а)  За­ду­ман­ные числа 2, 2, 2, 2, 2 дают тре­бу­е­мый набор, за­пи­сан­ный на доске. (Или числа 2, 4, 4, или 2, 2, 2, 4.)

б)  По­сколь­ку за­ду­ман­ные числа на­ту­раль­ные, то наи­мень­шее число в на­бо­ре  — это наи­мень­шее из за­ду­ман­ных чисел, а наи­боль­шее число в на­бо­ре  — это сумма всех за­ду­ман­ных чисел. Среди чисел за­пи­сан­но­го на­бо­ра долж­на быть сумма всех чисел, кроме наи­мень­ше­го, то есть 22 − 1  =  21. Но этого числа нет в на­бо­ре, по­это­му не су­ще­ству­ет при­ме­ра таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­ро­го на доске будет вы­пи­сан набор из усло­вия.

в)  Число 7  — наи­мень­шее число в на­бо­ре  — яв­ля­ет­ся наи­мень­шим из за­ду­ман­ных чисел, а наи­боль­шее число в на­бо­ре  — это сумма всех за­ду­ман­ных чисел. По­это­му ко­ли­че­ство за­ду­ман­ных чисел не пре­вос­хо­дит целой части  , то есть 5. Кроме того, числа 8 и 10 мень­ше, чем сумма двух чисел 7, по­это­му они также яв­ля­ют­ся за­ду­ман­ны­ми. Зна­чит, сумма остав­ших­ся за­ду­ман­ных чисел равна 41 − 7 − 8 − 10  =  16. Таким об­ра­зом, по­сколь­ку наи­мень­шее за­ду­ман­ное число равно 7, остав­ши­е­ся за­ду­ман­ные числа  — это 8 и 8 или 16. Для за­ду­ман­ных чисел 7, 8, 8, 8, 10 и 7, 8, 10, 16 на доске будет за­пи­сан набор, дан­ный в усло­вии.

Ответ: а)  2, 2, 2, 2, 2 (или 2, 4, 4 или 2, 2, 2, 4); б)  нет; в)  7, 8, 8, 8, 10 или 7, 8, 10, 16.

За­ме­тим, что если среди вы­пи­сан­ных чисел есть число 1, то по­пар­ные суммы всех осталь­ных чисел будут де­лить­ся на 1.

а)  Может. На­при­мер, числа 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2015 (вы­пи­са­но 1008 нечётных чисел от 1 до 2015 и число 2). Сумма 1 и лю­бо­го нечётного числа де­лит­ся на 2, сумма 1 и 2 де­лит­ся на 3, сумма любых двух чисел, от­лич­ных от 1, де­лит­ся на 1.

Дру­гой при­мер: 1, 2, 3, ..., 1007, 2014, 2015. Если среди двух чисел нет 1, то их сумма де­лит­ся на 1. Если вме­сте с 1 вы­пи­са­ны числа k и k + 1, то сумма пер­вых двух де­лит­ся на тре­тье; остав­ши­е­ся суммы 1 + 1007 и 1 + 2015 де­лят­ся на 2.

Тре­тий при­мер: 1, 2, 3, 5, 6, ... , 1009, 2015 (в груп­пе под­ряд иду­щих чисел про­пу­ще­но 4).

б)  Может. На­при­мер, числа 1, 2, 3, 5, 2015. Дру­гой при­мер  — числа a, 2a, 3a, 4a, 5a, где a  =  403.

в)  При­мер для четырёх чисел: 1, 2, 3, 2015. Дру­гой при­мер  — числа a, 2a, 3a, 5a, где a  =  403.

