Заметим, что при любых значениях переменной и параметра знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок синус должен принимать все значения (см. рисунок)

Пусть тогда неравенство принимает вид

Рассмотрим функцию Для того, чтобы множество решений последнего неравенства содержало отрезок необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия и

Ответ:

Пусть Если то — два корня. Если тогда — единственный корень.

Обозначим Исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда уравнение имеет ровно один корень больший 1.

Уравнение имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю:

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение имеет единственный корень

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение имеет два корня.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы уравнение имело два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Ответ:

Пусть Если тогда и Если тогда

Обозначим Исходное уравнение имеет ровно два корня в двух случаях:

1) когда уравнение имеет всего один корень и этот корень больше 1;

2) когда уравнение имеет ровно два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1.

Рассмотрим эти случаи:

1) Уравнение имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю:

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение не имеет корней.

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение имеет два корня.

2) Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы уравнение имело два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Ответ:

Сделаем замену тогда Имеем:

Причем значениям x из отрезка соответствуют t, лежащие в отрезке

При неравенство (⁎) верно, поскольку на отрезке первое слагаемое в левой части неотрицательно, а другие положительны. Если то старший коэффициент квадратичной функции отрицателен, а потому для того, чтобы функция f была положительной на необходимо и достаточно одновременного выполнения неравенств и Тогда и то есть Учитывая условие находим: Объединяя со случаем окончательно получаем:

Ответ:

Сделаем замену поэтому Задачу можно сформулировать так: найдите значения при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию

Перейдем к системе:

Заметим, что ни при одном значении число не является корнем уравнения.

Рассмотрим функцию Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий:

1) Трёхчлен имеет два различных корня, и только больший из них лежит на промежутке то есть

2) Трёхчлен имеет два различных корня, и только меньший из них лежит на промежутке то есть

3) Трёхчлен имеет два корня, возможно, совпадающих, и оба, а также вершина, лежат на промежутке то есть

где — абсцисса вершины параболы. Эти условия соответствуют следующим способам расположения графика функции

Решим первую систему:

Решим вторую систему:

Решим третью систему:

Приведем решение, предложенное Ириной Владимировной Шраго.

Сделаем замену поэтому и преобразуем уравнение.

Задачу можно сформулировать так: найдите значения при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию Левая часть этого уравнения функция графиком которой является парабола, правая часть функция — пучок прямых проходящих через точку Для того, чтобы исходное уравнение имело решение, необходимо, чтобы графики пересекались при

Определим, при каких a графики касаются, в этом случае дискриминант уравнения должен быть равен нулю. откуда a = –3 или a = –2. В первом случае касание происходит при а во втором при Таким образом, при — графики пересекаются на промежутке при — графики не пересекаются, при — графики пересекаются на промежутке

Откуда и следует ответ.

Ответ: