Чтобы наибольшее значение данной функции было не меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы она в какой-то точке приняла значение 1. В самом деле, Если наибольшее значение ее не меньше единицы, то по непрерывности в какой-то точке будет значение единица. Если же наибольшее значение меньше единицы, то значение единица приниматься не может. Итак, задача свелась к такой — при каких a есть корни у уравнения Поскольку это уравнение равносильно совокупности

Эта совокупность имеет решения если или если то есть при или

Ответ:

1. При функция имеет вид:

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.

При функция имеет вид:

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии

2. Если принадлежит отрезку то наименьшее значение функция может принимать только в точках и Если — то в точке

3. Наименьшее значение функции больше тогда и только тогда, когда либо

либо

Решим первую систему:

Решим вторую систему:

Ответ:

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты Значит, минимум функции на всей числовой оси достигается при

На множестве эта функция достигает наименьшего значения либо в точке , если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек

Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

откуда получаем систему неравенств

решение которой

При имеем: , значит, наименьшее значение функции достигается в точке и , что удовлетворяет условию задачи.

При имеем: , значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек , в которых значение функции не меньше 6.

При имеем: , значит, наименьшее значение функции достигается в точке и , что не удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты Значит, минимум функции на всей числовой оси достигается при

На множестве эта функция достигает наименьшего значения либо в точке если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек

Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

откуда получаем систему неравенств

решениями которой являются

При имеем: значит, наименьшее значение функции достигается в точке и что не удовлетворяет условию задачи.

При имеем: значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек в которых значение функции не меньше 6.

При имеем: значит, наименьшее значение функции достигается в точке и что удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

1. Функция имеет вид

а) при поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии

б) при поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии

2. Все возможные виды графиков функции показаны на рисунках:

Графики обеих квадратичных функции проходят через точку

3. Функция имеет более двух точек экстремума, а именно три, в единственном случае (рис. 1):

Ответ: ;

Раскроем модуль:

График функции при представляет собой параболу с ветвями верх и вершиной с абсциссой При график представляет собой параболу с ветвями верх и вершиной с абсциссой Рассмотрим все возможные конфигурации при различных значениях

Из рисунка видно, что график имеет более двух точек экстремума при

Ответ:

Раскроем модуль:

График функции при представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, абсцисса вершины При график представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, абсцисса вершины Рассмотрим все возможные конфигурации при различных значениях параметра (см. рис.).

Ясно, функция достигает максимума в точке причём тогда и только тогда, когда Тем самым, или

Ответ:

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Уравнение при любом имеет решение Значит, при любом одно из значений функции равно 1.

Поскольку функция непрерывна, множество её значений образует промежуток, включающий число 1. Других целых значений функции нет, если для всех

Чтобы неравенства выполнялись для всех дискриминанты обоих трёхчленов должны быть отрицательны:

Таким образом, подходящие значения параметра

Ответ: (1; 11).

Запишем функцию в виде

Отрезок содержится в множестве значений данной функции тогда и только тогда, когда уравнения и имеют решения.

Решим первое уравнение. Уравнение имеет решение при любом

Решим второе уравнение. Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

откуда

Рассмотрим вспомогательную функцию

График функции пересекает ось абсцисс в двух или менее точках, если уравнение имеет менее трех различных корней.

Если или то и

Если то и

График функции состоит из двух лучей и дуги параболы. На рисунке видно, что уравнение имеет менее трех корней, только если или то есть при или

Ответ:

Рассмотрим вспомогательную функцию График функции пересекает ось абсцисс в трёх или более точках, если уравнение имеет более двух различных корней.

Если или то и

Если то и

График функции состоит из двух лучей и дуги параболы. На рисунке видно, что уравнение имеет более двух корней только если Соответствующие значения функции равны:

Ответ:

Решение 1. Положим где так как

Тогда, исходное уравнение принимает вид Найдем множество значений функции на отрезке [0; 2]. Так как на промежутке [0; 2), то функция убывает на отрезке [0; 2], и, следовательно, множество ее значений на отрезке [0; 2] ― отрезок т. е. отрезок Таким образом, уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда выполняются условия

Решение 2. Положим где так как и рассмотрим функцию Так как ее производная на промежутке [0; 2), то функция убывает на отрезке [0; 2], и, значит, имеет на нем не более одного корня. Этот корень есть тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два условия и Таким образом, приходим к системе

Решение 3 (Указание). Построить эскиз графика функции на отрезке [0; 2] (см. решение 1) и исследовать взаимное расположение графика этой функции и прямой

Ответ:

Данная функция определена и непрерывна на множестве действительных чисел и точки разбивают действительную ось на промежутки, в каждом из которых графиком данной функции является часть некоторой параболы. Заметим, что при значения данной функции неограниченно возрастают. Следовательно, свое наименьшее значение данная функция принимает в одной из точек (или в нескольких этих точках) где — абсциссы вершин тех парабол, ветви которых направлены вверх.

Эти параболы и или и Абсциссы их вершин соответственно

Таким образом, наименьшее значение функции меньше 2 тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из неравенств:

Так как получаем совокупность неравенств:

Учитывая, что получаем

Аналогично

Таким образом, окончательно получаем

Ответ:

Данная функция определена и непрерывна на множестве действительных чисел и точки разбивают действительную ось на промежутки, в каждом из которых графиком данной функции является часть некоторой параболы. Заметим, что при значения данной функции неограниченно возрастают. Следовательно, свое наименьшее значение данная функция принимает в одной из точек (или в нескольких этих точках) где — абсциссы вершин тех парабол, ветви которых направлены вверх.

Эти параболы и или и Абсциссы их вершин соответственно

Таким образом, наименьшее значение функции не больше 3 тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из неравенств:

Так как получаем совокупность неравенств:

Учитывая, что получаем

Аналогично

Таким образом, окончательно получаем

Ответ:

Задачу переформулируем так: «Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет два различных корня».

1. Пусть тогда и уравнение примет вид:

а) в таком случае

Найдем значения а, удовлетворяющие условию

б) Тогда

Найдем значения а, удовлетворяющие условию

2. Пусть тогда и уравнение примет вид:

а) тогда

Найдем значения а, удовлетворяющие условию

б) тогда

Найдем значения а, удовлетворяющие неравенству

На каждом этапе решения мы получали ровно по одному корню. Количество решений уравнения в зависимости от значений а увидим из следующей таблицы:

2,а)			один корень	один корень	один корень
2,б)					один корень	один корень
1,а)				один корень	один корень	один корень	один корень
1,б)	один корень	один корень	один корень	один корень	один корень	один корень	один корень	один корень			один корень
Всего корней:	один корень	один корень	два корня	три корня	четыре корня	три корня	два корня	один корень			один корень

Ответ:

Заданная функция определена и непрерывна в каждой точке интервала (−2; 3).

На интервале (−2; 0) имеем: тогда

поэтому функция на (−2; 0) монотонно возрастает, и, следовательно, экстремумов не имеет.

Рассмотрим теперь промежуток [0; 3). На нем тогда Найдем нули производной:

Рассматриваемая функция в точке 0 экстремум может иметь, может и не иметь (см. ниже).

Случай 1. Если в точке 0 экстремума нет, то обе точки экстремума обязаны принадлежать интервалу (0; 3), то должна быть совместна система:

Случай 2. Если 0 — точка экстремума, то функция должна иметь на интервале (0; 3) ровно одну точку экстремума. Тогда либо

Осталось выяснить, при каких значениях параметра точка 0 является точкой экстремума, а при каких нет.

Заданная функция непрерывна, и она возрастает на (−2; 0). Для любого a из (−1; 1] найдется интервал (0; m), на котором убывает. В этом случае точка 0 является точкой максимума. Для любого a не лежащего на (−1; 1] найдется интервал (0; m) на котором возрастает. В этом случает точка 0 не является точкой экстремума. Тем самым, во втором случае искомыми являются только такие значения a, что

Объединяя случаи 1 и 2, получаем:

Дополнительно отметим, что при a из [2; 4) функция имеет один экстремум на (−2; 3) и не имеет экстремумов при прочих значениях параметра.

Ответ: (−1; 2).

1. Поскольку знаменатель функции не имеет корней, то функция непрерывна. Это означает, что

множество значений функции будет содержать промежуток тогда и только тогда, когда уравнения и будут иметь решения. Рассмотрим эти уравнения.

Полученное уравнение имеет решения при выполнении одного условия: четверть его дискриминанта обязана быть неотрицательной.

Аналогично:

Итак, ответ на первую часть: промежуток содержится во множестве значений функции при единственном значении параметра, равном 9.

2. Для ответа на второй вопрос задачи найдем наибольшее и наименьшее значения функции Для этого рассмотрим данное равенство как уравнение с переменной х и параметром — обозначив последнее за f.

Будем иметь:

Для того чтобы это уравнение имело решения, необходимо и достаточно выполнение условия: его дискриминант обязан быть неотрицательным:

Ответ: при множество значений будет

Пусть точки x₁ и x₂ — абсциссы точек N и M соответственно (см. рис.)

Очевидно, что выполняются равенства:

Из последнего равенства:

Так как график функции f(x) имеет ровно две общие точки с осью абсцисс, то либо x₁, либо x₂ будет корнем кратности 2. Корень x₂ таковым быть не может, ибо в противном случает касательная к графику функции f(x) в точке M была бы параллельной оси Ох или совпасть с ней, что исключает прохождение этой касательной через точку А. Следовательно, корнем кратности 2 является корень x₁.

Значит, Но тогда:

Теперь составим уравнение касательной к графику функции в точке (x₂; 0). Это уравнение имеет вид: или где

Итак, уравнение касательной:

По условию задачи известно, что та же касательная проходит через точку A(0; c). Значит, координаты точки А удовлетворяют полученному уравнению. Тогда имеем:

Но в соответствии с равенством (*) получим:

Так как x₂ ≠ 0, то a = −2x₂.

Это — с одной стороны. С другой стороны, как было показано выше: a = −2x₁ − x₂, следовательно,

Теперь используем ранее полученные равенства: и

Так как S(AMN) = 1, то:

Из последнего равенства ясно, что x₁ > 0. Коли это так, то: Но тогда:

Ответ: a = −4, b = 5, c = −2.

Возьмем производную этой функции (она должна быть всюду положительна).

Обозначим

Если то неравенство не выполняется, например, при

Если то при всех t из отрезка и поэтому нужно, чтобы

Если то при всех t из отрезка и поэтому нужно, чтобы

Ответ: или

Потребовать, чтобы наименьшее значение функции было не меньше чем −5 это все равно что потребовать, чтобы все ее значения были не меньше чем −5. То есть неравенство должно выполняться на всем промежутке То есть

Теперь заметим, что и наоборот — достаточно чтобы эти неравенства выполнялись в нескольких точках, если только одна из них (можно не выяснять какая) будет точкой с наименьшим значением. Поскольку квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом на любом отрезке принимает наименьшее значение либо в абсциссе вершины параболы — его графика (если эта точка лежит на отрезке) либо в одном из концов отрезка (если не лежит), то нужно проверить следующие неравенства

при то есть при (нас не интересует, поскольку уже установлено что

при то есть при (то есть это обязательно надо проверить, при указанная точка точно лежит на интересующем нас отрезке).

Итак, совмещая все ограничения, получаем

Ответ:

Преобразуем функцию

Очевидно, при имеем Тогда для убывания функции необходимо, чтобы при и при но это невозможно для убывающей функции.

Ответ: ни при каких.

Примечание. В оригинале вопрос про функцию В этом случае даже целую часть не надо выделять — на минус бесконечности график функции приближается к оси абсцисс сверху, а на плюс бесконечности — снизу. Убывающая функция так себя вести не может.

Наименьшее значение эта функция принимает либо в нулях производной, либо в одном из концов отрезка. Найдем производную:

поэтому нули производной равны

Если то производная имеет вид корни производной суть числа 0 и −1. Отрезок становится отрезком [0; 1], на нем функция f возрастает. Наименьшее значение достигается на левой границе отрезка. (*)

Если то а не лежит на отрезке В этом случае имеем следующее расположение знаков производной:

Интервал	(		()
знак	+	−	+

Наименьшего значения функция достигает либо на левой границе отрезка, либо в точке (**)

Если то производная имеет вид Отрезок становится отрезком на нем функция лежит единственный корень производной — число 0. Это точка максимума, поэтому наименьшее значение достигается или на левой границе отрезка, или на правой границе. Эти значения равны, будем считать, что наименьшее значение достигается на левой границе (***).

Объединяя случаи (*), (**) и (***) получаем, что если то ее наименьшее значение равно наименьшему из значений и Имеем:

Рассмотрим разность найденных значений на отрезке

Если то а не лежит на указанном отрезке. Рассуждая аналогично, находим, что если то функция убывает на и на Проведя аналогичные вычисления, можно получить, что ее наименьшее значение равно

Осталось исследовать наименьшие значения (1) и (2) на соответствующих отрезках и найти наименьшее из них. Однако поскольку при замене функции переходят друг в друга, достаточно будет исследовать одну из них. Иными словами, поскольку для всех α из отрезка верно равенство достаточно найти наименьшее значение функции на промежутке

Исследуем производную функции на интервале

Решениями уравнения являются числа и На интервале значения тангенса положительны и меньше 1, поэтому в него входит только корень

На интервале производная отрицательна, на интервале положительна. Следовательно, функция убывает на отрезке и возрастает на отрезке Поэтому наименьшее значение на отрезке достигается в точке Такое же наименьшее значение принимает и в точке принадлежащей отрезку

Итак, наименьшее значение достигается в точках и

Примечение РЕШУ ЕГЭ.

Это задание из вступительного экзамена в Московский государственный университет несколько сложнее других.

Наименьшее значение эта функция принимает либо в нулях производной, либо в одном из концов отрезка. Найдем производную:

поэтому нули производной равны

Если то производная имеет вид корни производной суть числа 0 и −1. Отрезок становится отрезком [0; 1], на нем функция f возрастает. Наименьшее значение достигается на левой границе отрезка. (*)

Если то а не лежит на отрезке В этом случае имеем следующее расположение знаков производной:

Интервал	(		()
знак	+	−	+

Наименьшего значения функция достигает либо на левой границе отрезка, либо в точке (**)

Если то производная имеет вид Отрезок становится отрезком на нем функция лежит единственный корень производной — число 0. Это точка максимума, поэтому наименьшее значение достигается или на левой границе отрезка, или на правой границе. Эти значения равны, будем считать, что наименьшее значение достигается на левой границе (***).

Объединяя случаи (*), (**) и (***) получаем, что если то ее наименьшее значение равно наименьшему из значений и . Имеем:

Рассмотрим разность найденных значений на отрезке

Если то а не лежит на указанном отрезке. Рассуждая аналогично, находим, что если то функция убывает на и на Проведя аналогичные вычисления, можно получить, что ее наименьшее значение равно

Осталось исследовать наименьшие значения (1) и (2) на соответствующих отрезках и найти наименьшее из них. Однако поскольку при замене функции переходят друг в друга, достаточно будет исследовать одну из них. Иными словами, поскольку для всех α из отрезка верно равенство достаточно найти наименьшее значение функции на промежутке

Исследуем производную функции на интервале

Решениями уравнения являются числа и На интервале значения тангенса положительны и меньше 1, поэтому в него входит только корень

На интервале производная отрицательна, на интервале положительна. Следовательно, функция убывает на отрезке и возрастает на отрезке Поэтому наименьшее значение на отрезке достигается в точке Такое же наименьшее значение принимает и в точке принадлежащей отрезку

Итак, наименьшее значение достигается в точках и

Примечение РЕШУ ЕГЭ.

Это задание из вступительного экзамена в Московский государственный университет несколько сложнее других.