Точки O₁, O₂ и A лежат на одной прямой. Поскольку треугольники BO₁A и CO₂A равнобедренные, ∠ABO₁ = ∠BAO₁ = ∠CAO₂ = ∠ACО₂ = 30°, откуда

Возможны два случая. Первый случай: окружности касаются внутренним образом (рис. 1), тогда точка B лежит между точками A и C, откуда BC = AC − AB = 2cos30°.

Второй случай: окружности касаются внешним образом (рис. 2), тогда точка A лежит между точками B и C, откуда BC = AC + AB = 10cos30°.

Ответ: или

Докажем сначала следующее утверждение. Если a — расстояние между центрами окружностей радиусов r и R,, a ≥ r + R, общая внешняя касательная касается окружностей в точках A и B, общая внутренняя в точках C и D, то

Действительно, пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r и R соответственно (см. рис.). Из точек O₁ и O₂ опустим перпендикуляры O₁Q на прямую O₂B и O₂F на прямую O₁C. Из прямоугольных треугольников O₁QO₂ и O₁FO₂ находим, что

Следовательно, Пусть x — радиус искомой окружности, O — её центр. Заметим, что прямая CD — либо общая внешняя касательная окружностей с центрами O и O₂ (см. рис.), либо общая внешняя касательная окружностей с центрами O и O₁ (см. рис.). В первом них этих случаев искомая окружность касается прямой CD в точке C, во втором — в точке D.

По доказанному

В первом случае CD — общая внешняя касательная к окружности с центрами O и O₂, поэтому значит, откуда

Во втором случае CD — общая внешняя касательная к окружностям с центрами O и O₁, поэтому откуда

Ответ: или

Пусть Q — центр искомой окружности радиуса R, B — точка касания этой окружности со стороной AO, C — точка касания окружностей. Центр окружности, вписанной в угол лежит на биссектрисе угла, значит, ∠BAQ = 45°. Тогда AB = QB = R. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому OQ = OC + CQ = 1 + R.

Рассмотрим случай, когда точка B лежит между A и O. (см. рис.). Тогда R < 7. По теореме Пифагора OQ² = QB² + OB², или (1 + R)² = R² + (7 − R)². После очевидных упрощений получим уравнение R² − 16R + 48 = 0, учитывая, что R < 7, находим, что R = 4.

Если же точка O лежит между A и B (см. рис.), то аналогично получим, что R = 12.

Ответ: 4 или 12.

Пусть Q — центр искомой окружности радиуса x, B — точка касания одной из сторон данного угла с вершиной A. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому ∠BAQ = 30°. Из прямоугольного треугольника BAQ находим, что AQ = 2QB = 2x. Рассмотрим случай внешнего касания окружностей. Если точка Q лежит между A и O (см. рис.), то AO = AQ + QO, или 10 = 2x + (x + 4), откуда находим, что x = 2.

Если точка O лежит между A и Q (см. рис.), то AQ = AO + OQ, или 2x = 10 + (4 + x), откуда x = 14.

Рассмотрим случай внутреннего касания окружностей. Если точка Q лежит между A и O (см. рис.), то AO = AQ + QO, или 10 = 2x + (x − 4), откуда находим, что

Если точка O лежит между A и Q (см. рис.), то AQ = AO + OQ, или 2x = 10 + (x − 4), откуда x = 6.

Ответ: 2; 14; 6.

Пусть центры окружностей O₁ и O₂. Ясно, что O₁O₂ — средняя линия треугольника ADC. Проведём отрезок AB. Углы ABC и ABD — вписанные, и каждый из них опирается на диаметр соответствующей окружности. Следовательно, ∠ABC = ∠ABD = 90°. Таким образом, точки C, B и D лежат на одной прямой. Возможны два случая: точки C и D лежат по разные стороны от точки B или по одну сторону от точки B (см. рис.).

В первом случае Во втором случае

Ответ: 5 или 2.

Пусть центры окружностей — точки O₁ и O₂, а A и B — точки касания. Проведем через точку B прямую, параллельную O₁O₂. Точку пересечения этой прямой с O₁A обозначим K. Треугольник KAB — прямоугольный.

