Пусть дан­ное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c  — цифры сотен, де­сят­ков и еди­ниц со­от­вет­ствен­но. Если част­ное этого числа и суммы его цифр равно k, то вы­пол­не­но

а)  Если част­ное равно то что верно, на­при­мер, при   — част­ное числа и суммы его цифр равно

б)  Если част­ное равно то Так как a < 10, то или В обоих этих слу­ча­ях не су­ще­ству­ет на­ту­раль­но­го числа a, удо­вле­тво­ря­ю­ще­го урав­не­нию. Зна­чит, част­ное трёхзнач­но­го числа и суммы его цифр не может быть рав­ным 88.

в)  Пусть k  — наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние част­но­го числа, не крат­но­го и суммы его цифр. Тогда

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем:

от­ку­да

Част­ное числа и суммы его цифр равно Зна­чит, наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние част­но­го трёхзнач­но­го числа, не крат­но­го и суммы его цифр равно 91.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  91.

а)  Каж­дая из двух де­во­чек могла вы­иг­рать оба раза у всех троих маль­чи­ков, по­лу­чив в сумме 6 очков. Сыг­рав две пар­тии друг с дру­гом, де­воч­ки рас­пре­де­ли­ли между собой ещё 2 очка. Всего очков.

б)  Играя по две пар­тии каж­дый с каж­дым, де­сять детей иг­ра­ют всего пар­тий. В каж­дой пар­тии вне за­ви­си­мо­сти от её ис­хо­да разыг­ры­ва­ет­ся одно очко. По­это­му всего на­бра­но 90 очков.

в)  Всего детей было играя по две пар­тии каж­дый с каж­дым они сыг­ра­ли между собой пар­тий и разыг­ра­ли очков. Из них у маль­чи­ков три чет­вер­ти очков, а у де­во­чек  — одна чет­верть, то есть у де­во­чек очков. За­ме­тим, что если каж­дая де­воч­ка вы­иг­ра­ла у всех маль­чи­ков, то вме­сте де­воч­ки на­бра­ли мак­си­мум очков, а играя между собой, де­воч­ки рас­пре­де­ли­ли очков. По­это­му наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое могли на­брать де­воч­ки, равно Таким об­ра­зом, имеем: Сле­до­ва­тель­но, де­во­чек не могло быть боль­ше одной.

Если де­воч­ка была одна, то маль­чи­ков было се­ме­ро. Они сыг­ра­ли 56 пар­тий и разыг­ра­ли 56 очков. Де­воч­ка на­бра­ла 14 очков, вы­иг­рав у каж­до­го из маль­чи­ков по две пар­тии. Играя между собой, маль­чи­ки разыг­ра­ли остав­ши­е­ся 42 очка.

Ответ: а)  14; б)  90; в)  1.

При­ведём по­хо­жее ре­ше­ние.

а)  Всего де­воч­ки иг­ра­ют 2 пар­тии между собой и 12 пар­тий про­тив маль­чи­ков (по 6 каж­дая). По­это­му мак­си­маль­ное сум­мар­ное число очков, ко­то­рые они могут на­брать, равно 2 + 12  =  14.

б)  Если участ­ни­ков всего 10, то каж­дый иг­ра­ет с 9-ю дру­ги­ми участ­ни­ка­ми по два раза, зна­чит, всего про­ис­хо­дит 18 туров по 5 пар­тий в каж­дом. В 90 пар­ти­ях разыг­ры­ва­ет­ся 90 очков, по­это­му ответ 90.

в)  Пусть де­во­чек d, а маль­чи­ков В пар­ти­ях между собой де­воч­ки на­бра­ли очков, а маль­чи­ки в пар­ти­ях между собой на­бра­ли очков. Всего со­сто­я­лось пар­тий. Зна­чит, пар­тий между маль­чи­ка­ми и де­воч­ка­ми со­сто­я­лось Пусть де­воч­ки на­бра­ли в них x очков. Тогда по­лу­ча­ем урав­не­ние: от­ку­да или Ясно, что от­сю­да то есть или По­нят­но, что 0  — по­сто­рон­ний ко­рень. Если де­воч­ка была одна, то маль­чи­ков было 7, в слу­чае, когда де­воч­ка вы­иг­ра­ла у всех маль­чи­ков по два раза, она на­бра­ла 14 очков. При этом маль­чи­ки сыг­ра­ли между собой 42 пар­тии и на­бра­ли 42 очка, на­при­мер сыг­ра­ли все эти пар­тии вни­чью или любым дру­гим об­ра­зом.

