Перенесем единицу:

Построим схе­ма­тич­но гра­фи­ки функ­ций и

На ри­сун­ке видно, что не­ра­вен­ство имеет ре­ше­ния толь­ко при или

1)

Решения об­ра­зу­ют от­ре­зок длины 1, если от­ку­да

2)

Решения об­ра­зу­ют от­ре­зок длины 1, если от­ку­да

Ответ:

Перенесем двойку:

Построим схе­ма­тич­но гра­фи­ки функ­ций и

На ри­сун­ке видно, что не­ра­вен­ство имеет ре­ше­ния толь­ко при или

1)

Решения об­ра­зу­ют от­ре­зок длины 1, если от­ку­да

2)

Решения об­ра­зу­ют от­ре­зок длины 1, если от­ку­да

Ответ:

Перепишем не­ра­вен­ство в виде

Нарисуем эс­ки­зы гра­фи­ков левой и пра­вой ча­стей неравенства.

Из ри­сун­ка видно, что гра­фик пра­вой части не­ра­вен­ства лежит выше левой при Заметим, что при ре­ше­ни­ем кроме от­рез­ка ста­но­вит­ся еще и точка что про­ти­во­ре­чит условию.

При даль­ней­шем умень­ше­нии в ре­ше­ние будет по­па­дать еще один от­ре­зок с пра­вым кон­цом в точке Левый конец будет сдви­гать­ся вплоть до слу­чая ка­са­ния при ко­то­ром ре­ше­ние снова пре­вра­тит­ся в один отрезок.

Рассмотрим слу­чай касания:

Итак, ин­тер­вал не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию задачи.

Ответ:

Пусть тогда при этом, если — целое, то — также целое число.

Неравенство имеет вид Построим график функции при находим, что эта функция монотонно возрастает. Следовательно, если является решением неравенства при некотором то все также являются решениями.

Значит, если есть решение то целые числа −4 и −3 также будут решениями, и тогда будет, по крайней мере, три решения данного неравенства: Следовательно, и, стало быть, Значит, должно выполняться двойное неравенство: откуда

Решение первого неравенства: Второе неравенство выполняется при всех

Ответ:

Очевидно, если x подходит в это неравенство, то и −x тоже подходит. Поэтому решение может быть единственным только в том случае, если это решение Кроме того, при неравенство должно обратиться в равенство, иначе при достаточно близких к нулю x неравенство продолжит выполняться (по непрерывности правой части на всей области определения). Итак,

Нуль не является положительным числом, значит, не соответствует условию.

При имеем:

Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него:

Итак, подходит.

Ответ: При этом

Приведём другое решение (Дмитрий Irmos).

Пусть Знаменатель положителен при a > 0, поэтому можно на него домножить обе части неравенства, не меняя его знака. Имеем:

Рассмотрим случай . Число 0 является решением неравенства (*) при Причем при неравенство не имеет других решений, отличных от нуля. Действительно, для имеем:

Пусть теперь Тогда неравенство (*) можно записать в виде:

Подкоренное выражение больше 17, корень больше 4, а значит, выражение в скобках положительно. Следовательно, левая часть неравенства (**) является суммой неотрицательного и положительного выражений. Поэтому оно не имеет решений.

Тем самым, число 0 является единственным решением неравенства для тех и только тех положительных значений параметра a, которые являются корнями уравнения Отсюда a = 4.

Очевидно, если x подходит в это неравенство, то и тоже подходит. Поэтому решение может быть единственным только в том случае, если это решение Кроме того, при неравенство должно обратиться в равенство, иначе при достаточно близких к нулю x неравенство продолжит выполняться (по непрерывности левой части на всей области определения). Итак,

Рассмотрим эти случаи. При имеем Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него.

Итак, подходит.

При имеем Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него.

Итак, тоже подходит.

Ответ: При этом

Рассмотрим две функции: и

Функция яв­ля­ет­ся кусочно-линейной, причём при уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен либо −2, либо −8, а при уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен либо 2, либо 8. Значит, функ­ция f(x) убы­ва­ет при и воз­рас­та­ет при по­это­му

Поскольку получаем:

Если то по­это­му не­ра­вен­ство не имеет решений.

Если то пара чисел удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству Получаем:

Ответ: [−5; 1].

Рассмотрим функ­цию Эта функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке и убы­ва­ет на про­ме­жут­ке

Исходное не­ра­вен­ство имеет вид значит, гра­фик функ­ции на от­рез­ке дол­жен на­хо­дить­ся в пре­де­лах го­ри­зон­таль­ной полосы:

Отрезок не дол­жен ле­жать на участ­ке мо­но­тон­но­сти функ­ции иначе при­ра­ще­ние на от­рез­ке длины будет не мень­ше по­это­му ее гра­фик не по­ме­стит­ся в по­ло­се ши­ри­ны следовательно, от­ку­да .

Наибольшее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке до­сти­га­ет­ся либо при , либо при .

Наименьшее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке до­сти­га­ет­ся при . По­лу­ча­ем систему:

откуда

Ответ:

Перепишем не­ра­вен­ство в виде и нарисуем эс­ки­зы гра­фи­ков левой и пра­вой ча­стей неравенства.

Из ри­сун­ка видно, что гра­фик пра­вой части не­ра­вен­ства лежит выше графика левой при Заметим, что при ре­ше­ни­ем кроме от­рез­ка становится еще и точка что про­ти­во­ре­чит условию.

При дальнейшем уменьшении в решение будет попадать еще один отрезок с правым концом в точке Левый конец будет сдвигаться вплоть до случая касания при котором решение снова превратится в один отрезок.

Рассмотрим слу­чай касания:

Итак, ин­тер­вал не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию задачи.

Ответ:

Поскольку для всех значений получаем:

Решим полученное неравенство:

Для того, чтобы любое значение удовлетворяло этой системе неравенств, нужно, чтобы каждое из неравенств системы было верным для любого значения , то есть дискриминанты левых частей этих неравенств должны быть отрицательными:

Ответ:

Пусть тогда при этом, если — целое, то — также целое число.

Неравенство имеет вид Построим график функции при находим, что эта функция монотонно возрастает. Следовательно, если является решением неравенства при некотором то все также являются решениями.

Значит, если есть решение то целые числа −4 и −3 также будут решениями, и тогда будет, по крайней мере, три решения данного неравенства: Следовательно, и, стало быть, Значит, должно выполняться двойное неравенство: откуда

Решение первого неравенства: Второе неравенство выполняется при всех

Ответ:

Преобразуем неравенство:

Неравенство опре­де­ля­ет на плос­ко­сти полосу, за­клю­чен­ную между пря­мы­ми и Не­ра­вен­ство задаёт часть плоскости, огра­ни­чен­ную сверху параболой.

На ри­сун­ке видно, что прямая пересекает параболу при это означает, что на ин­тер­ва­ле есть , не удо­вле­тво­ря­ю­щие неравенству, толь­ко если

Ответ:

Разложим зна­ме­на­тель левой части дан­но­го неравенства на множители:

Способ 1 (метод интервалов).

Так как зна­ме­на­тель исходной дроби имеет корни и Если числа 2,  и  по­пар­но различны, то ис­ко­мое множество ― объ­еди­не­ние двух промежутков, а не луч. Значит, для того, чтобы мно­же­ством решений не­ра­вен­ства являлся луч, необходимо, чтобы из трех чисел 2, и какие-то два совпали.

1. Если или то мно­же­ством решений дан­но­го неравенства также яв­ля­ет­ся не луч, а объ­еди­не­ние двух промежутков: (см. ри­су­нок 1).

2. Если то так как, со­глас­но условию

В этом слу­чае множеством ре­ше­ний данного не­ра­вен­ства является луч (см. ри­су­нок 2).

Способ 2 (графоаналитический).

Данное не­ра­вен­ство задает на ко­ор­ди­нат­ной плоскости Oxa три об­ла­сти (см. за­штри­хо­ван­ные области на ри­сун­ке 3).

Множество ре­ше­ний данного не­ра­вен­ства при каж­дом значении a есть мно­же­ство абсцисс всех точек этих областей, ор­ди­на­та которых равна a.

Это мно­же­ство является лучом толь­ко при

Ответ:

Заметим, что

Пусть Ввиду того, что мно­же­ством зна­че­ний вы­ра­же­ния при яв­ля­ет­ся про­ме­жу­ток Значит, не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся для всех дей­стви­тель­ных зна­че­ний тогда и толь­ко тогда, когда на про­ме­жут­ке вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство

Далее имеем:

1) если то не­ра­вен­ство не имеет ре­ше­ний на про­ме­жут­ке так как на этом про­ме­жут­ке оба сла­га­е­мых левой части не­ра­вен­ства отрицательны;

2) если , то не­ра­вен­ство рав­но­силь­но неравенству

Функция долж­на быть по­ло­жи­тель­на на про­ме­жут­ке значит, ее гра­фик дол­жен быть рас­по­ло­жен выше ин­тер­ва­ла оси абсцисс, то есть, долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие (см.рисунок). Решая не­ра­вен­ство с уче­том усло­вия окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем .

Ответ:

Замечание.

Пункт 2) можно вы­пол­нить иначе с по­мо­щью сле­ду­ю­щих рассуждений:

Поскольку вер­ши­на па­ра­бо­лы имеет ко­ор­ди­на­ты функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке и, зна­чит мно­же­ством ее зна­че­ний на этом про­ме­жут­ке яв­ля­ет­ся про­ме­жу­ток то есть про­ме­жу­ток Таким образом, не­ра­вен­ство верно для всех из про­ме­жут­ка в том и толь­ко в том случае, когда вы­пол­ня­ет­ся усло­вие от­ку­да с уче­том усло­вия окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем

Пусть тогда не­ра­вен­ство за­пи­шет­ся в виде

Поскольку нам тре­бу­ет­ся найти все зна­че­ния a, при ко­то­рых не­ра­вен­ство вы­пол­не­но при

Рассмотрим функ­ции и Функ­ция — кусочно-линейная. Уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент её зве­ньев не пре­вос­хо­дит 10. Функ­ция — ли­ней­ная функ­ция с уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том 11. Зна­чит функ­ция возрастающая. Таким образом, если не­ра­вен­ство вы­пол­не­но при то оно вы­пол­не­но при

При не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид

Выражение равно 0 при и боль­ше при 0 при дру­гих зна­че­ни­ях a. Вы­ра­же­ние при равно 0, при при­ни­ма­ет вид при равно −2. Таким образом, не­ра­вен­ство вы­пол­не­но при

Ответ:

Возводя в квадрат, получаем

то есть

Его корни Осталось узнать, не посторонние ли это корни, и все ли они различны (их как раз три).

При изначальное уравнение примет вид что верно при

При изначальное уравнение примет вид что верно при

При изначальное уравнение примет вид что верно при при всех a.

Совпадение корней происходит при или

Ответ:

Заметим, что при любых значениях переменной и параметра знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок косинус должен принимать значения (см. рисунок)

Пусть , тогда и неравенство принимает вид

Введём функцию

Для того, чтобы множество решений неравенства (3) содержало отрезок необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия и

Ответ: