СДАМ ГИА






Каталог заданий. Числа и их свойства
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1

Дано трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число (число не может на­чи­нать­ся с нуля), не крат­ное 100.

а) Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 90?

б) Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 88?

в) Какое наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может иметь част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр?

За­да­ние 19 № 502027

Аналоги к заданию № 502027: 502058 503325 503365 511370



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 10.06.2013. Вто­рая волна. Центр. Ва­ри­ант 601.
Показать решение

2

За по­бе­ду в шах­мат­ной пар­тии на­чис­ля­ют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за про­иг­рыш ─ 0 очков. В тур­ни­ре при­ни­ма­ют уча­стие m маль­чи­ков и d де­во­чек, причём каж­дый иг­ра­ет с каж­дым два­жды.

а) Ка­ко­во наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое в сумме могли на­брать де­воч­ки, если m = 3, d = 2.

б) Ка­ко­ва сумма на­бран­ных всеми участ­ни­ка­ми очков, если m + d = 10.

в) Ка­ко­вы все воз­мож­ные зна­че­ния d, если m = 7d и из­вест­но, что в сумме маль­чи­ки на­бра­ли ровно в 3 раза боль­ше очков, чем де­воч­ки?

За­да­ние 19 № 505570


Источник: РЕШУ ЕГЭ — Пред­эк­за­ме­на­ци­он­ная ра­бо­та 2014 по математике.
3

Наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее число x, равно Най­ди­те все такие зна­че­ния x.

За­да­ние 19 № 507493

Аналоги к заданию № 507493: 511434



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 20.10.2010 ва­ри­ант 3. (Часть С)
4

Каж­дое из чисел 2, 3, …, 7 умно­жа­ют на каж­дое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каж­дым из по­лу­чен­ных про­из­ве­де­ний про­из­воль­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего все 54 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­та скла­ды­ва­ют. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

За­да­ние 19 № 507495


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 09.12.2010 ва­ри­ант 1. (Часть С)
5

Най­ди­те все трой­ки на­ту­раль­ных чисел k, m и n, удо­вле­тво­ря­ю­щие урав­не­нию

За­да­ние 19 № 507501

Аналоги к заданию № 507501: 511436



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 09.12.2010 ва­ри­ант 2. (Часть С)
6

Най­ди­те все пары на­ту­раль­ных чисел m и n, яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния 2m − 3n = 1.

За­да­ние 19 № 507574


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та 01.10.2009 ва­ри­ант 1 (Часть С).
7

Най­ди­те все пары на­ту­раль­ных чисел m и n, яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния 3n − 2m = 1.

За­да­ние 19 № 507579

Аналоги к заданию № 507579: 511444



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та 01.10.2009 ва­ри­ант 2(Часть С).
8

Най­ди­те все пары целых чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щие си­сте­ме не­ра­венств:

 

 

За­да­ние 19 № 507590


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та 08.12.2009 ва­ри­ант 1 (Часть С).
9

Най­ди­те все пары целых чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щие си­сте­ме:

 

 

За­да­ние 19 № 507609


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та 08.12.2009 ва­ри­ант 2 (Часть С).
10

Мно­же­ство А со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел. Ко­ли­че­ство чисел в А боль­ше семи. Наи­мень­шее общее крат­ное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наи­боль­ший общий де­ли­тель боль­ше еди­ни­цы. Про­из­ве­де­ние всех чисел из А де­лит­ся на 1920 и не яв­ля­ет­ся квад­ра­том ни­ка­ко­го це­ло­го числа. Найти числа, из ко­то­рых со­сто­ит А.

За­да­ние 19 № 507613


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 19.11.2009 с решениями: ва­ри­ант 2. (Часть С)
Показать решение

11

Перед каж­дым из чисел 5, 6, ..., 10 и 12, 13, ..., 16 про­из­воль­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего к каж­до­му из об­ра­зо­вав­ших­ся чисел пер­во­го на­бо­ра при­бав­ля­ют каж­дое из об­ра­зо­вав­ших­ся чисел вто­ро­го на­бо­ра, а затем все 30 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­тов скла­ды­ва­ют. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

За­да­ние 19 № 507625


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 20.10.2010 ва­ри­ант 4. (Часть С)
12

Ре­ши­те в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние

При­ме­ча­ние.

Для на­ту­раль­но­го сим­во­лом обо­зна­ча­ет­ся про­из­ве­де­ние

За­да­ние 19 № 507637

Аналоги к заданию № 507637: 511455



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по математике 03.03.2011 ва­ри­ант 1. (Часть С)
13

Ре­ши­те в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние

При­ме­ча­ние.

Для на­ту­раль­но­го сим­во­лом обо­зна­ча­ет­ся про­из­ве­де­ние

За­да­ние 19 № 507649


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 03.03.2011 ва­ри­ант 2. (Часть С)
14

Вин­ти­ки можно раз­ло­жить в па­ке­ти­ки, а па­ке­ти­ки упа­ко­вать в ко­роб­ки, по 3 па­ке­ти­ка в одну ко­роб­ку. Можно эти же вин­ти­ки раз­ло­жить в па­ке­ти­ки так, что в каж­дом па­ке­ти­ке будет на 3 вин­ти­ка боль­ше, чем рань­ше, но тогда в каж­дой ко­роб­ке будет ле­жать по 2 па­ке­ти­ка, а ко­ро­бок по­тре­бу­ет­ся на 2 боль­ше. Какое наи­боль­шее число вин­ти­ков может быть при таких усло­ви­ях?

За­да­ние 19 № 507679


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 2010 год ва­ри­ант 502. (Часть С)
15

Ре­ши­те в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние n! + 5n + 13 = k2, где n! = 1·2·...·n — про­из­ве­де­ние всех на­ту­раль­ных чисел от 1 до n.

За­да­ние 19 № 507820

Аналоги к заданию № 507820: 511497



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке, но­ябрь 2009 года ва­ри­ант 1. (Часть С)
16

Ре­ши­те в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние где

За­да­ние 19 № 507826

Аналоги к заданию № 507826: 511500



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке, но­ябрь 2009 года ва­ри­ант 2. (Часть С)
17

Из­вест­но, что a, b, c, и d — по­пар­но раз­лич­ные по­ло­жи­тель­ные дву­знач­ные числа.

а) Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б) Может ли дробь быть в 11 раз мень­ше, чем сумма

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если и

За­да­ние 19 № 508977


Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10309.
18

Из­вест­но, что a, b, c, и d — по­пар­но раз­лич­ные дву­знач­ные числа.

а) Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б) Может ли дробь быть в 11 раз мень­ше, чем сумма

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если и

За­да­ние 19 № 509006


Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10310.
19

Даны n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию (n ≥ 3).

а) Может ли сумма всех дан­ных чисел быть рав­ной 16?

б) Ка­ко­во наи­боль­шее зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел мень­ше 900?

в) Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел равна 235.

За­да­ние 19 № 509097


Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Ва­ри­ант 1.
20

Даны n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию

а) Может ли сумма всех дан­ных чисел быть рав­ной 13?

б) Ка­ко­во наи­боль­шее зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел мень­ше 500?

в) Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел равна 57.

За­да­ние 19 № 509126


Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Ва­ри­ант 2.
21

Пусть q — наи­мень­шее общее крат­ное, а d — наи­боль­ший общий де­ли­тель на­ту­раль­ных чисел x и y, удо­вле­тво­ря­ю­щих ­ра­вен­ству 3x = 8y − 29.

а) Может ли быть рав­ным 170?

б) Может ли быть рав­ным 2?

в) Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние .

За­да­ние 19 № 511111


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.
22

а) Можно ли число 2016 пред­ста­вить в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр?

б) Можно ли число 197 пред­ста­вить в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр?

в) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ко­то­рое можно пред­ста­вить в виде суммы че­ты­рех раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр.

За­да­ние 19 № 511410
23

Из­вест­но, что a, b, c, и d — по­пар­но раз­лич­ные по­ло­жи­тель­ные дву­знач­ные числа.

а) Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б) Может ли дробь быть в 11 раз мень­ше, чем сумма

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если и

За­да­ние 19 № 512341

Аналоги к заданию № 512341: 512383



Источник: СтатГрад: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10107.
24

Из­вест­но, что a, b, c, и d — по­пар­но раз­лич­ные по­ло­жи­тель­ные дву­знач­ные числа.

а) Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б) Может ли дробь быть в 11 раз мень­ше, чем сумма

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если и

За­да­ние 19 № 512383
25

Будем на­зы­вать четырёхзнач­ное число очень счаст­ли­вым, если все цифры в его де­ся­тич­ной за­пи­си раз­лич­ны, а сумма пер­вых двух из этих цифр равна сумме по­след­них двух из них. На­при­мер, очень счаст­ли­вым яв­ля­ет­ся число 3140.

а) Су­ще­ству­ют ли два­дцать по­сле­до­ва­тель­ных четырёхзнач­ных чисел, среди ко­то­рых есть три очень счаст­ли­вых?

б) Может ли раз­ность двух очень счаст­ли­вых четырёхзнач­ных чисел рав­нять­ся 2016?

в) Най­ди­те наи­мень­шее про­стое число, для ко­то­ро­го не су­ще­ству­ет крат­но­го ему очень счаст­ли­во­го четырёхзнач­но­го числа.

За­да­ние 19 № 512404


Источник: СтатГрад: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10212.
Показать решение

26

а) Су­ще­ству­ет ли ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, со­сто­я­щая из пяти на­ту­раль­ных чисел, такая, что сумма наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го чле­нов этой про­грес­сии равна 99?

б) Ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия со­сто­ит из шести на­ту­раль­ных чисел. Сумма наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го чле­нов этой про­грес­сии равна 9. Най­ди­те все числа, из ко­то­рых со­сто­ит эта про­грес­сия.

в) Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чле­нов ко­неч­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, со­сто­я­щая из на­ту­раль­ных чисел, равно 6,5. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов может быть в этой про­грес­сии?

За­да­ние 19 № 512876


Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна.
27

На­ту­раль­ные числа a, b, c и d удо­вле­тво­ря­ют усло­вию a > b > c > d.

а) Най­ди­те числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a2b2 + с2d2 = 27.

б) Может ли быть a + b + с + d = 19 и a2b2 + с2d2 = 19?

в) Пусть a + b + с + d = 1000 и a2b2 + с2d2 = 1000. Най­ди­те ко­ли­че­ство воз­мож­ных зна­че­ний числа a.

За­да­ние 19 № 512887


Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 801.
28

На­ту­раль­ные числа a, b, c и d удо­вле­тво­ря­ют усло­вию a > b > c > d.

а) Най­ди­те числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a2b2 + с2d2 = 19.

б) Может ли быть a + b + с + d = 23 и a2b2 + с2d2 = 23?

в) Пусть a + b + с + d = 1200 и a2b2 + с2d2 = 1200. Най­ди­те ко­ли­че­ство воз­мож­ных зна­че­ний числа a.

За­да­ние 19 № 512893


Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 802.
29

Че­ты­ре на­ту­раль­ных числа та­ко­вы, что

 

 

а) Могут ли все числа быть по­пар­но раз­лич­ны?

б) Может ли одно из этих чисел рав­нять­ся 9?

в) Най­ди­те все воз­мож­ные на­бо­ры чисел, среди ко­то­рых ровно два числа равны.

За­да­ние 19 № 512994


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
30

Про три раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа из­вест­но, что они яв­ля­ют­ся дли­на­ми сто­рон не­ко­то­ро­го ту­по­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка.

а) Могло ли от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них быть равно

б) Могло ли от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них быть равно

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них, если из­вест­но, что сред­нее по ве­ли­чи­не из этих чисел равно 25?

За­да­ние 19 № 513269


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
31

По кругу в не­ко­то­ром по­ряд­ке по од­но­му разу на­пи­са­ны числа от 9 до 18. Для каж­дой из де­ся­ти пар со­сед­них чисел нашли их наи­боль­ший общий де­ли­тель.

а) Могло ли по­лу­чить­ся так, что все наи­боль­шие общие де­ли­те­ли равны 1?

б) Могло ли по­лу­чить­ся так, что все наи­боль­шие общие де­ли­те­ли по­пар­но раз­лич­ны?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­пар­но раз­лич­ных наи­боль­ших общих де­ли­те­лей могло при этом по­лу­чить­ся?

За­да­ние 19 № 504548

Аналоги к заданию № 504548: 504569



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.03.2014 ва­ри­ант МА10505.
32

Коля мно­жил не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число на со­сед­нее на­ту­раль­ное число, и по­лу­чил про­из­ве­де­ние, рав­ное m. Вова умно­жил не­ко­то­рое чет­ное на­ту­раль­ное число на со­сед­нее чет­ное на­ту­раль­ное число и по­лу­чил про­из­ве­де­ние, рав­ное n.

а) Может ли мо­дуль раз­но­сти чисел m и n рав­нять­ся 6?

б) Может ли мо­дуль раз­но­сти чисел m и n рав­нять­ся 13?

в) Какие зна­че­ния может при­ни­мать мо­дуль раз­но­сти чисел m и n?

За­да­ние 19 № 504855

Аналоги к заданию № 504855: 504834



Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 2014. Ва­ри­ант 2.
Показать решение

33

На окруж­но­сти не­ко­то­рым спо­со­бом рас­ста­ви­ли на­ту­раль­ные числа от 1 до 21 (каж­дое число по­став­ле­но по од­но­му разу). Затем для каж­дой пары со­сед­них чисел нашли раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го.

а) Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 11?

б) Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 10?

в) По­ми­мо по­лу­чен­ных раз­но­стей, для каж­дой пары чисел, сто­я­ших через одно, нашли раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го. Для ка­ко­го наи­боль­ше­го це­ло­го числа k можно так рас­ста­вить числа, чтобы все раз­но­сти были не мень­ше k?

За­да­ние 19 № 505107


Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2014
34

Семь экс­пер­тов оце­ни­ва­ют ки­но­фильм. Каж­дый из них вы­став­ля­ет оцен­ку — целое число бал­лов от 0 до 10 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма — это сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок экс­пер­тов. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния рей­тинг ки­но­филь­ма оце­ни­ва­ют сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки и под­счи­ты­ва­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся оце­нок.

а) Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния рав­нять­ся

б) Может ли раз­ность рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния рав­нять­ся

в) Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти рей­тин­гов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­с­те­мам оце­ни­ва­ния.

За­да­ние 19 № 505421

Аналоги к заданию № 505421: 505427



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Запад. Ва­ри­ант 301.
35

На сайте про­во­дит­ся опрос, кого из фут­бо­ли­стов по­се­ти­те­ли сайта счи­та­ют луч­шим по ито­гам се­зо­на. Каж­дый по­се­ти­тель го­ло­су­ет за од­но­го фут­бо­ли­ста. На сайте отоб­ра­жа­ет­ся рей­тинг каж­до­го фут­бо­ли­ста – доля го­ло­сов, от­дан­ных за него, в про­цен­тах, округ­лен­ная до це­ло­го числа. На­при­мер, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округ­ля­ют­ся до 9, 11 и 13 со­от­вет­ствен­но.

а) Всего про­го­ло­со­ва­ло 11 по­се­ти­те­лей сайта. Мог ли рей­тинг не­ко­то­ро­го фут­бо­ли­ста быть рав­ным 38?

