а) Задуманные числа 2, 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске.

б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в) Число 7 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части  , то есть 5. Кроме того, числа 8 и 10 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41 − 7 − 8 − 10 = 16. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 7, оставшиеся задуманные числа — это 8 и 8 или 16. Для задуманных чисел 7, 8, 8, 8, 10 и 7, 8, 10, 16 на доске будет записан набор, данный в условии.

Ответ: а) 2, 2, 2, 2, 2; б) нет; в) 7, 8, 8, 8, 10 или 7, 8, 10, 16.

Заметим, что если среди выписанных чисел есть число 1, то попарные суммы всех остальных чисел будут делиться на 1.

а) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2015 (выписано 1008 нечётных чисел от 1 до 2015 и число 2). Сумма 1 и любого нечётного числа делится на 2, сумма 1 и 2 делится на 3, сумма любых двух чисел, отличных от 1, делится на 1.

Другой пример: 1, 2, 3, ... , 1007, 2014, 2015. Если среди двух чисел нет 1, то их сумма делится на 1. Если вместе с 1 выписаны числа k и k + 1, то сумма первых двух делится на третье; оставшиеся суммы 1 + 1007 и 1 + 2015 делятся на 2.

Третий пример: 1, 2, 3, 5, 6, ... , 1009, 2015 (в группе подряд идущих чисел пропущено 4).

б) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 2015. Другой пример — числа a, 2a, 3a, 4a, 5a, где a = 403.

в) Пример для четырёх чисел: 1, 2, 3, 2015. Другой пример — числа a, 2a, 3a, 5a, где a = 403.

Покажем, что трёх чисел быть не может. Действительно, пусть три различных числа таковы, что a < b < c. Тогда a + b < 2b < b + c < 2c, откуда в силу делимости суммы двух меньших чисел на большее получаем: a + b = c. Тогда b < a + c = 2a + b < 3b, откуда в силу делимости а + с на b получаем: a + c = 2b. Тогда b = 2a, c = 3a, а искомая тройка чисел имеет вид a, 2a, 3a. По условию одно из этих чисел равно 2015, поскольку 2015 не делится ни на 2, ни на 3, им может быть только число a. Но в этом случае 3a > 5000. Противоречие.

Приведём другое доказательство.

Пусть даны числа a, b, c, и сумма любых двух из них делится на третье. Если они все имеют отличный от 1 наибольший общий делитель d, то на него можно сократить, и свойство делимости сохранится. Будем считать, что все три числа взаимно простые. Поскольку сумма двух чисел делится на третье, то сумма всех чисел делится на каждое. Числа попарно взаимно просты, поэтому их сумма должна делиться на произведение. В частности, a + b + c ≥ abc. Полагая a < b < c, имеем a + b + c < 3c, откуда ab < 3. Следовательно, a = 1, b = 2. При этом c + 3 делится на 2c, поэтому c = 3. Таким образом, тройка чисел должна иметь вид d, 2d, 3d. Поскольку 2015 нечётно и не делится на 3, оно равно d, но тогда 3d > 5000.

Ответ: а) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2015; б) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 2015; в) 4, например, 1, 2, 3, 2015.

а) Например, если были написаны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми провели эти действия, то их среднее было равно 6, а после описанных действий оно станет равно 10.

б) Пусть x количество изначально написанных единиц, которые превратятся в нули, а y — количество прочих уменьшаемых чисел. Тогда сумма всех чисел равна , а сумма всех чисел, кроме будущих нулей, равна , и их штук.

После описанных действий будет чисел с общей суммой Значит,

Отсюда следует, что Но тогда , что невозможно.

в) Обозначая как в пункте б) получаем, что нужно максимизировать значение выражения Очевидно, следует взять и максимизировать , то есть следует максимизировать x.

Заметим однако, что сумма изначальных чисел не превосходит , откуда , , Тогда требуемое выражение будет равно Это возможно, например, для набора из шести единиц, числа 14 и тринадцати чисел по 40, из которых уменьшают все единицы и только их, получая

Ответ:а) да б) нет в)

а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 положительных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх положительных чисел. Значит, положительное число одно, и это число — наибольшее число в наборе, то есть 6. Наименьшее число в наборе −11 является суммой двух отрицательных задуманных чисел. Из отрицательных выписанных чисел только −7 и −4 дают в сумме −11. Значит, были задуманы числа −7, −4 и 6.

б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно k нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k + 1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.

Если на доске выписано ровно 4 нуля, то среди задуманных чисел нет нуля. Пусть задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы: три различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.

Если были задуманы числа −2; −1; 1; 2; 3, то на доске окажется ровно четыре нуля. Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 5.

в) Нет, не всегда. Например, для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: а) −7, −4, 6; б) 5; в) нет.

Пусть среди написанных чисел положительных, отрицательных и нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

а) Заметим, что в левой части приведенного выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому — количество целых чисел — делится на 4. По условию поэтому Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведем неравенство к виду Так как получаем, что откуда Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в_оценка) Подставим в правую часть равенства откуда Так как получаем: то есть положительных чисел не более 17.

в_пример) Приведем пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число −8 и два раза написан 0. Тогда указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:а) 44; б) отрицательных; в) 17.

а) Заметим, что каждое число на доске будет делиться на 7. Действительно, исходное число делится на 7, в случае удвоения числа делящегося на 7, получится число, делящееся на 7. А при сложении чисел, делящихся на 7, также получится число, делящееся на 7. Таким образом, все числа на доске будут делиться на 7, а 2012 на 7 не делится, следовательно, оно не может появиться на доске.

б) Да, может. Пример: 7, 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7). Сумма полученных 5 чисел равна 63.

Замечание. В условии не сказано, что одно число нельзя удваивать несколько раз.

в) Как было замечено в пункте а), все числа на доске будут делиться на 7. Рассмотрим аналогичную задачу, разделив исходное число 7 и то число, которое нужно получить, то есть 784, на 7. От этого количество операций не изменится. Таким образом, достаточно за наименьшее количество операций получить число 112, начав с числа 1.

Заметим, что наибольшее число, которое может получиться на доске через 6 минут, равно 64 (если Вася каждый раз будет удваивать текущее наибольшее число). Следовательно, если в первые 6 минут Вася каждый раз удваивал наибольшее число на доске, то число 112 нельзя получить за 7 минут: если число 64 удвоить, то получится 128, а если прибавить к нему число, не превосходящее 32, то 112 не получится.

В том случае, если в течение первых 6 минут Вася использовал хотя бы одно сложение вместо удвоения, то при первом использовании сложения наибольшее число, записанное на доске увеличилось не более, чем в полтора раза: действительно, в этом случае самый большой результат получится тогда, когда мы к максимальному на данный момент числу прибавим второе по величине, то есть, его половину (напомним, что мы рассматриваем первый случай сложения, то есть до этого были только удвоения). Таким образом, даже если в течение первых 7 минут сделано 6 удвоений и одно сложение (в некотором порядке), то наибольшее число, которое может получиться, равно 96, что меньше 112.

Итак, за 7 минут число 112 получить невозможно.

Приведем пример, как его получить за 8 минут:

Ответ: а) нет; б) да; в) 8 минут.

а) Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна 0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю.

б) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1.

в) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на 4.

Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; −2); (−2; 1); (−3; 4); (4; −3); (−5; 7); (7; −5); (−8; 9); (9; −8).

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Обозначим суммы чисел в группах , , , а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через Можно считать, что

а) Чтобы число равнялось , необходимо, чтобы каждая из разностей равнялась , то есть Сумма всех двенадцати чисел С другой стороны, она равна , но 78 не делится на 4. Значит,

б) Чтобы число равнялось , необходимо, чтобы все, кроме одной, разности равнялись Значит, , но в этом случае каждая из сумм , не равна хотя бы одной из сумм , поэтому хотя бы три разности не равны и число не меньше Значит,

в) Выразим число явно через , , , :

В предыдущих пунктах было показано, что Если , то или В этом случае сумма всех двенадцати чисел равна или , то есть нечётна, что неверно.

Для следующего разбиения чисел на группы: ; ; ; — число равно

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 9, поэтому  — количество целых чисел — делится на 9. По условию , поэтому

Таким образом, написано 36 чисел.

б) Приведём равенство к виду

Так как , получаем, что , откуда Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) (оценка) Подставим в правую часть равенства

,

откуда

Так как , получаем:

, , , ;

то есть положительных чисел не более 16.

в) (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 16. Пусть на доске 16 раз написано число 9, 18 раз написано число −18 и два раза написан 0.

Тогда

указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 36; б) отрицательных; в) 16.

а) Если в каждой паре одно число втрое больше другого, то сумма чисел в каждой паре делится на 4. Значит, сумма всех выбранных чисел делится на 4. Число 170 не делится на 4, поэтому такого быть не может.

б) Если то выбраны все 22 числа от 1 до 22. Их сумма равна 253. С другой стороны, по условию суммы чисел в каждой паре различны и не превосходят 27. Значит, их сумма не превосходит Полученное противоречие показывает, что число k не может быть равным 11.

в) В предыдущем пункте было показано, что k не может равняться 11. Десять пар (13; 14), (11; 15), (9; 16), (7; 17), (5; 18), (3; 19), (1; 20), (2; 8), (4; 10), (6; 12) удовлетворяют всем условиям задачи. Значит, наибольшее возможное значение числа k — это 10.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 10.