Возможны два случая расположения окружностей и общей касательной.

Случай 1. Окружности лежат по одну сторону от касательной.

Случай 2. Окружности лежат по разные стороны от касательной.

Обозначим радиусы окружностей R и r, расстояние между центрами окружностей l. В первом случае AK = R − r, во втором случае AK = R + r. Из прямоугольного треугольника KAB находим:

в первом случае

во втором случае

Ответ: 48 или 14.

Обозначим центры окружностей O₁ и O₂, один из концов общей хорды A, а точку пересечения общей хорды и прямой O₁O₂ обозначим K. Треугольники O₁KA и O₂KA прямоугольные с общим катетом AK, равным Обозначим радиусы окружностей r и 2r. Поскольку числитель в левой части меньше знаменателя, равенство невозможно. Тогда Из этого уравнения находим: r² = 7. Тогда и, значит, KO₂ = 5.

В зависимости от взаимного расположения окружностей (см. рисунки) O₁O₂ = 2 + 5 = 7 или O₁O₂ = 5 − 2 = 3.

Ответ: 7 или 3.

а) Пусть O — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OA — диаметр меньшей окружности.

Точка K лежит на окружности с диаметром OA, значит, ∠AKO = 90°. Отрезок OK — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду AB. Поэтому K — середина AB. Аналогично, M — середина AC, поэтому KM — средняя линия треугольника ABC. Следовательно. прямые MK и BC параллельны.

б) Отпустим перпендикуляр OH на хорду BC. Тогда H — середина BC. Из прямоугольного треугольника OHB находим, что

Пусть Q — центр меньшей окружности. Тогда прямые QP и OH параллельны. Опустим перпендикуляр QF из центра меньшей окружности на OH. Тогда

а из прямоугольного треугольника APO находим, что

Отрезок KM — средняя линия треугольника ABC, поэтому L средина AP. Следовательно,

Ответ: б)

а) Пусть AB — диаметр большей из трёх окружностей, O — её центр, O₁ — центр окружности радиуса r, кающийся окружности с диаметром AB в точке A, O₂ — центр окружности радиуса R, касающийся окружности с диаметром AB в точке C, окружности с центром O₁ — в точке D, отрезка AB — в точке E. Точки O, O₂ и C лежат на одной прямой, поэтому OO₂ = OC − O₂C = OC − R.

Аналогично OO₁=OA − O₁A=OA − r, O₁O₂ = O₁D + O₂D = r + R.

Следовательно, периметр треугольника OO₁O₂ равен

б) Пусть OA = 6, r = 2. Тогда

Из прямоугольных треугольников O₁O₂E и OO₂E находим, что

Возможны два случая: (O лежит между E и O₁) и (E лежит между O и O₁). Это дает нам два уравнения и , которые имеют общее решение R = 3, это означает, что диаметр искомой окружности равен радиусу наибольшей из трёх окружностей, что точка E совпадает с O.

Ответ: 3.

Пусть O — центр третьей окружности, A — точка касания первой и третьей окружностей, B — второй и третьей, C — третьей окружности и прямой O₁O₂. Точки O₁, A и O лежат на одной прямой. Точки O₂, B и O также лежат на одной прямой.

Пусть радиус третьей окружности равен x, тогда

В прямоугольном треугольнике OCO₁ имеем

В прямоугольном треугольнике OCO₂ имеем

Возможны два случая. первый случай: точка С лежит между точками O₁ и O₂ (рисунок 1), тогда

откуда x = 12.

Второй случай: точка O₁ лежит между точками C и O₂ (рисунок 2), тогда

откуда x = 180.

Ответ: 12 или 180.

Пусть O — центр третьей окружности, A — точка касания первой и третьей окружностей, B — второй и третьей, C — третьей окружности и прямой O₁O₂. Точки O₁, A и O лежат на одной прямой. Точки O₂, B и O также лежат на одной прямой.

Пусть радиус третьей окружности равен x, тогда

В прямоугольном треугольнике OCO₁ имеем

В прямоугольном треугольнике OCO₂ имеем

Возможны два случая. первый случай: точка С лежит между точками O₁ и O₂ (рисунок 1), тогда

откуда x = 15.

Второй случай: точка O₁ лежит между точками C и O₂ (рисунок 2), тогда

откуда x = 120.

Ответ: 15 или 120.

Точки О₂, О₂ и C лежат на одной прямой.

Возможны два случая. Первый случай: точки A и B лежат по одну сторону от прямой O₁O₂ (рис. 1). Отрезок MA параллелен прямой O₁O₂ (точка M принадлежит радиусу BO₂), следовательно, O₁O₂MA — параллелограмм: AM = O₁O₂ = 32, O₁A = O₂M = 11, ∠O₂MA = ∠AO₁O₂ = 60°.

В треугольнике AMB имеем MB = 10, AM = 32, ∠AMB = 120°, откуда

Второй случай: точки A и B лежат по разные стороны от отрезку O₁O₂ (рис. 2). Отрезок AM параллелен прямой O₁O₂ (точка M лежит на продолжении радиуса BO₂ за точку O₂), следовательно, O₁O₂MA — параллелограмм: AM = O₁O₂ = 32, O₁A = O₂M = 11, ∠O₂MA = ∠AO₁O₂ = 60°.

В треугольнике AMB имеем MB = 32, AM = 32, ∠AMB = 60°, значит, треугольник AMB — правильный, откуда AB = 32.

Ответ: 32 или 38.

Возможны два случая.

Первый случай: хорды PQ и CD не пересекаются (рис. 1), тогда ∠PQC = 180° − ∠PDC.

В треугольниках PQC и PDC

Значит, откуда

Второй случай: хорды PQ и CD пересекаются (рис. 2), тогда

В треугольниках PQC и PDC

откуда

Ответ: 4 или

Решение.

Возможны два случая. Первый случай: точки D и Q лежат в разных полуплоскостях относительно прямой CP (рис. 1), тогда ∠PQC = 180° − ∠PDC.

В треугольниках PQC и PDC:

откуда ;

Второй случай: точки D и Q лежат в одной полуплоскости относительно прямой CP (рис. 2), тогда ∠PQC = ∠PDC. В треугольниках PQC и PDC

откуда ;

Ответ:

а) Обозначим ∠BAD = ∠ PAB = α. Поскольку ABPQ и CDPQ — вписанные четырёхугольники.

Значит, ∠BAD + ∠ADC = 180°, и поэтому AB || CD. Противоположные стороны четырёхугольника ABCD попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм.

б) Пусть R — радиус второй (меньшей) окружности. Тогда радиус большей окружности равен 2R. По теореме синусов:

Следовательно,

Ответ: 2.

Возможны два случая взаимного расположения прямой и окружностей.

Первый случай. Пусть окружность с центром O₁ имеет радиус r = 4, окружность центром O₂ имеет радиус R = 9, а окружность с центром O имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a.

Обозначим через A, B и C точки касания окружностей с прямой a, а через K, M и N — точки касания самих окружностей. Отрезки O₁A, O₂B и OC перпендикулярны прямой a как радиусы, проведенные в точки касания.

Опустим перпендикуляр O₁D из центра меньшей из данных окружностей на радиус O₂B большей окружности и перпендикуляры OE и OF из точки O на радиусы O₁A и O₂B. Поскольку O₁A || O₂B, точки E, O и F лежат на одной прямой, а так как O₁DFE — прямоугольник, то O₁D = EF.

Кроме того,

Далее имеем:

Второй случай. Пусть теперь окружность с центром O₁ имеет радиус R = 9, окружность с центром O имеет радиус r = 4, а окружность центром O₂ имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a.

Аналогично случаю 1 имеем:

Ответ: 1,44 или 36.

Пусть O₁ — центр окружности радиуса R, O₂ — центр окружности радиуса r, A и B, соответственно, — точки касания окружностей с их общей внешней касательной, C и D, соответственно, — с внутренней, P — основание перпендикуляра, опущенного из O₂ на O₁A.

Из прямоугольного треугольника O₁O₂P находим, что

а так как APO₂B — прямоугольник, то

Пусть Q — основание перпендикуляра, опущенного из O₁ на продолжение радиуса O₂D.