По­ка­жем, что трёх чисел быть не может. Дей­стви­тель­но, пусть три раз­лич­ных числа та­ко­вы, что a < b < c. Тогда a + b < 2b < b + c < 2c, от­ку­да в силу де­ли­мо­сти суммы двух мень­ших чисел на боль­шее по­лу­ча­ем: a + b  =  c. Тогда b < a + c  =  2a + b < 3b, от­ку­да в силу де­ли­мо­сти а + с на b по­лу­ча­ем: a + c  =  2b. Тогда b  =  2a, c  =  3a, а ис­ко­мая трой­ка чисел имеет вид a, 2a, 3a. По усло­вию одно из этих чисел равно 2015, по­сколь­ку 2015 не де­лит­ся ни на 2, ни на 3, им может быть толь­ко число a. Но в этом слу­чае 3a > 5000. Про­ти­во­ре­чие.

При­ведём дру­гое до­ка­за­тель­ство.

Пусть даны числа a, b, c, и сумма любых двух из них де­лит­ся на тре­тье. Если они все имеют от­лич­ный от 1 наи­боль­ший общий де­ли­тель d, то на него можно со­кра­тить, и свой­ство де­ли­мо­сти со­хра­нит­ся. Будем счи­тать, что все три числа вза­им­но про­стые. По­сколь­ку сумма двух чисел де­лит­ся на тре­тье, то сумма всех чисел де­лит­ся на каж­дое. Числа по­пар­но вза­им­но про­сты, по­это­му их сумма долж­на де­лить­ся на про­из­ве­де­ние. В част­но­сти, a + b + c ≥ abc. По­ла­гая a < b < c, имеем a + b + c < 3c, от­ку­да ab < 3. Сле­до­ва­тель­но, a = 1, b = 2. При этом c + 3 де­лит­ся на 2c, по­это­му c  =  3. Таким об­ра­зом, трой­ка чисел долж­на иметь вид d, 2d, 3d. По­сколь­ку 2015 нечётно и не де­лит­ся на 3, оно равно d, но тогда 3d > 5000.

Ответ: а)  может, на­при­мер числа 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2015; б)  может, на­при­мер числа 1, 2, 3, 5, 2015; в)  4, на­при­мер, 1, 2, 3, 2015.

а)  На­при­мер, если были на­пи­са­ны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми про­ве­ли эти дей­ствия, то их сред­нее было равно 6, а после опи­сан­ных дей­ствий оно ста­нет равно 10.

б)  Пусть x ко­ли­че­ство из­на­чаль­но на­пи­сан­ных еди­ниц, ко­то­рые пре­вра­тят­ся в нули, а y  — ко­ли­че­ство про­чих умень­ша­е­мых чисел. Тогда сумма всех чисел равна а сумма всех чисел, кроме бу­ду­щих нулей, равна и их штук.

После опи­сан­ных дей­ствий будет чисел с общей сум­мой Зна­чит,

От­сю­да сле­ду­ет, что Но тогда что не­воз­мож­но.

в)  Обо­зна­чая как в пунк­те б) по­лу­ча­ем, что нужно мак­си­ми­зи­ро­вать зна­че­ние вы­ра­же­ния Оче­вид­но, сле­ду­ет взять и мак­си­ми­зи­ро­вать то есть сле­ду­ет мак­си­ми­зи­ро­вать x.

За­ме­тим од­на­ко, что сумма из­на­чаль­ных чисел не пре­вос­хо­дит от­ку­да Тогда тре­бу­е­мое вы­ра­же­ние будет равно Это воз­мож­но, на­при­мер, для на­бо­ра из шести еди­ниц, числа 14 и три­на­дца­ти чисел по 40, из ко­то­рых умень­ша­ют все еди­ни­цы и толь­ко их, по­лу­чая

Ответ:а)  да; б)  нет; в)  

а)  Если было за­ду­ма­но 4 числа или более, то на доске долж­но быть за­пи­са­но не менее 15 чисел. Если было за­ду­ма­но 2 числа или мень­ше, то на доске долж­но быть за­пи­са­но не более 3 чисел. Зна­чит, было за­ду­ма­но 3 числа. Если бы было за­ду­ма­но 2 по­ло­жи­тель­ных числа, то на доске было бы вы­пи­са­но не менее трёх по­ло­жи­тель­ных чисел. Зна­чит, по­ло­жи­тель­ное число одно, и это число  — наи­боль­шее число в на­бо­ре, то есть 6. Наи­мень­шее число в на­бо­ре −11 яв­ля­ет­ся сум­мой двух от­ри­ца­тель­ных за­ду­ман­ных чисел. Из от­ри­ца­тель­ных вы­пи­сан­ных чисел толь­ко −7 и −4 дают в сумме −11. Зна­чит, были за­ду­ма­ны числа −7, −4 и 6.

б)  Рас­смот­рим раз­лич­ные за­ду­ман­ные числа, среди ко­то­рых нет нуля. Пусть для этих чисел в на­бо­ре на доске ока­за­лось ровно k нулей. Если до­ба­вить к за­ду­ман­ным чис­лам нуль, то на доске ока­жет­ся ровно 2k + 1 нулей: k нулей, по­лу­ча­ю­щих­ся как суммы не­ну­ле­вых за­ду­ман­ных чисел, k нулей, по­лу­ча­ю­щих­ся как суммы не­ну­ле­вых за­ду­ман­ных чисел и за­ду­ман­но­го нуля, и за­ду­ман­ный нуль. Таким об­ра­зом, если среди за­ду­ман­ных чисел есть нуль, то в на­бо­ре на доске ока­жет­ся нечётное ко­ли­че­ство нулей.

Если на доске вы­пи­са­но ровно 4 нуля, то среди за­ду­ман­ных чисел нет нуля. Пусть за­ду­ма­но че­ты­ре или мень­ше не­ну­ле­вых числа. Нуль по­лу­ча­ет­ся тогда, когда сумма не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ства по­ло­жи­тель­ных чисел равна по мо­ду­лю сумме не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ства от­ри­ца­тель­ных чисел. Одно за­ду­ман­ное число даёт одну сумму; два раз­лич­ных за­ду­ман­ных числа од­но­го знака дают три раз­лич­ные суммы: три раз­лич­ных за­ду­ман­ных числа дают семь сумм, среди ко­то­рых не более двух (за­ду­ман­ное число, наи­боль­шее по мо­ду­лю, и сумма двух дру­гих за­ду­ман­ных чисел) сов­па­да­ют. Зна­чит, среди сумм по­ло­жи­тель­ных и от­ри­ца­тель­ных чисел сов­па­да­ют по мо­ду­лю не более трёх. Таким об­ра­зом, если было за­ду­ма­но не более четырёх раз­лич­ных не­ну­ле­вых чисел, то на доске ока­жет­ся не более трёх нулей.

Если были за­ду­ма­ны числа −2; −1; 1; 2; 3, то на доске ока­жет­ся ровно че­ты­ре нуля. Зна­чит, наи­мень­шее ко­ли­че­ство за­ду­ман­ных чисел  — 5.

в)  Нет, не все­гда. На­при­мер, для за­ду­ман­ных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет вы­пи­сан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: а)  −7, −4, 6; б)  5; в)  нет.

Пусть среди на­пи­сан­ных чисел k по­ло­жи­тель­ных, l от­ри­ца­тель­ных и m нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му

а)  За­ме­тим, что в левой части при­ве­ден­но­го выше ра­вен­ства каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 4, по­это­му   — ко­ли­че­ство целых чисел  — де­лит­ся на 4. По усло­вию по­это­му Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 44 числа.

б)  При­ве­дем ра­вен­ство к виду По­сколь­ку по­лу­ча­ем, что от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше, чем по­ло­жи­тель­ных.

в_{оцен­ка}) Под­ста­вим в пра­вую часть ра­вен­ства от­ку­да По­сколь­ку по­лу­ча­ем: то есть по­ло­жи­тель­ных чисел не более 17.

в_{при­мер}) При­ве­дем при­мер, когда по­ло­жи­тель­ных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз на­пи­са­но число 4, 25 раз на­пи­са­но число −8 и два раза на­пи­сан 0. Тогда ука­зан­ный набор удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: а)  44; б)  от­ри­ца­тель­ных; в)  17.