б) Пусть по­се­ти­те­ли сайта от­да­ва­ли го­ло­са за од­но­го из трех фут­бо­ли­стов. Могло ли быть так, что все три фут­бо­ли­ста по­лу­чи­ли раз­ное число го­ло­сов, но их рей­тин­ги оди­на­ко­вы?

в) На сайте отоб­ра­жа­лось, что рей­тинг не­ко­то­ро­го фут­бо­ли­ста равен 5. Это число не из­ме­ни­лось и после того, как Вася отдал свой голос за этого фут­бо­ли­ста. При каком наи­мень­шем числе от­дан­ных за всех фут­бо­ли­стов го­ло­сов, вклю­чая Васин голос, такое воз­мож­но?

За­да­ние 19 № 505475

Аналоги к заданию № 505475: 505497



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 1.
36

Бес­ко­неч­ная де­ся­тич­ная дробь устро­е­на сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Перед де­ся­тич­ной за­пя­той стоит нуль. После за­пя­той под­ряд вы­пи­са­ны члены воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел В ре­зуль­та­те по­лу­чи­лось ра­ци­о­наль­ное число, ко­то­рое вы­ра­жа­ет­ся не­со­кра­ти­мой дро­бью, зна­ме­на­тель ко­то­рой мень­ше Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние .

За­да­ние 19 № 484659
Показать решение

37

Бес­ко­неч­ная де­ся­тич­ная дробь устро­е­на сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Перед де­ся­тич­ной за­пя­той стоит нуль. После за­пя­той под­ряд вы­пи­са­ны все целые не­от­ри­ца­тель­ные сте­пе­ни не­ко­то­ро­го од­но­знач­но­го на­ту­раль­но­го числа В ре­зуль­та­те по­лу­ча­ет­ся ра­ци­о­наль­ное число. Най­ди­те это число.

За­да­ние 19 № 484660
38

Най­ди­те все про­стые числа p, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет такое целое число k, что число p яв­ля­ет­ся общим де­ли­те­лем чисел и .

За­да­ние 19 № 484663

Аналоги к заданию № 484663: 484664 511321

39

Най­ди­те все про­стые числа b, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет такое целое число а, что дробь можно со­кра­тить на b.

За­да­ние 19 № 484668

Аналоги к заданию № 484668: 484669 484670 511322

Показать решение

40

Длины сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка ― на­ту­раль­ные числа, а его пе­ри­метр равен 4000. Из­вест­но, что длина одной сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка равна n% от длины дру­гой сто­ро­ны, где n ― также на­ту­раль­ное число.

а) Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка?

б) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка?

в) Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что n <100.

За­да­ние 19 № 501400

Аналоги к заданию № 501400: 501420 511358



Источник: Проб­ный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 1.
41

Сумма двух на­ту­раль­ных чисел равна 43, а их наи­мень­шее общее крат­ное в 120 раз боль­ше их наи­боль­ше­го об­ще­го де­ли­те­ля. Най­ди­те эти числа.

За­да­ние 19 № 484673

Аналоги к заданию № 484673: 511323

42

а) Чему равно число спо­со­бов за­пи­сать число 1292 в виде где числа  — целые,

 

б) Су­ще­ству­ют ли 10 раз­лич­ных чисел таких, что их можно пред­ста­вить в виде где числа  — целые, ровно 130 спо­со­ба­ми?

 

в) Сколь­ко су­ще­ству­ет чисел N таких, что их можно пред­ста­вить в виде где числа  — целые, ровно 130 спо­со­ба­ми?

За­да­ние 19 № 501734


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Урал. Ва­ри­ант 203.
43

Не­сколь­ко экс­пер­тов оце­ни­ва­ют не­сколь­ко ки­но­филь­мов. Каж­дый из них вы­став­ля­ет оцен­ку каж­до­му ки­но­филь­му — целое число бал­лов от 1 до 10 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что каж­до­му ки­но­филь­му все экс­пер­ты вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. Рей­тинг ки­но­филь­ма — это сред­нее гео­мет­ри­че­ское оце­нок всех экс­пер­тов. Сред­нее гео­мет­ри­че­ское чисел равно Ока­за­лолсь, что рей­тин­ги всех ки­но­филь­мов — это раз­лич­ные целые числа.

а) Могло ли быть 2 экс­пер­та и 5 ки­но­филь­мов?

б) Могло ли быть 3 экс­пер­та и 4 ки­но­филь­ма?

в) При каком наи­боль­шем ко­ли­че­стве экс­пер­тов опи­сан­ная си­ту­а­ция воз­мож­на для од­но­го ки­но­филь­ма?

За­да­ние 19 № 505433


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 901.
44

а) Можно ли число 2014 пред­ста­вить в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр?

б) Можно ли число 199 пред­ста­вить в виде суммы двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр?

в) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ко­то­рое можно пред­ста­вить в виде суммы пяти раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с оди­на­ко­вой сум­мой цифр.

За­да­ние 19 № 505503

Аналоги к заданию № 505503: 511410



Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2014
45

На доске на­пи­са­но более 40, но менее 48 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −3, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 4, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −8.

а) Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б) Каких чисел на­пи­са­но боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?

За­да­ние 19 № 506109

Аналоги к заданию № 506109: 511413



Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2015 по математике. Ба­зо­вый уровень. Ва­ри­ант 2.
46

Среди обык­но­вен­ных дро­бей с по­ло­жи­тель­ны­ми зна­ме­на­те­ля­ми, рас­по­ло­жен­ных между чис­ла­ми и най­ди­те такую, зна­ме­на­тель ко­то­рой ми­ни­ма­лен.

За­да­ние 19 № 484653

Аналоги к заданию № 484653: 511317

47

Най­ди­те все такие пары на­ту­раль­ных чисел и , что если к де­ся­тич­ной за­пи­си числа при­пи­сать спра­ва де­ся­тич­ную за­пись числа , то по­лу­чит­ся число, боль­шее про­из­ве­де­ния чисел и на

За­да­ние 19 № 484655

Аналоги к заданию № 484655: 511318

Показать решение

48

Най­дут­ся ли хотя бы три де­ся­ти­знач­ных числа, де­ля­щи­е­ся на 11, в за­пи­си каж­до­го из ко­то­рых ис­поль­зо­ва­ны все цифры от 0 до 9?

За­да­ние 19 № 484656

Аналоги к заданию № 484656: 511319

49

Про­из­ве­де­ние всех де­ли­те­лей на­ту­раль­но­го числа окан­чи­ва­ет­ся на 399 нулей. На сколь­ко нулей может окан­чи­вать­ся число ?

За­да­ние 19 № 484657
50

Уче­ник дол­жен пе­ре­мно­жить два трех­знач­ных числа и раз­де­лить их про­из­ве­де­ние на пя­ти­знач­ное. Од­на­ко он не за­ме­тил знака умно­же­ния и при­нял два за­пи­сан­ных рядом трех­знач­ных числа за одно ше­сти­знач­ное. По­это­му по­лу­чен­ное част­ное (на­ту­раль­ное) ока­за­лось в 3 раза боль­ше ис­тин­но­го. Най­ди­те все три числа.

За­да­ние 19 № 484658

Аналоги к заданию № 484658: 511320

51

Най­ди­те не­со­кра­ти­мую дробь такую, что .

За­да­ние 19 № 484665


Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 17.02.2010 с решениями: ва­ри­ант 1 (Часть С).
52

Будем на­зы­вать четырёхзнач­ное число ин­те­рес­ным, если среди четырёх цифр в его де­ся­тич­ной за­пи­си нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх дру­гих из них. На­при­мер, ин­те­рес­ным яв­ля­ет­ся число 6321.

а) При­ве­ди­те при­мер двух ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных чисел, раз­ность между ко­то­ры­ми равна трём.

б) Най­дут­ся ли два ин­те­рес­ных четырёхзнач­ных числа, раз­ность между ко­то­ры­ми равна 111?

в) Най­ди­те наи­мень­шее про­стое число, для ко­то­ро­го не су­ще­ству­ет крат­но­го ему ин­те­рес­но­го четырёхзнач­но­го числа.

За­да­ние 19 № 513352

Аналоги к заданию № 513352: 513371



Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 20.01.2016 ва­ри­ант МА10309
53

Мно­же­ство чисел назовём хо­ро­шим, если его можно раз­бить на два под­мно­же­ства с оди­на­ко­вой сум­мой чисел.

а) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {100; 101; 102; ...; 199} хо­ро­шим?

б) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2200} хо­ро­шим?

в) Сколь­ко хо­ро­ших четырёхэле­мент­ных под­мно­жеств у мно­же­ства {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}?

За­да­ние 19 № 513611


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 28.03.2016. До­сроч­ная волна, ва­ри­ант 101
54

Мно­же­ство чисел назовём хо­ро­шим, если его можно раз­бить на два под­мно­же­ства с оди­на­ко­вой сум­мой чисел.

а) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {200; 201; 202; ...; 299} хо­ро­шим?

б) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2100} хо­ро­шим?

в) Сколь­ко хо­ро­ших четырёхэле­мент­ных под­мно­жеств у мно­же­ства {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?

За­да­ние 19 № 513630


Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2016
55

По­ка­жи­те, что для лю­бо­го на­бо­ра по­ло­жи­тель­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 11, а сумма ко­то­рых боль­ше 110, все­гда можно вы­брать не­сколь­ко чисел так, чтобы их сумма была не боль­ше 110, но боль­ше: 

а) 99;

б) 101;

в) 100. 

За­да­ние 19 № 513925


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2016. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).
56

Воз­рас­та­ю­щие ариф­ме­ти­че­ские про­грес­сии a1, a2, ..., an, ... и b1,b2, ..., bn, ... со­сто­ят из на­ту­раль­ных чисел.

а) Су­ще­ству­ют ли такие про­грес­сии, для ко­то­рых среди чисел и - раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа?

б) Су­ще­ству­ют ли такие про­грес­сии, для ко­то­рых среди чисел и - раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа?

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь , если из­вест­но, что и - раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа?

За­да­ние 19 № 514031

Аналоги к заданию № 514031: 514050



Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 27.04.2016 ва­ри­ант МА10509
57

Три числа на­зо­вем хо­ро­шей трой­кой, если они могут быть дли­на­ми сто­рон тре­уголь­ни­ка.

Три числа на­зо­вем от­лич­ной трой­кой, если они могут быть дли­на­ми сто­рон пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка.

а) Даны 8 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Может ли ока­зать­ся. что среди них не най­дет­ся ни одной хо­ро­шей трой­ки?

б) Даны 4 раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа. Может ли ока­зать­ся, что среди них можно найти три от­лич­ных трой­ки?

в) Даны 12 раз­лич­ных чисел (не­обя­за­тель­но на­ту­раль­ных). Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство от­лич­ных троек могло ока­зать­ся среди них?

За­да­ние 19 № 514433


Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2015
58

На доске на­пи­са­ны числа 2 и 3. За один ход из них можно по­лу­чить числа a + b и 2a − 1 или числа a + b и 2b − 1 (на­при­мер, из чисел 2 и 3 можно по­лу­чить числа 5 и 3 или 5 и 5).

а) При­ве­ди­те при­мер по­сле­до­ва­тель­но­сти ходов, после ко­то­рых одно из чисел, на­пи­сан­ных на доске ока­жет­ся чис­лом 19.

б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, на­пи­сан­ных на доске, ока­зать­ся чис­лом 200?

в) Сде­ла­ли 1007 ходов, при­чем на доске ни­ко­гда не было рав­ных чисел. Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го из по­лу­чен­ных чисел?