Назовём результатом число, написанное на доске после 9 ходов.

а) Если на доске написаны числа

то при любой последовательности ходов результат равен 5 и равен сумме чисел.

б) Заметим, что за каждый ход вновь написанное число отличается от суммы стёртых не более чем на 0,5. Значит, результат будет отличаться от суммы исходных чисел не более чем на 4,5. Значит, не существует 10 чисел таких, что результат отличается от их суммы на 7.

в) Можем считать, что все числа меньше 1 и не меньше 0, поскольку целые части каждого из чисел при сложении не влияют на разницу между их суммой и её округлённым значением.

Каждое изначальное число участвует ровно в одном ходе. Если в этом ходе также участвовало целое число, не написанное на доске изначально, то назовём вкладом изначально числа в результат разность записанного после хода числа и стёртого целого числа. Если оба числа, участвовавших в ходе, были написаны на доске изначально, то назовём вкладом каждого из них в результат половину записанного после хода числа.

Заметим, что результат равен сумме вкладов изначальных чисел. С другой стороны, вклад каждого числа, меньшего 0,5, равен 0 или 0,5, а вклад каждого числа, не меньшего 0,5, равен 0,5 или 1.

Пусть n — количество чисел, не меньших 0,5.

Тогда сумма вкладов будет не меньше и не больше

То есть наибольшая разность двух различных результатов не превосходит 5.

Рассмотрим 10 чисел: два числа 0,5 и восемь чисел 0,4. Если вначале сложить два числа 0,5, а затем делать ходы с полученной единицей и числом 0,4, то результат будет равен 1. Если сделать четыре хода, попарно сложив числа 0,4, затем сложить четыре полученные единицы, а потом делать ходы с полученным числом и числом 0,5, то результат будет равен 6.

Таким образом, наибольшая возможная разность двух различных результатов равна 5.

Ответ: а) например, числа 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01; 0,99; 0,01 и любая последовательность ходов; б) нет; в) 5.

а)

б) Заметим, что сумма чисел на доске увеличивается на или (поскольку число 1 на доске никогда не появится). Значит, после 49 ходов сумма станет минимум Поэтому после пятидесятого хода В то же время и потому что левая часть нечетна, а правая четна.

в) После хода разность чисел становится равна или Поэтому модуль разности чисел меняется на 1. Изначально он был равен 1, поэтому после 2015 ходов он будет четным. Значит, равен как минимум двум.

Приведем пример. Первым ходом получим пару (5;3), а затем каждые два хода будем получать ситуацию, в которой числа отличаются на 2 (и никогда в процессе не будут равны):

Повторяя эти действия, получим в итоге два числа с разностью 2.

Ответ: а) б) нет; в) 2.

Упорядочим оценки судей: Тогда изучаемая величина равна

а) Да, например, при эта разность равна нулю.

б) Нет. Очевидно, при умножении разности на 12 получается целое число, но

в) Возьмем любые баллы и попробуем их изменить так, чтобы разность выросла. Если то заменим его на 10. Если то заменим b на Потом также заменим c, d, e на Получим

Значение достигается при оценках 0, 1, 2, 3, 4, 10.

Ответ: а) да; б) нет; в)

а) поэтому если взять по 11 раз числа 16 и 17, то получится подходящий пример.

б) Обозначим сумму всех цифр десятков за a, а всех цифр единиц за b. Тогда откуда что невозможно — 363 не кратно 9.

в) Нужно максимизировать выражение поэтому a следует сделать как можно меньше. С другой стороны, (поскольку первая цифра числа меньше его последней цифры не более чем в 9 раз), поэтому откуда

Приведем пример — что возможно, например, для трех чисел 19 и семнадцати чисел 18. Новая сумма тогда будет равна

Ответ: а) 17 и 16; б) нет; в) 1650.

Если среднее арифметическое любых 27 чисел набора меньше 2, то сумма любых 27 чисел набора меньше 27 · 2 = 54. Будучи натуральным числом, эта сумма не превосходит 53.

Обозначим S максимальную сумму 27 чисел данного набора. Итак,

а) Да, может. Такой набор содержит 13 единиц, 17 двоек и 3, 4, 5. Для него, очевидно,

Наводящее соображение очень простое. Если есть ровно 13 единиц и 3, 4, 5, то оставшиеся 17 вакансий заполняются как минимум двойками. Вот и возьмём набор с этими 17-ю двойками! Ясно, что максимальная сумма S получится, если в качестве слагаемых взять 3, 4, 5 и все двойки, добрав остаток единицами.

б) Предположим, что набор содержит k единиц Остальные 30 − k чисел набора (помимо 3, 4, 5) назовём вакантными. Вакантных чисел, стало быть, не менее 18, и каждое вакантное число не меньше 2.

Таким образом, наш набор содержит 3, 4, 5 и восемнадцать чисел, не меньших 2; остальные числа набора не меньше 1. Для максимальной суммы S тогда получаем:

Данное неравенство показывает, что набор не может содержать менее 13 единиц.

в) Заметим сразу, что если набор содержит не менее 16 единиц, то

Поэтому остаётся разобрать случаи, когда количество k единиц в наборе менее 16.

Остальные 30 − k чисел (помимо 3, 4, 5) продолжаем называть вакантными.

При k = 13. Легко видеть, что набор, предъявленный в пункте а), оказывается единственным

набором с ровно тринадцатью единицами. В самом деле, для любого другого такого набора сумма 17-ти вакантных чисел будет больше и сумма S станет больше 53. А для предъявленного набора имеем:

При k = 14 или k = 15. Заметим, что среди вакантных чисел обязательно найдётся двойка. В самом деле, иначе все вакантные числа (которых, соответственно, 16 или 15) будут не меньше 3, и тогда их сумма окажется как минимум что противоречит условию.

Остаётся взять 14 единиц и эту двойку:

Доказательство закончено.

Ответ: а) да; б) нет.

Присвоим каждой карточке номер от 1 до 10. Пусть a₁, a₂, ..., a₁₀ — числа, данные в условии и записанные на карточках вначале (число a_k записано на карточке с номером k).

Аналогично, b₁, b₂, ..., b₁₀ — числа того же набора, но записанные на карточках после их перемешивания. Согласно условию рассматривается число:

а) Предположим, что c = 0. Тогда в произведении найдётся нулевой множитель, то есть для некоторого k. Но это невозможно, так как в данном наборе ни для какого числа a_k нет ему противоположного по знаку. Значит, 0 получиться не может.

б) Предположим, что c нечётно. Тогда в произведении каждый множитель должен быть нечётным, то есть нечётно для любого

Следовательно, для каждого k в паре (a_k, b_k) одно число чётное, а другое нечётное. Поэтому в последовательности (a₁, ..., a₁₀, b₁ ..., b₁₀) окажется 10 чётных и 10 нечётных чисел. Однако из условия вытекает, что указанная последовательность содержит 8 чётных чисел и 12 нечётных.

Возникшее противоречие показывает, что c обязано быть чётным. В частности, 1 получиться не может.

в) Далее считаем, что c > 0. Предположим, что c = 2. Тогда в произведении ровно один из множителей по модулю равен 2, а все остальные по модулю равны 1. Иными словами, для некоторого m и для всех остальных k.

Числа a_m и b_m оба чётные или оба нечётные. В каждой из остальных девяти пар (a_k, b_k) одно число чётное, а другое нечётное. Стало быть, в последовательности (a₁, ..., a₁₀, b₁ ..., b₁₀) окажется или 11 чётных и 9 нечётных чисел (если a_m и b_m чётны), или, наоборот, 9 чётных и 11 нечётных чисел (если a_m и b_m нечётны). Но, как было указано выше, чётных и нечётных чисел в этой последовательности имеется 8 и 12 соответственно.

Значит, случай c = 2 невозможен. Поскольку c чётно, имеем оценку:

Приведём пример, в котором достигается равенство c = 4. Пусть сначала на карточках написаны числа в исходном порядке:

Затем на тех же карточках оказались числа:

Получаем:

Следовательно, наименьшее неотрицательное значение c равно 4.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

а) Для выполнения условий задачи достаточно, чтобы произведение двух меньших чисел было больше 40, а произведение двух больших чисел было меньше 100. Пять чисел 6, 7, 8, 9, 10 удовлетворяют условию задачи.

б) Пусть числа на доске записаны в порядке возрастания: a < b < c < d < e < f . Заметим, что иначе произведение ab будет меньше 40, а произведение ef будет больше 100. Другими словами, на доске может быть только одно число a < 7 и только одно число f > 10. Но тогда четырьмя различными числами b, c, d, e должны быть три числа 7, 8 и 9, что невозможно.

в) Пусть на доске написаны числа a, b, c и d, причём a < b < c < d. Как было показано в предыдущем пункте, соседние с крайними числа подчиняются условию Следовательно, возможны только три случая.

Если записаны числа а, 7, 8, d, то наибольшие возможные числа a = 6, d = 12. Сумма четырех записанных чисел равна 33.

Если записаны числа а, 7, 9, d, то a = 6, d = 11, сумма 33.

Если записаны числа а, 8, 9, d, то a = 7, d = 11, сумма 35.

Таким образом, наибольшее значение суммы четырех чисел равно 35.

Ответ: а) да; б) нет; в) 35.

а) Да, например, числа 7, 8, 9, 10, 13.

б) Нет. Пусть — наименьшее, — наибольшее из записанных чисел. Поскольку все 10 чисел различны, Поскольку числа отличаются не более чем в 3 раза, откуда Следовательно, наименьшее из записанных чисел не меньше 5. Но тогда сумма записанных чисел не меньше суммы членов арифметической прогрессии 5 + 6 + ... + 14 = 10 · (5 + 14)/2 = 95. Противоречие.

в) Заметим предварительно, что 8000 = 2⁶ · 5³. Отсюда следует, что записанные числа могут быть только степенями двойки или пятерки или их произведениями.

На доске могут быть записаны два числа: 2⁴ · 5 = 80 и 2² · 5² = 100. Могут быть записаны три числа: 2⁴ = 16, 2² · 5 = 20 и 5² = 25. На доске не может быть записано большее количество чисел.

Действительно, если на доске есть число m, кратное 25, то каждое из оставшихся чисел не меньшие 8. Тогда произведение m и трёх таких чисел больше 8000. Следовательно, в этом случае больше трёх чисел на доске быть не может. Если на доске нет чисел, кратных 25, то ровно три из них кратны пяти. Они имеют вид 5a, 5b и 5c, причём отличаются друг от друга в 2 и в 4 раза, что невозможно.

Ответ: а) да; б) нет; в) 2 или 3.

а) Для чисел 2, 3, 3, 5 на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

б) Среди задуманных чисел есть число 7, так как иначе оно бы не было записано на доску. Поскольку задуманные числа натуральные, наибольшее число в наборе — это произведение всех задуманных чисел. Значит, среди чисел записанного набора должно быть произведение всех чисел, кроме 7, то есть 945 : 7 = 135. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого будет выписан набор из условия.

в) Наибольшее число в наборе — это произведение всех задуманных чисел. Число 82 раскладывается на простые множители как 2 · 41. Значит, было задумано либо число 82 и пять единиц, либо пара чисел 2 и 41 и четыре единицы.

Ответ: а) 2, 3, 3, 5; б) нет; в) 1, 1, 1, 1, 1, 82 или 1, 1, 1, 1, 2, 41.

а) Для чисел 2, 3, 5, 5 на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

б) Среди задуманных чисел есть число 11, так как иначе оно бы не было записано на доску. Поскольку задуманные числа натуральные, наибольшее число в наборе — это произведение всех задуманных чисел. Значит, среди чисел записанного набора должно быть произведение всех чисел, кроме 11, то есть 550 : 11 = 50. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого будет выписан набор из условия.

в) Наибольшее число в наборе — это произведение всех задуманных чисел. Число 91 раскладывается на простые множители как 7 · 13. Значит, было задумано либо число 91 и четыре единицы, либо пара чисел 7 и 13 и три единицы.

Ответ: а) 2, 3, 5, 5; б) нет; в) 1, 1, 1, 1, 91 или 1, 1, 1, 7, 13.

a) Пусть начальные числа: a, b, c, d и e, тогда

Поскольку равенство

Равенство верно. Поэтому искомыми числами являются 1, 3, 8, 11, 2.

б) Равенство

приводит к равенству что невозможно для натуральных слагаемых.

Вывод: нет.

в) Пусть число A в k раз больше среднего арифметического. Тогда:

что невозможно при Пример для k = 2: 1, 3, 4, 7, 35.

Ответ: а) да, например: 1, 3, 8, 11, 2; б) нет; в) 2.

а) Посмотрим на сумму нескольких зелёных чисел. Так как сумма будет минимальной тогда, когда числа минимальны, они должны составлять арифметическую прогрессию, с первым членом и разностью (то есть ряд 5, 10, 15 ... ). В случае, если на доске записано 30 зеленых чисел их сумма равна:

Теперь заменим зеленое число 40 на красное число 35. Сумма 29 оставшихся зелёных чисел и красного числа 35 будет равна

При этом на доске написаны только кратные 5 числа.

б) Как было показано в в пункте а) минимально возможная сумма 30 зеленых чисел — 2325. Чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных чисел, вычтем из суммы 30 чисел самое большое из написанных — 150:

Теперь, чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных и 1 красного чисел, прибавим наименьшее красное число, то есть 7:

Минимально возможная сумма 29 зелёных и 1 красного чисел больше 1467, тогда любая сумма 29 зелёных и 1 красного чисел больше 1467. Значит, если на доске написано только одно красное число, сумма чисел не может быть равна 1467.

