1. При функция имеет вид:

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.

При функция имеет вид:

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии

2. Если принадлежит отрезку то наименьшее значение функция может принимать только в точках и Если — то в точке

3. Наименьшее значение функции больше тогда и только тогда, когда либо

либо

Решим первую систему:

Решим вторую систему:

Ответ:

1. При функция имеет вид:

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.

При функция имеет вид:

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии

2. Если принадлежит отрезку то наименьшее значение функция может принимать только в точках и Если — то еще и в точке

3. Наименьшее значение функции больше тогда и только тогда, когда либо

Решим первую систему:

Решим вторую систему:

Ответ:

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Уравнение при любом имеет решение Значит, при любом одно из значений функции равно 1.

Поскольку функция непрерывна, множество её значений образует промежуток, включающий число 1. Других целых значений функции нет, если для всех

Чтобы неравенства выполнялись для всех дискриминанты обоих трёхчленов должны быть отрицательны:

Таким образом, подходящие значения параметра

Ответ: (1; 11).

Запишем знаменатель дроби в виде и заметим, что для любого значения параметра а знаменатель положителен при всех значениях переменной x. Следовательно, заданная функция непрерывна, а тогда отрезок [0; 1] лежит во множестве ее значений тогда и только тогда, когда уравнения и имеют решения.

Уравнение записывается в виде оно имеет решение при любом

Уравнение приведем к виду Оно имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

Учитывая условие окончательно имеем: или

Ответ:

1. Поскольку знаменатель функции не имеет корней, то функция непрерывна. Это означает, что

множество значений функции будет содержать промежуток тогда и только тогда, когда уравнения и будут иметь решения. Рассмотрим эти уравнения.

Полученное уравнение имеет решения при выполнении одного условия: четверть его дискриминанта обязана быть неотрицательной.

Аналогично:

Итак, ответ на первую часть: промежуток содержится во множестве значений функции при единственном значении параметра, равном 9.

2. Для ответа на второй вопрос задачи найдем наибольшее и наименьшее значения функции Для этого рассмотрим данное равенство как уравнение с переменной х и параметром — обозначив последнее за f.

Будем иметь:

Для того чтобы это уравнение имело решения, необходимо и достаточно выполнение условия: его дискриминант обязан быть неотрицательным:

Ответ: при множество значений будет

Пусть точки x₁ и x₂ — абсциссы точек N и M соответственно (см. рис.)

Очевидно, что выполняются равенства:

Из последнего равенства:

Так как график функции f(x) имеет ровно две общие точки с осью абсцисс, то либо x₁, либо x₂ будет корнем кратности 2. Корень x₂ таковым быть не может, ибо в противном случает касательная к графику функции f(x) в точке M была бы параллельной оси Ох или совпасть с ней, что исключает прохождение этой касательной через точку А. Следовательно, корнем кратности 2 является корень x₁.

Значит, Но тогда:

Теперь составим уравнение касательной к графику функции в точке (x₂; 0). Это уравнение имеет вид: или где

Итак, уравнение касательной:

По условию задачи известно, что та же касательная проходит через точку A(0; c). Значит, координаты точки А удовлетворяют полученному уравнению. Тогда имеем:

Но в соответствии с равенством (*) получим:

Так как x₂ ≠ 0, то a = −2x₂.

Это — с одной стороны. С другой стороны, как было показано выше: a = −2x₁ − x₂, следовательно,

Теперь используем ранее полученные равенства: и

Так как S(AMN) = 1, то:

Из последнего равенства ясно, что x₁ > 0. Коли это так, то: Но тогда:

Ответ: a = −4, b = 5, c = −2.

Возьмем производную этой функции (она должна быть всюду положительна).

Обозначим

Если то неравенство не выполняется, например, при

Если то при всех t из отрезка и поэтому нужно, чтобы

Если то при всех t из отрезка и поэтому нужно, чтобы

Ответ: или

Потребовать, чтобы наименьшее значение функции было не меньше чем −5 это все равно что потребовать, чтобы все ее значения были не меньше чем −5. То есть неравенство должно выполняться на всем промежутке То есть

Теперь заметим, что и наоборот — достаточно чтобы эти неравенства выполнялись в нескольких точках, если только одна из них (можно не выяснять какая) будет точкой с наименьшим значением. Поскольку квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом на любом отрезке принимает наименьшее значение либо в абсциссе вершины параболы — его графика (если эта точка лежит на отрезке) либо в одном из концов отрезка (если не лежит), то нужно проверить следующие неравенства

при то есть при (нас не интересует, поскольку уже установлено что

при то есть при (то есть это обязательно надо проверить, при указанная точка точно лежит на интересующем нас отрезке).

Итак, совмещая все ограничения, получаем

Ответ:

Заметим, что при стремлении переменной к плюс и минус бесконечности график функции приближается к оси абсцисс (сверху или снизу — в зависимости от параметра). Убывающая функция так себя вести не может.

Ответ: ни при каких.

Приведём решение Дмитрия Гущина.

Заметим, что для всех отличных от нуля значений переменной Это означает, что, например, множество значений функции на отрезках и совпадают. Но это невозможно для убывающей функции.

Примечание Владислава Франка.

Отметим, что применённый в первом решении подход носит достаточно общий характер. Применим его в чуть более сложном случае для анализа функции . Выделим целую часть:

Далее заметим, что при имеем то есть график функции имеет горизонтальную асимптоту y = – 12. Но в то же время что невозможно для убывающей функции.

Наименьшее значение эта функция принимает либо в нулях производной, либо в одном из концов отрезка. Найдем производную:

поэтому нули производной равны

Если то производная имеет вид корни производной суть числа 0 и −1. Отрезок становится отрезком [0; 1], на нем функция f возрастает. Наименьшее значение достигается на левой границе отрезка. (*)

Если то а не лежит на отрезке В этом случае имеем следующее расположение знаков производной:

Интервал	(		()
знак	+	−	+

Наименьшего значения функция достигает либо на левой границе отрезка, либо в точке (**)

Если то производная имеет вид Отрезок становится отрезком на нем функция лежит единственный корень производной — число 0. Это точка максимума, поэтому наименьшее значение достигается или на левой границе отрезка, или на правой границе. Эти значения равны, будем считать, что наименьшее значение достигается на левой границе (***).

Объединяя случаи (*), (**) и (***) получаем, что если то ее наименьшее значение равно наименьшему из значений и Имеем:

Рассмотрим разность найденных значений на отрезке

Если то а не лежит на указанном отрезке. Рассуждая аналогично, находим, что если то функция убывает на и на Проведя аналогичные вычисления, можно получить, что ее наименьшее значение равно

Осталось исследовать наименьшие значения (1) и (2) на соответствующих отрезках и найти наименьшее из них. Однако поскольку при замене функции переходят друг в друга, достаточно будет исследовать одну из них. Иными словами, поскольку для всех α из отрезка верно равенство достаточно найти наименьшее значение функции на промежутке

Исследуем производную функции на интервале

Решениями уравнения являются числа и На интервале значения тангенса положительны и меньше 1, поэтому в него входит только корень

На интервале производная отрицательна, на интервале положительна. Следовательно, функция убывает на отрезке и возрастает на отрезке Поэтому наименьшее значение на отрезке достигается в точке Такое же наименьшее значение принимает и в точке принадлежащей отрезку

Итак, наименьшее значение достигается в точках и

Примечение РЕШУ ЕГЭ.

Это задание из вступительного экзамена в Московский государственный университет несколько сложнее других.

Пусть тогда причем Пусть, далее, тогда и Обозначим, наконец, и заметим, что в силу неотрицательности b справедливо неравенство Исходная задача свелась к следующей: необходимо найти все значения параметра с, при каждом из которых множество значений функции при содержит отрезок [2; 3].

