СДАМ ГИА






Каталог заданий. Числовые наборы на карточках и досках
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1

Задумано не­сколь­ко (не обя­за­тель­но различных) на­ту­раль­ных чисел. Эти числа и их все воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке неубывания. Если какое-то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ет­ся одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, стираются. Например, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

 

а) Приведите при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б) Существует ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все при­ме­ры за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

Задание 19 № 501694

Аналоги к заданию № 501694: 501949 501989 502298



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Центр. Ва­ри­ант 1.
Решение

2

На доске на­пи­са­но число 2015 и еще не­сколь­ко (не менее двух) на­ту­раль­ных чисел, не пре­вос­ход­щих 5000. Все на­пи­сан­ные на доске числа различны. Сумма любых двух из на­пи­сан­ных чисел де­лит­ся на какое-нибудь из остальных.

а) Может ли на доске быть на­пи­са­но ровно 1009 чисел?

б) Может ли на доске быть на­пи­са­но ровно пять чисел?

в) Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел может быть на­пи­са­но на доске?

Задание 19 № 509826


Источник: ЕГЭ по математике — 2015. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день (часть С).
3

На доске было на­пи­са­но 20 на­ту­раль­ных чисел (не обязательно различных), каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 40. Вмест­но не­ко­то­рых из чисел (возможно, одного) на доске на­пи­са­ли числа, мень­шие пер­во­на­чаль­ных на единицу. Числа. ко­то­рые после этого ока­за­лись рав­ны­ми 0, с доски стёрли.

а) Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел на доске увеличилось?

б) Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 27. Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел ока­зать­ся рав­ным 34?

в) Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 27. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел, ко­то­рые оста­лись на доске.

Задание 19 № 513279


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
4

Задумано не­сколь­ко целых чисел. Набор этих чисел и все их воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке неубывания. Например, если за­ду­ма­ны числа 2, 3, 5, то на доске будет вы­пи­сан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске вы­пи­сан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?

б) Для не­ко­то­рых раз­лич­ных за­ду­ман­ных чисел в наборе, вы­пи­сан­ном на доске, число 0 встре­ча­ет­ся ровно 4 раза. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел могло быть задумано?

в) Для не­ко­то­рых за­ду­ман­ных чисел на доске вы­пи­сан набор. Все­гда ли по этому на­бо­ру можно од­но­знач­но опре­де­лить за­ду­ман­ные числа?

Задание 19 № 501714

Аналоги к заданию № 501714: 501756 502318



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Сибирь. Ва­ри­ант 302.
5

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Задание 19 № 500820


Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2013 по математике.
6

На доске на­пи­са­но число 7. Раз в ми­ну­ту Вася до­пи­сы­ва­ет на доску одно число: либо вдвое боль­шее какого-то из чисел на доске, либо рав­ное сумме каких-то двух чисел, на­пи­сан­ных на доске (таким образом, через одну ми­ну­ту на доске по­явит­ся второе число, через две ― тре­тье и т.д.).

 

а) Может ли в какой-то мо­мент на доске ока­зать­ся число 2012?

б) Может ли в какой-то мо­мент сумма всех чисел на доске рав­нять­ся 63?

в) Через какое наи­мень­шее время на доске может по­явить­ся число 784?

Задание 19 № 500005

Аналоги к заданию № 500005: 500011

Решение

7

Каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 по одному записываю на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

 

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Задание 19 № 500017

Аналоги к заданию № 500017: 500452 500472

8

Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

 

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Задание 19 № 500023

Аналоги к заданию № 500023: 500966

9

Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.

 

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?

Задание 19 № 500197

Аналоги к заданию № 500197: 500478



Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год
Решение

10

На доске на­пи­са­но более 27, но менее 45 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −5, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 9, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −18.

а) Сколько чисел на­пи­са­но на доске?

б) Каких чисел на­пи­са­но больше: по­ло­жи­тель­ных или отрицательных?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?

Задание 19 № 505540
11

Из пер­вых 22 на­ту­раль­ных чисел 1, 2, ..., 22 вы­бра­ли 2k раз­лич­ных чисел. Вы­бран­ные числа раз­би­ли на пары и по­счи­та­ли суммы чисел в каж­дой паре. Оказалось, что все по­лу­чен­ные суммы раз­лич­ны и не пре­вос­хо­дят 27.

а) Может ли по­лу­чить­ся так, что сумма всех 2k вы­бран­ных чисел рав­ня­ет­ся 170 и в каж­дой паре одно из чисел ровно в три раза боль­ше другого?

б) Может ли число k быть рав­ным 11?

в) Най­ди­те наибольшее воз­мож­ное значение числа k.

Задание 19 № 514201


Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2014
12

На доске написано 10 неотрицательных чисел. За один ход стираются два числа, а вместо них записывается сумма, округлённая до целого числа (например, вместо 5,5 и 3 записывается 9, а вместо 3,3 и 5 записывается 8).

а) Приведите пример 10 нецелых чисел и последовательности 9 ходов, после которых на доске будет записано число, равное сумме исходных чисел.

б) Может ли после 9 ходов на доске быть написано число, отличающееся от суммы исходных чисел на 7?

в) На какое наибольшее число могут отличаться числа, записанные на доске после 9 ходов, выполненных с одним и тем же набором исходных чисел в различном порядке?

Задание 19 № 514485


Источник: ЕГЭ — 2016. Ос­нов­ная волна по математике 06.06.2016. Вариант 437. Юг
13

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанных на доске заменяется на два числа: a + b и 2a − 1 или a + b и 2b − 1.

Пример: числа 2 и 3 заменяются на 3 и 5, на 5 и 5, соответственно.

а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске, окажется числом 19.

б) Может ли после 50 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 100.

в) Сделали 2015 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

Задание 19 № 514539


Источник: ЕГЭ — 2016 по математике. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Вариант 3 (C часть)
14

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Задание 19 № 514713


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
15

Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5.

Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.

Задание 19 № 514920


Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2011 год
16

Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные 10 сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Задание 19 № 514921


Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год
17

Учитель в школе ставит отметки от 1 до 5. Средний балл ученика равен 4,625.

а) Какое наименьшее количество оценок может иметь ученик?

б) Если у ученика заменить оценки 3, 3, 5, 5 на две четвёрки, то на сколько максимально может увеличиться средний балл?

Задание 19 № 514945


Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год
18

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Задание 19 № 516804


Источник: ЕГЭ по математике 31.03.2017. Досрочная волна. (С часть).

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!
общее/сайт/предмет


Рейтинг@Mail.ru
Яндекс.Метрика