а)  Де­воч­ки иг­ра­ют 8 пар­тий про­тив маль­чи­ков (каж­дая по 4), и мак­си­маль­ное число очков, ко­то­рое они могут на­брать в них, это 8. Друг с дру­гом де­воч­ки иг­ра­ют 2 пар­тии, сумма очков, ко­то­рые разыг­ры­ва­ют­ся в этих пар­ти­ях, равна 2. По­это­му наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков равно

б)  Если каж­дый иг­ра­ет с каж­дым по два раза, то со­сто­ит­ся 18 туров, в каж­дом из ко­то­рых иг­ра­ет­ся по 5 пар­тий. В каж­дой разыг­ры­ва­ет­ся 1 очко, по­это­му сумма всех на­бран­ных очков равна 90.

в)  До­ка­жем, что де­во­чек может быть сколь­ко угод­но. Пусть маль­чи­ков и де­во­чек по­ров­ну: d маль­чи­ков и d де­во­чек. Тогда в двух­кру­го­вом тур­ни­ре со­сто­ит­ся пар­тий между маль­чи­ка­ми и пар­тий между де­воч­ка­ми. Всего пар­тий в этом тур­ни­ре будет по­это­му пар­тий между маль­чи­ка­ми и де­воч­ка­ми будет Пусть де­воч­ки на­бра­ли в этих пар­ти­ях очков (на­при­мер, каж­дая де­воч­ка сыг­ра­ла с одним из маль­чи­ков вни­чью, а осталь­ным про­иг­ра­ла). Тогда общее ко­ли­че­ство очков, на­бран­ных де­воч­ка­ми, равно Общее ко­ли­че­ство очков, на­бран­ных маль­чи­ка­ми равно Таким об­ра­зом, маль­чи­ки на­бра­ли втрое боль­ше очков, чем де­воч­ки.

Ответ: а)  10; б)  90; в)  все на­ту­раль­ные числа.

а)  Пусть и Тогда

б)  Пред­по­ло­жим, что Тогда

С дру­гой сто­ро­ны, имеем: Сле­до­ва­тель­но, числа и раз­ные знаки и, зна­чит, левая и пра­вая часть в по­след­нем ра­вен­стве не могут быть равны. При­шли к про­ти­во­ре­чию.

в)  Из усло­вия сле­ду­ет, что и Зна­чит, От­сю­да, учи­ты­вая, что число b целое, по­лу­ча­ем, что Ис­поль­зуя не­ра­вен­ства и по­лу­ча­ем:

Пусть и Тогда Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние дроби равно

Ответ: а)  да, на­при­мер, если и б)  нет; в)  

а)  Для чисел x  =  17 и y  =  10 вы­пол­ня­ет­ся усло­вие 3x  =  8y −29, q  =  170, d  =  1,

б)  и в) При x  =  1 и y  =  4 вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство 3x  =  8y − 29 и По­ка­жем, что ни­ка­кое зна­че­ние не ре­а­ли­зу­ет­ся.

Если x  =  y, то что не­воз­мож­но, по­сколь­ку числа x и y  — на­ту­раль­ные. Пусть x  =  ad, a y  =  bd. Тогда на­ту­раль­ные числа a и b вза­им­но про­сты. По­лу­ча­ем от­ку­да 

Если то a  =  b, что не­воз­мож­но.

Если то a  =  1, b  =  2 и, зна­чит, y  =  2x, от­ку­да что не­воз­мож­но, или a  =  2, b  =  1 и, зна­чит, x  =  2y, от­ку­да что также не­воз­мож­но.

Если то a  =  1, b  =  3 и, зна­чит, y  =  3x, от­ку­да что не­воз­мож­но, или a  =  3, b  =  1 и, зна­чит, x  =  3y, от­ку­да что также не­воз­мож­но.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  4.