Заметим, что при любых значениях переменной и параметра знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок синус должен принимать все значения (см. рисунок)

Пусть , тогда неравенство принимает вид

Рассмотрим функцию Для того, чтобы множество решений последнего неравенства содержало отрезок необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия и

Ответ:

Пусть Если то — два корня. Если тогда — единственный корень.

Обозначим Исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда уравнение имеет ровно один корень больший 1.

Уравнение имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю:

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение имеет единственный корень

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение имеет два корня.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы уравнение имело два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Ответ:

Пусть Если тогда и Если тогда

Обозначим Исходное уравнение имеет ровно два корня в двух случаях:

1) когда уравнение имеет всего один корень и этот корень больше 1;

2) когда уравнение имеет ровно два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1.

Рассмотрим эти случаи:

1) Уравнение имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю:

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение не имеет корней.

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение имеет два корня.

2) Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы уравнение имело два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Ответ:

Сделаем замену поэтому Задачу можно сформулировать так: найдите значения при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение, удовлтеворяющее условию

Перейдем к системе:

Заметим, что ни при одном значении число не является корнем уравнения.

Рассмотрим функцию Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий:

1) Трёхчлен имеет два различных корня, и только больший из них лежит на промежутке , то есть

2) Трёхчлен имеет два различных корня, и только меньший из них лежит на промежутке

, то есть

3) Трёхчлен имеет два корня, возможно, совпадающих, и оба, а также вершина, лежат на промежутке , то есть

где — абсцисса вершины параболы. Эти условия соответствуют следующим способам расположения графика функции

Решим первую систему:

Решим вторую систему:

Решим третью систему:

Ответ:

Сделаем замену

Исходное уравнение имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда имеет хотя бы одно решение система

Преобразуем систему:

При система решений не имеет.

При имеем:

Система имеет решения при

Ответ:

Приведём другое решение

Поделим числитель и знаменатель дроби на

Сделаем замену

, поэтому

Задачу можно сформулировать так: найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию

Перейдем к системе:

Заметим, что ни при одном значении число не является корнем уравнения.

Рассмотрим функцию Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий:

1) Трёхчлен имеет два различных корня, и только больший из них лежит на промежутке (0; 1])(см.рис. 1), то есть

2) Трёхчлен имеет два различных корня, и только меньший из них лежит на промежутке (0; 1])(см.рис. 2), то есть

3) Трёхчлен имеет два корня,возможно, совпадающих, и оба лежат на промежутке (0; 1])(см.рис. 3), то есть

Эти условия соответствуют следующим способам расположения графика функции :

Решим систему:

Решим систему:

Решим систему: откуда

Ответ:

Запишем исходное уравнение в виде

Пусть t = cosx, тогда исходное уравнение имеет хотя бы один корень, если уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1]. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх,

следовательно, уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1], либо при условии (рис. 1) откуда либо при условии (рис. 2) откуда

Ответ:

Заметим, что при любых значениях переменной и параметра знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок косинус должен принимать значения (см. рисунок)

Пусть , тогда и неравенство принимает вид

Введём функцию

Для того, чтобы множество решений неравенства (3) содержало отрезок необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия и

Ответ:

Заметим, что при любых значениях переменной и параметра знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок , удвоенный аргумент должен содержать отрезок , а косинус двойного угла должен принимать все значения (см. рисунок)

Пусть , тогда неравенство принимает вид

Рассмотрим функцию

Для того, чтобы множество решений последнего неравенства содержало отрезок необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия и

Ответ: