В пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно 10, а вы­со­та равна 6, впи­са­на сфера. (Сфера ка­са­ет­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды.)

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды от­но­сит­ся к пло­ща­ди ос­но­ва­ния как

б)  Най­ди­те пло­щадь этой сферы.

В пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно 10, а вы­со­та равна 6, впи­са­на сфера. (Сфера ка­са­ет­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды.)

а)  До­ка­жи­те, что дву­гран­ный угол при ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды боль­ше

б)  Най­ди­те пло­щадь впи­сан­ной сферы.

В конус, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен 3, впи­сан шар ра­ди­у­са 1,5.

а)  Изоб­ра­зи­те осе­вое се­че­ние ком­би­на­ции этих тел.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са к пло­ща­ди по­верх­но­сти шара.

В пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно 10, а вы­со­та равна 6, впи­са­на сфера. (Сфера ка­са­ет­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды.)

а)  До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет се­че­ние пи­ра­ми­ды, про­хо­дя­щее через её вер­ши­ну и яв­ля­ю­ще­е­ся ту­по­уголь­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те пло­щадь впи­сан­ной сферы.

Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет два шара, име­ю­щих общий центр. Пло­щадь се­че­ния мень­ше­го шара этой плос­ко­стью равна 8. Плос­кость β, па­рал­лель­ная плос­ко­сти α, ка­са­ет­ся мень­ше­го шара, а пло­щадь се­че­ния этой плос­ко­стью боль­ше­го шара равна 5.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь по­верх­но­сти мень­ше­го шара не мень­ше, чем 32.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью α.

Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет два шара, име­ю­щих общий центр. Пло­щадь се­че­ния мень­ше­го шара этой плос­ко­стью равна 6. Плос­кость β, па­рал­лель­ная плос­ко­сти α, ка­са­ет­ся мень­ше­го шара, а пло­щадь се­че­ния этой плос­ко­стью боль­ше­го шара равна 4.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь по­верх­но­сти мень­ше­го шара не мень­ше, чем 24.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью α.

В одном ос­но­ва­нии пря­мо­го кру­го­во­го ци­лин­дра с вы­со­той 12 и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния 6 про­ве­де­на хорда AB, рав­ная ра­ди­у­су ос­но­ва­ния, а в дру­гом его ос­но­ва­нии про­ведён диа­метр CD, пер­пен­ди­ку­ляр­ный AB. По­стро­е­но се­че­ние ABNM, про­хо­дя­щее через пря­мую AB пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой CD так, что точка C и центр ос­но­ва­ния ци­лин­дра, в ко­то­ром про­ведён диа­метр CD, лежат с одной сто­ро­ны от се­че­ния.

а)  До­ка­жи­те, что диа­го­на­ли этого се­че­ния равны между собой.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды CABNM.

Длина диа­го­на­ли куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 3. На луче A₁C от­ме­че­на точка P так, что A₁P  =  4.

а)  До­ка­жи­те, что PBDC₁  — пра­виль­ный тет­ра­эдр.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка AP.

Во­круг куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром 3 опи­са­на сфера. На ребре CC₁ взята точка M так, что плос­кость, про­хо­дя­щая через точки A, B и M, об­ра­зу­ет угол 15° с плос­ко­стью ABC.

a) По­строй­те линию пе­ре­се­че­ния сферы и плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через точки A, B и M.

б)  Най­ди­те длину линии пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти се­че­ния и сферы

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция. Все бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под углом 60°.

а)  До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет точка (центр опи­сан­ной сферы), оди­на­ко­во уда­лен­ная ото всех вер­шин пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус дан­ной сферы, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 8 и 18, а ее бо­ко­вая сто­ро­на равна 13.

Две пра­виль­ные че­ты­рех­уголь­ные пи­ра­ми­ды EABCD и FABCD имеют общее ос­но­ва­ние ABCD и рас­по­ло­же­ны по раз­ные сто­ро­ны от него. Точки M и N  — се­ре­ди­ны рёбер AB и BC со­от­вет­ствен­но. Все ребра пи­ра­мид равны.

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми AE и BF равен 60°.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми EM и FN.

Внут­ри ци­лин­дра рас­по­ло­жен куб ABCDA₁B₁C₁D₁ так, что все его вер­ши­ны лежат на по­верх­но­сти ци­лин­дра, причём вер­ши­ны B и D₁ сов­па­да­ют с цен­тра­ми ос­но­ва­ний, а осталь­ные вер­ши­ны лежат на бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость AB₁C па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям ци­лин­дра.

б)  Най­ди­те объём ци­лин­дра, если ребро куба равно 3.

Конус и по­лу­сфе­ра имеют общее ос­но­ва­ние, ра­ди­ус ко­то­ро­го от­но­сит­ся к вы­со­те ко­ну­са как 4 : 7.

а)  До­ка­жи­те, что по­верх­ность по­лу­сфе­ры делит об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са в от­но­ше­нии 33 : 32, счи­тая от вер­ши­ны ко­ну­са.

б)  Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти по­лу­сфе­ры, на­хо­дя­щей­ся внут­ри ко­ну­са, если ра­ди­ус их об­ще­го ос­но­ва­ния равен 13.

Квад­рат АВСD и пря­мой ци­линдр рас­по­ло­же­ны таким об­ра­зом, что АВ  — диа­метр верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра, а CD лежит в плос­ко­сти ниж­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра и ка­са­ет­ся его окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость квад­ра­та на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра под углом 60°.

б)  Най­ди­те длину на­хо­дя­щей­ся сна­ру­жи ци­лин­дра части от­рез­ка BD, если об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра равна

В пра­виль­ную тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду с бо­ко­вым реб­ром 4 и сто­ро­ной ос­но­ва­ния впи­сан шар. Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на вы­со­те пи­ра­ми­ды и про­хо­дит через её се­ре­ди­ну.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α и шар не имеют общих точек.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти α.

В пи­ра­ми­де FABC грани ABF и ABC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, Тан­генс угла между пря­мой BC и плос­ко­стью ABF равен 2, а точка M вы­бра­на на ребре BC так, что Точка T лежит на пря­мой AF и рав­но­уда­ле­на от точек М и В. Центр сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды FABC, лежит на ребре AB, пло­щадь по­верх­но­сти этой сферы равна 16π.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки ABC и ABF  — пря­мо­уголь­ные.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды АСМT.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де DABC углы бо­ко­вых гра­ней при вер­ши­не пи­ра­ми­ды D  — пря­мые. Внут­ри пи­ра­ми­ды на­хо­дит­ся куб, диа­го­наль ко­то­ро­го сов­па­да­ет с вы­со­той пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что ребро куба в три раза мень­ше бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды DABC, если пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 96.

В пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду PABCD впи­сан куб, одна грань ко­то­ро­го лежит в плос­ко­сти ос­но­ва­ния АВСD пи­ра­ми­ды, а все вер­ши­ны про­ти­во­по­лож­ной грани лежат на апо­фе­мах бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды. Ребро куба в 2,5 раза мень­ше вы­со­ты пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что вер­ши­ны куба делят апо­фе­мы бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 3 : 2, счи­тая от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды, если пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 108.