Всего: 819 … 381–400 | 401–420 | 421–440 | 441–460 | 461–480 | 481–500 | 501–520 | 521–540 …
Добавить в вариант
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка F середина ребра AB, а точка E делит ребро DD1 в отношении DE : ED1 = 6 : 1. Через точки F и E проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая диагональ B1D в точке О.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ DB1 в отношении DO : OB1 = 2 : 3.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (ABC), если дополнительно известно, что ABCDA1B1C1D1 — правильная четырехугольная призма, сторона основания которой равна 4, а высота равна 7.
параллельна прямой AC, то она пересекает грань ABСD по некоторой прямой FL, параллельной прямой AC. Пусть точка 
и прямая FL пересекает прямую BD в точке K а прямая KE пересекает прямую BB1 в точке P. Тогда точка пересечения прямых B1D и KE есть точка пересечения плоскости 
с диагональю B1D (см. рис. 1).
тогда 
Таким образом, 
— подобны, откуда 
что и требовалось доказать.
и 
получаем, что 
Значит, согласно теореме о трех перпендикулярах, 
Таким образом, угол PKB ― линейный угол искомого двугранного угла.
и 
из треугольника PBK находим: 
откуда 
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 6, AB = 4.
и 
По теореме о трёх перпендикулярах, из перпендикулярности наклонной D1B и прямой AC следует перпендикулярность прямой AC проекции наклонной — прямой DB. Этим показано, что диагонали лежащего в основании прямоугольника взаимно перпендикулярны. Следовательно, этот прямоугольник является квадратом, что и требовалось доказать.
равны по гипотенузе и катету: 
Значит, 
а ABCD является квадратом.
Проекцией ромба сечения на боковую грань ВСС1В1 является параллелограмм ВKС1N, площадь которого равна половине площади прямоугольника ВСС1В1 то есть 12. Поскольку 
для искомого угла между плоскостями получаем:
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
иначе произведение ab будет меньше 40, а произведение ef будет больше 100. Другими словами, на доске может быть только одно число a < 7 и только одно число f > 9. Но тогда четырьмя различными числами b, c, d, e должны быть три числа 7, 8 и 9, что невозможно.
Сумма четырех чисел наибольшая, когда каждое слагаемое принимает наибольшее возможное значение. Наибольшее возможное произведение 
поэтому 
Тогда 
наибольшее значение суммы четырех чисел равно 35.В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 4 и диагональю BD = 7. Все боковые рёбра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.
Пусть прямая CE пересекает ребро AB в точке M. Треугольники BME и DCE подобны, поэтому 
откуда 
Тогда 
Треугольники ABS и AMF подобны, значит, 
Поэтому прямая SB параллельна плоскости CEF.
Тогда 
Пусть O — центр основания ABCD. Так как все боковые ребра пирамиды равны, SO — высота пирамиды. Имеем:
Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.
а) Докажите, что 
б) Пусть прямые MK и BC пресекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = 
Кроме того, 
Значит, треугольник AME равен треугольнику CMK и тоже прямоугольный, следовательно, 
как угол в прямоугольном треугольнике, лежащий напротив катета, который в два раза меньше гипотенузы.
а из подобия треугольников CKP и AKT следует, что 
Значит, B — середина CP.
поэтому 
а так как 
AD — средняя линия треугольника BQP. Значит, 
и 
перпендикулярны по условию, так как являются направляющими векторами для соответствующих перпендикулярных прямых, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:
тогда 
Значит, 
что и требовалось доказать.
Значит, точка P имеет координаты (0; 2m). Зная координаты точек, принадлежащих прямым BK и AP, найдём уравнения этих прямых:
и Q равно
Значит, треугольник CMA равнобедренный. Поэтому угол BAC равен углу ACM. Следовательно,
то есть 
поэтому 
Отсюда получаем, что 
Значит, 
поэтому 
Отсюда получаем, что 
Значит, 
поэтому 
и по теореме Пифагора 
По тереме синусов с учётом свойств вертикальных и смежных углов получаем: 
В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 5 и диагональю BD = 9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 4.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.
Пусть прямая CE пересекает ребро AB в точке M. Треугольники BME и DCE подобны, поэтому 
откуда BM = 4. Тогда AM = 1. Треугольники ABS и AMF подобны, значит, FM || SB. Поэтому прямая SB параллельна плоскости CEF.
Пусть O — центр основания ABCD. Так как все боковые ребра пирамиды равны, SO — высота пирамиды. Имеем:
Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.
а) Докажите, что
б) Пусть прямые MK и BC пресекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = 
значит, 
Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезок CK и BE пересекаются в точке O.
а) Доказать, что CO = KO.
б) Найти отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 
площади трапеции ABCD.
и четырехугольник KCLA — это трапеция. Прямая BE содержит точку пересечения боковых сторон трапеции и середину ее основания AL. Тогда по замечательному свойству трапеции она содержит и середину основания КС — точку O. Тем самым 
Из подобия треугольников KBC и ABL следует, что 
то есть 
Тогда:
Треугольники LBE и CBO подобны с тем же коэффициентом подобия. Тогда 
Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K, так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.
а) Докажите, что CO = KO.
б) Найти отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 
площади трапеции ABCD.
Тогда 
Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезок CK и BE пересекаются в точке O.
а) Доказать, что CO = KO.
б) Найти отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 
площади трапеции ABCD.
и ΔLBE ∼ ΔCBO с тем же коэффициентом подобия 
Тогда 
Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B, причём точки O1 и O2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжения диаметра CA первой окружности и хорды CB этой окружности пересекают вторую окружность в точках
а) Докажите, что треугольники CBD и O1AO2 подобны.
б) Найдите AD, если 
радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и AB = 3.
так как линия центров 
содержит биссектрисы равнобедренных треугольников 
и 
Тогда 
подобны по двум углам.
следует параллельность прямых: 
Учитывая, что 
Значит, 
а AE — диаметр окружности. По условию 
подобны. Значит, 
откуда 
В треугольнике DAO2 известны стороны: 
По теореме косинусов находим:
откуда 
Две окружности с центром O1 и O2 пересекаются в точках A и B, причём точки O1 и O2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжение диаметра CA первой окружности и хорды CB этой же окружности пересекает вторую окружность в точках D и E соответственно.
а) Докажите, что треугольники CBD и O1AO2 подобны.
б) Найти AD, если радиус второй окружности в четыре раза больше радиуса первой и AB = 2.
по двум углам.
Точки E и K — соответственно середины сторон CD и AD квадрата ABCD. Прямая BE пересекается с прямой CK в точке O.
а) Докажите, что вокруг четырёхугольника ABOK можно описать окружность.
б) Найдите AO, если сторона квадрата равна 1.
уравнение прямой BE: 
Координаты точки O найдём из системы уравнений 
и 
равно 
то есть на хорды AO и AB описанной около четырёхугольника ABOK окружности опираются равные углы. Таким образом, 
Значит, скалярное произведение равно нулю, а тогда
Запишем его в виде
По теореме Пифагора из треугольника DCK находим: 
откуда
получим:
Саша берёт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции: сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое результата и третьего числа, потом среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, потом среднее арифметическое полученного результата и пятого числа — число A.
а) Может ли число A равняться среднему арифметическому начальных пяти чисел?
б) Может ли число A быть больше среднего арифметического начальных чисел в пять раз?
в) В какое наибольшее целое число раз число A может быть больше среднего арифметического начальных пяти чисел?
верно. Поэтому искомыми числами являются 1, 3, 8, 11, 2.
что невозможно для натуральных слагаемых.
Пример для k = 2: 1, 3, 4, 7, 35. Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B, причем точки O1 и O2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжение диаметра CA первой окружности и хорды CB этой же окружности пересекают вторую окружность в точках D и E соответственно.
а) Докажите, что треугольники CBD и O1AO2 подобны.
б) Найдите AD, если угол DAE равен углу BAC, а радиус второй окружности в четыре раза больше радиуса первой и AB = 3.
Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B, причем точки O1 и O2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжение диаметра CA первой окружности и хорды CB этой же окружности пересекают вторую окружность в точках D и E соответственно.
а) Докажите, что треугольники CBD и O1AO2 подобны.
б) Найдите AD, если угол DAE равен углу BAC, а радиус второй окружности в четыре раза больше радиуса первой и AB = 2.
(по теореме о вписанном угле для второй окружности). Аналогично 
поэтому треугольники имеют две пары равных углов, следовательно, подобны.В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 5. На ребрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что 
а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.
б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.
поэтому он прямоугольный, то есть прямая DS перпендикулярна прямой SB. Поскольку прямые SB и PQ параллельны, прямая DS перпендикулярна прямой PQ. Прямая AC перпендикулярна прямой BD, и по теореме о трех перпендикулярах прямая AC перпендикулярна прямой SD, а значит, и прямая QR перпендикулярна прямой SD. 
Поскольку плоскость PQR перпендикулярна ребру SD, искомое расстояние равно DE.
В треугольник ABC, в котором длина стороны AC меньше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B1 симметрична точке B относительно CO.
а) Докажите, что A, B, O и B1 лежат на одной окружности.
б) Найдите площадь четырёхугольника AOBB1, если AB = 10, AC = 6 и BC = 8.
тогда 
Следовательно, 
Заметим, что B1O = OB, поскольку треугольник B1OB равнобедренный, и что 
из треугольника EOB.
Далее опустим перпендикуляр OH на сторону BC. Тогда 
как радиус вписанной окружности. Тогда 
откуда 
Причём 
где r — радиус окружности, вписанный в треугольник ABC. Для сторон треугольника ABC выполнено соотношение 
следовательно, угол C прямой. Тогда
В прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине A и острым углом при вершине D вписана окружность с центром O. Прямая DO пересекает сторону AB в точке M, а прямая CO пересекает сторону AD в точке K.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника AOM, если 
и 
Поскольку прямые CO и DO перпендикулярны, получаем:
Значит, 
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке [2; 6].
при условии 
Прямая 
и окружность 
и 
Прямая 
и окружность 
пересекаются в точках 
и 
Неравенству удовлетворяет, например, точка A(5; 0) — центр окружности. Таким образом, множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению, состоит из дуг BD и CE.
в точках (2; −4) и (2; 4). Прямая x = 6 пересекает окружность 
и 
при 
и 
и/или 
и 
, множества значений a, возможно, с исключением граничных точек.