря­мой и ги­пер­бо­лы с пря­мой при усло­вии

Таким образом, ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния при и при

Ответ:

Пусть тогда урав­не­ние за­пи­шет­ся в виде от­ку­да или Значит, ре­ше­ния ис­ход­но­го урав­не­ния — это ре­ше­ния урав­не­ний или

Исследуем, сколь­ко ре­ше­ний имеет урав­не­ние в за­ви­си­мо­сти от a и b. При урав­не­ние при­ни­ма­ет вид Это квад­рат­ное уравнение, дис­кри­ми­нант ко­то­ро­го равен Таким образом, урав­не­ние имеет два ре­ше­ния при одно ре­ше­ние при и не имеет ре­ше­ний при При урав­не­ние при­ни­ма­ет вид и имеет одно решение.

Уравнение и могут иметь общие ре­ше­ния при то есть при При оба урав­не­ния при­ни­ма­ют вид и имеет два решения.

При дру­гих зна­че­ни­ях a ис­ход­ное урав­не­ния имеет ровно два решения, если либо оба урав­не­ния и имеют по од­но­му решению, либо одно из них не имеет решений, а дру­гое имеет два решение. При каж­дое из этих урав­не­ний имеет един­ствен­ное ре­ше­ние и эти ре­ше­ния различны. При дру­гих зна­че­ни­ях a вы­пол­не­но не­ра­вен­ство по­это­му урав­не­ние имеет два решения. Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний при то есть при и при

Таким образом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния при

Ответ:

Пусть тогда урав­не­ние за­пи­шет­ся в виде от­ку­да или Значит, ре­ше­ния ис­ход­но­го урав­не­ния — это ре­ше­ния урав­не­ний или

Исследуем, сколь­ко ре­ше­ний на от­рез­ке имеет урав­не­ние в за­ви­си­мо­сти от b. На про­ме­жут­ке функ­ция при­ни­ма­ет каж­дое не­от­ри­ца­тель­ное зна­че­ние один раз, на про­ме­жут­ке функ­ция при­ни­ма­ет каж­дое зна­че­ние один раз. Таким образом, урав­не­ние имеет на от­рез­ке два ре­ше­ния при и одно ре­ше­ние при

Уравнения и могут иметь общие ре­ше­ния при то есть при и При оба урав­не­ния при­ни­ма­ют вид и имеют два ре­ше­ния на от­рез­ке При оба урав­не­ния при­ни­ма­ют вид и имеют одно ре­ше­ние на от­рез­ке

При дру­гих зна­че­ни­ях a ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния на от­рез­ке если оба урав­не­ния и имеют по од­но­му решению. По­лу­ча­ем си­сте­му неравенств:

то есть

Таким образом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния на от­рез­ке при

Ответ:

Заметим, что если число яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем уравнения, то и число также яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем этого уравнения. Значит, если урав­не­ние имеет един­ствен­ное решение, то это ре­ше­ние

При урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

откуда

При и ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид При пра­вая часть урав­не­ния При пра­вая часть урав­не­ния равна 4, а левая часть урав­не­ния не мень­ше 4, причём ра­вен­ство достигается толь­ко при При пра­вая часть урав­не­ния Значит, ис­ход­ное уравнение имеет един­ствен­ное решение

При ис­ход­ное уравнение при­ни­ма­ет вид Числа −2, 0 и 2 яв­ля­ют­ся корнями этого уравнения.

Таким образом, ис­ход­ное уравнение имеет един­ствен­ное решение при и

Ответ: 3; 7.

Имеем:

Уравнение имеет три решения тогда и только тогда, когда и уравнение имеет два различных отличных от нуля решения, удовлетворяющих условию

Заметим, что сумма корней уравнения равна и произведение равно значит, его корни и причём Найденные корни удовлетворяют условию (*), если:

1) a — любое число.

2)

3)

Итак,

Ответ:

Пусть

Имеем:

Так как получаем если a = 0, то t > 0; если то . Поскольку при a = 0 решением являются все положительные значения t, уравнение имеет единственное решение, если

Ответ:

Преобразуем исходное уравнение:

Корнями этого уравнения являются корни уравнения

не совпадающие с числами a и −2.

Если является корнем уравнения

то откуда или

Если является корнем уравнения

то откуда или

Имеем:

— при исходное уравнение имеет единственный корень

— при исходное уравнение имеет единственный корень

— при исходное уравнение имеет единственный корень

Кроме этого, уравнение имеет единственный корень, не равный a и –2, если его дискриминант равен 0.

