Точки O₁, O₂ и A лежат на одной прямой. Поскольку треугольники BO₁A и CO₂A равнобедренные, ∠ABO₁ = ∠BAO₁ = ∠CAO₂ = ∠ACО₂ = 30°, откуда

Возможны два случая. Первый случай: окружности касаются внутренним образом (рис. 1), тогда точка B лежит между точками A и C, откуда BC = AC − AB = 2cos30°.

Второй случай: окружности касаются внешним образом (рис. 2), тогда точка A лежит между точками B и C, откуда BC = AC + AB = 10cos30°.

Ответ: или

Пусть a — расстояние между центрами окружностей радиусов r и R, a ≥ r + R. Если общая внутренняя касательная касается окружностей в точках C и D, то

Действительно, пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r и R соответственно (см. рис.). Из точки O₂ опустим перпендикуляр O₂F на прямую O₁C. Из прямоугольного треугольника O₁FO₂ находим, что

Пусть x — радиус искомой окружности, O₃ — её центр. Заметим, что прямая CD — либо общая внешняя касательная окружностей с центрами O₃ и O₂ (см. рис.), либо общая внешняя касательная окружностей с центрами O₃ и O₁ (см. рис.). В первом них этих случаев искомая окружность касается прямой CD в точке C, во втором — в точке D.

По доказанному

В первом случае CD — общая внешняя касательная к окружности с центрами O₃ и O₂, поэтому значит, откуда

Во втором случае CD — общая внешняя касательная к окружностям с центрами O₃ и O₁, поэтому откуда

Ответ: или

Пусть Q — центр искомой окружности радиуса R, B — точка касания этой окружности со стороной AO, C — точка касания окружностей. Центр окружности, вписанной в угол лежит на биссектрисе угла, значит, ∠BAQ = 45°. Тогда AB = QB = R. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому OQ = OC + CQ = 1 + R.

Рассмотрим случай, когда точка B лежит между A и O. (см. рис.). Тогда R < 7. По теореме Пифагора OQ² = QB² + OB², или (1 + R)² = R² + (7 − R)². После очевидных упрощений получим уравнение R² − 16R + 48 = 0, учитывая, что R < 7, находим, что R = 4.

Если же точка O лежит между A и B (см. рис.), то аналогично получим, что R = 12.

Ответ: 4 или 12.

Докажем сначала следующее утверждение. Если a — расстояние между центрами окружностей радиусов r и R, a ≥ r + R, общая внешняя касательная касается окружностей в точках A и B, то

Действительно, пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r и R соответственно (см. рис.). Из точек O₁ и O₂ опустим перпендикуляры O₁Q на прямую O₂B. Из прямоугольного треугольника O₁QO₂ находим, что

Пусть x — радиус третьей окружности, C — её точка касания с прямой AB. по доказанному:

Возможны четыре случая.

1. Если точка C лежит между A и B (см. рис.), то AC + CB = AB, или Тогда откуда

2. Если точка C лежит на продолжении отрезка AB (см. рис.), то CB − AC = AB, или Тогда откуда

3 и 4. Если точка C совпадает с одной из точек A или B, а касание с соответствующей окружностью происходит внутренним образом. Тогда в случае внешнего касания с меньшей окружностью

В случае касания большей окружностью, откуда

Ответ:

Пусть Q — центр искомой окружности радиуса x, B — точка касания одной из сторон данного угла с вершиной A. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому ∠BAQ = 30°. Из прямоугольного треугольника BAQ находим, что AQ = 2QB = 2x. Рассмотрим случай внешнего касания окружностей. Если точка Q лежит между A и O (см. рис.), то AO = AQ + QO, или 10 = 2x + (x + 4), откуда находим, что x = 2.

Если точка O лежит между A и Q (см. рис.), то AQ = AO + OQ, или 2x = 10 + (4 + x), откуда x = 14.

Рассмотрим случай внутреннего касания окружностей. Если точка Q лежит между A и O (см. рис.), то AO = AQ + QO, или 10 = 2x + (x − 4), откуда находим, что

Если точка O лежит между A и Q (см. рис.), то AQ = AO + OQ, или 2x = 10 + (x − 4), откуда x = 6.

Ответ: 2; 14; 6.