Заметим, что разность неотрицательна при а значит, знаменатель дроби не меньше 1. Следовательно, функция непрерывна, а тогда отрезок [2; 3] лежит во множестве ее значений тогда и только тогда, когда уравнения и имеют решения, удовлетворяющие условию

Рассмотрим эти уравнения:

Поскольку справедливы оценки: Тем самым, свободные члены квадратных трехчленов и отрицательны, а значит, их графики пересекают ось ординат в точках с отрицательной абсциссой. Ветви соответствующих парабол направлены вверх, их вершины лежат ниже оси абсцисс на прямых и соответственно. Из этого следует, что указанные параболы будут пересекать отрезок оси абсцисс хотя бы в одной точке тогда и только тогда, когда и одновременно. Имеем:

Тогда откуда

Ответ: a = −1.

Если то функция тождественно равна нулю, и её график имеет с прямой единственную общую точку.

Пусть Решение есть при всех a. Нужно ещё ровно пять решений. Единственный возможный случай показан на рисунке: прямая проходит через точку Составим уравнение:

Теперь пусть Шесть решений есть, только если прямая проходит через точку Составим уравнение:

Получаем: или

Ответ:

Пусть Имеем:

При фиксированных v и a рассмотрим левую часть как функцию от x:

В зависимости от того, как располагается x относительно точек и модули раскроются по-разному. При этом на каждом участке непрерывная функция f(x) будет линейной с угловым коэффицентом Какова бы ни была комбинация знаков, Следовательно, f(x) монотонно возрастает. Поэтому неравенство выполняется при всех если и только если

При малых v, то есть меньших, чем наименьшее из чисел и функция  — возрастающая линейная с угловым коэффицентом При больших v, то есть больших, чем максимум из тех же чисел, g(v) — убывающая линейная функция с угловым коэффицентом (см. рис.). Поэтому функция g(v) принимает наибольшее значение в одной из точек или Неравенство выполняется при всех v тогда и только тогда, когда и Получаем:

Ответ:

Полагая перепишем уравнение в виде:

где а Дальнейшие рассуждения свяжем с соотношением

которое будем рассматривать как уравнение относительно переменной z. Это уравнение может иметь лишние корни, которые, если они существуют, будут выявлены в дальнейшем при рассмотрении системы

Имея это в виду, рассмотрим квадратный трёхчлен

Тогда задачу можно переформулировать следующим образом: при каких значениях параметра b для любого существует корень квадратного трёхчлена принадлежащий отрезку [−1; 1]?

Заметим, что квадратный трёхчлен имеет корни только в случае, когда где  — абсцисса вершины параболы — графика рассматриваемого трёхчлена, с учётом того, что приходим к рассмотрению неравенства

которое при равносильно неравенству

Если теперь рассмотреть функцию то так как для своё максимальное значение она принимает на правом конце рассматриваемого отрезка. А поскольку

то неравенство будет выполняться при всех Следующий шаг в решении задачи состоит в том, чтобы среди найденных значений параметра b, при которых существуют корни уравнения выбрать те значения, при которых хотя бы один из корней принадлежит отрезку [−1;\ 1].

Но так как и то и поэтому хотя бы один корень квадратного трёхчлена будет принадлежать отрезку [−1; 1] при тех значениях параметра b, при которых справедливо неравенство т. е. когда

Функция графиком которой является гипербола, принимает наименьшее своё значение на отрезке [1; 2], равное при и поэтому

Объединяя полученные результаты, приходим к выводу, что

Рассмотрим теперь случай, когда в соотношении

Решая эту систему, находим, что либо либо При равенство переписывается в виде

и значения достигаются при значениях При равенство записывается в виде

и значения достигаются при значениях Но у нас и, таким образом, значение не удовлетворяет требованиям задачи. Итак,

Возвращаясь к параметру a, получаем:

Ответ: