а)  Пусть ребро куба равно 4a. От­ме­тим на ребре DD₁ такую точку E, что Пря­мая PE па­рал­лель­на пря­мой BQ, сле­до­ва­тель­но, не­об­хо­ди­мо про­ве­рить, что

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра вы­чис­лим длины сто­рон тре­уголь­ни­ка EPB₁:

По­сколь­ку

по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, по­лу­ча­ем, что то есть пря­мая BQ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой B₁P.

б)  По­сколь­ку пря­мая BQ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой B₁P, про­ек­ции точек B и Q на пря­мую B₁P сов­па­да­ют. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BB₁P имеем

от­ку­да

Ответ: б) 16.

а)  Да. На­при­мер, число

б)  Пред­по­ло­жим, что такое число есть и его де­ся­тич­ная за­пись имеет вид где a, b, c, d и e  — это раз­лич­ные, рас­став­лен­ные в не­ко­то­ром (воз­мож­но, ином) по­ряд­ке цифры 4, 5, 6, 7 и 8. По­сколь­ку число де­лит­ся на по­лу­ча­ем, что оно де­лит­ся на 101 и 5. Зна­чит, Имеем

Сле­до­ва­тель­но, раз­ность де­лит­ся на 101 и найдётся такое на­ту­раль­ное число что Так как c может при­ни­мать зна­че­ния 4, 6, 7 или 8, от­сю­да по­лу­ча­ем, что k может при­ни­мать зна­че­ния 9, 1, 2 или 3 со­от­вет­ствен­но. Если то Если то При­шли к про­ти­во­ре­чию.

в)  Пусть   — это де­ся­тич­ная за­пись ка­ко­го-либо числа с доски. Имеем

Число де­лит­ся на 11 тогда и толь­ко тогда, когда число де­лит­ся на 11. Сумма цифр каж­до­го из чисел с доски равна

Зна­чит, По­сколь­ку может при­ни­мать зна­че­ния от 9 до 15, по­лу­ча­ем, что число де­лит­ся на 11 тогда и толь­ко тогда, когда то есть когда b и d  — это раз­лич­ные, рас­став­лен­ные в не­ко­то­ром (воз­мож­но, ином) по­ряд­ке цифры 7 и 8. Среди чисел ука­зан­но­го вида наи­боль­шим чис­лом на доске яв­ля­ет­ся 68574.

Ответ: а) да; б) нет; в) 68574.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма

Ответ: −9.

а)  Пусть и Тогда

б)  Пред­по­ло­жим, что это воз­мож­но. Дробь не­со­кра­ти­ма и боль­ше 5. Зна­чит, наи­мень­шее общее крат­ное зна­ме­на­те­лей b, d и f дро­бей и де­лит­ся на 90. По­это­му числа b, d и f  — это либо числа 2, 5 и 9, рас­став­лен­ные без по­вто­ре­ний в не­ко­то­ром по­ряд­ке, либо числа 3, 5 и 6, рас­став­лен­ные без по­вто­ре­ний в не­ко­то­ром по­ряд­ке, либо числа 4, 5 и 9, рас­став­лен­ные без по­вто­ре­ний в не­ко­то­ром по­ряд­ке, либо числа 5, 6 и 9, рас­став­лен­ные без по­вто­ре­ний в не­ко­то­ром по­ряд­ке. В пер­вом слу­чае сумма мень­ше, чем во вто­ром  — мень­ше, чем во тре­тьем  — мень­ше, чем в четвёртом  — мень­ше, чем При­шли к про­ти­во­ре­чию.

в)  Пусть числа a, b, c, d, e и f та­ко­вы, что сумма при­ни­ма­ет наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние. Если зна­ме­на­те­ли b, d и f дро­бей и   — это не рас­став­лен­ные в не­ко­то­ром по­ряд­ке числа 5, 6 и 9, то сумму можно умень­шить, по­ме­няв ме­ста­ми то из чисел 5, 6 или 9, ко­то­рое по­па­ло в чис­ли­тель, с тем из чисел 2, 3 или 4, ко­то­рое по­па­ло в зна­ме­на­тель. Далее без огра­ни­че­ния общ­но­сти счи­та­ем, что и

Пусть k, l, m и n  — какие-⁠либо по­ло­жи­тель­ные числа, удо­вле­тво­ря­ю­щие не­ра­вен­ствам и Тогда

и, сле­до­ва­тель­но, По­это­му если чис­ли­те­ли a, c и e дро­бей и не идут в по­ряд­ке воз­рас­та­ния, то сумму можно умень­шить, по­ме­няв между собой те из этих чис­ли­те­лей , ко­то­рые

идут в по­ряд­ке убы­ва­ния. Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы равно

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма

Ответ: 16.

а)  Пусть и Тогда

б)  Пред­по­ло­жим, что это воз­мож­но. Дробь не­со­кра­ти­ма и боль­ше 4. Зна­чит, наи­мень­шее общее крат­ное зна­ме­на­те­лей b, d и f дро­бей и де­лит­ся на 120. По­это­му числа b, d и f  — это либо числа 3, 5 и 8, рас­став­лен­ные без по­вто­ре­ний в не­ко­то­ром по­ряд­ке, либо числа 5, 6 и 8, рас­став­лен­ные без по­вто­ре­ний в не­ко­то­ром по­ряд­ке. В пер­вом слу­чае сумма мень­ше, чем во вто­ром  — мень­ше, чем При­шли к про­ти­во­ре­чию.

в)  Пусть числа a, b, c, d, e и f та­ко­вы, что сумма при­ни­ма­ет наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние. Если зна­ме­на­те­ли b, d и f дро­бей и   — это не рас­став­лен­ные в не­ко­то­ром по­ряд­ке числа 5, 6 и 8, то сумму можно умень­шить, по­ме­няв ме­ста­ми то из чисел 5, 6 или 8, ко­то­рое по­па­ло в чис­ли­тель, с тем из чисел 2, 3 или 4, ко­то­рое по­па­ло в зна­ме­на­тель. Далее без огра­ни­че­ния общ­но­сти счи­та­ем, что и

Пусть k, l, m и n  — какие-либо по­ло­жи­тель­ные числа, удо­вле­тво­ря­ю­щие не­ра­вен­ствам и Тогда

и, сле­до­ва­тель­но, По­это­му если чис­ли­те­ли a, c и e дро­бей и не идут в по­ряд­ке воз­рас­та­ния, то сумму можно умень­шить, по­ме­няв между собой те из этих чис­ли­те­лей , ко­то­рые

идут в по­ряд­ке убы­ва­ния. Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы равно

Ответ: а) Да; б) нет; в)

а)  Пусть H  — про­ек­ция точки K на AB. Тогда по тео­ре­ме об угле между ка­са­тель­ной и хор­дой и Зна­чит, тре­уголь­ни­ки FAK и HBK по­доб­ны по двум углам и тре­уголь­ни­ки KAH и KBE по­до­бен по двум углам. Таким об­ра­зом,

б)  Имеем:

Ана­ло­гич­но, Зна­чит,

Ответ: а) 78; б)

а)  Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат сле­ду­ю­щим об­ра­зом: A  — на­ча­ло ко­ор­ди­нат, AD сов­па­да­ет с осью x, AB  — сов­па­да­ет с осью y, а AA₁  — сов­па­да­ет с осью z.

Объем куба  — 27, сле­до­ва­тель­но, его ребро равно 3, а ко­ор­ди­на­ты точек B(0,3,0), C(3,3,0).

Пусть ко­ор­ди­на­ты точки E(x₀, y₀, z₀), тогда

Вы­чтем из вто­ро­го урав­не­ния пер­вое, по­лу­чим от­ку­да это зна­чит, что точка E лежит в плос­ко­сти ABB₁, урав­не­ние ко­то­рой Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  За­ме­тим, что плос­кость EBC па­рал­лель­на оси х так как со­дер­жит пря­мую BC. Зна­чит, рас­сто­я­ние от точки D₁ до плос­ко­сти EBC равно рас­сто­я­нию до нее от точки A₁ и равно длине пер­пен­ди­ку­ля­ра опу­щен­но­го из A₁ на пря­мую EB. За­ме­тим, что зна­чит, вы­со­та EBCC₁ в два раза боль­ше вы­со­ты EA₁B₁C₁. Каж­дая из них лежит в плос­ко­сти ABB₁ (так как пер­вая вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­на BCC₁, а вто­рая  — A₁B₁C₁). Тогда ко­ор­ди­на­ты точки E (0, 3 − 2h, 3 + h) или (0, 3 + 2h, 3 + h), где h  — вы­со­та EA₁B₁C₁.

Пусть E'  — про­ек­ция точки E на BB₁. Из тре­уголь­ни­ка BEE':

Таким об­ра­зом, h = 2.

1.  Пусть ко­ор­ди­на­ты точки E (0, 3 − 2h, 3 + h): E (0, −1, 5). Со­ста­вим урав­не­ние пря­мой BE в плос­ко­сти ABB₁:

Этому урав­не­нию удо­вле­тво­ря­ет B (0, 3, 0), то есть Возь­мем от­ку­да урав­не­ние пря­мой

Тогда

2.  Пусть ко­ор­ди­на­ты точки E (0, 3 + 2h, 3 + h): E (0, 7, 5). Со­ста­вим урав­не­ние пря­мой BE в плос­ко­сти ABB₁:

Этому урав­не­нию удо­вле­тво­ря­ет B (0, 3, 0), то есть Возь­мем от­ку­да урав­не­ние пря­мой

Тогда

Ответ: б)

а)  За­ме­тим, что при по­во­ро­те на 90° во­круг точки C, пря­мая BA₁ пе­ре­хо­дит в пря­мую DC₁. Пря­мая BA₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой DC₁, зна­чит, углы BED и C₁EA₁ равны 90° (точка E  — пе­ре­се­че­ние BA₁ и C₁D). Тогда окруж­но­сти, опи­сан­ные около квад­ра­тов, пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках C и E, сле­до­ва­тель­но

Пря­мая CE пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой OO₁, зна­чит

Ана­ло­гич­но, угол DME равен 45° (здесь точка K  — пе­ре­се­че­ние BA₁ и OO₁, а точка M  — пе­ре­се­че­ние C₁D и OO₁).

б)  Пря­мая BA₁ пе­ре­хо­дит в DC₁ при по­во­ро­те, Пусть P и Q  — про­ек­ции точек O и O₁ со­от­вет­ствен­но на пря­мую BA₁. Точка P  — се­ре­ди­на BE, точка Q  — се­ре­ди­на A₁E, тогда

Ответ: 6.

Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

Найдём ОДЗ си­сте­мы:

Вто­рое урав­не­ние си­сте­мы на ОДЗ уста­нав­ли­ва­ет од­но­знач­ное со­от­вет­ствие между пе­ре­мен­ны­ми, зна­чит, на ОДЗ ко­ли­че­ство ре­ше­ний си­сте­мы сов­па­да­ет с ко­ли­че­ством ре­ше­ний пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы.

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa с учётом ОДЗ (вы­де­ле­но крас­ным цве­том) гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся объ­еди­не­ние фраг­мен­тов двух па­ра­бол (вы­де­ле­но синим цве­том): при   — па­ра­бо­лы при   — па­ра­бо­лы Таким об­ра­зом, на ОДЗ пер­вое урав­не­ние, а зна­чит, и вся си­сте­ма, имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при или при

Ответ:

а)  Про­ве­дем через точку K пря­мую KL, па­рал­лель­ную BC, где точка L лежит на AC. KL  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC. Угол между пря­мы­ми KE и ВС равен углу EKL, най­дем его из тре­уголь­ни­ка KEL. Пусть O  — про­ек­ция вер­ши­ны D, E'  — про­ек­ция точки E на пря­мую KC и пусть ребро тет­ра­эд­ра равно a. Тогда

от­ку­да

Вы­чис­лим вы­со­ту тет­ра­эд­ра:

а зна­чит,

Ко­си­нус угла EKL най­дем, при­ме­няя тео­ре­му ко­си­ну­сов:

Таким об­ра­зом,

б)  Рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми равно рас­сто­я­нию от одной из них до плос­ко­сти, па­рал­лель­ной ей и про­хо­дя­щей через дру­гую пря­мую. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое рас­сто­я­ние между пря­мы­ми BC и KE равно рас­сто­я­нию между точ­кой С и и плос­ко­стью KEL (плос­кость KEL  — про­хо­дит через пря­мые KE и KL, где пря­мая KL па­рал­лель­на BC). То есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние  — вы­со­та h_c тет­ра­эд­ра CKEL, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны C.

Вы­чис­лим объем тет­ра­эд­ра CKEL:

С дру­гой сто­ро­ны, где

Итак,

Ответ: а) б)

а)  Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат, свя­зан­ную с па­рал­ле­ле­пи­пе­дом. Пусть AB = t, а на­ча­ло ко­ор­ди­нат на­хо­дит­ся в точке B(0, 0, 0). Тогда D(t, 2t, 3t) и на­прав­ля­ю­щий век­тор пря­мой BD есть Со­ста­вим урав­не­ние плос­ко­сти BDC₁, про­хо­дя­щей через точку B (0, 0, 0) и, зна­чит, име­ю­щей вид Эта плос­кость про­хо­дит через точки D(t, 2t, 0) и C₁(0, 2t, 3t), от­ку­да Тогда a = 6, b = −3, c = 2, а зна­чит, век­тор нор­ма­ли к плос­ко­сти BDC₁ имеет ко­ор­ди­на­ты Най­дем синус угла между BO₁ и BDC₁. Для этого вы­чис­лим

Таким об­ра­зом, угол между BO₁ и BDC₁ равен

б)  Плос­кость AA₁D  — грань, пер­пен­ди­ку­ляр­ная ребру AB. Сле­до­ва­тель­но, век­тор ее нор­ма­ли Найдём ко­си­нус угла между AA₁D и BDC₁:

Ответ: a)

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на от­рез­ке [−13; −8] яв­ля­ет­ся

Ответ: −10.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на от­рез­ке [0; 6] яв­ля­ет­ся

Ответ: −35.

а)  Про­ве­дем бис­сек­три­су угла BEF. Пусть она пе­ре­се­ка­ет окруж­ность точке K. Тогда углы KFE и KEB равны как углы между ка­са­тель­ной и хор­дой. Далее, BE  =  BF, сле­до­ва­тель­но, углы BEF и BFE равны, зна­чит, FK  — бис­сек­три­са угла BFE, от­ку­да точка K  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка BEF.

б)  Рас­сто­я­ние между цен­тром окруж­но­стей равно ра­ди­у­су окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Пусть BD пе­ре­се­ка­ет EF в точке M. BE  =  13, EM  =  5. Таким об­ра­зом, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра BM  =  12. Тре­уголь­ни­ки EOM и BEM по­доб­ны, по­это­му

Ответ: б)

За­ме­тим, что сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки AED и ABC по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия и AD  =  ED  =  AE  =  4. Пусть L'  — это про­ек­ция L на плос­кость ABC, при этом L' при­над­ле­жит AO, где O  — это центр ос­но­ва­ния. Точка O лежит на ED, так как делит ме­ди­а­ну в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны. Тре­уголь­ни­ки ALL' и AMO по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия Тогда

Зна­чит, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Плос­ко­сти ABC и LED пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой ED, AO пер­пен­ди­ку­ляр­но ED как вы­со­та, пря­мая LO пер­пен­ди­ку­ляр­на ED по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Зна­чит, угол LOA  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла. Имеем:

Таким об­ра­зом, от­ку­да

Ответ: б)