Тогда

Ответ: или

Пусть окружность S с центром O и радиусом R пересекает стороны данного прямого угла в точках A и B, AC = 8, BC = 6, искомая окружность с центром Q касается сторон и BC угла ACB в точках N и K соответственно, а окружности S — в точке M.

Точка O — центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, поэтому O — середина его гипотенузы AB.

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точки M, O и Q лежат на одной прямой. Опустим перпендикуляр OH из центра окружности S на прямую BC. Тогда OH — средняя линия треугольника ABC поэтому и , а так как центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, то ∠QCK = 45°, поэтому CK = QK = r.

Опустим перпендикуляр QF из центра искомой окружности на прямую OH. Тогда

Предположим, что искомая окружность и окружность касаются внутренним образом. Тогда

Рассмотрим прямоугольный треугольник OFQ. По теореме Пифагора OQ² = OF² + QF² или

Если же искомая окружность касается данной внешним образом, то

Тогда из соответствующего уравнения (5 + r)² = (4 − r)² + (r − 3)² находим, что r  = 24.

Ответ: 4 или 24.

Пусть центры окружностей — точки O₁ и O₂, а A и B — точки касания. Проведем через точку B прямую, параллельную O₁O₂. Точку пересечения этой прямой с O₁A обозначим K. Треугольник KAB — прямоугольный.

Возможны два случая расположения окружностей и общей касательной.

Случай 1. Окружности лежат по одну сторону от касательной.

Случай 2. Окружности лежат по разные стороны от касательной.

Обозначим радиусы окружностей R и r, расстояние между центрами окружностей l. В первом случае AK = R − r, во втором случае AK = R + r. Из прямоугольного треугольника KAB находим:

в первом случае

во втором случае

Ответ: 30 или 16.

Пусть O₁ — центр окружности радиуса — второй окружности, A — вершина прямого угла, тогда

Возможны два случая. Первый случай: точка O₁ лежит между точками A и O₂ (рис.1), тогда O₂A = O₁A + O₁O₂ = 20, откуда радиус второй окружности

В треугольнике O₁MO₂ имеем: Поскольку общая хорда MN окружностей перпендикулярна линии центров O₁O₂ и делится ею пополам, высота MN треугольника O₁MO₂ равна половине MN.

Полупериметр треугольника O₁MO₂ равен тогда для площади треугольника имеем:

откуда

Второй случай: точка O₂ лежит между точками A и O₁ (рис.2), тогда O₂A = O₁A − O₁O₂ = 4, откуда радиус второй окружности В треугольнике O₁MO₂ имеем O₁O₂ = 8, Аналогично первому случаю, высота MN треугольника O₁MO₂ равна половине MN.

В треугольнике O₁MO₂ полупериметр:

откуда

Вычисления для второго случая можно упростить: поскольку длины OM, O₂M и O₁O₂ являются пифагоровой тройкой, точка H совпадает с центром O₂, а потому

Приведём решение задачи методом координат.

Заметим, что центр окружности лежит на биссектрисе прямого угла, поэтому расстояние между центрами окружностей радиусов R и r равно где R > r. По условию это расстояние равно 8, поэтому если радиус большей окружности (случай 1), то:

а если радиус меньшей окружности (случай 2), то:

Поместим начало системы координат в вершине прямого угла, а координатные оси расположим вдоль его сторон. Тогда в случае 1 координаты точек пересечения окружностей можно найти из системы уравнений:

решая которую, находим: Тогда по формуле расстояния между двумя точками находим: откуда

В случае 2 имеем систему уравнений:

решая которую, находим: Далее находим

откуда

Ответ: или

Пусть Q — центр искомой окружности радиуса х, М — точка касания с данной окружностью, В — точка касания с одной из сторон данного угла с вершиной А. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому ∠BAQ = 30°. Из прямоугольного треугольника BAQ находим, что AQ = 2QB = 2x. Пусть точка Q лежит между А и О (рис. 1).

Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому AO = AQ + QM + MO, или 10 = 2x + x + 4, откуда находим, что x = 2.

Пусть точка О лежит между А и Q (рис. 2),

тогда AQ = AO + OM + MQ, или 2x = 10 + x + 4, откуда x = 14.

Ответ: 2 или 14.