СДАМ ГИА






Каталог заданий. Числа и их свойства
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1

Дано трёхзначное на­ту­раль­ное число (число не может на­чи­нать­ся с нуля), не крат­ное 100.

а) Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 90?

б) Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 88?

в) Какое наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может иметь част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр?

Задание 19 № 502027

Аналоги к заданию № 502027: 502058 503325 503365 511370



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 10.06.2013. Вто­рая волна. Центр. Ва­ри­ант 601.
Решение

2

За по­бе­ду в шах­мат­ной партии на­чис­ля­ют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за про­иг­рыш ─ 0 очков. В тур­ни­ре принимают уча­стие m маль­чи­ков и d девочек, причём каж­дый играет с каж­дым дважды.

а) Ка­ко­во наибольшее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое в сумме могли на­брать девочки, если m = 3, d = 2.

б) Ка­ко­ва сумма на­бран­ных всеми участ­ни­ка­ми очков, если m + d = 10.

в) Ка­ко­вы все воз­мож­ные значения d, если m = 7d и известно, что в сумме маль­чи­ки набрали ровно в 3 раза боль­ше очков, чем девочки?

Задание 19 № 505570


Источник: РЕШУ ЕГЭ — Пред­эк­за­ме­на­ци­он­ная ра­бо­та 2014 по математике.
3

Наибольшее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее число x, равно Най­ди­те все такие зна­че­ния x.

Задание 19 № 507493

Аналоги к заданию № 507493: 511434



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 20.10.2010 ва­ри­ант 3. (Часть С)
Решение

4

Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умно­жа­ют на каж­дое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каж­дым из по­лу­чен­ных про­из­ве­де­ний про­из­воль­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего все 54 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­та складывают. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

Задание 19 № 507495


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 09.12.2010 ва­ри­ант 1. (Часть С)
5

Найдите все трой­ки на­ту­раль­ных чисел k, m и n, удо­вле­тво­ря­ю­щие урав­не­нию

Задание 19 № 507501

Аналоги к заданию № 507501: 511436



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 09.12.2010 ва­ри­ант 2. (Часть С)
6

Найдите все пары на­ту­раль­ных чисел m и n, яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния 2m − 3n = 1.

Задание 19 № 507574


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та 01.10.2009 ва­ри­ант 1 (Часть С).
Решение

7

Найдите все пары на­ту­раль­ных чисел m и n, яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния 3n − 2m = 1.

Задание 19 № 507579

Аналоги к заданию № 507579: 511444



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та 01.10.2009 ва­ри­ант 2(Часть С).
8

Найдите все пары целых чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щие си­сте­ме неравенств:

 

 

Задание 19 № 507590


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та 08.12.2009 ва­ри­ант 1 (Часть С).
9

Найдите все пары целых чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щие системе:

 

 

Задание 19 № 507609


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та 08.12.2009 ва­ри­ант 2 (Часть С).
10

Множество А со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел. Ко­ли­че­ство чисел в А боль­ше семи. Наи­мень­шее общее крат­ное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наи­боль­ший общий де­ли­тель боль­ше единицы. Про­из­ве­де­ние всех чисел из А де­лит­ся на 1920 и не яв­ля­ет­ся квад­ра­том ни­ка­ко­го це­ло­го числа. Найти числа, из ко­то­рых со­сто­ит А.

Задание 19 № 507613


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 19.11.2009 с решениями: ва­ри­ант 2. (Часть С)
Решение

11

Перед каж­дым из чисел 5, 6, ..., 10 и 12, 13, ..., 16 про­из­воль­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего к каж­до­му из об­ра­зо­вав­ших­ся чисел пер­во­го на­бо­ра при­бав­ля­ют каж­дое из об­ра­зо­вав­ших­ся чисел вто­ро­го набора, а затем все 30 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­тов складывают. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

Задание 19 № 507625


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 20.10.2010 ва­ри­ант 4. (Часть С)
12

Решите в натуральных числах уравнение

Примечание.

Для натурального символом обозначается произведение

Задание 19 № 507637

Аналоги к заданию № 507637: 511455



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по математике 03.03.2011 ва­ри­ант 1. (Часть С)
13

Решите в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние

Примечание.

Для на­ту­раль­но­го сим­во­лом обо­зна­ча­ет­ся про­из­ве­де­ние

Задание 19 № 507649


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 03.03.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)
14

Винтики можно раз­ло­жить в пакетики, а па­ке­ти­ки упаковать в коробки, по 3 па­ке­ти­ка в одну коробку. Можно эти же вин­ти­ки разложить в па­ке­ти­ки так, что в каж­дом пакетике будет на 3 вин­ти­ка больше, чем раньше, но тогда в каж­дой коробке будет ле­жать по 2 пакетика, а ко­ро­бок потребуется на 2 больше. Какое наи­боль­шее число вин­ти­ков может быть при таких условиях?

Задание 19 № 507679


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 2010 год ва­ри­ант 502. (Часть С)
15

Решите в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние n! + 5n + 13 = k2, где n! = 1·2·...·n — про­из­ве­де­ние всех на­ту­раль­ных чисел от 1 до n.

Задание 19 № 507820

Аналоги к заданию № 507820: 511497



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке, но­ябрь 2009 года ва­ри­ант 1. (Часть С)
16

Решите в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние где

Задание 19 № 507826

Аналоги к заданию № 507826: 511500



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке, но­ябрь 2009 года ва­ри­ант 2. (Часть С)
17

Известно, что a, b, c, и d — по­пар­но раз­лич­ные положительные дву­знач­ные числа.

а) Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б) Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если и

Задание 19 № 508977


Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10309.
18

Известно, что a, b, c, и d — по­пар­но раз­лич­ные дву­знач­ные числа.

а) Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б) Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если и

Задание 19 № 509006


Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10310.
19

Даны n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию (n ≥ 3).

а) Может ли сумма всех дан­ных чисел быть рав­ной 16?

б) Ка­ко­во наи­боль­шее зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел мень­ше 900?

в) Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел равна 235.

Задание 19 № 509097


Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Ва­ри­ант 1.
20

Даны n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию

а) Может ли сумма всех дан­ных чисел быть рав­ной 13?

б) Ка­ко­во наи­боль­шее зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел мень­ше 500?

в) Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел равна 57.

Задание 19 № 509126


Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Ва­ри­ант 2.
21

Пусть q — наи­мень­шее общее кратное, а d — наи­боль­ший общий де­ли­тель на­ту­раль­ных чисел x и y, удо­вле­тво­ря­ю­щих ­ра­вен­ству 3x = 8y − 29.

а) Может ли быть рав­ным 170?

б) Может ли быть рав­ным 2?

в) Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние .

Задание 19 № 511111


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.
22

а) Можно ли число 2016 пред­ста­вить в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр?

б) Можно ли число 197 пред­ста­вить в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр?

в) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ко­то­рое можно пред­ста­вить в виде суммы че­ты­рех раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр.

Задание 19 № 511410
23

Известно, что a, b, c, и d — по­пар­но раз­лич­ные по­ло­жи­тель­ные дву­знач­ные числа.

а) Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б) Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если и

Задание 19 № 512341

Аналоги к заданию № 512341: 512383



Источник: СтатГрад: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10107.
24

Известно, что a, b, c, и d — по­пар­но раз­лич­ные по­ло­жи­тель­ные дву­знач­ные числа.

а) Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б) Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если и

Задание 19 № 512383
25

Будем на­зы­вать четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его де­ся­тич­ной за­пи­си различны, а сумма пер­вых двух из этих цифр равна сумме по­след­них двух из них. Например, очень счаст­ли­вым яв­ля­ет­ся число 3140.

а) Су­ще­ству­ют ли два­дцать по­сле­до­ва­тель­ных четырёхзначных чисел, среди ко­то­рых есть три очень счастливых?

б) Может ли раз­ность двух очень счаст­ли­вых четырёхзначных чисел рав­нять­ся 2016?

в) Най­ди­те наи­мень­шее про­стое число, для ко­то­ро­го не су­ще­ству­ет крат­но­го ему очень счаст­ли­во­го четырёхзначного числа.

Задание 19 № 512404


Источник: СтатГрад: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10212.
Решение

26

а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?

б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.

в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящая из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

Задание 19 № 512876


Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна.
27

Натуральные числа a, b, c и d удо­вле­тво­ря­ют условию a > b > c > d.

а) Най­ди­те числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a2b2 + с2d2 = 27.

б) Может ли быть a + b + с + d = 19 и a2b2 + с2d2 = 19?

в) Пусть a + b + с + d = 1000 и a2b2 + с2d2 = 1000. Най­ди­те количество воз­мож­ных значений числа a.

Задание 19 № 512887


Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 801.
28

Натуральные числа a, b, c и d удо­вле­тво­ря­ют условию a > b > c > d.

а) Най­ди­те числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a2b2 + с2d2 = 19.

б) Может ли быть a + b + с + d = 23 и a2b2 + с2d2 = 23?