а)  Пусть E  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей грани а точки T и S  — точки пе­ре­се­че­ния се­че­ния с реб­ром и со­от­вет­ствен­но, так как се­че­ние ко­то­рое па­рал­лель­но па­рал­лель­но и Зна­чит, пря­мая ST па­рал­лель­на и про­хо­дит через точку N. Тогда тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия Сле­до­ва­тель­но, Рас­смот­рим грань плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ее по пря­мой TE. Пусть пря­мые TE и BC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке L'. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и Эти тре­уголь­ни­ки равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам, тогда и L яв­ля­ет­ся точ­кой L'.

б)  Пусть N' про­ек­ция точки N, а Q'  — точки Q на ос­но­ва­ние ABC. По­стро­им QR па­рал­лель­ную LN, тогда ис­ко­мый угол яв­ля­ет­ся BQR. Рас­смот­рим тре­уголь­ник BQR:

как ме­ди­а­на пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Далее,

Пря­мая LR па­рал­лель­на BQ, а пря­мая RN' па­рал­лель­на LK. Сле­до­ва­тель­но, Вы­чис­лим:

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка BQR на­хо­дим: Решая это урав­не­ние, по­лу­ча­ем, что Таким об­ра­зом,

Ответ: б)

а)  Пусть SE  — это апо­фе­ма грани SAC, а SF  — грани SAB, где E и F яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми AC и AB со­от­вет­ствен­но. Пусть M' и N'  — точки пе­ре­се­че­ния DM и DN c AC и AB. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки SDM и SDN, в них SD  — общая сто­ро­на, углы DSM и DSN равны как по­ло­ви­ны плос­ко­го угла при вер­ши­не. Углы DMS и DNS равны α, сле­до­ва­тель­но, углы SDM и SDN равны и при этом SD  — общая сто­ро­на. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ни­ки SDM и SDN равны.

Тогда SM  =  SN и ME  =  NF как от­рез­ки рав­ных апо­фем SE и SF. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки MEM' и NFN' равны как пря­мо­уголь­ные с рав­ны­ми ка­те­та­ми и ост­ры­ми уг­ла­ми. Таким об­ра­зом, EM'  =  FN' и, сле­до­ва­тель­но, AH'  =  AN'. Тогда тре­уголь­ник AM'N'  — рав­но­сто­рон­ний, пря­мые M'N' и BC па­рал­лель­ны, а зна­чит, плос­кость DNM пе­ре­се­ка­ет плос­кость ABC по пря­мой па­рал­лель­ной BC и, таким об­ра­зом, па­рал­лель­на ей.

б)  Через точки M и N про­ве­дем плос­кость, па­рал­лель­ную ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды, и пусть она пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды в точ­ках A', B' и C'. Обо­зна­чим A'M  =  A'N  =  MN  =  2a, DD'  =  D'M  =  D'N  =  b. Най­дем угол DMA':

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов имеем:

тогда

С дру­гой сто­ро­ны, где H  — се­ре­ди­на MN.

За­ме­тим, что а от­ку­да по­лу­ча­ем урав­не­ние

Решая это урав­не­ние от­но­си­тель­но по­лу­ча­ем, что то есть Таким об­ра­зом, Тогда :

Ответ: б)

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма

Ответ: 4.

а)  Про­ве­дем общую ка­са­тель­ную к окруж­но­стям в точке ка­са­ния C. Угол между это ка­са­тель­ной и AC обо­зна­чим за α. Тогда по тео­ре­ме об угле между ка­са­тель­ной и хор­дой

Таким об­ра­зом, пря­мые DB и AE па­рал­лель­ны.

б)  За­ме­тим, что BD и AE  — диа­мет­ры окруж­но­стей. Тогда BD  =  16, AE  =  30, тре­уголь­ни­ки DBC и AEC по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия Пусть AC  =  BC  =  x, за­ме­тим, что CE : CB  =  15 : 8, сле­до­ва­тель­но, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка ACE

Ответ: б)