Чтобы наибольшее значение данной функции было не меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы она в какой-то точке приняла значение 1. В самом деле, Если наибольшее значение ее не меньше единицы, то по непрерывности в какой-то точке будет значение единица. Если же наибольшее значение меньше единицы, то значение единица приниматься не может. Итак, задача свелась к такой — при каких a есть корни у уравнения Поскольку это уравнение равносильно совокупности

Эта совокупность имеет решения если или если то есть при или

Ответ:

Приведём другое решение.

Заданная функция непрерывна и на бесконечностях стремится к минус бесконечности. Поэтому при любом значении параметра она достигает своего наибольшего значения. Тогда для того, чтобы наибольшее значение функции было не меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы неравенство имело решение. Запишем его в виде

и построим графики левой и правой частей неравенства.

График правой части неравенства — парабола, полученная из параболы, задаваемой уравнением сдвигом на 1 вверх вдоль оси ординат. График правой части неравенства получается сдвигом графика функции сдвигом на |a| единиц вдоль оси абсцисс вправо или влево в зависимости от знака a.

Пусть при правая ветвь графика модуля касается параболы, а при — левая (см. рис.). Тогда при парабола целиком лежит выше графика модуля и неравенство не имеет решений. При прочих значениях параметра неравенство имеет решения, поэтому осталось установить значения, соответствующие касанию.

При в силу равенства получаем уравнение или Случаю касания соответствует единственное решение этого уравнения, поэтому его дискриминант должен быть равен нулю: откуда Аналогично для получаем уравнение откуда находим или Тем самым,

Приведём решение Валентина Евстафьева (Санкт-Петербург).

По определению модуля,

Функция f определена и непрерывна на всей вещественной оси, ее график состоит из частей двух парабол, ветви которых направлены вниз. Абсциссы вершин равны и кроме того,

Заметим, что если , то тогда по (1) находим:

а если , то тогда по (2) находим:

То есть при любом значении а значение в одной из вершин равно

Геометрически очевидно, что наибольшее значение функция f принимает в одной из вершин этих парабол. Значит, условие задачи выполняется, если что и даёт ответ.

1. При функция имеет вид:

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.

При функция имеет вид:

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии

2. Если принадлежит отрезку то наименьшее значение функция может принимать только в точках и Если — то в точке

3. Наименьшее значение функции больше тогда и только тогда, когда либо

либо

Решим первую систему:

Решим вторую систему:

Ответ:

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты Значит, минимум функции на всей числовой оси достигается при

На множестве эта функция достигает наименьшего значения либо в точке , если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек

Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

откуда получаем систему неравенств

решение которой

При имеем: , значит, наименьшее значение функции достигается в точке и , что удовлетворяет условию задачи.

При имеем: , значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек , в которых значение функции не меньше 6.

При имеем: , значит, наименьшее значение функции достигается в точке и , что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

1. При функция имеет вид:

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.

При функция имеет вид:

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии

2. Если принадлежит отрезку то наименьшее значение функция может принимать только в точках и Если — то еще и в точке

3. Наименьшее значение функции больше тогда и только тогда, когда либо

Решим первую систему:

Решим вторую систему:

Ответ:

1. Функция имеет вид

а) при поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии

б) при поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии

2. Все возможные виды графиков функции показаны на рисунках:

Графики обеих квадратичных функции проходят через точку

3. Функция имеет более двух точек экстремума, а именно три, в единственном случае (рис. 1):

Ответ: ;