1. При функция имеет вид:

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.

При функция имеет вид:

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии

2. Если принадлежит отрезку то наименьшее значение функция может принимать только в точках и Если — то в точке

3. Наименьшее значение функции больше тогда и только тогда, когда либо

либо

Решим первую систему:

Решим вторую систему:

Ответ:

1. При функция имеет вид:

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.

При функция имеет вид:

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии

2. Если принадлежит отрезку то наименьшее значение функция может принимать только в точках и Если — то еще и в точке

3. Наименьшее значение функции больше тогда и только тогда, когда либо

Решим первую систему:

Решим вторую систему:

Ответ:

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Уравнение при любом имеет решение Значит, при любом одно из значений функции равно 1.

Поскольку функция непрерывна, множество её значений образует промежуток, включающий число 1. Других целых значений функции нет, если для всех

Чтобы неравенства выполнялись для всех дискриминанты обоих трёхчленов должны быть отрицательны:

Таким образом, подходящие значения параметра

Ответ: (1; 11).

Запишем функцию в виде

Отрезок содержится в множестве значений данной функции тогда и только тогда, когда уравнения и имеют решения.

Решим первое уравнение. Уравнение имеет решение при любом

Решим второе уравнение. Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

откуда

Решение 1. Положим где так как

Тогда, исходное уравнение принимает вид Найдем множество значений функции на отрезке [0; 2]. Так как на промежутке [0; 2), то функция убывает на отрезке [0; 2], и, следовательно, множество ее значений на отрезке [0; 2] ― отрезок т. е. отрезок Таким образом, уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда выполняются условия

Решение 2. Положим где так как и рассмотрим функцию Так как ее производная на промежутке [0; 2), то функция убывает на отрезке [0; 2], и, значит, имеет на нем не более одного корня. Этот корень есть тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два условия и Таким образом, приходим к системе

Решение 3 (Указание). Построить эскиз графика функции на отрезке [0; 2] (см. решение 1) и исследовать взаимное расположение графика этой функции и прямой

Ответ:

1. Поскольку знаменатель функции не имеет корней, то функция непрерывна. Это означает, что

множество значений функции будет содержать промежуток тогда и только тогда, когда уравнения и будут иметь решения. Рассмотрим эти уравнения.

Полученное уравнение имеет решения при выполнении одного условия: четверть его дискриминанта обязана быть неотрицательной.

Аналогично:

Итак, ответ на первую часть: промежуток содержится во множестве значений функции при единственном значении параметра, равном 9.

2. Для ответа на второй вопрос задачи найдем наибольшее и наименьшее значения функции Для этого рассмотрим данное равенство как уравнение с переменной х и параметром — обозначив последнее за f.

Будем иметь:

Для того чтобы это уравнение имело решения, необходимо и достаточно выполнение условия: его дискриминант обязан быть неотрицательным:

Ответ: при множество значений будет

Пусть точки x₁ и x₂ — абсциссы точек N и M соответственно (см. рис.)

Очевидно, что выполняются равенства:

Из последнего равенства:

Так как график функции f(x) имеет ровно две общие точки с осью абсцисс, то либо x₁, либо x₂ будет корнем кратности 2. Корень x₂ таковым быть не может, ибо в противном случает касательная к графику функции f(x) в точке M была бы параллельной оси Ох или совпасть с ней, что исключает прохождение этой касательной через точку А. Следовательно, корнем кратности 2 является корень x₁.

Значит, Но тогда:

Теперь составим уравнение касательной к графику функции в точке (x₂; 0). Это уравнение имеет вид: или где

Итак, уравнение касательной:

По условию задачи известно, что та же касательная проходит через точку A(0; c). Значит, координаты точки А удовлетворяют полученному уравнению. Тогда имеем:

Но в соответствии с равенством (*) получим:

Так как x₂ ≠ 0, то a = −2x₂.

Это — с одной стороны. С другой стороны, как было показано выше: a = −2x₁ − x₂, следовательно,

Теперь используем ранее полученные равенства: и

Так как S(AMN) = 1, то:

Из последнего равенства ясно, что x₁ > 0. Коли это так, то: Но тогда:

Ответ: a = −4, b = 5, c = −2.

Возьмем производную этой функции (она должна быть всюду положительна).

Обозначим

Если то неравенство не выполняется, например, при

Если то при всех t из отрезка и поэтому нужно, чтобы

Если то при всех t из отрезка и поэтому нужно, чтобы

Ответ: или

Потребовать, чтобы наименьшее значение функции было не меньше чем −5 это все равно что потребовать, чтобы все ее значения были не меньше чем −5. То есть неравенство должно выполняться на всем промежутке То есть

Теперь заметим, что и наоборот — достаточно чтобы эти неравенства выполнялись в нескольких точках, если только одна из них (можно не выяснять какая) будет точкой с наименьшим значением. Поскольку квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом на любом отрезке принимает наименьшее значение либо в абсциссе вершины параболы — его графика (если эта точка лежит на отрезке) либо в одном из концов отрезка (если не лежит), то нужно проверить следующие неравенства

при то есть при (нас не интересует, поскольку уже установлено что

при то есть при (то есть это обязательно надо проверить, при указанная точка точно лежит на интересующем нас отрезке).

Итак, совмещая все ограничения, получаем

Ответ:

Заметим, что при стремлении переменной к плюс и минус бесконечности график функции приближается к оси абсцисс (сверху или снизу — в зависимости от параметра). Убывающая функция так себя вести не может.

Ответ: ни при каких.

Приведём решение Дмитрия Гущина.

Заметим, что для всех отличных от нуля значений переменной Это означает, что, например, множество значений функции на отрезках и совпадают. Но это невозможно для убывающей функции.

Примечание Владислава Франка.

Отметим, что применённый в первом решении подход носит достаточно общий характер. Применим его в чуть более сложном случае для анализа функции . Выделим целую часть:

Далее заметим, что при имеем то есть график функции имеет горизонтальную асимптоту y = – 12. Но в то же время что невозможно для убывающей функции.

Наименьшее значение эта функция принимает либо в нулях производной, либо в одном из концов отрезка. Найдем производную:

поэтому нули производной равны

Если то производная имеет вид корни производной суть числа 0 и −1. Отрезок становится отрезком [0; 1], на нем функция f возрастает. Наименьшее значение достигается на левой границе отрезка. (*)

Если то а не лежит на отрезке В этом случае имеем следующее расположение знаков производной:

Интервал	(		()
знак	+	−	+

Наименьшего значения функция достигает либо на левой границе отрезка, либо в точке (**)

Если то производная имеет вид Отрезок становится отрезком на нем функция лежит единственный корень производной — число 0. Это точка максимума, поэтому наименьшее значение достигается или на левой границе отрезка, или на правой границе. Эти значения равны, будем считать, что наименьшее значение достигается на левой границе (***).

Объединяя случаи (*), (**) и (***) получаем, что если то ее наименьшее значение равно наименьшему из значений и Имеем:

Рассмотрим разность найденных значений на отрезке

Если то а не лежит на указанном отрезке. Рассуждая аналогично, находим, что если то функция убывает на и на Проведя аналогичные вычисления, можно получить, что ее наименьшее значение равно

Осталось исследовать наименьшие значения (1) и (2) на соответствующих отрезках и найти наименьшее из них. Однако поскольку при замене функции переходят друг в друга, достаточно будет исследовать одну из них. Иными словами, поскольку для всех α из отрезка верно равенство достаточно найти наименьшее значение функции на промежутке

Исследуем производную функции на интервале

Решениями уравнения являются числа и На интервале значения тангенса положительны и меньше 1, поэтому в него входит только корень

На интервале производная отрицательна, на интервале положительна. Следовательно, функция убывает на отрезке и возрастает на отрезке Поэтому наименьшее значение на отрезке достигается в точке Такое же наименьшее значение принимает и в точке принадлежащей отрезку

Итак, наименьшее значение достигается в точках и

Примечение РЕШУ ЕГЭ.

Это задание из вступительного экзамена в Московский государственный университет несколько сложнее других.