СДАМ ГИА






Каталог заданий. Числа и их свойства
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задание 19 № 502027

Дано трёхзначное на­ту­раль­ное число (число не может на­чи­нать­ся с нуля), не крат­ное 100.

а) Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 90?

б) Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 88?

в) Какое наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может иметь част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр?


Аналоги к заданию № 502027: 502058 503325 503365 511370

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 10.06.2013. Вто­рая волна. Центр. Ва­ри­ант 601.
Решение ·

2
Задание 19 № 505570

За по­бе­ду в шах­мат­ной партии на­чис­ля­ют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за про­иг­рыш ─ 0 очков. В тур­ни­ре принимают уча­стие m маль­чи­ков и d девочек, причём каж­дый играет с каж­дым дважды.

а) Ка­ко­во наибольшее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое в сумме могли на­брать девочки, если m = 3, d = 2.

б) Ка­ко­ва сумма на­бран­ных всеми участ­ни­ка­ми очков, если m + d = 10.

в) Ка­ко­вы все воз­мож­ные значения d, если m = 7d и известно, что в сумме маль­чи­ки набрали ровно в 3 раза боль­ше очков, чем девочки?


Аналоги к заданию № 505570: 507244 507232 508112

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Пред­эк­за­ме­на­ци­он­ная ра­бо­та 2014 по математике.

3
Задание 19 № 507493

Наибольшее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее число x, равно Най­ди­те все такие зна­че­ния x.


Аналоги к заданию № 507493: 511434

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 20.10.2010 ва­ри­ант 3. (Часть С)
Решение ·

4
Задание 19 № 507495

Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умно­жа­ют на каж­дое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каж­дым из по­лу­чен­ных про­из­ве­де­ний про­из­воль­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего все 54 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­та складывают. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 09.12.2010 ва­ри­ант 1. (Часть С)

5
Задание 19 № 507501

Найдите все трой­ки на­ту­раль­ных чисел k, m и n, удо­вле­тво­ря­ю­щие урав­не­нию


Аналоги к заданию № 507501: 511436

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 09.12.2010 ва­ри­ант 2. (Часть С)

6
Задание 19 № 507574

Найдите все пары на­ту­раль­ных чисел m и n, яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния 2m − 3n = 1.

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та 01.10.2009 ва­ри­ант 1 (Часть С).
Решение ·

7
Задание 19 № 507579

Найдите все пары на­ту­раль­ных чисел m и n, яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния 3n − 2m = 1.


Аналоги к заданию № 507579: 511444

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та 01.10.2009 ва­ри­ант 2(Часть С).

8
Задание 19 № 507590

Найдите все пары целых чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щие си­сте­ме неравенств:

 

 

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та 08.12.2009 ва­ри­ант 1 (Часть С).

9
Задание 19 № 507609

Найдите все пары целых чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щие системе:

 

 

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та 08.12.2009 ва­ри­ант 2 (Часть С).

10
Задание 19 № 507613

Множество А со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел. Ко­ли­че­ство чисел в А боль­ше семи. Наи­мень­шее общее крат­ное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наи­боль­ший общий де­ли­тель боль­ше единицы. Про­из­ве­де­ние всех чисел из А де­лит­ся на 1920 и не яв­ля­ет­ся квад­ра­том ни­ка­ко­го це­ло­го числа. Найти числа, из ко­то­рых со­сто­ит А.

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 19.11.2009 с решениями: ва­ри­ант 2. (Часть С)
Решение ·

11
Задание 19 № 507625

Перед каж­дым из чисел 5, 6, ..., 10 и 12, 13, ..., 16 про­из­воль­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего к каж­до­му из об­ра­зо­вав­ших­ся чисел пер­во­го на­бо­ра при­бав­ля­ют каж­дое из об­ра­зо­вав­ших­ся чисел вто­ро­го набора, а затем все 30 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­тов складывают. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 20.10.2010 ва­ри­ант 4. (Часть С)

12
Задание 19 № 507637

Решите в натуральных числах уравнение

Примечание.

Для натурального символом обозначается произведение


Аналоги к заданию № 507637: 511455

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по математике 03.03.2011 ва­ри­ант 1. (Часть С)

13
Задание 19 № 507649

Решите в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние

Примечание.

Для на­ту­раль­но­го сим­во­лом обо­зна­ча­ет­ся про­из­ве­де­ние

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 03.03.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)

14
Задание 19 № 507679

Винтики можно раз­ло­жить в пакетики, а па­ке­ти­ки упаковать в коробки, по 3 па­ке­ти­ка в одну коробку. Можно эти же вин­ти­ки разложить в па­ке­ти­ки так, что в каж­дом пакетике будет на 3 вин­ти­ка больше, чем раньше, но тогда в каж­дой коробке будет ле­жать по 2 пакетика, а ко­ро­бок потребуется на 2 больше. Какое наи­боль­шее число вин­ти­ков может быть при таких условиях?

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 2010 год ва­ри­ант 502. (Часть С)

15
Задание 19 № 507820

Решите в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние n! + 5n + 13 = k2, где n! = 1·2·...·n — про­из­ве­де­ние всех на­ту­раль­ных чисел от 1 до n.


Аналоги к заданию № 507820: 511497

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке, но­ябрь 2009 года ва­ри­ант 1. (Часть С)

16
Задание 19 № 507826

Решите в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние где


Аналоги к заданию № 507826: 511500

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке, но­ябрь 2009 года ва­ри­ант 2. (Часть С)

17
Задание 19 № 508112

За по­бе­ду в шах­мат­ной пар­тии на­чис­ля­ют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за про­иг­рыш — 0 очков. В тур­ни­ре при­ни­ма­ют уча­стие m маль­чи­ков и d девочек, причём каж­дый иг­ра­ет с каж­дым дважды.

а) Ка­ко­во наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое в сумме могли на­брать девочки, если m = 2, d = 2?

б) Ка­ко­ва сумма на­бран­ных всеми участ­ни­ка­ми очков, если m + d = 10?

в) Ка­ко­вы все воз­мож­ные зна­че­ния d, если и известно, что в сумме маль­чи­ки на­бра­ли ровно в 3 раза боль­ше очков, чем девочки?


18
Задание 19 № 508977

Известно, что a, b, c, и d — по­пар­но раз­лич­ные положительные дву­знач­ные числа.

а) Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б) Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если и


Аналоги к заданию № 508977: 517205 517243

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10309.

19
Задание 19 № 509006

Известно, что a, b, c, и d — по­пар­но раз­лич­ные дву­знач­ные числа.

а) Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б) Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если и

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10310.

20
Задание 19 № 509097

Даны n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию (n ≥ 3).

а) Может ли сумма всех дан­ных чисел быть рав­ной 16?

б) Ка­ко­во наи­боль­шее зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел мень­ше 900?

в) Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел равна 235.

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Ва­ри­ант 1.

21
Задание 19 № 509126

Даны n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию

а) Может ли сумма всех дан­ных чисел быть рав­ной 13?

б) Ка­ко­во наи­боль­шее зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел мень­ше 500?

в) Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел равна 57.

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Ва­ри­ант 2.

22
Задание 19 № 511111

Пусть q — наи­мень­шее общее кратное, а d — наи­боль­ший общий де­ли­тель на­ту­раль­ных чисел x и y, удо­вле­тво­ря­ю­щих ­ра­вен­ству 3x = 8y − 29.

а) Может ли быть рав­ным 170?

б) Может ли быть рав­ным 2?

в) Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние .

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.

23
Задание 19 № 511410

а) Можно ли число 2016 пред­ста­вить в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр?

б) Можно ли число 197 пред­ста­вить в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр?

в) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ко­то­рое можно пред­ста­вить в виде суммы че­ты­рех раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр.


24
Задание 19 № 512341

Известно, что a, b, c, и d — по­пар­но раз­лич­ные по­ло­жи­тель­ные дву­знач­ные числа.

а) Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б) Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если и


Аналоги к заданию № 512341: 512383

Источник: СтатГрад: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10107.

25
Задание 19 № 512383

Известно, что a, b, c, и d — по­пар­но раз­лич­ные по­ло­жи­тель­ные дву­знач­ные числа.

а) Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б) Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если и


26
Задание 19 № 512404

Будем на­зы­вать четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его де­ся­тич­ной за­пи­си различны, а сумма пер­вых двух из этих цифр равна сумме по­след­них двух из них. Например, очень счаст­ли­вым яв­ля­ет­ся число 3140.

а) Су­ще­ству­ют ли два­дцать по­сле­до­ва­тель­ных четырёхзначных чисел, среди ко­то­рых есть три очень счастливых?

б) Может ли раз­ность двух очень счаст­ли­вых четырёхзначных чисел рав­нять­ся 2016?

в) Най­ди­те наи­мень­шее про­стое число, для ко­то­ро­го не су­ще­ству­ет крат­но­го ему очень счаст­ли­во­го четырёхзначного числа.

Источник: СтатГрад: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10212.
Решение ·

27
Задание 19 № 512876

а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?

б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.

в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящая из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна.

28
Задание 19 № 512887

Натуральные числа a, b, c и d удо­вле­тво­ря­ют условию a > b > c > d.

а) Най­ди­те числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a2b2 + с2d2 = 27.

б) Может ли быть a + b + с + d = 19 и a2b2 + с2d2 = 19?

в) Пусть a + b + с + d = 1000 и a2b2 + с2d2 = 1000. Най­ди­те количество воз­мож­ных значений числа a.

Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 801.

29
Задание 19 № 512893

Натуральные числа a, b, c и d удо­вле­тво­ря­ют условию a > b > c > d.

а) Най­ди­те числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a2b2 + с2d2 = 19.

б) Может ли быть a + b + с + d = 23 и a2b2 + с2d2 = 23?

в) Пусть a + b + с + d = 1200 и a2b2 + с2d2 = 1200. Най­ди­те количество воз­мож­ных значений числа a.

Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 802.

30
Задание 19 № 512994

Четыре натуральных числа таковы, что

 

 

а) Могут ли все числа быть попарно различны?

б) Может ли одно из этих чисел равняться 9?

в) Найдите все возможные наборы чисел, среди которых ровно два числа равны.


Аналоги к заданию № 512994: 514711

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

31
Задание 19 № 513269

Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно

б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?


Аналоги к заданию № 513269: 514712

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

32
Задание 19 № 504548

По кругу в не­ко­то­ром по­ряд­ке по од­но­му разу на­пи­са­ны числа от 9 до 18. Для каж­дой из де­ся­ти пар со­сед­них чисел нашли их наи­боль­ший общий делитель.

а) Могло ли по­лу­чить­ся так, что все наи­боль­шие общие де­ли­те­ли равны 1?

б) Могло ли по­лу­чить­ся так, что все наи­боль­шие общие де­ли­те­ли по­пар­но различны?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­пар­но раз­лич­ных наи­боль­ших общих де­ли­те­лей могло при этом получиться?


Аналоги к заданию № 504548: 504569

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.03.2014 ва­ри­ант МА10505.

33
Задание 19 № 504855

Коля мно­жил не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число на со­сед­нее на­ту­раль­ное число, и по­лу­чил произведение, рав­ное m. Вова умно­жил не­ко­то­рое чет­ное на­ту­раль­ное число на со­сед­нее чет­ное на­ту­раль­ное число и по­лу­чил произведение, рав­ное n.

а) Может ли мо­дуль раз­но­сти чисел m и n рав­нять­ся 6?

б) Может ли мо­дуль раз­но­сти чисел m и n рав­нять­ся 13?

в) Какие зна­че­ния может при­ни­мать мо­дуль раз­но­сти чисел m и n?


Аналоги к заданию № 504855: 504834

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 2014. Ва­ри­ант 2.
Решение ·

34
Задание 19 № 505107

На окруж­но­сти не­ко­то­рым спо­со­бом рас­ста­ви­ли на­ту­раль­ные числа от 1 до 21 (каждое число по­став­ле­но по од­но­му разу). Затем для каж­дой пары соседних чисел нашли раз­ность боль­ше­го и меньшего.

а) Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 11?

б) Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 10?

в) По­ми­мо по­лу­чен­ных разностей, для каж­дой пары чисел, сто­я­ших через одно, нашли раз­ность боль­ше­го и меньшего. Для ка­ко­го наи­боль­ше­го це­ло­го числа k можно так рас­ста­вить числа, чтобы все раз­но­сти были не мень­ше k?

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2014

35
Задание 19 № 505421

Семь экс­пер­тов оце­ни­ва­ют кинофильм. Каж­дый из них вы­став­ля­ет оцен­ку — целое число бал­лов от 0 до 10 включительно. Известно, что все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оценки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма — это сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок экспертов. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма оце­ни­ва­ют сле­ду­ю­щим образом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки и под­счи­ты­ва­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся оценок.

а) Может ли раз­ность рейтингов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния рав­нять­ся

б) Может ли раз­ность рейтингов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния рав­нять­ся

в) Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти рейтингов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­с­те­мам оценивания.


Аналоги к заданию № 505421: 505427

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Запад. Ва­ри­ант 301.

36
Задание 19 № 505475

На сайте про­во­дит­ся опрос, кого из фут­бо­ли­стов посетители сайта счи­та­ют лучшим по ито­гам сезона. Каж­дый посетитель го­ло­су­ет за од­но­го футболиста. На сайте отоб­ра­жа­ет­ся рейтинг каж­до­го футболиста – доля голосов, от­дан­ных за него, в процентах, округ­лен­ная до це­ло­го числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округ­ля­ют­ся до 9, 11 и 13 соответственно.

а) Всего про­го­ло­со­ва­ло 11 по­се­ти­те­лей сайта. Мог ли рей­тинг некоторого фут­бо­ли­ста быть рав­ным 38?

б) Пусть по­се­ти­те­ли сайта от­да­ва­ли голоса за од­но­го из трех футболистов. Могло ли быть так, что все три фут­бо­ли­ста получили раз­ное число голосов, но их рей­тин­ги одинаковы?

в) На сайте отображалось, что рей­тинг некоторого фут­бо­ли­ста равен 5. Это число не из­ме­ни­лось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наи­мень­шем числе от­дан­ных за всех фут­бо­ли­стов голосов, вклю­чая Васин голос, такое возможно?


Аналоги к заданию № 505475: 505497

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 1.

37
Задание 19 № 484659

Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше Найдите наименьшее возможное значение .

Решение ·

38
Задание 19 № 484660

Бесконечная де­ся­тич­ная дробь устро­е­на сле­ду­ю­щим образом. Перед де­ся­тич­ной за­пя­той стоит нуль. После за­пя­той под­ряд вы­пи­са­ны все целые не­от­ри­ца­тель­ные сте­пе­ни не­ко­то­ро­го од­но­знач­но­го на­ту­раль­но­го числа В ре­зуль­та­те по­лу­ча­ет­ся ра­ци­о­наль­ное число. Най­ди­те это число.


39
Задание 19 № 484663

Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k, что число p является общим делителем чисел и .


Аналоги к заданию № 484663: 484664 511321


40
Задание 19 № 484668

Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует такое целое число а, что дробь можно сократить на b.


Аналоги к заданию № 484668: 484669 484670 511322

Решение ·

41
Задание 19 № 501400

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n <100.


Аналоги к заданию № 501400: 501420 511358

Источник: Проб­ный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 1.

42
Задание 19 № 484673

Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее кратное в 120 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите эти числа.


Аналоги к заданию № 484673: 511323


43
Задание 19 № 501734

а) Чему равно число спо­со­бов за­пи­сать число 1292 в виде где числа  — целые,

 

б) Существуют ли 10 раз­лич­ных чисел таких, что их можно пред­ста­вить в виде где числа  — целые, ровно 130 способами?

 

в) Сколько су­ще­ству­ет чисел N таких, что их можно пред­ста­вить в виде где числа  — целые, ровно 130 способами?

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Урал. Ва­ри­ант 203.

44
Задание 19 № 505433

Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму — целое число баллов от 1 до 10 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки. Рейтинг кинофильма — это среднее геометрическое оценок всех экспертов. Среднее геометрическое чисел равно Оказалолсь, что рейтинги всех кинофильмов — это различные целые числа.

а) Могло ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов?

б) Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма?

в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 901.

45
Задание 19 № 505503

а) Можно ли число 2014 пред­ста­вить в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр?

б) Можно ли число 199 пред­ста­вить в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр?

в) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ко­то­рое можно пред­ста­вить в виде суммы пяти раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр.


Аналоги к заданию № 505503: 511410

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2014

46
Задание 19 № 506109

На доске на­пи­са­но более 40, но менее 48 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −3, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 4, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −8.

а) Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б) Каких чисел на­пи­са­но больше: по­ло­жи­тель­ных или отрицательных?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?


Аналоги к заданию № 506109: 511413

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2015 по математике. Ба­зо­вый уровень. Ва­ри­ант 2.

47
Задание 19 № 484653

Среди обыкновенных дробей с положительными знаменателями, расположенных между числами и найдите такую, знаменатель которой минимален.


Аналоги к заданию № 484653: 511317


48
Задание 19 № 484655

Найдите все такие пары натуральных чисел и , что если к десятичной записи числа приписать справа десятичную запись числа , то получится число, большее произведения чисел и на


Аналоги к заданию № 484655: 511318

Решение ·

49
Задание 19 № 484656

Найдутся ли хотя бы три де­ся­ти­знач­ных числа, де­ля­щи­е­ся на 11, в за­пи­си каж­до­го из ко­то­рых ис­поль­зо­ва­ны все цифры от 0 до 9?


Аналоги к заданию № 484656: 511319


50
Задание 19 № 484657

Произведение всех делителей натурального числа оканчивается на 399 нулей. На сколько нулей может оканчиваться число ?


51
Задание 19 № 484658

Ученик должен перемножить два трехзначных числа и разделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записанных рядом трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в 3 раза больше истинного. Найдите все три числа.


Аналоги к заданию № 484658: 511320


52
Задание 19 № 484665

Найдите несократимую дробь такую, что .

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 17.02.2010 с решениями: ва­ри­ант 1 (Часть С).

53
Задание 19 № 513352

Будем на­зы­вать четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его де­ся­тич­ной за­пи­си нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх дру­гих из них. Например, ин­те­рес­ным яв­ля­ет­ся число 6321.

а) При­ве­ди­те при­мер двух ин­те­рес­ных четырёхзначных чисел, раз­ность между ко­то­ры­ми равна трём.

б) Най­дут­ся ли два ин­те­рес­ных четырёхзначных числа, раз­ность между ко­то­ры­ми равна 111?

в) Най­ди­те наи­мень­шее про­стое число, для ко­то­ро­го не су­ще­ству­ет крат­но­го ему ин­те­рес­но­го четырёхзначного числа.


Аналоги к заданию № 513352: 513371

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 20.01.2016 ва­ри­ант МА10309

54
Задание 19 № 513611

Множество чисел назовём хорошим, если его можно раз­бить на два под­мно­же­ства с оди­на­ко­вой сум­мой чисел.

а) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {100; 101; 102; ...; 199} хорошим?

б) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2200} хорошим?

в) Сколь­ко хо­ро­ших четырёхэлементных под­мно­жеств у мно­же­ства {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}?

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 28.03.2016. До­сроч­ная волна, ва­ри­ант 101

55
Задание 19 № 513630

Множество чисел назовём хорошим, если его можно раз­бить на два под­мно­же­ства с оди­на­ко­вой сум­мой чисел.

а) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {200; 201; 202; ...; 299} хорошим?

б) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2100} хорошим?

в) Сколь­ко хо­ро­ших четырёхэлементных под­мно­жеств у мно­же­ства {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2016

56
Задание 19 № 513925

Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше: 

а) 99;

б) 101;

в) 100. 

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2016. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).

57
Задание 19 № 514031

Возрастающие ариф­ме­ти­че­ские про­грес­сии a1, a2, ..., an, ... и b1,b2, ..., bn, ... со­сто­ят из на­ту­раль­ных чисел.

а) Су­ще­ству­ют ли такие прогрессии, для ко­то­рых среди чисел и - раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа?

б) Су­ще­ству­ют ли такие прогрессии, для ко­то­рых среди чисел и - раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа?

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь , если известно, что и - раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа?


Аналоги к заданию № 514031: 514050

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 27.04.2016 ва­ри­ант МА10509

58
Задание 19 № 514433

Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.

Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.

а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться. что среди них не найдется ни одной хорошей тройки?

б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?

в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2015

59
Задание 19 № 514452

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход из них можно получить числа a + b и 2a − 1 или числа a + b и 2b − 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить числа 5 и 3 или 5 и 5).

а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске окажется числом 19.

б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 200?

в) Сделали 1007 ходов, причем на доске никогда не было равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?


Аналоги к заданию № 514452: 514532 514742

Источник: ЕГЭ — 2016 по математике. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Вариант 410. Запад
Решение ·

60
Задание 19 № 514479

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных 5 ходов.

б) Можно ли сделать 10 ходов?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2016

61
Задание 19 № 514744

Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.

а) Приведите пример числа, для которого это частное равно

б) Может ли это частное равняться

в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2016

62
Задание 19 № 514946

По окружности расставляют 48 ненулевых целых чисел с общей суммой 20. При этом любые два стоящих рядом числа должны отличаться не более чем на 7 и среди любых четырёх подряд идущих чисел должно быть хотя бы одно положительное.

а) Среди таких 48 чисел найдите наибольшее возможное количество положительных.

б) Среди таких 48 чисел найдите наименьшее возможное количество положительных.

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год

63
Задание 19 № 515654

Решите в целых числах уравнение

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С7.

64
Задание 19 № 515711

Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно

б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 18?

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С7.

65
Задание 19 № 515922

а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого

в 10 раз больше суммы цифр этого числа.

б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?

в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.


Аналоги к заданию № 515922: 515923

Источник: Задания для школы экспертов. Математика. 2016 год.

66
Задание 19 № 516054

Шесть различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1.

а) Может ли сумма этих чисел быть равной 39?

б) Может ли сумма этих чисел быть равной 34?

в) Какова их минимальная сумма?

Источник: Пробный экзамен МЦНМО, Москва, 2017

67
Задание 19 № 516406

Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.

а) Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых нет ни одного очень счастливого числа?

б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016?

в) Найдите наименьшее нечётное число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.


Аналоги к заданию № 516406: 516386

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 22.09.2016 вариант МА10112

68
Задание 19 № 516515

Множество чисел назовём хорошим, если его можно раз­бить на два под­мно­же­ства с оди­на­ко­вым произведением чисел.

а) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {100; 101; 102; ...; 199} хорошим?

б) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2200} хорошим?

в) Сколь­ко хо­ро­ших четырёхэлементных под­мно­жеств у мно­же­ства {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11; 12}?


69
Задание 19 № 516766

Дано квадратное уравнение где a, b и c — натуральные числа, не превосходящие 100. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.

а) Может ли такое уравнение иметь корень –7?

б) Может ли такое уравнение иметь корень –53?

в) Какой наименьший целый корень может иметь такое уравнение?

Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1.

70
Задание 19 № 516785

Дано квадратное уравнение где a, b, c — натуральные числа, не превосходящие 200. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.

а) Может ли такое уравнение иметь корень 9?

б) Может ли такое уравнение иметь корень 135?

в) Какой наибольший целый корень может иметь такое уравнение?

Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2.

71
Задание 19 № 517425

Дан выпуклый многоугольник M, который можно разрезать на 1292 квадрата площади 1.

а) Приведите пример такого многоугольника, если известно, что длина его наименьшей стороны больше 15.

б) Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник M?

в) Какое наибольшее и наименьшее значение может иметь периметр этого многоугольника?


72
Задание 19 № 517429

Дима и Никита задумали по цифре и сообщили их Маше. Маша нашла сумму этих цифр, их разность, а затем перемножила все 4 числа. Мог ли полученный результат быть равен:

А) 1989?

Б) 2012?

В) 2016?

Если нет — объясните, почему, если да — определите цифры, задуманные Димой и Никитой.


73
Задание 19 № 517451

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6.

б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на 6?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?


Аналоги к заданию № 517451: 517444 517458 517556

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2017

74
Задание 19 № 517744

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).

а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128?

в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?


Аналоги к заданию № 517744: 517756

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Вариант 501 (C часть).

75
Задание 19 № 517835

В каждой клетке квадратной таблицы 6х6 стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.

а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?

б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?

в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Восток (C часть).

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте · Редакция

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!