а) Задуманные числа 2, 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске. (Или числа 2, 4, 4 или 2, 2, 2, 4.)

б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в) Число 7 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части  , то есть 5. Кроме того, числа 8 и 10 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41 − 7 − 8 − 10 = 16. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 7, оставшиеся задуманные числа — это 8 и 8 или 16. Для задуманных чисел 7, 8, 8, 8, 10 и 7, 8, 10, 16 на доске будет записан набор, данный в условии.

Ответ: а) 2, 2, 2, 2, 2 (или 2, 4, 4 или 2, 2, 2, 4); б) нет; в) 7, 8, 8, 8, 10 или 7, 8, 10, 16.

Заметим, что если среди выписанных чисел есть число 1, то попарные суммы всех остальных чисел будут делиться на 1.

а) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2015 (выписано 1008 нечётных чисел от 1 до 2015 и число 2). Сумма 1 и любого нечётного числа делится на 2, сумма 1 и 2 делится на 3, сумма любых двух чисел, отличных от 1, делится на 1.

Другой пример: 1, 2, 3, ... , 1007, 2014, 2015. Если среди двух чисел нет 1, то их сумма делится на 1. Если вместе с 1 выписаны числа k и k + 1, то сумма первых двух делится на третье; оставшиеся суммы 1 + 1007 и 1 + 2015 делятся на 2.

Третий пример: 1, 2, 3, 5, 6, ... , 1009, 2015 (в группе подряд идущих чисел пропущено 4).

б) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 2015. Другой пример — числа a, 2a, 3a, 4a, 5a, где a = 403.

в) Пример для четырёх чисел: 1, 2, 3, 2015. Другой пример — числа a, 2a, 3a, 5a, где a = 403.

Покажем, что трёх чисел быть не может. Действительно, пусть три различных числа таковы, что a < b < c. Тогда a + b < 2b < b + c < 2c, откуда в силу делимости суммы двух меньших чисел на большее получаем: a + b = c. Тогда b < a + c = 2a + b < 3b, откуда в силу делимости а + с на b получаем: a + c = 2b. Тогда b = 2a, c = 3a, а искомая тройка чисел имеет вид a, 2a, 3a. По условию одно из этих чисел равно 2015, поскольку 2015 не делится ни на 2, ни на 3, им может быть только число a. Но в этом случае 3a > 5000. Противоречие.

Приведём другое доказательство.

Пусть даны числа a, b, c, и сумма любых двух из них делится на третье. Если они все имеют отличный от 1 наибольший общий делитель d, то на него можно сократить, и свойство делимости сохранится. Будем считать, что все три числа взаимно простые. Поскольку сумма двух чисел делится на третье, то сумма всех чисел делится на каждое. Числа попарно взаимно просты, поэтому их сумма должна делиться на произведение. В частности, a + b + c ≥ abc. Полагая a < b < c, имеем a + b + c < 3c, откуда ab < 3. Следовательно, a = 1, b = 2. При этом c + 3 делится на 2c, поэтому c = 3. Таким образом, тройка чисел должна иметь вид d, 2d, 3d. Поскольку 2015 нечётно и не делится на 3, оно равно d, но тогда 3d > 5000.

Ответ: а) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2015; б) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 2015; в) 4, например, 1, 2, 3, 2015.

а) Например, если были написаны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми провели эти действия, то их среднее было равно 6, а после описанных действий оно станет равно 10.

б) Пусть x количество изначально написанных единиц, которые превратятся в нули, а y — количество прочих уменьшаемых чисел. Тогда сумма всех чисел равна , а сумма всех чисел, кроме будущих нулей, равна , и их штук.

После описанных действий будет чисел с общей суммой Значит,

Отсюда следует, что Но тогда , что невозможно.

в) Обозначая как в пункте б) получаем, что нужно максимизировать значение выражения Очевидно, следует взять и максимизировать , то есть следует максимизировать x.

Заметим однако, что сумма изначальных чисел не превосходит , откуда , , Тогда требуемое выражение будет равно Это возможно, например, для набора из шести единиц, числа 14 и тринадцати чисел по 40, из которых уменьшают все единицы и только их, получая

Ответ:а) да б) нет в)

а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 положительных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх положительных чисел. Значит, положительное число одно, и это число — наибольшее число в наборе, то есть 6. Наименьшее число в наборе −11 является суммой двух отрицательных задуманных чисел. Из отрицательных выписанных чисел только −7 и −4 дают в сумме −11. Значит, были задуманы числа −7, −4 и 6.

б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно k нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k + 1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.

Если на доске выписано ровно 4 нуля, то среди задуманных чисел нет нуля. Пусть задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы: три различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.

Если были задуманы числа −2; −1; 1; 2; 3, то на доске окажется ровно четыре нуля. Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 5.

в) Нет, не всегда. Например, для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: а) −7, −4, 6; б) 5; в) нет.

Пусть среди написанных чисел положительных, отрицательных и нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

а) Заметим, что в левой части приведенного выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому — количество целых чисел — делится на 4. По условию поэтому Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведем неравенство к виду Так как получаем, что откуда Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в_оценка) Подставим в правую часть равенства откуда Так как получаем: то есть положительных чисел не более 17.

в_пример) Приведем пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число −8 и два раза написан 0. Тогда указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:а) 44; б) отрицательных; в) 17.