в) Пусть a + b + с + d = 1200 и a2b2 + с2d2 = 1200. Най­ди­те количество воз­мож­ных значений числа a.

Задание 19 № 512893


Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 802.
29

Четыре натуральных числа таковы, что

 

 

а) Могут ли все числа быть попарно различны?

б) Может ли одно из этих чисел равняться 9?

в) Найдите все возможные наборы чисел, среди которых ровно два числа равны.

Задание 19 № 512994

Аналоги к заданию № 512994: 514711



Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
30

Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно

б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?

Задание 19 № 513269

Аналоги к заданию № 513269: 514712



Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
31

По кругу в не­ко­то­ром по­ряд­ке по од­но­му разу на­пи­са­ны числа от 9 до 18. Для каж­дой из де­ся­ти пар со­сед­них чисел нашли их наи­боль­ший общий делитель.

а) Могло ли по­лу­чить­ся так, что все наи­боль­шие общие де­ли­те­ли равны 1?

б) Могло ли по­лу­чить­ся так, что все наи­боль­шие общие де­ли­те­ли по­пар­но различны?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­пар­но раз­лич­ных наи­боль­ших общих де­ли­те­лей могло при этом получиться?

Задание 19 № 504548

Аналоги к заданию № 504548: 504569



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.03.2014 ва­ри­ант МА10505.
32

Коля мно­жил не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число на со­сед­нее на­ту­раль­ное число, и по­лу­чил произведение, рав­ное m. Вова умно­жил не­ко­то­рое чет­ное на­ту­раль­ное число на со­сед­нее чет­ное на­ту­раль­ное число и по­лу­чил произведение, рав­ное n.

а) Может ли мо­дуль раз­но­сти чисел m и n рав­нять­ся 6?

б) Может ли мо­дуль раз­но­сти чисел m и n рав­нять­ся 13?

в) Какие зна­че­ния может при­ни­мать мо­дуль раз­но­сти чисел m и n?

Задание 19 № 504855

Аналоги к заданию № 504855: 504834



Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 2014. Ва­ри­ант 2.
Решение

33

На окруж­но­сти не­ко­то­рым спо­со­бом рас­ста­ви­ли на­ту­раль­ные числа от 1 до 21 (каждое число по­став­ле­но по од­но­му разу). Затем для каж­дой пары соседних чисел нашли раз­ность боль­ше­го и меньшего.

а) Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 11?

б) Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 10?

в) По­ми­мо по­лу­чен­ных разностей, для каж­дой пары чисел, сто­я­ших через одно, нашли раз­ность боль­ше­го и меньшего. Для ка­ко­го наи­боль­ше­го це­ло­го числа k можно так рас­ста­вить числа, чтобы все раз­но­сти были не мень­ше k?

Задание 19 № 505107


Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2014
34

Семь экс­пер­тов оце­ни­ва­ют кинофильм. Каж­дый из них вы­став­ля­ет оцен­ку — целое число бал­лов от 0 до 10 включительно. Известно, что все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оценки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма — это сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок экспертов. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма оце­ни­ва­ют сле­ду­ю­щим образом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки и под­счи­ты­ва­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся оценок.

а) Может ли раз­ность рейтингов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния рав­нять­ся

б) Может ли раз­ность рейтингов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния рав­нять­ся

в) Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти рейтингов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­с­те­мам оценивания.

Задание 19 № 505421

Аналоги к заданию № 505421: 505427



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Запад. Ва­ри­ант 301.
35

На сайте про­во­дит­ся опрос, кого из фут­бо­ли­стов посетители сайта счи­та­ют лучшим по ито­гам сезона. Каж­дый посетитель го­ло­су­ет за од­но­го футболиста. На сайте отоб­ра­жа­ет­ся рейтинг каж­до­го футболиста – доля голосов, от­дан­ных за него, в процентах, округ­лен­ная до це­ло­го числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округ­ля­ют­ся до 9, 11 и 13 соответственно.

а) Всего про­го­ло­со­ва­ло 11 по­се­ти­те­лей сайта. Мог ли рей­тинг некоторого фут­бо­ли­ста быть рав­ным 38?

б) Пусть по­се­ти­те­ли сайта от­да­ва­ли голоса за од­но­го из трех футболистов. Могло ли быть так, что все три фут­бо­ли­ста получили раз­ное число голосов, но их рей­тин­ги одинаковы?

в) На сайте отображалось, что рей­тинг некоторого фут­бо­ли­ста равен 5. Это число не из­ме­ни­лось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наи­мень­шем числе от­дан­ных за всех фут­бо­ли­стов голосов, вклю­чая Васин голос, такое возможно?

Задание 19 № 505475

Аналоги к заданию № 505475: 505497



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 1.
36

Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше Найдите наименьшее возможное значение .

Задание 19 № 484659
Решение

37

Бесконечная де­ся­тич­ная дробь устро­е­на сле­ду­ю­щим образом. Перед де­ся­тич­ной за­пя­той стоит нуль. После за­пя­той под­ряд вы­пи­са­ны все целые не­от­ри­ца­тель­ные сте­пе­ни не­ко­то­ро­го од­но­знач­но­го на­ту­раль­но­го числа В ре­зуль­та­те по­лу­ча­ет­ся ра­ци­о­наль­ное число. Най­ди­те это число.

Задание 19 № 484660
38

Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k, что число p является общим делителем чисел и .

Задание 19 № 484663

Аналоги к заданию № 484663: 484664 511321

39

Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует такое целое число а, что дробь можно сократить на b.

Задание 19 № 484668

Аналоги к заданию № 484668: 484669 484670 511322

Решение

40

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n <100.

Задание 19 № 501400

Аналоги к заданию № 501400: 501420 511358



Источник: Проб­ный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 1.
41

Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее кратное в 120 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите эти числа.

Задание 19 № 484673

Аналоги к заданию № 484673: 511323

42

а) Чему равно число спо­со­бов за­пи­сать число 1292 в виде где числа  — целые,

 

б) Существуют ли 10 раз­лич­ных чисел таких, что их можно пред­ста­вить в виде где числа  — целые, ровно 130 способами?

 

в) Сколько су­ще­ству­ет чисел N таких, что их можно пред­ста­вить в виде где числа  — целые, ровно 130 способами?

Задание 19 № 501734


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Урал. Ва­ри­ант 203.
43

Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму — целое число баллов от 1 до 10 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки. Рейтинг кинофильма — это среднее геометрическое оценок всех экспертов. Среднее геометрическое чисел равно Оказалолсь, что рейтинги всех кинофильмов — это различные целые числа.

а) Могло ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов?

б) Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма?

в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?

Задание 19 № 505433


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 901.
44

а) Можно ли число 2014 пред­ста­вить в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр?

б) Можно ли число 199 пред­ста­вить в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр?

в) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ко­то­рое можно пред­ста­вить в виде суммы пяти раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр.

Задание 19 № 505503

Аналоги к заданию № 505503: 511410



Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2014
45

На доске на­пи­са­но более 40, но менее 48 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −3, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 4, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −8.

а) Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б) Каких чисел на­пи­са­но больше: по­ло­жи­тель­ных или отрицательных?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?

Задание 19 № 506109

Аналоги к заданию № 506109: 511413



Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2015 по математике. Ба­зо­вый уровень. Ва­ри­ант 2.
46

Среди обыкновенных дробей с положительными знаменателями, расположенных между числами и найдите такую, знаменатель которой минимален.

Задание 19 № 484653

Аналоги к заданию № 484653: 511317

47

Найдите все такие пары натуральных чисел и , что если к десятичной записи числа приписать справа десятичную запись числа , то получится число, большее произведения чисел и на

Задание 19 № 484655

Аналоги к заданию № 484655: 511318

Решение

48

Найдутся ли хотя бы три де­ся­ти­знач­ных числа, де­ля­щи­е­ся на 11, в за­пи­си каж­до­го из ко­то­рых ис­поль­зо­ва­ны все цифры от 0 до 9?

Задание 19 № 484656

Аналоги к заданию № 484656: 511319

49

Произведение всех делителей натурального числа оканчивается на 399 нулей. На сколько нулей может оканчиваться число ?

Задание 19 № 484657
50

Ученик должен перемножить два трехзначных числа и разделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записанных рядом трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в 3 раза больше истинного. Найдите все три числа.

Задание 19 № 484658

Аналоги к заданию № 484658: 511320

51

Найдите несократимую дробь такую, что .

Задание 19 № 484665


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 17.02.2010 с решениями: ва­ри­ант 1 (Часть С).
52

Будем на­зы­вать четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его де­ся­тич­ной за­пи­си нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх дру­гих из них. Например, ин­те­рес­ным яв­ля­ет­ся число 6321.

а) При­ве­ди­те при­мер двух ин­те­рес­ных четырёхзначных чисел, раз­ность между ко­то­ры­ми равна трём.

б) Най­дут­ся ли два ин­те­рес­ных четырёхзначных числа, раз­ность между ко­то­ры­ми равна 111?

в) Най­ди­те наи­мень­шее про­стое число, для ко­то­ро­го не су­ще­ству­ет крат­но­го ему ин­те­рес­но­го четырёхзначного числа.

Задание 19 № 513352

Аналоги к заданию № 513352: 513371



Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 20.01.2016 ва­ри­ант МА10309
53

Множество чисел назовём хорошим, если его можно раз­бить на два под­мно­же­ства с оди­на­ко­вой сум­мой чисел.

а) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {100; 101; 102; ...; 199} хорошим?

б) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2200} хорошим?

в) Сколь­ко хо­ро­ших четырёхэлементных под­мно­жеств у мно­же­ства {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}?

Задание 19 № 513611


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 28.03.2016. До­сроч­ная волна, ва­ри­ант 101
54

Множество чисел назовём хорошим, если его можно раз­бить на два под­мно­же­ства с оди­на­ко­вой сум­мой чисел.

а) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {200; 201; 202; ...; 299} хорошим?

б) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2100} хорошим?

в) Сколь­ко хо­ро­ших четырёхэлементных под­мно­жеств у мно­же­ства {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?

Задание 19 № 513630


Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2016
55

Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше: 

а) 99;

б) 101;

в) 100. 

Задание 19 № 513925


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2016. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).
56

Возрастающие ариф­ме­ти­че­ские про­грес­сии a1, a2, ..., an, ... и b1,b2, ..., bn, ... со­сто­ят из на­ту­раль­ных чисел.

а) Су­ще­ству­ют ли такие прогрессии, для ко­то­рых среди чисел и - раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа?

б) Су­ще­ству­ют ли такие прогрессии, для ко­то­рых среди чисел и - раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа?

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь , если известно, что и - раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа?

Задание 19 № 514031

Аналоги к заданию № 514031: 514050



Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 27.04.2016 ва­ри­ант МА10509
57

Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.

Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.

а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться. что среди них не найдется ни одной хорошей тройки?

б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?

в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?

Задание 19 № 514433


Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2015
58

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход из них можно получить числа a + b и 2a − 1 или числа a + b и 2b − 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить числа 5 и 3 или 5 и 5).

а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске окажется числом 19.

б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 200?

в) Сделали 1007 ходов, причем на доске никогда не было равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

Задание 19 № 514452

Аналоги к заданию № 514452: 514532 514742



Источник: ЕГЭ — 2016 по математике. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Вариант 410. Запад
Решение

59

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных 5 ходов.

б) Можно ли сделать 10 ходов?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Задание 19 № 514479


Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2016
60

Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.

а) Приведите пример числа, для которого это частное равно

б) Может ли это частное равняться

в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?

Задание 19 № 514744


Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2016
61

По окружности расставляют 48 ненулевых целых чисел с общей суммой 20. При этом любые два стоящих рядом числа должны отличаться не более чем на 7 и среди любых четырёх подряд идущих чисел должно быть хотя бы одно положительное.

а) Среди таких 48 чисел найдите наибольшее возможное количество положительных.

б) Среди таких 48 чисел найдите наименьшее возможное количество положительных.

Задание 19 № 514946


Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год
62

а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого

в 10 раз больше суммы цифр этого числа.

б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?

в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.

Задание 19 № 515922

Аналоги к заданию № 515922: 515923



Источник: Задания для школы экспертов. Математика. 2016 год.
63

Шесть различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1.

а) Может ли сумма этих чисел быть равной 39?

б) Может ли сумма этих чисел быть равной 34?

в) Какова их минимальная сумма?

Задание 19 № 516054


Источник: Пробный экзамен МЦНМО, Москва, 2017
64

Множество чисел назовём хорошим, если его можно раз­бить на два под­мно­же­ства с оди­на­ко­вым произведением чисел.

а) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {100; 101; 102; ...; 199} хорошим?

б) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2200} хорошим?

в) Сколь­ко хо­ро­ших четырёхэлементных под­мно­жеств у мно­же­ства {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11; 12}?

Задание 19 № 516515
65

Дано квадратное уравнение где a, b и c — натуральные числа, не превосходящие 100. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.

а) Может ли такое уравнение иметь корень –7?

б) Может ли такое уравнение иметь корень –53?

в) Какой наименьший целый корень может иметь такое уравнение?

Задание 19 № 516766


Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1.
66

Дано квадратное уравнение где a, b, c — натуральные числа, не превосходящие 200. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.

а) Может ли такое уравнение иметь корень 9?

б) Может ли такое уравнение иметь корень 135?

в) Какой наибольший целый корень может иметь такое уравнение?

Задание 19 № 516785


Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2.

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!