в) Пусть n - число красных чисел, тогда число зелёных составит (30-n). Как было показано выше, при одном, самом маленьком, красном числе сумма всех чисел больше, чем 1467. Это означает, что нам необходимо заменять зеленые числа на красные, причем, поскольку нам надо, чтобы красных чисел было минимальное число, то необходимо заменить минимальное возможное количество зеленых чисел, то есть наибольшие зеленые числа заменять на наименьшие красные. Тогда суммы красных и зелёных чисел, аналогично с предыдущими пунктами будут суммами арифметических прогрессий:

Сумма всех чисел должна быть по крайней мере меньше или равна 1467, тогда:

Значит, необходимо заменить не менее 10 зеленых чисел. В ряду из 30 зелёных чисел заменим зеленые числа на красные: 150 на 7, 145 на 14, 140, на 21, 135 на 28, 130 на 35, 125 на 42, 120 на 49, 115 на 56, 110 на 63. Таким образом, сумма чисел, записанных на доске, составит:

Заменим теперь 80 на 77:

Таким образом, получается, что наименьшее количество красных чисел при сумме всех чисел 1467 равно 10.

Ответ:а) Да; б) Нет; в) 10.

а) Пусть на доске записано 30 зеленых чисел, тогда последнее число можно найти по формуле:

Тогда сумма всех зеленых чисел составит 1395.

Теперь заменим зеленое число 27 на красное число 24, тогда сумма чисел написанных на доске будет равна

При этом на доске написаны только кратные 3 числа.

б) Ясно, что сумма 30 зелёных чисел, приведённая в пункте а) - минимальна, так как минимально значение (при больших значениях сумма будет возрастать). Чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных чисел, вычтем из минимально возможной суммы 30 зелёных чисел самое большое - последнее число, равное 90:

Теперь, чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных и 1 красного чисел, прибавим к минимально возможной сумме 29 зелёных чисел минимально возможное красное число, то есть число 8:

Таким образом, получаем, что минимально возможная сумма 29 зелёных и 1 красного чисел , а это означает, что, если на доске написано только 1 красное число, то сумма чисел не может быть равна 1469.

в) Пусть n - число красных чисел, тогда число зелёных составит (30-n). Суммы красных и зелёных чисел, по формуле суммы арифметической прогрессии будут составлять:

и

Сумма всех чисел должна быть по крайней мере меньше или равна 1066, тогда:

Значит, необходимо заменить не менее 7 зеленых чисел. В ряду из 30 зелёных чисел заменим зеленые числа на красные: 90 на 8, 87 на 16, 84, на 24, 81 на 32, 78 на 40, 75 на 48. Таким образом сумма записанных на доске чисел составит:

Теперь заменим еще 66 на 64, получим:

Таким образом, наименьшее количество красных чисел равно 7.

Ответ: а) Да, б) Нет, в) 7.

а) Пусть на доске написано число 250 и 99 других различных натуральных чисел. Минимально возможная сумма чисел на доске достигается при условии, что сумма 99 различных натуральных чисел минимальна. А это, в свою очередь, возможно, если 99 различных натуральных числа - арифметическая прогрессия с первым членом и разностью Сумма этих чисел, по формуле суммы арифметической прогрессии, составит:

Сумма всех чисел на доске S будет равна:

Не трудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5100, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых есть 250, больше 5100, следовательно, числа 250 на доске быть не может.

б) Пусть на доске не записано число 11. В таком случае, минимально возможная сумма S чисел на доске будет состоять из двух сумм арифметических прогрессий: суммы первых 10 членов прогрессии с первым членом, разностью (то есть ряда 1,2,3,..10) и суммы первых 90 членов прогрессии с первым членом, разностью (то есть ряда 12,13,14,..101). Найдем эту сумму:

Не трудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5100, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых нет 11, больше 5100, следовательно, без числа 11 на доске обойтись нельзя.

в) Допустим, что на доске выписаны все числа от 1 до 100. Тогда получается, что полученный ряд составляет арифметическую прогрессию с первым членом, разностью По формуле для суммы арифметической прогрессии найдем сумму всех чисел на доске

Полученная сумма не удовлетворяет условию задачи. Теперь, чтобы увеличить сумму всех чисел, написанных на доске до обозначенной в условии, попробуем заменить числа, кратные 11 на другие числа, следующие за сотней: 77 заменим на 103, 88 на 102, а 99 на 101. Полученная сумма S будет равна:

Подправим сумму S: заменим число 101 на число 109, окончательно получим:

При дальнейшей замене чисел, кратных 11 на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться и не соответствовать условию задачи. Таким образом, наименьшее количество чисел, кратных 11 равно 6.

Приведем другое решение пункта в).

Приведем пример, когда на доске написано шесть чисел, кратных 11 (11, 22, 33, 44, 55, 66):

Докажем, что на доске не может быть меньше шести чисел, делящихся на 11 без остатка. Чтобы убрать максимальное количество чисел, кратных 11, необходимо, чтобы разности между новыми и старыми числами были минимальны. То есть заменять надо наибольшие числа, кратные 11, на наименьшие возможные числа, большие ста. Пусть количество чисел, кратных 11, равно 5. Тогда минимальная сумма записанных на доске чисел равна:

Полученная сумма больше, чем 5100. При дальнейшей замене чисел, кратных 11, на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться, значит, на доске не может быть меньше шести чисел, кратных 11.

Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 6.

а) Пусть на доске написано число 230 и 99 других различных натуральных чисел. Минимально возможная сумма чисел на доске достигается при условии, что сумма 99 различных натуральных чисел минимальна. А это, в свою очередь, возможно, если 99 различных натуральных числа - арифметическая прогрессия с первым членом и разностью Сумма этих чисел, по формуле суммы арифметической прогрессии, составит:

Сумма всех чисел на доске S будет равна:

Нетрудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5120, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых есть 230, больше 5120, следовательно, числа 230 на доске быть не может.

б) Пусть на доске не записано число 14. В таком случае, минимально возможная сумма S чисел на доске будет состоять из двух сумм арифметических прогрессий: суммы первых 13 членов прогрессии с первым членом, разностью (то есть ряда 1,2,3,..13) и суммы первых 87 членов прогрессии с первым членом, разностью (то есть ряда 15,16,17,..101). Найдем эту сумму:

Нетрудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5120, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых нет 14, больше 5120, следовательно, без числа 14 на доске обойтись нельзя.

в) Допустим, что на доске выписаны все числа от 1 до 100. Тогда получается, что полученный ряд составляет арифметическую прогрессию с первым членом, разностью По формуле для суммы арифметической прогрессии найдем сумму всех чисел на доске:

Полученная сумма не удовлетворяет условию задачи. Теперь, чтобы увеличить сумму всех чисел, написанных на доске до обозначенной в условии, попробуем заменить числа, кратные 14 на другие числа, следующие за сотней: 70 заменим на 110, 84 - на 104, а 98 - на 108. Полученная сумма S будет равна:

При дальнейшей замене чисел, кратных 14 на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться и не соответствовать условию задачи. Таким образом, наименьшее количество чисел, кратных 14 равно 4.

Приведем другое решение пункта в).

Приведем пример, когда на доске написано четыре числа, кратных 14 (14, 28, 42, 56):

Докажем, что не может быть трех чисел, кратных 14. Чтобы убрать максимальное количество чисел, кратных 14, необходимо, чтобы разности между новыми и старыми числами были минимальными. То есть заменять надо наибольшие числа, кратные 14, на наименьшие возможные, большие ста числа. Пусть количество чисел, кратных 14, равно 3. Тогда минимальная сумма записанных на доске чисел равна:

Полученная сумма больше, чем 5120. При дальнейшей замене чисел, кратных 14, на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться, значит, на доске не может быть меньше четырех чисел, кратных 14.

Ответ: а) Нет б) Нет в) 4.

а) Да, например:

б) Пусть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7. Тогда на доске написано 28 четных чисел. Их сумма не меньше, чем:

Это противоречит тому, что сумма равна 810, то есть на доске не может быть двух чисел, оканчивающихся на

в) Заметим, что число 810 кратно 2, сумма четных чисел кратна двум, тогда и сумма чисел, оканчивающихся на 7, тоже кратна двум. Чтобы сумма нечетных чисел делилась на два, слагаемых должно быть четное количество. В пункте б) показано, что на доске не может быть два числа, оканчивающихся на 7, тогда наименьшее возможное количество таких чисел — 4.

Приведем пример, когда на доске написано четыре числа, оканчивающихся на 7:

Ответ: а) да; б) нет; в) 4.

а) Да, например:

б) Пусть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 9, сумма двух нечетных чисел четна, тогда сумма всех чисел, написанных на доске делится на два, но 877 не кратно 2 — противоречие. Таким образом, на доске не может быть ровно два числа, оканчивающихся на 9.

в) Все числа написанные на доске четными быть не могут. Пусть на доске написано одно число, оканчивающееся на 9, и 29 четных чисел. Сумма всех чисел не меньше суммы:

В пункте б) показано, что на доске не может быть два числа, оканчивающихся на 9, тогда их количество не меньше 3. В пункте а) приведен пример, когда на доске написано три таких числа, значит, наименьшее количество оканчивающихся на 9 чисел — 3.

Ответ: а) да; б) нет; в) 3.

а) Если наименьшее число равно 3, то сумма шести наименьших чисел не меньше 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33, а их среднее арифметическое больше 5.

б) Пусть сумма пяти наименьших чисел равна А, шестое по величине число равно В, а сумма пяти наибольших чисел равна С. Предположим, что среднее арифметическое всех 11 чисел равно 9. Тогда получаем: откуда Это невозможно, поскольку должно выполняться неравенство

в) Получаем:

 

Значит, нужно найти наименьшее значение В.

Пусть числа, написанные на доске, равны

причем Тогда

Значит, поскольку B целое.

Покажем, что число В может равняться 8. Например, если на доске написаны числа 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 40, то условия задачи выполнены и

Таким образом,

Ответ: а) нет, б) нет, в)

а) Если наименьшее число равно 5, то сумма шести наименьших чисел не меньше , а их среднее арифметическое больше 7.

б) Пусть сумма пяти наименьших чисел равна А, шестое по величине число равно В, а сумма пяти наибольших чисел равна С. Предположим, что среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равно 10. Тогда получаем:

откуда Это невозможно, поскольку должно выполняться неравенство

в) Получаем:

Значит, нужно найти наименьшее значение В.

Пусть числа, написанные на доске, равны причем Тогда откуда

Значит, поскольку B целое.

Покажем, что число В может равняться 10. Например, если на доске написаны числа 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 36 то условия задачи выполнены и

Таким образом,

Ответ: а) нет, б) нет, в)

а) Нет. Итоговый балл по старой системе не больше а итоговый балл по новой системе не меньше Поэтому разность итоговых баллов не может быть больше 6.

б) Нет. Упорядочим оценки судей: пусть Тогда разность итоговых баллов равна

При умножении разности на 12 должно получаться целое число, но число нецелое.

в) Покажем, что числитель дроби (*) не меньше 12. Действительно, уменьшаемое а вычитаемое Следовательно, разность итоговых баллов не меньше 1. Значение 1 достигается, например, при оценках 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 1.

а) Пусть стирали следующие пары чисел: 9 и 19, 10 и 15, 11 и 16, 12 и 17, 13 и 18. Тогда на доске останутся числа 14 и 20, сумма которых равна 34.

б) Среди чисел от 59 до 92 ровно 6 чисел, дающих при делении на 5 остаток 3, и ровно по 7 чисел, дающих при делении на 5 четыре других возможных остатка. Следовательно, среди квадратов чисел от 59 до 92 ровно 7 чисел, делящихся на 5, ровно 13 чисел, дающих при делении на 5 остаток 4, и ровно 14 чисел, дающих при делении на 5 остаток 1. По условию каждый раз с доски стирали два числа, разность которых делится на 5. Значит, в каждой из пар стёртых чисел оба числа дают одинаковый остаток при делении на 5. Поэтому на доске обязательно останется число, делящееся на 5, и число, которое при делении на 5 даёт остаток 4. Произведение этих чисел делится на 5 и, следовательно, не может оканчиваться на цифру 1.

в) Как было доказано в предыдущем пункте, если на доске осталось ровно два числа, то одно из них делится на 5, а второе д аёт при делении на 5 остаток 4. Первое из этих чисел не меньше 60² и не больше 90², второе не меньше 62² и не больше 92². Поэтому если первое из этих чисел поделить на второе, то получится не больше а если второе из этих чисел поделить на первое, то получится не больше Поскольку получаем, что наибольшее значение, которое может получиться, если поделить одно из оставшихся чисел на второе из них, не превосходит

На доске могли остаться числа 92² и 60², так как остальные квадраты чисел от 59 до 92 можно разбить на такие пары: 3 пары чисел, делящихся на 5, 7 пар чисел, дающих при делении на 5 остаток 1, и 6 пар чисел, дающих при делении на 5 остаток 4. Значит, наибольшее значение, которое может получиться, если поделить одно из оставшихся чисел на второе из них, равно

Ответ: а) да; б) нет; в)

Пусть − сумма на синих карточках, − сумма на красных карточках. Тогда

а) Приведем пример. На каждой из сорока красных карточек написана 1. На синих карточках написаны числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 706 (760 − 54). Эти числа удовлетворяют системе.

б) Если красных карточек 10, то наибольшее число на красных карточках не может быть меньше 4 (иначе сумма на красных карточках не превосходит , что неверно). Тогда минимальное число на синих карточках не меньше 5. Тогда сумма на 40 синих карточках не меньше, чем . Противоречие.

в) Приведем пример для 35 синих карточек и 15 красных. На двенадцати красных карточках написано 3, на двух 1, и на одной 2. На синих карточках написано:

Если же синих карточек больше 35, то красных меньше 15. Наибольшее число на красных карточках не может быть меньше 3 (иначе сумма на красных карточках не превосходит , что неверно). Тогда минимальное число на синих карточках не меньше 4. Тогда сумма на синих карточках не меньше, чем . Противоречие.

Ответ: а) да, б) нет, в) 35.