Чтобы наибольшее значение данной функции было не меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы она в какой-то точке приняла значение 1. В самом деле, Если наибольшее значение ее не меньше единицы, то по непрерывности в какой-то точке будет значение единица. Если же наибольшее значение меньше единицы, то значение единица приниматься не может. Итак, задача свелась к такой — при каких a есть корни у уравнения Поскольку это уравнение равносильно совокупности

Эта совокупность имеет решения если или если то есть при или

Ответ:

Приведём другое решение.

Заданная функция непрерывна и на бесконечностях стремится к минус бесконечности. Поэтому при любом значении параметра она достигает своего наибольшего значения. Тогда для того, чтобы наибольшее значение функции было не меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы неравенство имело решение. Запишем его в виде

и построим графики левой и правой частей неравенства.

График правой части неравенства — парабола, полученная из параболы, задаваемой уравнением сдвигом на 1 вверх вдоль оси ординат. График правой части неравенства получается сдвигом графика функции сдвигом на |a| единиц вдоль оси абсцисс вправо или влево в зависимости от знака a.

Пусть при правая ветвь графика модуля касается параболы, а при — левая (см. рис.). Тогда при парабола целиком лежит выше графика модуля и неравенство не имеет решений. При прочих значениях параметра неравенство имеет решения, поэтому осталось установить значения, соответствующие касанию.

При в силу равенства получаем уравнение или Случаю касания соответствует единственное решение этого уравнения, поэтому его дискриминант должен быть равен нулю: откуда Аналогично для получаем уравнение откуда находим или Тем самым,

При то есть на отрезке функция имеет вид

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз. Вне отрезка функция имеет вид

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии Возможное расположение этих парабол показано на рисунках.

Если принадлежит отрезку то наименьшее значение функция может принимать только в точках и Если — то в точке

Наименьшее значение функции больше тогда и только тогда, когда либо

либо

Решим первую систему:

Решим вторую систему:

Ответ:

Приведём другое решение.

При то есть на отрезке функция имеет вид

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз. Вне отрезка функция имеет вид

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии

Следовательно, наименьшее значение функция может принять только в точках или Поэтому наименьшее значение функции больше −24 тогда и только тогда, когда: и Имеем:

Приведём ещё одно решение.

Заданная функция непрерывна и на бесконечностях стремится к плюс бесконечности. Следовательно, она достигает своего наименьшего значения. А потому, наименьшее значение больше −24 тогда и только тогда, когда все значения функции больше −24. Поэтому необходимо и достаточно найти такие значения параметра, при которых неравенство

верно для всех х.

Запишем неравенство в виде и положим Определим значения k, при которых график левой части уравнения лежит выше графика правой части. График правой части — прямая с угловым коэффициентом k, проходящая через точку (0; −24). График левой части — парабола с отраженной частью, лежащей ниже оси абсцисс (см. рис.).

Найдем точки касания прямой и параболы Для этого приравняем к нулю дискриминант квадратного уравнения

Все найденные значения k подходят.

Возвращаясь к параметру a, получаем:

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты Значит, минимум функции на всей числовой оси достигается при

На множестве эта функция достигает наименьшего значения либо в точке если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек

Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

откуда получаем систему неравенств

решение которой

При имеем: значит, наименьшее значение функции достигается в точке и что удовлетворяет условию задачи.

При имеем: значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек в которых значение функции не меньше 6.

При имеем: значит, наименьшее значение функции достигается в точке и что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

1. Функция имеет вид

а) при поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии

б) при поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии

2. Все возможные виды графиков функции показаны на рисунках:

Графики обеих квадратичных функции проходят через точку

3. Функция имеет более двух точек экстремума, а именно три, в единственном случае (рис. 1):

Ответ: ;

Пусть тогда при этом, если — целое, то — также целое число.

Неравенство имеет вид Построим график функции при находим, что эта функция монотонно возрастает. Следовательно, если является решением неравенства при некотором то все также являются решениями.

Значит, если есть решение то целые числа −4 и −3 также будут решениями, и тогда будет, по крайней мере, три решения данного неравенства: Следовательно, и, стало быть, Значит, должно выполняться двойное неравенство: откуда

Решение первого неравенства: Второе неравенство выполняется при всех

Ответ: