Всего: 819 … 501–520 | 521–540 | 541–560 | 561–580 | 581–600 | 601–620 | 621–640 | 641–660 …
Добавить в вариант
На боковой стороне CD трапеции ABCD отмечена точка M, которая является серединой этой стороны.
а) Докажите, что 
б) На стороне CD отмечена точка K, такая, что 
причем AD = 2BC. Расстояние от точки D до прямой AB равно 10. Найдите расстояние от точки K до стороны AB.
Следовательно,
поэтому отрезок BC является средней линией треугольника AED. Заметим, что 
откуда 
Таким образом, точка K лежит на средней линии трапеции. Тогда K — середина CD. Из подобия прямоугольных треугольников DH1E и KH2E, где DH1 и KH2 — перпендикуляры к AB, имеем: 
На боковой стороне CD трапеции ABCD отмечена точка M, которая является серединой этой стороны.
а) Докажите, что
б) На стороне CD отмечена точка K, такая, что причем AD = 2BC. Расстояние от точки D до прямой AB равно 15. Найдите расстояние от точки K до стороны AB.
Следовательно,
Таким образом, точка K лежит на средней линии трапеции. Тогда K — середина CD. Из подобия прямоугольных треугольников DH1E и KH2E, где DH1 и KH2 — перпендикуляры к AB имеем: 
К окружности с диаметром AB = 10 проведена касательная BC так что 
Прямая AC вторично пересекает окружность в точке D. Точка E диаметрально противоположна точке D. Прямые ED и BC пересекаются в точке F.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника FBE.
поскольку этот угол опирается на диаметр AB. Тогда BD — высота прямоугольного треугольника ABC. По свойству высоты получаем, что 
тогда 
Треугольники EOB и DOA равны по двум сторонам и углу между ними, значит, EB = AD, откуда 
Таким образом, 
Заметим, что 
тогда 
Пусть 
Это центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол AOD, тогда:
К окружности с диаметром AB = 6 проведена касательная BC так, что 
Прямая AC вторично пересекает окружность в точке D. Точка E диаметрально противоположна точке D. Прямые ED и BC пересекаются в точке F.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь треугольника FBE.
Таким образом, C — середина BF и 
Следовательно,
Найдите точку максимума функции 
В правильной шестиугольной призме АВСDEFА1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1.
а) Докажите, что точки F и С равноудалены от плоскости ВЕD1.
б) Найдите расстояние между прямыми ЕD1 и FE1.
Очевидно, что сечение BED1C1 — равнобедренная трапеция в которой боковая сторона 
а высота равна
Плоскость проходит через начало координат, а потому 
Подставляя координаты точек E и D1, находим: 
в уравнение плоскости, получим: 
Это равенство верно, следовательно, точка C1 действительно принадлежит плоскости BED1. Тогда и прямая BC1 принадлежит плоскости BED1, а значит, плоскость BED1 параллельная прямой E1F. Найдем расстояние между прямыми ЕD1 и FE1:
Найдите все значения параметра параметра а, при которых система уравнений
имеет ровно четыре решения.
и 
Графиком второго уравнения является окружность с центром в точке 
и радиусом 
Система имеет ровно четыре решения, в двух случаях.
Тогда
то есть при
или 
Три точки А, В и С разбивают окружность на три дуги. Каждая из дуг разбивается на три равные части так, что на окружности последовательно стоят точки А, А1, А2, В, В1, В2, С, С1, С2.
А) Докажите, что точки пересечения прямых А1В2, В1С2 и С1А2 образуют равносторонний треугольник.
Б) Найдите стороны этого треугольника, если АС = 1, ВС = 2, 
так как сумма вписанных углов равна половине суммы третей дуг AB, BC, AC, то есть 
Аналогично вычисляются и углы KDE и KED. Таким образом, все углы треугольника KDE равны между собой. Поэтому он равносторонний.
Отсюда ясно, что диаметр окружности равен 2, а радиус 1. Таким образом, дуга BA равна 60°, дуга AC = 120°, дуга CB — полуокружность (обозначим центр окружности через O). Отсюда легко определяются все дуги, на которые 9 точек делят окружность. Сделаем дополнительное построение, проведя диаметр GH, где G — середина дуги AC2. Заметим, что хорда A2C1 опирается на угол 120°, значит, она равна 
Кроме того эта хорда перпендикулярна диаметру GH, поэтому она делится им пополам (точку пересечения хорды и диаметра обозначим M). Заметим еще, что B2KC2 — равнобедренный треугольник (углы при его основании опираются на равные дуги), причем B2C2 параллельно HG. Поэтому KO и GH перпендикулярны. Наконец, заметим, что OA2GC1 — ромб. Рассмотрим теперь прямоугольную трапецию KOMD. В ней боковая сторона OM равна 0,5, а острый угол равен 60°. Тогда вторая боковая сторона (KD) равна 
Точка O — центр грани ABCD куба ABCDA1B1C1D1. На рёбрах AD и C1D1 отмечены соответственно точки M и N так, что DM = D1N = AO.
а) Докажите, что прямая MN образует с плоскостью DCC1 угол 30°.
б) Найдите угол между плоскостями MNO и DCC1.
и тогда 
Пусть 
Из подобия треугольников MDL и KCL имеем
Следовательно, D1NLC — параллелограмм, то есть отрезок LN параллелен отрезку CD1. Поэтому прямая DC1 перпендикулярна прямой LN и линейным углом между плоскостями MNO и DCC1 будет угол MED, где E — точка пересечения прямых DC1 и NL. Тогда
Точка O — центр грани ABB1A1 куба ABCDA1B1C1D1. На рёбрах AA1 и C1D1 отмечены соответственно точки M и N так, что A1M = D1N = AO.
а) Докажите, что прямая MN образует с плоскостью A1B1C1 угол 30°.
б) Найдите угол между плоскостями MNO и A1B1C1.
Пусть 
Из подобия треугольников MA1L и KB1L имеем
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 2 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 4, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 3, AD = 2, AA1 = 5.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
Из теоремы косинусов для треугольника B1KL находим 
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 2 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 4, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 4, AD = 4, AA1 = 10.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
Из теоремы косинусов для треугольника B1KL находим 
На ребре 
прямоугольного параллелепипеда 
взята точка E так, что 
на ребре 
— точка F так, что 
а точка T — середина ребра 
Известно, что 
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину 
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью 
и 
по параллельным отрезкам. Имеем 
и 
Значит, треугольники 
и 
подобны, причём прямые 
и 
параллельны, прямые 
и 
тоже параллельны. Поэтому прямые 
и FT также параллельны. Если плоскость EFT не проходит через точку D1, то получается, что в плоскости AA1D1D через точку E проходят две различные прямые, параллельные прямой FT. Получили противоречие
перпендикулярна плоскости 
опустим перпендикуляр 
из точки 
на прямую EF пересечения этих плоскостей. Угол 
будет искомым. Найдём 
Для этого проведём в трапеции 
высоту 
(L — середина 
). Вычисляя двумя способами площадь треугольника 
найдём 
то есть 
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 2 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 4, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 6, AD = 4, AA1 = 10.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA1B1.
и 
Значит, треугольники 
(L — середина 
На боковых ребрах SA и SB правильного тетраэдра SABC взяты точки E и F так, что 
а) Докажите, что косинус угла между плоскостями CEF и ABC равен 
б) Найдите площадь проекции треугольника CEF на плоскость основания АВС, если ребро тетраэдра равно 9.
а высота пирамиды
Точки E и F расположены соответственно на стороне ВС и высоте ВР остроугольного треугольника АВС так, что AP = 3, 
BE : EC = 10 : 1, а треугольник AEF является равносторонним.
а) Докажите, что ортогональная проекция точки Е на АС делит отрезок АС в отношении 1 : 16, считая от вершины С.
б) Найдите площадь треугольника AEF.
поэтому 
значит, 
то есть 
Окончательно получаем уравнение 
поэтому 
Для получения ответа заметим, что площадь равностороннего треугольника со стороной z равна 
Пусть 
тогда
Из прямоугольного треугольника AFP получим 
ABCA1B1C1 — правильная призма, сторона AB равна 16. Через точки M и P, лежащие на рёбрах AC и BB1 соответственно, проведена плоскость α, параллельная прямой AB. Сечение призмы этой плоскостью — четырёхугольник, одна сторона которого равна 16, а три другие равны между собой.
а) Докажите что периметр сечения призмы плоскостью α больше 40.
б) Найдите расстояние от точки A до плоскости α, если упомянутый периметр равен 46.
В прямоугольном треугольнике QAM катет 
короче гипотенузы QM = x, поэтому 
то есть 
то есть 
Тогда 
и 
Поскольку 
ABCA1B1C1 — правильная призма, сторона AB равна 25. Через точки M и P, лежащие на рёбрах AC и BB1 соответственно, проведена плоскость α, параллельная прямой AB. Сечение призмы этой плоскостью — четырёхугольник, одна сторона которого равна 25, а три другие равны между собой.
а) Докажите что периметр сечения призмы плоскостью α больше 62,5.
б) Найдите расстояние от точки A до плоскости α, если упомянутый периметр равен 64.
В прямоугольном треугольнике QAM катет 
короче гипотенузы QM = x, поэтому 
то есть 
. Тогда можем оценить периметр сечения: 
то есть 
Тогда 
и 
Поскольку плоскость α параллельна прямой AB, расстояние от любой точки прямой AB до α одно и то же, так что найдём расстояние от D до α, где D — середина AB. Пусть точка D1 — середина A1B1, тогда плоскость CDD1 перпендикулярна α.
В трапеции KLMN основания LM и KN равны 2 и 8 соответственно. Из точки Е, лежащей на стороне MN, опущен перпендикуляр EF на сторону KL. Известно, что F — середина стороны KL, FM = 3 и что площадь четырехугольника KFEN в четыре раза больше площади четырехугольника LFEM.
а) Докажите, что прямые FN и LE параллельны.
б) Найдите длину отрезка FN.
Тогда высоты трапеций FLMP и KFPN равны, поэтому их площади относятся как 
Поэтому площадь треугольника FEP составляет 
высоты трапеции KLMN или 
высоты трапеции FLMP. Значит, по теореме о пропорциональных отрезках, 
то есть 
Теперь заметим, что треугольники LME и FPN подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Отсюда углы MEL и PNF равны, поэтому прямые LE и FN параллельны. Что и требовалось доказать.
Заметим, что 
Затем, треугольник LEK равнобедренный (высота в нем совпадает с медианой). Поэтому 
Маша задумала 6 различных натуральных чисел и проделывает с ними такую операцию: сначала находит среднее арифметическое первых двух чисел, затем — среднее арифметическое полученного результата и третьего числа, после — среднее арифметическое полученного результата и четвертого числа, затем — среднее арифметическое полученного числа и пятого числа, и наконец — среднее арифметическое полученного результата и шестого числа. Полученный результат она обозначает через М. Далее Маша находит число А — среднее арифметическое исходных чисел.
а) Возможно ли, что А = М?
б) Возможно ли, что М = 6А?
в) Найдите наибольшее натуральное значение n, для которого возможно, что М = nА.
