Всего: 819 … 681–700 | 701–720 | 721–740 | 741–760 | 761–780 | 781–800 | 801–819
Добавить в вариант
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро 
Точки M и N — середины ребер CD и AB соответственно. Точка N — вершина пирамиды NSCD, NT — ее высота.
а) Докажите, что точка T делит SM пополам.
б) Найдите расстояние между прямыми NT и SC.
откуда 
Точки M и N — середины ребер AB и BC соответственно куба ABCDA1B1C1D1. Прямые CM и DN пересекаются в точке O. Через центры граней ABB1A1 и BCC1B1 и точку O проходит плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро AB куба в отношении 1 : 4, считая от точки A.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABC.
Следовательно, AE : EB = 1 : 4.
Пусть AB = x, тогда 
Имеем:
Магическим квадратом будем называть квадратную таблицу 
заполненную девятью натуральными однозначными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях была одинакова. Магический квадрат называется нормальным, если в его клетках по одному разу стоят все числа от 1 до 9.
а) В левом верхнем углу магического квадрата стоит число 8. Может ли в правом нижнем углу стоять число 3?
б) Сколько существует нормальных магических квадратов?
в) Сколько существует разных магических квадратов?
откуда 
что невозможно при натуральном e.
откуда s = 15, e = 5. Можно перечислить все суммы трех различных чисел, равные 15. Это:
и при любых a, c, e квадрат получается с одинаковыми суммами, но, возможно, не с однозначными числами. Нужно выполнение следующих условий:
столько же, сколько с 
Эти условия сводятся к 
и 
выполнятся автоматически, поскольку, например,
задают на плоскости (a, c) квадрат с центром в точке (e, e). Сделав замену 
получим квадрат, заданный условиями 
Его целые точки образуют две вложенных друг в друга квадратных решетки (см. рис.).
Биссектриса AM острого угла A равнобедренной трапеции ABCD делит боковую сторону CD 
пополам. Отрезок DN перпендикулярен отрезку AM и делит сторону AB в отношении AN : NB = 5 : 1.
а) Докажите, что прямые BM и DN параллельны.
б) Найдите длину отрезка MN, если площадь трапеции ABCD равна 
откуда
Две окружности касаются внутренним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бóльшую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 3,5 и 12.
Значит, прямые AD и BE параллельны, поскольку соответственные углы CAD и CEB при пересечении этих прямых прямой AE равны.
с коэффициентом подобия 
тогда 
В прямоугольном треугольнике ACD имеем 
Две окружности касаются внутренним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает бóльшую окружность в точке E, а прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 2,5 и 6.
с коэффициентом подобия 
Пусть 
тогда 
В прямоугольном треугольнике ACD имеем 
В правильной пирамиде SABC с вершиной S на стороне основания AC и боковом ребре SB отметили соответственно точки E и N такие, что AE : EC = SN : NB = 1 : 2. Через точки E и N параллельно прямой AB провели плоскость α.
а) Докажите, что сечением пирамиды SABC плоскостью α является равнобедренная трапеция.
б) Плоскость α разделила пирамиду SABC на два многогранника. Найдите объем того из них, в котором одной из вершин является точка А, если AB = 6, 
пересекает ребро AS в точке P, тогда отрезок PN параллелен ребру AB — в противном случае плоскость 
и они параллельны, получаем, что EPNQ — равнобокая трапеция.
где h1 — высота пирамиды PAEBQ, проведенная из вершины P. Найдем площадь основания AEQB:
где h3 — высота пирамиды QNBP, проведенная из вершины Q. Найдем площадь основания PBN: 
Теперь можно вычислить объем QNBP:
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 7, BC = 5. Точка G делит ребро A1D1 в отношении 2 : 5, считая от точки A1, точка F — середина ребра DD1.