Значит, уравнение

— имеет ровно два различных корня при

— имеет ровно один корень при или

— не имеет корней при или

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень при:

Ответ:

Рассмотрим функцию Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение равносильно уравнению Оно не имеет корней в тех случаях, когда дискриминант уравнения отрицателен. То есть когда

Ответ:

Сделаем замену . Получим уравнение . При выполненной замене количество корней не изменяется (каждому значению переменной t соответствует ровно одно значение переменной x). Поэтому новое уравнение также должно иметь ровно 4 решения.

Построим график этого уравнения в плоскости tOa

Прямые и разбивают плоскость на четыре части (I, II, III и IV), в каждой из которых график уравнения представляет собой часть параболы.

В области I оба подмодульных выражения положительны и уравнение принимает вид

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

В области II выражение отрицательно, а выражение положительно и уравнение принимает вид

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Для области III получим

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Для области IV получим

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Количество корней определяется количеством точек пересечения графика уравнения с горизонтальной прямой.

При	уравнение не имеет корней,
при	уравнение имеет один корень,
при	уравнение имеет два корня,
при	уравнение имеет три корня,
при	уравнение имеет четыре корня,
при	уравнение имеет три корня,
при	уравнение имеет четыре корня,
при	уравнение имеет три корня,
при	уравнение имеет два корня,
при	уравнение имеет один корень,
при	уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение имеет четыре корня при и при

Левая часть исходного уравнения неотрицательна при любом допустимом значении x, поэтому при корней нет.

Пусть тогда исходное уравнение принимает вид:

Левая часть полученного уравнения неотрицательна при любом допустимом значении x, поэтому при корней нет.

При уравнение имеет единственный корень

При получаем:

Дискриминант квадратного уравнения равен

значит, это уравнение имеет два корня при В этом случае корни квадратного уравнения равны

и всегда принадлежат отрезку поскольку

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при

Ответ:

Заметим, что исходное уравнение можно записать в виде

Рассмотрим функцию .

Её производная , значит, функция является возрастающей и каждое свое значение принимает ровно один раз.

Тогда исходное уравнение равносильно квадратному уравнению

которое не имеет корней при

Ответ:

Заметим, что исходное уравнение можно записать в виде

Рассмотрим функцию .

Её производная , значит, функция является возрастающей и каждое свое значение принимает ровно один раз.

Тогда исходное уравнение равносильно квадратному уравнению

которое не имеет корней при

Ответ:

ОДЗ данного уравнения:

Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

 

Преобразуем уравнение:

 

Обозначим тогда последнее уравнение примет вид . В системе координат, изображённой на рисунке, оно задаёт пучок прямых (отмечены красным цветом), проходящих через точку

Точки пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью представляют собой решения уравнения. Чтобы на промежутке были решения, прямая должна пересекать дугу окружности, выделенную синим цветом, и не проходить через точку .

Угловой коэффициент горизонтальной прямой .

У прямой, проходящей через верхнюю точку дуги, угловой коэффициент .

У прямой, проходящей через точку , угловой коэффициент

Таким образом, условие задачи выполняется при

Вернувшись к параметру , получаем:

Ответ: или

Изложим идею решения иными словами.

Обозначим в исходном уравнении . Далее заметим, что при условии можно избавиться от знаменателя, привести подобные члены и записать исходное уравнение в виде Отметим далее, что в силу введённых обозначений Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (*), имеют с единичной окружностью (**) точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти () и отличные от точек прямой

Приведём другое решение.

Областью определения заданного уравнения являются все числа отрезка кроме точки, в которой то есть кроме точки На этой области имеем:

Найдём множество значений левой части. Пусть тогда

Найденная производная положительна на области определения уравнения, функция f возрастает на ней, принимая все значения из отрезка кроме значения Тем самым, .

Следовательно, искомыми значениями параметра являются все числа из отрезка кроме

Пусть x — неотрицательное, поэтому нужно, чтобы уравнение имело два решения, которые не меньше 1. Решим уравнение .

1) Раскроем оба модуля со знаком плюс: Вершина параболы в точке что означает, что оба корня не могут быть больше 1.

2) Раскроем оба модуля со знаком минус: Вершина параболы в точке Оба корня не могут быть больше 1.

3) Раскроем первый модуль с минусом, второй с плюсом: Вершина в точке оба корня не могут одновременно быть больше 1.

4) Раскроем первый модуль с плюсом, второй с минусом: Чтобы два решения были больше 1 необходимо выполнение следующих условий:

Теперь убедимся, что для найденных значений a модуль раскрывается именно так

Чтобы корни находились в этом промежутке:

Найденные нами ранее a удовлетворяют условию.

Ответ:

График функции — парабола, отраженная относительно оси Ox. Вершина — это точка (a; 3a − 1), она перемещается по прямой

Ясно, что три решения будет при и в случае касания прямой и

Ответ:

Пусть тогда уравнение примет вид: Пусть При t > 0 функция убывает от до При t < 0 функция возрастает от до . Поэтому максимальное значение функции

Функция принимает минимальное значение при Причем возрастает на промежутке и убывает на промежутке , принимая значения от до

Чтобы было решение необходимо, чтобы то есть При получаем При решений нет.

Ответ:

Пусть тогда уравнение примет вид:

При левая часть уравнения принимает наименьшее значение

При правая часть уравнения убывает и принимает значения от 12|a| до а при — возрастает, принимая значения от до 12|a| (не включая), то есть наибольшее значение правой части уравнения достигается при и равно 12|a|.

Чтобы уравнение имело решение, наибольшее значение правой части должно быть не меньше наименьшего значения левой части:

Ответ:

Разность выражений, стоящих под знаком модуля, совпадает с правой частью уравнения:

Сделаем замену:

Тогда уравнение примет вид:

Это равносильно условию Получаем

Уравнение имеет корни, ни один из которых не принадлежит интервалу (4; 19) только если правая граница отрезка решений не больше 4 или левая граница не меньше 19.

Получаем

Ответ:

Перейдём к системе

Уравнение имеет корни и при любых значениях и ещё один корень , который не должен совпадать с двумя другими. Значит, и . При этом должно выполняться неравенство .

Получаем:

Откуда получаем ответ.

Ответ:

Заметим, что

Преобразуем уравнение:

Рассмотрим два случая.

Пусть , тогда из неравенства:

Отрезку принадлежат два числа и

Пусть , тогда имеем:

В первой серии не содержится корней, лежащих на отрезке . Среди корней, содержащихся во второй серии, отрезку принадлежит одно число Подставляя его в неравенство, получаем: откуда .

Ответ: , .

Заметим, что

Преобразуем уравнение (1):

Рассмотрим два случая. Пусть , тогда из (2):

Отрезку принадлежат два числа и

Пусть , тогда имеем:

В первой серии не содержится корней, лежащих на отрезке . Среди корней, содержащихся во второй серии, отрезку принадлежит одно число Подставляя его в неравенство (2), имеем: откуда .

Ответ: , .

Преобразуем уравнение:

Число принадлежит отрезку при k = −1 и k = 0.

Уравнение имеет на отрезке единственный корень Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение на отрезке , только если число или находится вне отрезка , или совпадает с или совпадает с , то есть откуда или

Ответ:

Запишем уравнение в виде откуда или

Построим решения уравнения на координатной плоскости xOa.

На чертеже видно, что система имеет единственное решение при Найдем

Из системы получаем , откуда

Из системы получаем , откуда

Ответ:

Запишем уравнение в виде и рассмотрим два случая.

Первый случай: при при выполнении условий

То есть если

Второй случай:

Корень лежит на отрезке [0; 1] при Тогда для второго случая полулучаем

Корни уравнения и совпадают при

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при и

Ответы:

Имеем уравнение вида откуда на ОДЗ либо либо Рассмотрим эти случаи.

Первый случай: при условиях:

Имеем:

Число лежит на отрезке [0; 2], если Тогда для первого случая получаем:

Второй случай: при условии

Число лежит на отрезке [0; 2], если Тогда для второго случая получаем:

Корень равен если

Итак, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 2] при

Ответ:

Исходное уравнение равносильно уравнению Рассмотрим два случая.

Первый случай: при условии тогда

Условие принимает вид откуда То есть в этом случае при

Второй случай: Получаем

Значит, это уравнение имеет корень на отрезке [0; 1], только если при

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при и

Ответ:

Исходное уравнение равносильно уравнению Рассмотрим два случая.

Первый случай: при условии Получаем

Условие принимает вид откуда То есть в этом случае при

Второй случай: Получаем

Значит, это уравнение имеет корень на отрезке [0; 1], только если при

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при и

Ответ:

Изобразим множество точек, заданное системой неравенств

Искомое множество является пересечением части плоскости, лежащей внутри параболы, заданной уравнением и двух тупых углов, ограниченных прямыми и (см. рис., выделено жирным контуром).

Найдём абсциссы их точек пересечения:

Решим уравнение

Решим уравнение

Из рисунка следует, что система имеет решения для всех а, лежащих выше ординаты вершины параболы, но ниже точки пересечения параболы с прямой то есть для всех a из отрезка и для

Приведём другое решение.

Заметим, что при и при Поэтому первое неравенство системы равносильно двойному неравенству при и равносильно двойному неравенству при При получаем:

откуда При исходная система принимает вид:

откуда

При любом выполнено неравенство поскольку Поэтому при исходная система равносильна системе

Из этой системы следует, что откуда Заметим, что максимальное значение функции на отрезке равно 4, а минимальное значение функции равно Значит, выполнено неравенство Кроме того при больший корень уравнения удовлетворяет системе неравенств, поскольку функция принимает на отрезке все значения от до 4, и её значения в точке отрезка не превосходят значений функции Таким образом, исходная система неравенств имеет хотя бы одной решение при и

Ответ:

Имеем уравнение вида откуда на ОДЗ либо либо Рассмотрим эти случаи.

Первый случай: при условиях:

Имеем:

Число лежит на отрезке [0; 2], если Тогда для первого случая получаем:

Второй случай: при условии

Число лежит на отрезке [0; 2], если Тогда для второго случая получаем:

Корень равен если

Итак, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 2] при

Ответ:

Исходное уравнение равносильно уравнению Рассмотрим два случая.

Первый случай:

Второй случай: при условии

Это уравнение имеет на отрезке единственный корень Условие принимает вид

То есть в этом случае при

Корень уравнения принадлежит отрезку при

Корни уравнения и совпадают при

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке при и

Ответ:

Имеем уравнение вида откуда на ОДЗ либо либо Рассмотрим эти случаи.

Первый случай: при условии

Имеем:

Число лежит на отрезке [0; 1], для первого случая получаем:

Второй случай: .

Корень лежит на отрезке [0; 1] при , учитывая , получаем

Корень лежит на отрезке [0; 1] при , учитывая , получаем

Корни уравнения и совпадают при

Корни уравнения и совпадают при

Корни уравнения и совпадают при

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при и .

Ответ: и

Имеем уравнение вида откуда на ОДЗ либо либо Рассмотрим эти случаи.

Первый случай: при условиях:

Имеем:

Число лежит на отрезке [0; 1], для первого случая получаем:

Второй случай:

Число лежит на отрезке [0; 1], если Тогда для второго случая получаем:

Корень равен если

Итак, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при

Ответ:

Запишем уравнение в виде и рассмотрим два случая.

Первый случай: при при выполнении условий

то есть если

Второй случай:

Корень лежит на отрезке [0; 1] при

Корни уравнения и совпадают при

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при и

Ответ:

Имеем уравнение вида откуда на ОДЗ либо либо Рассмотрим эти случаи.

Первый случай: при условиях:

Имеем:

Число лежит на отрезке [0; 1], для первого случая получаем:

Второй случай: при условии .

Имеем:

Число лежит на отрезке [0; 1], если Тогда для второго случая получаем:

Корень равен если

Итак, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при

Ответ:

Исходное уравнение равносильно уравнению

Рассмотрим два случая.

Первый случай: Получаем при

Второй случай: при условии Получаем:

Для корня условие принимает вид откуда То есть в этом случае при

Корень уравнения принадлежит отрезку [0; 1] при

Корни уравнения и совпадают при

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при и

Ответ:

Уравнение равносильно следующей системе:

Рассмотрим первый случай, когда корни совпадают: Тогда корень принадлежит отрезку [4; 8] и удовлетворяет ОДЗ.

Рассмотрим второй случай, когда первый корень принадлежит отрезку [4; 8] и удовлетворяет ОДЗ. Тогда уравнение имеет единственное решение на заданном отрезке, если второй корень не принадлежит отрезку [4; 8] или не удовлетворяет ОДЗ. Имеем:

Рассмотрим второй случай, когда второй корень принадлежит отрезку [4; 8] и удовлетворяет ОДЗ. Тогда уравнение имеет единственное решение на заданном отрезке, если первый корень не принадлежит отрезку [4; 8] или не удовлетворяет ОДЗ. Имеем:

Ответ: