PDF-версии: 1. Тип 15 № 507736 
Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции
Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов
Неравенства. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции
i
Решите неравенство: 
Решение. Пусть 
получаем:
Вернёмся к исходной переменной:
Таким образом, решение исходного неравенства 
Ответ:
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ:
507736
Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции
Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов
или 
Из второго равенства получаем, что 
и 
Решение третьего неравенства: 
При 
справедливы неравенства 
При 
справедливы неравенства
неравенство имеет вид:
или 
Возвращаясь к x, получаем: 
учитывая монотонное возрастание логарифмической функции с основанием, большим 1, имеем:
решим рациональное неравенство: 
тогда 
тогда
= t,
решим рациональное неравенство: 
решим рациональное неравенство: 
и 
знаменатель левой части неравенства положителен и неравенство принимает вид:
В этом случае решение неравенства: 
(метод рационализации):
Тогда 
то есть 
при этом 
Решая полученное неравенство методом интервалов, находим: 
откуда 
получаем:
получим: 
откуда 
получим: 
откуда 
получим: 
откуда 
и 
совпадают. Заменим множители выражениями того же знака:
приведём разность левой и правой частей к общему знаменателю и воспользуемся методом интервалов:
тогда
:
и при 
неравенство не определено. При 
числитель и знаменатель левой части положительны, значит, неравенство не имеет решений. При 
числитель и знаменатель левой части отрицательны и неравенство тоже не имеет решений.
не имеет решений, другим способом. Заметим предварительно, что на ОДЗ выражение 
и 
либо одновременно больше 1, либо одновременно меньше 1.
тогда
Тогда
а если 
то 
Сумма положительных взаимно обратных величин не меньше двух, а логарифм, основание и аргумент которого больше 1, положителен:
тогда 
откуда получаем:
то есть при положительных х, отличных от 1, 
и от 
На области определения можно использовать формулу 
что позволяет избавиться от знаменателей и записать неравенство в виде
если в этой формуле один из множителей b или с — положительное число, применение формулы допустимо на ОДЗ (если b и с зависят от переменной, применение формулы может привести к потере корней). Получаем:
тогда
и 
тогда
тогда
совпадает со знаком разности их аргументов 
то есть со знаком выражения 
Заменим второй множитель разностью логарифмов:
получим неравенство
тогда неравенство примет вид: 
и/или 
должно быть определено, поэтому необходимо выполнение неравенства 
Для таких значений справедливы тождества
получаем:
отрицателен: 
следовательно, оно не имеет корней. Поэтому квадратный трехчлен 
положителен при всех значениях переменной, и на него можно разделить, не меняя знака неравенства. Далее, используя метод интервалов (см. рис.), получаем:
и возрастает на луче 
Правая часть неравенства возрастает на открытом луче 
и убывает на открытом луче 
Значит, на графики левой и правой частей на каждом из промежутков 
и 
имеют не больше одной общей точки. Графики пересекаются в точках с абсциссами 
и 
Следовательно, на промежутках 
или при 
Осталось рассмотреть интервал 
На нем неравенство не имеет решений, поскольку левая часть меньше 1, а правая больше 4:
получаем ответ: 
или 
тогда
тогда 
а 
Получаем:
