Точки O₁, O₂ и A лежат на одной пря­мой. По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки BO₁A и CO₂A рав­но­бед­рен­ные, ∠ABO₁ = ∠BAO₁ = ∠CAO₂ = ∠ACО₂  =  30°, от­ку­да

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом (рис. 1), тогда точка B лежит между точ­ка­ми A и C, от­ку­да BC  =  AC − AB  =  2cos30°.

Вто­рой слу­чай: окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом (рис. 2), тогда точка A лежит между точ­ка­ми B и C, от­ку­да BC  =  AC + AB  =  10cos30°.

Ответ: или

Пусть a  — рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей ра­ди­у­сов r и R, a ≥ r + R. Если общая внут­рен­няя ка­са­тель­ная ка­са­ет­ся окруж­но­стей в точ­ках C и D, то

Дей­стви­тель­но, пусть O₁ и O₂  — цен­тры окруж­но­стей ра­ди­у­сов r и R со­от­вет­ствен­но (см. рис.). Из точки O₂ опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр O₂F на пря­мую O₁C. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка O₁FO₂ на­хо­дим, что

Пусть x  — ра­ди­ус ис­ко­мой окруж­но­сти, O₃  — её центр. За­ме­тим, что пря­мая CD  — либо общая внеш­няя ка­са­тель­ная окруж­но­стей с цен­тра­ми O₃ и O₂ (см. рис.), либо общая внеш­няя ка­са­тель­ная окруж­но­стей с цен­тра­ми O₃ и O₁ (см. рис.). В пер­вом них этих слу­ча­ев ис­ко­мая окруж­ность ка­са­ет­ся пря­мой CD в точке C, во вто­ром  — в точке D.

По до­ка­зан­но­му

В пер­вом слу­чае CD  — общая внеш­няя ка­са­тель­ная к окруж­но­сти с цен­тра­ми O₃ и O₂, по­это­му зна­чит, от­ку­да

Во вто­ром слу­чае CD  — общая внеш­няя ка­са­тель­ная к окруж­но­стям с цен­тра­ми O₃ и O₁, по­это­му от­ку­да

Ответ: или

Пусть Q  — центр ис­ко­мой окруж­но­сти ра­ди­у­са R, B  — точка ка­са­ния этой окруж­но­сти со сто­ро­ной AO, C  — точка ка­са­ния окруж­но­стей. Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол лежит на бис­сек­три­се угла, зна­чит, ∠BAQ  =  45°. Тогда AB  =  QB  =  R. Линия цен­тров двух ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку их ка­са­ния, по­это­му OQ  =  OC + CQ  =  1 + R.

Рас­смот­рим слу­чай, когда точка B лежит между A и O. (см. рис.). Тогда R < 7. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра OQ²  =  QB² + OB², или (1 + R)²  =  R² + (7 − R)². После оче­вид­ных упро­ще­ний по­лу­чим урав­не­ние R² − 16R + 48  =  0, учи­ты­вая, что R < 7, на­хо­дим, что R  =  4.

Если же точка O лежит между A и B (см. рис.), то ана­ло­гич­но по­лу­чим, что R  =  12.

Ответ: 4 или 12.

До­ка­жем сна­ча­ла сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние. Если a  — рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей ра­ди­у­сов r и R, a ≥ r + R, общая внеш­няя ка­са­тель­ная ка­са­ет­ся окруж­но­стей в точ­ках A и B, то

Дей­стви­тель­но, пусть O₁ и O₂  — цен­тры окруж­но­стей ра­ди­у­сов r и R со­от­вет­ствен­но (см. рис.). Из точек O₁ и O₂ опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры O₁Q на пря­мую O₂B. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка O₁QO₂ на­хо­дим, что

Пусть x  — ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти, C  — её точка ка­са­ния с пря­мой AB. по до­ка­зан­но­му:

Воз­мож­ны че­ты­ре слу­чая.

1.  Если точка C лежит между A и B (см. рис.), то AC + CB  =  AB, или Тогда от­ку­да

2.  Если точка C лежит на про­дол­же­нии от­рез­ка AB (см. рис.), то CB − AC  =  AB, или Тогда от­ку­да

3 и 4. Если точка C сов­па­да­ет с одной из точек A или B, а ка­са­ние с со­от­вет­ству­ю­щей окруж­но­стью про­ис­хо­дит внут­рен­ним об­ра­зом. Тогда в слу­чае внеш­не­го ка­са­ния с мень­шей окруж­но­стью

В слу­чае ка­са­ния боль­шей окруж­но­стью, от­ку­да

Ответ:

Пусть Q  — центр ис­ко­мой окруж­но­сти ра­ди­у­са x, B  — точка ка­са­ния одной из сто­рон дан­но­го угла с вер­ши­ной A. Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на бис­сек­три­се угла, по­это­му ∠BAQ  =  30°. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BAQ на­хо­дим, что AQ  =  2QB  =  2x. Рас­смот­рим слу­чай внеш­не­го ка­са­ния окруж­но­стей. Если точка Q лежит между A и O (см. рис.), то AO  =  AQ + QO, или 10  =  2x + (x + 4), от­ку­да на­хо­дим, что x  =  2.

Если точка O лежит между A и Q (см. рис.), то AQ  =  AO + OQ, или 2x  =  10 + (4 + x), от­ку­да x  =  14.

Рас­смот­рим слу­чай внут­рен­не­го ка­са­ния окруж­но­стей. Если точка Q лежит между A и O (см. рис.), то AO  =  AQ + QO, или 10  =  2x + (x − 4), от­ку­да на­хо­дим, что

Если точка O лежит между A и Q (см. рис.), то AQ  =  AO + OQ, или 2x  =  10 + (x − 4), от­ку­да x  =  6.

Ответ: 2; 14; 6.