За­да­ние 19 № 514452

Аналоги к заданию № 514452: 514532 514742



Источник: ЕГЭ — 2016 по математике. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Вариант 410. Запад
Показать решение

59

На доске на­пи­са­ны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход раз­ре­ша­ет­ся сте­реть про­из­воль­ные три числа, сумма ко­то­рых мень­ше 35 и от­лич­на от каж­дой из сумм троек чисел, стёртых на преды­ду­щих ходах.

а) При­ве­ди­те при­мер по­сле­до­ва­тель­ных 5 ходов.

б) Можно ли сде­лать 10 ходов?

в) Какое наи­боль­шее число ходов можно сде­лать?

За­да­ние 19 № 514479


Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2016
60

Че­ты­ре на­ту­раль­ных числа та­ко­вы, что

 

 

а) Могут ли все эти числа быть по­пар­но раз­лич­ны?

б) Может ли одно из этих чисел рав­нять­ся 7?

в) Най­ди­те все воз­мож­ные на­бо­ры таких чисел, среди ко­то­рых есть рав­ные.

За­да­ние 19 № 514711


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
61

Про три раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа из­вест­но, что они яв­ля­ют­ся дли­на­ми сто­рон не­ко­то­ро­го ту­по­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка.

а) Может ли от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них быть равно

б) Может ли от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них быть равно

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать от­но­ше­ние боль­ше­го из этих чисел к мень­ше­му из них, если из­вест­но, что сред­нее по ве­ли­чи­не число равно 18?

За­да­ние 19 № 514712


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
62

Рас­смот­рим част­ное трёхзнач­но­го числа, в за­пи­си ко­то­ро­го нет нулей, и про­из­ве­де­ния его цифр.

а) При­ве­ди­те при­мер числа, для ко­то­ро­го это част­ное равно

б) Может ли это част­ное рав­нять­ся

в) Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать это част­ное, если оно равно не­со­кра­ти­мой дроби со зна­ме­на­те­лем 27?

За­да­ние 19 № 514744


Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2016
63

По окруж­но­сти рас­став­ля­ют 48 не­ну­ле­вых целых чисел с общей сум­мой 20. При этом любые два сто­я­щих рядом числа долж­ны от­ли­чать­ся не более чем на 7 и среди любых четырёх под­ряд иду­щих чисел долж­но быть хотя бы одно по­ло­жи­тель­ное.

а) Среди таких 48 чисел най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных.

б) Среди таких 48 чисел най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных.

За­да­ние 19 № 514946


Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год
64

а) При­ве­ди­те при­мер четырёхзнач­но­го числа, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го

в 10 раз боль­ше суммы цифр этого числа.

б) Су­ще­ству­ет ли такое четырёхзнач­ное число, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го в 175 раз боль­ше суммы цифр этого числа?

в) Най­ди­те все четырёхзнач­ные числа, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­рых в 50 раз боль­ше суммы цифр этого числа.

За­да­ние 19 № 515922

Аналоги к заданию № 515922: 515923



Источник: Задания для школы экспертов. Математика. 2016 год.
65

Шесть раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел та­ко­вы, что ни­ка­кие два из них не имеют об­ще­го де­ли­те­ля, боль­ше­го 1.

а) Может ли сумма этих чисел быть рав­ной 39?

б) Может ли сумма этих чисел быть рав­ной 34?

в) Ка­ко­ва их ми­ни­маль­ная сумма?

За­да­ние 19 № 516054


Источник: Пробный экзамен МЦНМО, Москва, 2017
66

Мно­же­ство чисел назовём хо­ро­шим, если его можно раз­бить на два под­мно­же­ства с оди­на­ко­вым про­из­ве­де­ни­ем чисел.

а) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {100; 101; 102; ...; 199} хо­ро­шим?

б) Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2200} хо­ро­шим?

в) Сколь­ко хо­ро­ших четырёхэле­мент­ных под­мно­жеств у мно­же­ства {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11; 12}?

За­да­ние 19 № 516515

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!
общее/сайт/предмет


Рейтинг@Mail.ru
Яндекс.Метрика