Заметим, что при любых значениях переменной и параметра знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок синус должен принимать значения (см. рисунок)

Пусть , тогда и неравенство принимает вид

Введём функцию

Для того, чтобы множество решений неравенства (3) содержало отрезок необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия и

Ответ:

Перенесем единицу:

Построим схематично графики функций и

На рисунке видно, что неравенство имеет решения только при или

1)

Решения образуют отрезок длины 1, если откуда

2)

Решения образуют отрезок длины 1, если откуда

Ответ:

Перенесем двойку:

Построим схематично графики функций и

На рисунке видно, что неравенство имеет решения только при или

1)

Решения образуют отрезок длины 1, если откуда

2)

Решения образуют отрезок длины 1, если откуда

Ответ:

Перепишем неравенство в виде

Нарисуем эскизы графиков левой и правой частей неравенства.

Из рисунка видно, что график правой части неравенства лежит выше левой при Заметим, что при решением кроме отрезка становится еще и точка что противоречит условию.

При дальнейшем уменьшении в решение будет попадать еще один отрезок с правым концом в точке Левый конец будет сдвигаться вплоть до случая касания при котором решение снова превратится в один отрезок.

Рассмотрим случай касания:

Итак, интервал не удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

Пусть тогда при этом, если — целое, то — также целое число.

Неравенство имеет вид Построим график функции при находим, что эта функция монотонно возрастает. Следовательно, если является решением неравенства при некотором то все также являются решениями.

Значит, если есть решение то целые числа −4 и −3 также будут решениями, и тогда будет, по крайней мере, три решения данного неравенства: Следовательно, и, стало быть, Значит, должно выполняться двойное неравенство: откуда

Решение первого неравенства: Второе неравенство выполняется при всех

Ответ:

Очевидно, если x подходит в это неравенство, то и −x тоже подходит. Поэтому решение может быть единственным только в том случае, если это решение Кроме того, при неравенство должно обратиться в равенство, иначе при достаточно близких к нулю x неравенство продолжит выполняться (по непрерывности правой части на всей области определения). Итак,

Нуль не является положительным числом, значит, не соответствует условию.

При имеем:

Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него:

Итак, подходит.

Ответ: При этом

Приведём другое решение (Дмитрий Irmos).

Пусть Знаменатель положителен при a > 0, поэтому можно на него домножить обе части неравенства, не меняя его знака. Имеем:

Рассмотрим случай Число 0 является решением неравенства (*) при Причем при неравенство не имеет других решений, отличных от нуля. Действительно, для имеем:

Пусть теперь Тогда неравенство (*) можно записать в виде:

Подкоренное выражение больше 17, корень больше 4, а значит, выражение в скобках положительно. Следовательно, левая часть неравенства (**) является суммой неотрицательного и положительного выражений. Поэтому оно не имеет решений.

Тем самым, число 0 является единственным решением неравенства для тех и только тех положительных значений параметра a, которые являются корнями уравнения Отсюда a = 4.

Очевидно, если x подходит в это неравенство, то и тоже подходит. Поэтому решение может быть единственным только в том случае, если это решение Кроме того, при неравенство должно обратиться в равенство, иначе при достаточно близких к нулю x неравенство продолжит выполняться (по непрерывности левой части на всей области определения). Итак,

Рассмотрим эти случаи. При имеем Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него.

Итак, подходит.

При имеем Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него.

Итак, тоже подходит.

Ответ: При этом

Рассмотрим две функции: и

Функция является кусочно-линейной, причём при угловой коэффициент равен либо −2, либо −8, а при угловой коэффициент равен либо 2, либо 8. Значит, функция f(x) убывает при и возрастает при поэтому

Поскольку получаем:

Если то поэтому неравенство не имеет решений.

Если то пара чисел удовлетворяет неравенству Получаем:

Ответ: [−5; 1].

Рассмотрим функцию Эта функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке

Исходное неравенство имеет вид значит, график функции на отрезке должен находиться в пределах горизонтальной полосы:

Отрезок не должен лежать на участке монотонности функции иначе приращение на отрезке длины будет не меньше поэтому ее график не поместится в полосе ширины следовательно, откуда

Наибольшее значение функции на отрезке достигается либо при , либо при

Наименьшее значение функции на отрезке достигается при Получаем систему:

откуда

Ответ:

Перепишем неравенство в виде и нарисуем эскизы графиков левой и правой частей неравенства.

Из рисунка видно, что график правой части неравенства лежит выше графика левой при Заметим, что при решением кроме отрезка становится еще и точка что противоречит условию.

При дальнейшем уменьшении в решение будет попадать еще один отрезок с правым концом в точке Левый конец будет сдвигаться вплоть до случая касания при котором решение снова превратится в один отрезок.

Рассмотрим случай касания:

Итак, интервал не удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

Поскольку для всех значений получаем:

Решим полученное неравенство:

Для того, чтобы любое значение удовлетворяло этой системе неравенств, нужно, чтобы каждое из неравенств системы было верным для любого значения , то есть дискриминанты левых частей этих неравенств должны быть отрицательными:

Ответ:

Пусть тогда при этом, если — целое, то — также целое число.

Неравенство имеет вид Построим график функции при находим, что эта функция монотонно возрастает. Следовательно, если является решением неравенства при некотором то все также являются решениями.

Значит, если есть решение то целые числа −4 и −3 также будут решениями, и тогда будет, по крайней мере, три решения данного неравенства: Следовательно, и, стало быть, Значит, должно выполняться двойное неравенство: откуда

Решение первого неравенства: Второе неравенство выполняется при всех

Ответ:

Преобразуем неравенство:

Неравенство определяет на плоскости полосу, заключенную между прямыми и Неравенство задаёт часть плоскости, ограниченную сверху параболой.

На рисунке видно, что прямая пересекает параболу при это означает, что на интервале есть , не удовлетворяющие неравенству, только если

Ответ:

Разложим знаменатель левой части данного неравенства на множители:

Способ 1 (метод интервалов).

Так как знаменатель исходной дроби имеет корни и Если числа 2,  и  попарно различны, то искомое множество ― объединение двух промежутков, а не луч. Значит, для того, чтобы множеством решений неравенства являлся луч, необходимо, чтобы из трех чисел 2, и какие-то два совпали.

1. Если или то множеством решений данного неравенства также является не луч, а объединение двух промежутков: (см. рисунок 1).

2. Если то так как, согласно условию

В этом случае множеством решений данного неравенства является луч (см. рисунок 2).

Способ 2 (графоаналитический).

Данное неравенство задает на координатной плоскости Oxa три области (см. заштрихованные области на рисунке 3).

Множество решений данного неравенства при каждом значении a есть множество абсцисс всех точек этих областей, ордината которых равна a.

Это множество является лучом только при

Ответ:

Заметим, что

Пусть Ввиду того, что множеством значений выражения при является промежуток Значит, неравенство выполняется для всех действительных значений тогда и только тогда, когда на промежутке выполняется неравенство

Далее имеем:

1) если то неравенство не имеет решений на промежутке так как на этом промежутке оба слагаемых левой части неравенства отрицательны;

2) если , то неравенство равносильно неравенству

Функция должна быть положительна на промежутке значит, ее график должен быть расположен выше интервала оси абсцисс, то есть, должно выполняться условие (см.рисунок). Решая неравенство с учетом условия окончательно получаем

Ответ:

Замечание.

Пункт 2) можно выполнить иначе с помощью следующих рассуждений:

Поскольку вершина параболы имеет координаты функция возрастает на промежутке и, значит, множеством ее значений на этом промежутке является промежуток то есть промежуток Таким образом, неравенство верно для всех из промежутка в том и только в том случае, когда выполняется условие откуда с учетом условия окончательно получаем

Пусть тогда неравенство запишется в виде

Поскольку нам требуется найти все значения a, при которых неравенство выполнено при

Рассмотрим функции и Функция — кусочно-линейная. Угловой коэффициент её звеньев не превосходит 10. Функция — линейная функция с угловым коэффициентом 11. Значит, функция возрастающая. Таким образом, если неравенство выполнено при то оно выполнено при

При неравенство принимает вид

Выражение равно 0 при и больше при 0 при других значениях a. Выражение при равно 0, при принимает вид при равно −2. Таким образом, неравенство выполнено при

Ответ:

Преобразуем исходное неравенство:

Решим неравенство на интервале (1; 2):

пустое множество

пустое множество

Ответ:

Заметим, что при любых значениях переменной и параметра знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок косинус должен принимать значения (см. рисунок)

Пусть , тогда и неравенство принимает вид

Введём функцию

Для того, чтобы множество решений неравенства (3) содержало отрезок необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия и

Ответ:

Решим вспомогательную противоположную задачу: найдём все , при каждом из которых неравенство

выполнено при любом Заметим далее, что данное неравенство равносильно неравенству

причём функция строго монотонно возрастает на множестве действительных чисел и, следовательно, первоначальное неравенство выполняется для всех тогда и только тогда, когда то есть

Отметим, что при полученное неравенство верно. Если то неравенство равносильно неравенству

Таким образом, существует только одно целое отрицательное значение при котором условие вспомогательной задачи не выполнено. Следовательно, при значении существует такое что неравенство не выполнено.

Ответ: −1.

Решим вспомогательную противоположную задачу: найдём все , при каждом из которых неравенство

выполнено при любом Заметим далее, что данное неравенство равносильно неравенству

причём функция строго монотонно возрастает на множестве действительных чисел и, следовательно, первоначальное неравенство выполняется для всех тогда и только тогда, когда то есть

Отметим, что при полученное неравенство верно. Если то неравенство равносильно неравенству

Таким образом, существует только одно целое отрицательное значение при котором условие вспомогательной задачи не выполнено. Следовательно, при значении существует такое что неравенство не выполнено.

Ответ: −1.