а) Докажите, что плоскость GFC делит ребро BB1 пополам.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью GFC, если 
тогда 
отрезок 
Прямая CH перпендикулярна прямым AD и DD1, а потому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости высота CH трапеции ABCD является перпендикуляром к плоскости ADD1. Прямая GK перпендикулярна наклонной CK по условию, тогда по теореме о трёх перпендикулярах проекция HK также перпендикулярна прямой GK. Получаем, что:
В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке E, лежащей на стороне CD. Известно, что CD : BC = 3 : 1.
а) Докажите, что точка E равноудалена от прямых AD и AB.
б) Найдите отношение площадей треугольников ADE и BCE.
откуда следует равенство треугольников KPE и KCE и отрезков PE и CE как соответственных элементов. Аналогично равны треугольники DPE и QCE и отрезки DP и CQ. Заметим, что
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 1, а на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 3 : 5. Известно, что 
AD = 12, AA1 = 16.
а) Докажите, что плоскость EFD1 делит ребро B1C1 на два равных отрезка.
б) Найдите угол между плоскостью EFD1 и плоскостью AA1B1.
(из результатов пункта а) следует, что K — середина EA1). Теперь, вычисляя двумя способами площадь треугольника EFA1, получим A1H · EF = A1E · FK, то есть 
Периметр треугольника ABC равен 24. На сторонах AB и BC отмечены точки E и F соответственно так, что BE : EA = BF : FC = 3 : 1. Прямая EF касается окружности, вписанной в треугольник.
а) Докажите, что AC = 3.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если 
Треугольники BEF и BAC подобны с коэффициентом подобия 
Значит, 
откуда получаем 
По теореме Пифагора 
Значит, 
и площадь треугольника ABC равна 
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 6 : 1, а на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 3 : 4. Известно, что 
AD = 12, AA1 = 14.
а) Докажите, что плоскость EFD1 делит ребро B1C1 на два равных отрезка.
б) Найдите угол между плоскостью EFD1 и плоскостью AA1B1.
(из результатов пункта а) следует, что K — середина EA1). Теперь, вычисляя двумя способами площадь треугольника EFA1, получим A1H · EF = A1E · FK, то есть 
Периметр треугольника ABC равен 30. На сторонах AB и BC отмечены точки E и F соответственно так, что BE : EA = BF : FC = 3 : 2. Прямая EF касается окружности, вписанной в треугольник.
а) Докажите, что AC = 6.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если
откуда получаем 
По теореме Пифагора 
Значит, 
и площадь треугольника ABC равна 
Дана треугольная пирамида ABCD с вершиной D. Известно, что угол DAB — прямой, ребро AD перпендикулярно медиане основания AK и AD = AK. Сечением пирамиды плоскостью, не проходящей через середины ребер AD и ВС, является равнобедренная трапеция EFGH с основаниями EF и GH, причем точка Е делит ребро BD пополам, а точка G лежит на ребре АС и AG = 3 · GC.
а) Докажите, что AB = AC.
б) Найдите отношение площади трапеции EFGH к площади грани BCD.
то есть 
—
Углы AHG и ABC равны как соответственные, образованные при пересечении параллельных прямых HG и BC секущей AB, аналогично равны углы AGH и ACB. Таким образом, 
и треугольник ABC — равнобедренный по свойству. Отсюда 
поэтому треугольник DAK — равнобедренный и прямоугольный, 
Площадь ортогональной проекции есть произведение площади исходной фигуры на косинус угла между проекцией и фигурой, то есть:
и ABC
как соответственные, образованные при пересечении параллельных прямых 
и BC секущей AB. 
Следовательно, выбранные треугольники подобны 
Аналогично подобны треугольники AHG и ABC, но в этом случае 
и 
Получаем:
—
Площадь параллелограмма ABCD равна 12. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
Площадь трапеции BCDE равна
Площадь параллелограмма ABCD равна 70. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
Площадь трапеции BCDE равна
на отрезке [−5; 3].
заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: